广东省深圳市红岭中学2019-2020学年高二上学期第二学段(期末考试)数学试题含解析

红岭中学2019-2020学年度第一学期第二学段考试高二数学试卷

一、选择题 1. AB 与CD 共线是直线AB ∥CD 的( )

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件 【答案】B

【解析】

【分析】 根据向量共线的定义，结合充分条件和必要条件的概念判断即可. 【详解】根据向量共线的定义，可知若AB 与CD 共线，则它们所在的直线可能平行，也可能重合；

若AB ∥CD ，则AB 与CD 共线； 根据充分条件和必要条件的概念，可知AB 与CD 共线是直线AB ∥CD 的必要不充分条件， 故选B

【点睛】向量共线的定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量 .

2.下列曲线中离心率为223

的是（ ） A. 22

198

x y -= B. 2

219x y -= C. 22198x y D. 2

219

x y += 【答案】D

【解析】 由于离心率22013

<<，所以此曲线为椭圆，排除选项A ，B ；对于选项C ，此曲线为椭圆，22

2229,8,1a b c a b ==∴=-=，离心率221193c e a ===，不符合；对于选项D ，为椭圆，

222229,1,8,a b c a b ==∴=-=离心率822

93

e =

=

，符合，选D. 3.等比数列{}n a 的首项为1，其前n 项和为n S ，如果4

2

3S S =，则5a 的值为 ( ） A. 2 B. 2或2-

C. 4

D. 4或4-

【答案】C 【解析】 试题分析：根据

4

2

3S S =,展开可得,所以,根据等比

数列通项性质,所以

,可得.

可知

.

考点：等比数列通项性质

.

4.O 为空间任意一点,,,A B C 三点不共线,若OP =111

326

OA OB OC ++,则,,,A B C P 四点 A. 一定不共面 B. 不一定共面 C. 一定共面 D. 无法判断

【答案】C 【解析】 【分析】

点P 在平面ABC 内，O 是平面ABC 外的

任意一点，则

OP xOA yOB zOC =++且1x y z ++=．利用此推论可直接证明一定共面．

【详解】因为OP =1

11326OA OB OC +

+，且111

1326

++=，所以,,,A B C P 四点共面. 【点睛】四点共面问题，在空间向量中经常涉及，要熟练掌握共面向量定理．

5.如图，将边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使得1AC =，则三棱锥A BCD -的体积为( )

A. 36

B. 33

C. 32

D. 13

【答案】A

【解析】

【分析】

如图所示，图1中，连接AC 与BD 相交于点O ，AC BD ⊥，可得12

OA OC AC ==．图2中，OAC ?是等边三角形，BD ⊥平面OAC ，利用三棱锥A BCD -的体积13

OAC S BD ?=??，即可得出．

【详解】解：如图所示，图1中，连接AC 与BD 相交于点O ，AC BD ⊥，

则112

OA OC AC ===， 图2中，OAC ?是等边三角形，OA BD ⊥，OC BD ⊥，OA OC O =，OA ?平面OAC ，OC ?平面OAC ，

BD ∴⊥平面OAC ，

∴三棱锥A BCD -的体积211331233OAC S BD ?=??=???=． 故选：A ．

【点睛】

本题考查了正方形与等边三角形的性质、线面垂直的判定定理、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

6.若双曲线的顶点为椭圆2222x y +=长轴的端点，且双曲线的离心率与该椭圆的离心率的积为1，则双曲线的方程是（ ）

A. 221x y -=

B. 221y x -=

C. 222y x -=

D.

222x y -=

【答案】C

【解析】

【解析】因为椭圆22

11,2y x e +==

，所以双曲线中2,a e c b ====，焦点在y 轴即双曲线的方程是22

2y x -= 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.

7.设点P 是曲线y ＝x 3

＋9上的任意一点，曲线在P 点处切线的倾斜角为α，则α的取值范围是( ) A. 50,,26πππ???????????? B. 23ππ??????， C. 2023πππ??

???????????

，， D. 526ππ?? ??

?

， 【答案】C

【解析】

【分析】

对函数求导得到y ′＝3x 2

－≥－，即tan α≥－，结合正切函数的性质得到α

∈[0，2π)∪[23

π，π). 【详解】因为y ′＝3x 2

tan αα∈[

)0π，，所以α∈[0，2π)∪[23

π，π)． 故答案为C.

