§2.9 函数的应用

§2.9 函数的应用

高考会这样考 1.综合考查函数的性质；2.考查一次函数、二次函数、分段函数及基本初等函数的建模问题；3.考查函数的最值．

复习备考要这样做 1.讨论函数的性质一定要在定义域内；2.充分搜集、应用题目信息，正确建立函数模型；3.注重函数与不等式、数列、导数等知识的综合．

1． 几类函数模型及其增长差异

(1)几类函数模型

函数模型 一次函数模型 反比例函 数模型 二次函数模型 指数函数模型 对数函数模型 幂函数模型 (2)三种函数模型的性质 函数性质 在(0，＋∞) 上的增减性 增长速度 图象的变化 值的比较 2. 解函数应用问题的步骤(四步八字) (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，

建立相应的数学模型；

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函数解析式 f(x)＝ax＋b (a、b为常数，a≠0) kf(x)＝＋b (k，b为常数且k≠0) xf(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) f(x)＝axn＋b (a，b为常数，a≠0) y＝ax(a>1) 单调递增 越来越快 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 y＝logax(a>1) 单调递增 越来越慢 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 y＝xn(n>0) 单调递增 相对平稳 随n值变化而各有不同 存在一个x0，当x>x0时，有logax(3)解模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义． 以上过程用框图表示如下：

1． 要注意实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域． 2． 解决实际应用问题的一般步骤

(1)审题：深刻理解题意，分清条件和结论，理顺其中的数量关系，把握其中的数学本质． (2)建模：由题设中的数量关系，建立相应的数学模型，将实际问题转化为数学问题． (3)解模：用数学知识和方法解决转化出的数学问题． (4)还原：回到题目本身，检验结果的实际意义，给出结论．

1． 某物体一天中的温度T(单位：℃)是时间t(单位：h)的函数：T(t)＝t3－3t＋60，t＝0表示中午

12∶00，其后t取正值，则下午3时的温度为________．

2． 某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，

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成本增加10万元．又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－Q，

20则总利润L(Q)的最大值是________万元．

2

3． 某大楼共有12层，有11人在第1层上了电梯，他们分别要去第2至第12层，每层1人．因特

殊原因，电梯只允许停1次，只可使1人如愿到达，其余10人都要步行到达所去的楼层．假设乘客每向下步行1层的“不满意度”增量为1，每向上步行1层的“不满意度”增量为2,10人的“不满意度”之和记为S.则S最小时，电梯所停的楼层是( ) A．7层 B．8层 C．9层 D．10层

4． 某企业第三年的产量比第一年的产量增长44%，若每年的平均增长率相同(设为x)，

则以下结论正确的是 ( ) A．x>22% B．x<22%

5．某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月车载货物的运费

C．x＝22% D．x的大小由第一年的产量确定

y2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1，y2分别是2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站 ( ) A．5千米处 B．4千米处 C．3千米处 D．2千米处

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题型一 二次函数模型

例1 某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨) 之间的函数关系式可以近似地表示为y＝－48x＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨．

5(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；

(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？ 最大利润是多少？

思维启迪：(1)根据函数模型，建立函数解析式．(2)求函数最值．

探究提高 二次函数是常用的函数模型，建立二次函数模型可以求出函数的值域或最值．

解决实际中的优化问题时，一定要分析自变量的取值范围．利用配方法求最值时， 一定要注意对称轴与给定区间的关系：若对称轴在给定的区间内，可在对称轴处取一最值， 在离对称轴较远的端点处取另一最值；若对称轴不在给定的区间内，最值都在区间的端点处取得．

某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y＝3 000＋20x－0.1x2 (0

A．100台 B．120台 C．150台 D．180台

4

x2

题型二 指数函数模型

例2 诺贝尔奖发放方式为每年一发，把资金总额平均分成6份，奖励给分别在6项(物理、

化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出最有益贡献的人，每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息作基金总额，以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为r＝6.24%.资料显示：1999年诺贝尔奖金发放后基金总额约为19 800万美元．设

f(x)表示第x(x∈N*)年诺贝尔奖发放后的基金总额(1999年记为f(1)，2000年记为f(2)，?，依次类推)．(1)用f(1)表示f(2)与f(3)，并根据所求结果归纳出函数f(x)的表达式； (2)试根据f(x)的表达式判断网上一则新闻“2009年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真，并说明理由．(参考数据：1.031 29＝1.32)

思维启迪：从所给信息中找出关键词，增长率问题可以建立指数函数模型．

探究提高 此类增长率问题，在实际问题中常可以用指数函数模型y＝N(1＋p)x(其中N 是基础数，p为增长率，x为时间)和幂函数模型y＝a(1＋x)n(其中a为基础数，x为增长 率，n为时间)的形式．解题时，往往用到对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解．

已知某物体的温度θ(单位：摄氏度)随时间t(单位：分钟)的变化规律：

θ＝m·2t＋21－t(t≥0，并且m>0)．(1)如果m＝2，求经过多少时间，物体的温度为5摄氏度； (2)若物体的温度总不低于2摄氏度，求m的取值范围．

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题型三 分段函数模型

例3 为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了把

二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为

1??3x－80x＋5 040x，x∈[120，144?，y＝?

