曲面积分总结

高等数学学习辅导 多元函数积分学 1

多元函数积分学

一、主要内容

1、重积分的概念与性质.

2、二重积分的计算方法：直角坐标、极坐标.

3、三重积分的计算方法：直角坐标、柱面坐标、球面坐标. 4、重积分的应用：几何应用、物理应用.

5、两类曲线积分（对弧长的、对坐标的）的概念与性质. 6、两类曲线积分的计算公式（化为定积分）.

7、两类曲面积分（对面积的、对坐标的）概念与性质. 8、两类曲面积分的计算公式（化为二重积分）. 9、格林公式、高斯公式、斯托克斯公式及其应用. 10、场论的重要概念：通量与散度，环量与旋度.

二、学习要求

1、理解各种积分的概念，了解各种积分的性质及相互之间关系，并会正确应用于积分的计算之中。

2、掌握各种积分的计算方法：对重积分会在不同的坐标系下计算；对曲线、曲面积分与会利用各种积分之间的关系计算。

3、理解多元函数积分的元素法。会用元素法写出一些几何量和物理量的重积分表达式。线、面积分表达式并进行计算。

4、掌握格林公式，高斯公式、斯托克斯公式（条件、结论和应用）

5、掌握曲线（面）积分与积分曲线（面）无关的条件，会将二元、三元函数的全微分求积。 6、了解通量与散度、环量与旋度的概念。会求矢量场的通量、环量、散度、旋度。

三、疑难解答

1、问：曲线积分，曲面积分都有两种类型，定积分、重积分是否可分类型？两类积分的本质区别是什么？ 答 曲线积分或曲面积分的两种类型，主要根据积分曲线（或曲面）是否有向、被积函数是数量函数还是向量函数来区分，但最主要的还是根据积分曲线（或曲面）是否有向来区分。由此，所有积分可以分为两大类，即积分范围是无向图形的和积分范围是有向图形的。重积分的积分范围是无向的，定积分的范围是向的。所有无向积分的性质同于a＜b时定积分?af(x)dx，所有有向积分的性质，同于定积分?af(x)dx。

积分范围无向的积分的本质特征是积分元素非负（是面积元素、长度元素、体积元素）。积分范围向的积分的本质特征是积分元素带有正负号（是曲线或曲面在相应坐标轴，坐标面上的投影元素）。

两类积分的本质差异导致了在将重积分、第一类曲线积分化为定积分计算时，每次定积分的下限必须小于上限；而将第二类曲线积分化为定积分计算时，积分的下限是曲线起点参数，上限是终点参数；将第二类曲面积分化为二重积分计算时，根据曲面的侧，二重积分前要加相应的正负号。

2、问：何种积分可以利用积分范围和被积函数的对称性来简化计算，具体做法如何？

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答 积分范围无向的积分（即第一类积分）都可利用积分范围和被积函数的对称性来简化计算。 以二重积分

I???Df(x,y)d?为例说明方法如下：

（1）若积分区域D关于y轴对称，那么

当f (x, y)关于x是奇函数(f(?x,y)??f(x,y))时，I = 0； 当

f (x, y)关于

x

是偶函数(f(?x,y)?f(x,y))时，

I?2??D1f(x,y)d?，其中

D1?{(x,y)(x,y)?D,x?0}.

（2）若积分区域D关于x轴对称，那么

当f（x，y）关于y是奇函数(f(x,?y)??f(x,y))时，I = 0；

I当f (x, y)关于y是偶函数(f(x,?y)?f(x,y))时，

（3）若积分区域D关于原点对称，那么

?2??D1f(x,y)d?，其中D1?{(x,y)(x,y)?D,y?0}.

当f (x, y) 关于x，y都是奇函数(f(?x,?y)??f(x,y))时，I = 0； 当f (x, y) 关于x，y都是偶函数(f(?x,?y)?f(x,y))时，则

I?4??D1f(x,y)d?，其中

D1?{(x,y)(x,y)?D,x?0,y?0}.