【点睛】这个题目考查了导数的几何意义，导数在某点处的函数值即为曲线在该点处的切线的斜率值，即此点处切线的倾斜角的正切值，一般已知正切值或范围求角，需要结合正切函数的图像得到结果.

8.已知数列{}n a 中，111,1n n a a a n +==++，则数列{}n a n

的前n 项和为 （ ） A. 252

n n + B. 254n n + C. 232n n + D. 234n n + 【答案】D

【解析】

当1n =时，1111a S ==，将1n =代入四个选项可得四个选项的值分别为33,,2,12

，只有D 选项符合，故选D .

点睛：本题主要考查递推数列求通项进而求新构造数列前n 项和得问题，由于题目是选择题，可以考虑用特殊值法来解决，令1n =，前1项的和即111

a =，将1n =代入四个选项，仅有一个答案符合，由此判断出正确选项.在小题中，做题要小题小坐，用特殊值或者特例来解决，有时候可以节约大量事件.

9.设F 为抛物线C ：2

8y x =的焦点，过F 作倾斜角为30°的直线交C 于A 、B 两点，则AB =（ ） A. 323 B. 16 C. 32

D. 【答案】C

【解析】

【分析】

写出直线方程，联立抛物线方程消元，可根据弦长公式求出弦长.

【详解】由题意知2,0F （），AB

所在直线方程为tan 30(2)(2)3

y x x =?-=- ，联立28y x =

消元得2160y --=，设1122(,),(,)A x y B x y

，则121216y y y y +=?=-

，所以|32AB =，故选C.

【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，弦长公式，属于中档题.

10.已知定义在R 上函数()f x 的导函数为'()f x ，对任意x ∈R 满足'()()0f x f x +<，则

下列结论正确的是（ ）

A. 23(2)(3)e f e f >

B. 23(2)(3)e f e f <

C. 23(2)(3)e f e f ≥

D. 23

(2)(3)e f e f ≤ 【答案】A

【解析】 令()()x g x e f x = ，则()(()())0x g x e f x f x '+'=<，所以(2)(3),g g > 即

()()2323e f e f >，选A.

点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如()()f x f x '<构造()()x f x g x e

=，()()0f x f x '+<构造()()x g x e f x =，()()xf x f x '<构造()()f x g x x

=

，()()0xf x f x '+<构造()()g x xf x =等 11.已知球O 是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）A BCD -的外接球，3BC =

，AB =E 在线段BD 上，且6BD BE =，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（ ） A. 3[,4]4ππ B. 5[,4]4ππ C. 7[,4]4ππ D.

11[,4]4

ππ 【答案】B

【解析】

【分析】

先利用等边三角形中心的性质，结合勾股定理计算得球的半径，过E 的最大截面是经过球心的截面，可由球的半径计算得出.过E 最小的截面是和OE 垂直的截面，先计算得OE 的长度，利用勾股定理计算得这个截面圆的半径，由此计算得最小截面的面积.

【详解】画出图象如下图所示，其中O 是球心，'O 是等边三角形BCD 的中心.根据等边三角

形中心的性质有OB OD BC ===

3AO ='，设球的半径为R ，在三角形ODO '中，由勾股定理得222OO DO OD ''+=，即(

)2223R R -+=，解得2R =，故最大的截面面积为2π4πR =.在三角形BEO '中，11π,626BE BD EBO ∠'===，

由余弦定理

得11π7323cos 4262

O E =+'-??=.在三角形OO E '中，22112OE OO O E ''=+=

,过E 且垂直OE 的截面圆的半径222115444r R OE =-=-=，故最小的截面面积为25ππ4r =

.综上所述，本小题选B.

【点睛】本小题主要考查几何体外接球的问题，考查过一点球的截面面积的最大值和最小值问题，属于中档题.

12.设函数()(3)5,x f x x e tx t t R =--+∈.若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x >，则实数t 的

取值范围为（ ）

A. 2(,]32

e e -- B. 2(,)32e e -- C. 2(,]32e e - D.

2(,)32

e e - 【答案】A

【解析】 分析：函数()()35,x

f x x e tx t t R =--+∈.若存在唯一的整数0x ，使得()00f x >，

等价于()()>g x h x 有唯一整数，利用导数研究函数()()g 3x

x x e =-的单调性，结合函数图象与零点存在定理，列不等式组求解即可.