1??2x－200x＋80 000，x∈[144，500]，

3

2

2

且每处理一吨二氧化碳得到可利用的

化工产品价值为200元，若该项目不获利，国家将给予补偿．

(1)当x∈[200,300]时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利， 则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？

(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ 思维启迪：题目中月处理成本与月处理量的关系为分段函数关系，

项目获利和月处理量的关系也是分段函数关系．

探究提高 本题的难点是函数模型是一个分段函数，由于月处理量在不同范围内，处理

的成本对应的函数解析式也不同，故此类最值的求解必须先求出每个区间内的最值，然 后将这些区间内的最值进行比较确定最值．

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根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为

c?

?x，x

f(x)＝?

c，x≥A??A

(A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，

组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是 ( ) A．75,25 B．75,16 C．60,25 D．60,16

3.函数建模问题

典例：在扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖

店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定 从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3 600元后， 逐步偿还转让费(不计息)．在甲提供的资料中：①这种消费品的进价为每件14元；②该店月销量Q(百件)与销售价格P(元)的关系如图所示；③每月需各种开支2 000元．

(1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额； (2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？

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解函数应用题的一般程序：

第一步：审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；

第二步：建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型； 第三步：求模——求解数学模型，得到数学结论；

第四步：还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义． 第五步：反思回顾——对于数学模型得到的数学解，

必须验证这个数学解对实际问题的合理性．

失误与防范

1． 函数模型应用不当，是常见的解题错误．所以，正确理解题意，选择适当的函数模型． 2． 要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．

3． 注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数学解对实际问题的合理性．

A组 专项基础训练

一、选择题1.有一批材料可以围成200 m长的围墙，现用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地(如图)，且内部用此材料隔成三个面积相等的矩形，则围成的矩形场地的最大面积为 ( )

A．1 000 m2 B．2 000 m2 C．2 500 m2 D．3 000 m2

2．里氏震级M的计算公式：M＝lg A－lg A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，

A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000， 此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级； 9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的_______倍． ( ) A．6 1 000 B．4 1 000 C．6 10 000 D．4 10 000

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3． 某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间t(分钟)与打出电话费s(元)的函数关系如图，当打出电话150分钟时， 这两种方式电话费相差 ( )

40

A．10元 B．20元 C．30元 D.元

3

4.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y (单位：10万元)与营运年数x(x∈N*)为二次函数关系(如右图所示)， 则每辆客车营运多少年时，其营运的平均利润最大 ( )

A．3 B．4 C．5 D．6

二、填空题

5.如图，书的一页的面积为600 cm2，设计要求书面上方空出2 cm的边，下、左、右方都

空出1 cm的边，为使中间文字部分的面积最大，这页书的长、宽应分别为____________．

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6． 某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费)； 超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按 每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元， 则此次出租车行驶了________ km.

7． 2008年我国人口总数为14亿，如果人口的自然年增长率控制在1.25%，则________年

我国人口将超过20亿．(lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，lg 7≈0.845 1)

三、解答题

8． 如图所示，在矩形ABCD中，已知AB＝a，BC＝b (a>b)．在AB、AD、CD、CB上

分别截取AE、AH、CG、CF都等于x，当x为何值时，四边形EFGH的面积最大？求出这个最大面积．

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9． 某种出口产品的关税税率为t，市场价格x(单位：千元)与市场供应量p(单位：万件)之间近似满足关系式：p＝2(1－kt)(k－b)，其中k，b均为常数．当关税税率t＝75%时，

若市场价格为5千元，则市场供应量为1万件；若市场价格为7千元，则市场供应量约为2万件． (1)

试确定k，b的值；(2)市场需求量q(单位：万件)与市场价格x近似满足关系式：q＝2－x，

2

当p＝q时，市场价格称为市场平衡价格，当市场平衡价格不超过4千元时，试确定关税税率的最大值．

B组 专项能力提升

一、选择题1． 某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x

和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车， 则能获得最大利润为 ( )

A．45.606万元 B．45.6万元 C．45.56万元 D．45.51万元

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2

2． 某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些

边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x、y应为 ( )

A．x＝15，y＝12 B．x＝12，y＝15 C．x＝14，y＝10 D．x＝10，y＝14

3．如图，已知正四棱锥S－ABCD所有棱长都为1，点E是侧棱SC上一动点，过点E垂直于SC

的截面将正四棱锥分成上、下两部分．记SE＝x(0

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二、填空题

4． 某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月

份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x的最小值是________．

5． 某商人购货，进价已按原价a扣去25%.他希望对货物订一新价，以便按新价让利20%销售后仍可

获得售价25%的利润，则此商人经营这种货物的件数x与按新价让利总额y之间的函数关系式为______________．

6． 某医院为了提高服务质量，对挂号处的排队人数进行了调查，发现：当还未开始挂号时，

有N个人已经在排队等候挂号；开始挂号后排队的人数平均每分钟增加M人．假定挂号的速度是每个窗口每分钟K个人，当开放一个窗口时，40分钟后恰好不会出现排队现象；若同时开放两个窗口时，则15分钟后恰好不会出现排队现象．根据以上信息，若要求8分钟后不出现排队现象，则需要同时开放的窗口至少应有________个．

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三、解答题

7． 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度

v(单位：千米/时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式； (2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)

f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/时)

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