（4）若积分区域D关于直线y = x对称，则

??Df(x,y)d????Df(y,x)d?；

??D1f(x,y)d????D2f(y,x)d?，其中D1?{(x,y)(x,y)?D,y?x}，D2?{(x,y)(x,y)?D,y?x}；

若再有f (x, y) 关于变量x,y对称 (f(x,y)?f(y,x))时，则??Df(x,y)d??2??D1f(x,y)d?，其中

D1?{(x,y)(x,y)?D,y?x}.

这一方法可直接推广到三重积分以及对弧长的曲线积分，对面积的曲面积分。

因为积分范围有向的积分（即第二类积分）不仅与积分曲线、积分曲面和被积函数有关，还与积分范围的方向有关，所以利用对称性化简积分比较复杂，直接利用时要谨慎。一般在将其化为定积分，二重积分、三重积分之后，再利用相应的对称性来简化计算，比较保险。

3、问：计算三重积分时，如何选择恰当的坐标系？

答 计算三重积分，常用直角坐标、柱面坐标、球面坐标，选择某种坐标系的一般原则是：

（1）积分区域的边界曲面在该坐标系中的方程比较简单。（当边界曲面为该坐标系中的坐标面时，方程最简单。） （2）被积函数在该坐标系中的表达式比较简单，而且化为三次积分后，各次积分易计算。

为了选择恰当的坐标系，应该了解一些常见的曲面在何种坐标系中的方程比较简单。以及常见坐标运算式子在不同坐标系中的表示。例如

22x 2+y 2在柱面坐标系中为r 2，在球面坐标系中为rsin?；x2?y2?z2在柱面坐标系中为r 2 + z 2，在球面坐

标系中为r 2。

圆柱面x2?y2?a2的柱面坐标方程为r?a，球面坐标方程为r?a/sin?；

圆柱面x2?y2?2ax的柱面坐标方程为r?2acos?，球面坐标方程为r?2acsc?cos?；

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圆锥面z?kx2?y2的柱面坐标方程为z = k r，球面坐标方程为 ? ? ? ? ? arctan 1 , ()；

k球面x2?y2?z2?a2的柱面坐标方程为r2?z2?a2， 球面坐标方程为r=a；

球面x2?y2?z2?2az 的球面坐标方程为 r?2acos?(0????/2)。

有了这些基本认识，就可较迅速，准确地选用恰当的坐标系。一般地，当Ω由圆柱面围成（或更一般地，Ω在

xOy平面上的投影区域为圆域x2?y2?a2）且被积函数中含有x2?y2,y/x 这样的式子时，可选用柱面坐标。

当Ω由球面，圆锥面等围成，且被积函数中含有x2?y2?z2，x2?y2 这样的式子时，可考虑用球面坐标。但具体到一个题目，还要视情况灵活处理。

4：问，应如何掌握两类曲面积分的计算公式？

答 （1）第一类曲面积分I????f(x,y,z)dS的积分元素ds是曲面的面积元素，它相应于三的不同方程有不同的表达形式，因此，将第一类曲面积分化为哪个坐标平面内的有界闭区域上的二重积分，要根据 的方程形式而定，具体地，

若?：z?z(x,y)，(x,y)?D，其中D是?在xOy平面上的投影区域，且z?z(x,y)是D上的单值函数，则

22???f(x,y,z)dS???Df[x,y,z(x,y)]1?z?x?z?ydxdy；

若?：y?y(z,x)，(z,x)?D，其中D是?在zOx平面上的投影区域，且y?y(z,x)是D上的单值函数，则

22???f(x,y,z)dS???Df[x,y(z,x),z]1?y?z?y?xdzdx；

若?：x?x(y,z)，(y,z)?D，其中D是?在yOz平面上的投影区域，且x?x(y,z)是D上的单值函数，则

2???f(x,y,z)dS???Df[x(y,z),y,z)]1?x2y?xzdydz；

（2）第二类曲面积分的积分元素dydz，dzdx，dxdy 是曲面 在平面yOz，zOx平面，xOy平面的投影元素，与?在相应平面内投影区域的面积元素相差一个正负号，所以，第二类曲面积分只能化为积分元素对应的坐标平面内区域D上的二重积分。具体地