详解：设()()g 3x

x x e =-，()()5h x t x =-， 函数()()35,x

f x x e tx t t R =--+∈.若存在唯一的整数0x ，使得()00f x >， 等价于()()>

g x

h x 有唯一整数，

即在唯一的整数0x ，使得()()00g x h x >，

()()'2x g x x e =-，

由()'0g x >，得2x <，

由()0g x <，得2x >，

所以()g x 在(),2-∞上递增，在()2,+∞上递减，

只有一个整数0x ，()()00g x h x >，

()()()()()()222311243305g h e t g h e t g h t ??>>-??∴≤?≤-????≤≤-??

，得232e e e -<≤-， 即实数t 的取值范围为2,32e e ??-- ???

，故选A. 点睛：本题主要考查不等式有解问题以及方程根的个数问题，属于难题.不等式有解问题不能只局限于判别式是否为正，不但可以利用一元二次方程根的分布解题，还可以转化为()a f x ≤有解（max ()a f x ≤即可）或转化为()a f x ≥有解（min ()a f x ≥即可），也可以利用数形结合，根据零点存在定理列不等式（组）求解.

二、填空题

13.已知函数()f x 的导数为'()2f x x =，且1x =时，2y =，则这个函数的解析式为________．

【答案】

【解析】

解：因为函数()f x 的导数为2'()2()(1)12,1f x x f x x c f c c =∴=+=+==，因此可知解

析式为()f x ＝21x +

14.方程22

230x y x my m +-+--=表示圆C 中，则圆C 面积的最小值等于________.

【答案】3π

【解析】

【分析】 将圆方程化为标准式，得到()222

142344m R m m =++=++利用二次函数的最值得到半径，再计算面积得到答案.

【详解】()2

22222301424m m x y x my m x y m ??+-+--=∴+++=++ ??? ()222

142344m R m m =++=++ 当2m =-

23R ππ=

故答案为3π

【点睛】本题考查了圆面积的最值，意在考查学生的计算能力.

15.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且32n S n n =+，则56a a +=__________．

【答案】172

【解析】

5664216366416172a a S S +=-=+--=,故填172.

16.设,E F 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱DC 上两点，且2AB =，1EF =，给出下列四个命题：

①三棱锥11D B EF -的体积为定值； ②异面直线11D B 与EF 所成的角为45°； ③11D B ⊥平面1B EF ； ④直线11D B 与平面1B EF 所成的角为60°.

其中正确的命题为__________．

【答案】①②

【解析】

①:三角形1EFB 在平面11A B CD 内，1D 到平面11A B CD 的距离为定值，故11D B EF V -为定值，命

题正确. ②将EF平移到11

D C，由此可知异面直线

11

D B与EF所成的角为45°，命题正确.③由图可知命题显然不成立.④如图所示，连接1A D交1

AD于O，易得

1

D O⊥平面

11

A B CD，所以11

D B O

∠是所求线面角，由于1

11

1

2

OD

B D

=，故线面角大小为30.综上，正确命题为①②.

【点睛】本题主要考查空间点线面的位置关系，考查空间几何体的体积.第一个命题是关于三棱锥的体积，体积公式是底面积乘以高除以三，根据分析可知底面积一定，高也一定，故体积一定.第二个命题是异面直线所成的角，判断方法是利用平移将两条直线移到一起，然后解三角形得到.

三、解答题

17.等差数列{}n a的各项均为正数，11

a=,前n项和为

n

S．等比数列{}

n

b中，

1

1

b=，且22

6

b S=,

23

8

b S

+=．

（1）求数列{}n a与{}n b的通项公式；

（2）求

12

111

n

S S S

++?+．

【答案】（1）n a n

=，1

2n

n

b-

=；（2）

2

1

n

n+

【解析】

【分析】

（1）由题意,要求数列{}n a 与{}n b 的通项公式,只需求公差，公比,因此可将公差,公比分别设为d ，q ,然后根据等差数列的前项和公式,代入226b S =,238b S +=,求出d ，q 即可写出数列{}n a 与{}n b 的通项公式．

（2）由（1）可得()11212

n S n n n =++?+=+,即()121n s n n =+,而要求12111n S S S ++?+,故结合1n s 的特征可变形为11121n s n n ??=- ?+??

