九年级数学下册2.5二次函数与一元二次方程导学案(新版)北师大版
更新时间:2023-04-07 15:15:01 阅读量: 教育文库 文档下载
二次函数与一元二次方程
学习目标:
体会二次函数与方程之间的联系;掌握用图象法求方程的近似根;理解二次函数图象与x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系,及何时方程有两个不等的实根,两个相等的实根和没有实根;理解一元二次方程的根就是二次函数h y =(h 是实数)图象交点的横坐标. 学习重点:
本节重点把握二次函数图象与x 轴(或h y =)交点的个数与一元二次方程的根的关系.掌握此点,关键是理解二次函数c bx ax y ++=2图象与x 轴交点,即0=y ,即02
=++c bx ax ,从而转化为方程的根,再应用根的判别式,求根公式判断,求解即可,二次函数图象与x 轴的交点是二次函数的一个重要内容,在其考查中也有重要的地位.
学习难点:
应用一元二次方程根的判别式,及求根公式,来对二次函数及其图象进行进一步的理解.此点一定要结合二次函数的图象加以记忆.
学习过程:
一、实例讲解:
我们已经知道,竖直上抛物体的高度()m h 与运动时间()s t 的关系可用公式0025h t v t h ++=表示,其中()m h 0是抛出时的高度,()s m v /0是抛出时的速度.一个小球从地面以s m /40的速度竖直向上抛出起,小球的高度()m h 与运动时间()s t 的关系如图所示,那么
(1).h 和t 的关系式是什么?
(2).小球经过多少秒后落地?你有几种求解方法?与同伴进行交流.
二、议一议:
在同一坐标系中画出二次函数x x y 22+=,122+-=x x y ,222+-=x x y 的图象并回答下列问题:
(1).每个图象与x 轴有几个交点?
(2).一元二次方程 022=+x x ,0122=+-x x 有几个根?验证一下一元二次方程0222=+-x x 有根吗?
(3).二次函数c bx ax y ++=2的图象和x 轴交点的坐标与一元二次方程02=++c bx ax 的根有什么关系?
三、例题:
【例1】已知二次函数772--=x kx y 的图象与x 轴有两个交点,则k 的取值范围为 .
【例2】抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交于点()0,3-A ,对称轴为1-=x ,顶点C 到x 轴的距离为2,求此抛物线表达式.
【例5】有一个二次函数的图象,三位学生分别说出了它的一些特点:
甲:对称轴是直线4=x ;
乙:与x 轴两个交点的横坐标都是整数;
丙:与y 轴交点的纵坐标也是整数,且以这三点为顶点的三角形面积为3.
请写出满足上述全部特点的一个二次函数表达式
.
四、随堂练习:
1.求下列二次函数的图象与x 轴交点坐标,并作草图验证.
(1)x x y 22-=;(2)322--=x x y .
2.你能利用a 、b 、c 之间的某种关系判断二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴何时有两个交点、一个交点,何时没有交点?
五、课后练习:
1.抛物线()()52+-=x x a y 与x 轴的交点坐标为 .
2.已知抛物线的对称轴是1-=x ,它与x 轴交点的距离等于4,它在y 轴上的截距是6-,则它的表达式为 .
3.若0>a ,b >0,c >0,△>0,那么抛物线c bx ax y ++=2经过 象限. 4.抛物线322+-=x x y 的顶点坐标是 .
5.若抛物线()7322+-+-=m x m x y 的对称轴是1=x ,则=m
. 6.抛物线m x x y ++=822与x 轴只有一个交点,则=m . 7.已知抛物线c bx ax y ++=2的系数有0=+-c b a ,则这条抛物线经过点
. 8.二次函数432-+=x kx y 的图象与x 轴有两个交点,则k 的取值范围
. 9.抛物线222a x a x y +-=的顶点在直线2=y 上,则a 的值是
. 10.抛物线x x y 532+=与两坐标轴交点的个数为( )
A .3个
B .2个
C .1个
D .无 11.如图1所示,函数c bx ax y +-=2的图象过()0,1-,则b a c a c b c b a +++++的值是( )
A .3-
B .3
C .21
D .2
1-
12.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图2所示,则下列关系正确的是( )
A .0<-a b 2<1
B .0<-a b 2<2
C .1<-a b 2<2
D .-a b 21= 13.已知二次函数22-++=m mx x y .求证:无论m 取何实数,抛物线总与x 轴有两个交点.
14.已知二次函数2222-++-=k k kx x y .
(1)当实数k 为何值时,图象经过原点?
(2)当实数k 在何范围取值时,函数图象的顶点在第四象限内?
15.已知抛物线()()02232
≠-+-+=m m x m mx y 与x 轴有两个不同的交点. (1)求m 的取值范围;
(2)判断点()1,1P 是否在抛物线上;
(3)当1=m 时,求抛物线的顶点Q 及P 点关于抛物线的对称轴对称的点'P 的坐标,并过'P 、Q 、P 三点,画出抛物线草图.
16.已知二次函数()m x m x y ---=32
的图象是抛物线,如图2-8-10. (1)试求m 为何值时,抛物线与x 轴的两个交点间的距离是3?
(2)当m 为何值时,方程()032=---m x m x 的两个根均为负数?
(3)设抛物线的顶点为M ,与x 轴的交点p 、Q ,求当PQ 最短时△MPQ 的面积.
17.在平原上,一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度()m y 与飞行时间()s x 的关系满足x x y 105
12+-=. (1)经过多长时间,炮弹达到它的最高点?最高点的高度是多少?
(2)经过多长时间,炮弹落在地上爆炸?
18.已知抛物线()k x k x y ++-=12
.(1)试求k 为何值时,抛物线与x 轴只有一个公共点;(2)如图,若抛物线与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左边),与y 轴的负半轴交于点C ,试问:是否存在实数k ,使△AOC 与△COB 相似?若存在,求出相应的k 值;若不存在,请说明理由.
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