???P(x,y,z)dydz????DP[x(y,z),y,z]dydz，

其中D是?在yOz平面上的投影区域，?的方程是x?x(y,z)，且x?x(y,z)是D上的单值函数，当?取前侧时， 二重积分前取正号；当?取后侧时， 二重积分前取负号；

???Q(x,y,z)dzdx????DQ[x,y(z,x),z]dzdx，

其中D是?在zOx平面上的投影区域，?的方程是y?y(z,x)，且y?y(z,x)是D上的单值函数，当?取右侧时， 二重积分前取正号；当?取左侧时， 二重积分前取负号；

???R(x,y,z)dxdy????DR[x,y,z(x,y)]dxdy，

其中D是?在xOy平面上的投影区域，?的方程是z?z(x,y)，且z?z(x,y)是D上的单值函数，当?取上侧时， 二重积分前取正号；当?取下侧时， 二重积分前取负号.

5问：格林公式，斯托克斯公式，高斯公式的重要性表现在哪些方面？

答 这三个公式是多元函数积分学的基本公式，都可以看作一元微积分基本公式（牛顿——莱卜尼兹公式）的

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推广，在理论和应用上都有重要作用。

（1）三个公式分别建立了平面曲线积分与二重积分，空间曲线积分与曲面积分、曲面积分与三重积分之间的关系，而且每个公式都是微积分公式，和牛顿——莱卜尼兹公式一起，建立了全部微积分学之间的关系。为各种积分之间，微分与积分之间的转化提供了条件。

（2）三个公式统称为场论三大公式，是刻化和研究许多物理现象的重要工具。

（3）由格林公式可导出平面曲线积分与格经无关的充要条件，从而给出了平面保守场的特征刻画；可导出二元函数全微分求积的判定条件和具体方法，为解一类重要的微分方程——全微分方程提供了理论依据和具体解法。

由斯托克斯公式可导出空间曲线积分与路经无关的充要条件。从而给出空间无旋场的特征刻化；可导出三元函数全微分求积的判定条件和具体方法。

由高斯公式可导出曲面积分与积分曲面无关的条件，从而给出空间无源场的特征刻化。 6问：应用格林公式，斯托克斯公式，高斯公式计算积分应注意什么问题？

答 首先要注意公式成立的条件。一是积分曲线或积分曲面的闭性，二是积分曲线、积分曲面所围区域的方向性；三是被积表达式中的函数在区域上处处有一阶连续偏导数。条件不具备时，不能直接应用公式。

其次，要注意用公式将曲线积分化为二重积分或曲面积分、将曲面积与化为三重积分后要容易计算。一般地，

?P?Q?R比较简单时，用高斯公式计算曲面积分比较简单；当 ?R R ? ? Q ， ? P ? ， ? Q ? ? P 都比较简 ???yzyz?x?????z?x?x?y单，且积分曲线是空间某一平面中的一条闭曲线时用斯托克斯公式计算空间曲线积分比较简单。

7问：计算多元函数积分有哪些特殊的简单方法需要掌握？

答 （1）常数的积分：积分范围无向时，常数的积分等于常数与积分范围几何量之积。 （2）利用对称性简化计算的方法

（3）曲线积分或曲面积分被积表达式中的变量满足曲线或曲面方程，可用于简化计算：例如：

?L(x2?y2)ds中，L为圆周x2?y2?a2时，有

?L(x2?y2)ds??La2ds?a2?L的长度??a4 ???(x2?y2?z2)dxd中，y?为半球面z?a2?x2?y2的下侧时，有

???(x2?y2?z2)dxdy????a2dxdy????Da2dxdy???a4(D：x2?y2?a2)；

??Pdx中，?为平面z?z0(x?x0,y?y0)内的曲线时，有dz?0(dx?0,dy?0)； ?Qdy?Rdz

?zQdzd?xRdxd中y，?在平面yOz(zOx,xOy)内投影为曲线时，???Pdyddydz?0(dzdx?0,dxdy?0).

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