,代入化简即可． 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，d ＞0，{}n b 的等比为q

则1(1)n a n d =+- ,1n n b q -=,

依题意有()26338q d q d ?+=?++=?，解得12d q =??=?或439

d q ?=-???=?（舍去） 故1,2n n n a n b -==,

（2）由（1）可得()11212n S n n n =++?+=

+ ∴11121n s n n ??=- ?+??

∴1211111111212231n S S S n n ????????++?+=-+-+?+- ? ? ???+????

???? =122111n n n ?

?-

= ?++??． 【点睛】本题第一问主要考查了求数列的通项公式,较简单,只要能写出n S 的表达式,然后代入题中的条件正确计算即可得解,但要注意d ＞0．第二问考查了求数列的前n 项和，关键是要分

析数列通项的特征,将()121n s n n =+等价变形为11121n s n n ??=- ?+??

,然后代入计算，这也是求数列前n 项和的一种常用方法--裂项相消法！

18.已知正方体1111ABCD A B C D -，

（1）证明：1//D A 平面1C BD ；

（2）求异面直线1D A 与BD 所成的角．

【答案】（1）证明见解析；（2）

3π． 【解析】

【分析】

（1）证明11//D A C B ，再根据线面平行的判定定理即可证明结论；

（2）1C BD ∠即为异面直线1D A 与BD 所成的角，求出即可．

【详解】（1）证：在正方体1111ABCD A B C D -中， 11//AB C D ，且11AB C D =， ∴四边形11ABC D 为平行四边形， ∴11//D A C B ，

又∵1D A ?平面1C BD ，1C B ?平面1C BD ； ∴1//D A 平面1C BD ；

（2）解：∵11//D A C B ， ∴1C BD ∠即为异面直线1D A 与BD 所成的角， 设正方体1111ABCD A B C D -的边长为a ， 则易得112C B BD C D a ===， ∴1C BD ?为等边三角形， ∴13C BD π

∠=，

故异面直线1D A 与BD 所成的角为3

π． 【点睛】本题主要考查线面平行的判定与异面直线所成的角，属于基础题．

19.设函数()22ln f x x x a x =-+．

（Ⅰ）当4a =-时，求()f x 的极值； （Ⅱ）当12

a >时，判断()f x 的单调性. 【答案】（Ⅰ）极小值为

()24ln2f =-，无极大值；（Ⅱ）函数()f x 在()0,∞+上单调递增．

【解析】

【分析】 （Ⅰ）先求()f x 的导数，将4a =-时，代入()'f x ，结合导数正负求解原函数的极值即可； （Ⅱ）结合12

a >和二次函数性质判断导数正负，再判断()f x 单调区间即可 【详解】（Ⅰ）由已知，()f x 的定义域为()0,+∞，

()22a f x x x '=-+=222x x a x

-+， 当4a =-时，令()0f x '=，得22240x x --=．

又0x >，所以2x =，

当02x <<时，()0f x '<；

当2x >时，()0f x '>．

因此，当2x =时，()f x 有极小值，极小值为

()24ln2f =-，()f x 无极大值；

（Ⅱ）由已知，()f x 的定义域为()0,+∞， ()22a f x x x '=-+222x x a x

-+=， 令()()2220g x x x a x =-+>，

则()g x 在10,2?

? ???上递减，在1,2??+∞ ???

上递增，

因此，()g

x 有最小值1122g a ??=- ???． 当12a >时，102a ->，则()0f x '>， 此时，函数()f x 在()0,+∞上单调递增．

【点睛】本题考查根据导数求解函数极值，求解含参函数的单调性，属于中档题

20.如图1，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，12

AB BC AD ==，E 为AD 中点，O 是AC 与BE 的交点，将ABE ?沿BE 翻折到图2中1A BE ?的位置得到四棱锥1A BCDE -．

（1）求证：1CD A C ⊥

（2）若12,32

A C A

B BE AB ==，求二面角1B A E D --的余弦值． 【答案】（1）见解析 （2）21 【解析】

【分析】

（1）先证明1CD A OC ⊥面，即可证明1CD A C ⊥；

（2）利用空间向量的运算，先建立空间直角坐标系，再利用空间向量的夹角公式运算即可得解.

【详解】解：（1）由图1可知，四边形ABCE 为菱形，

则AC BE =，

则在图（2）中，1,BE A O BE CO ⊥⊥，

所以1BE A OC ⊥面，

又BE CD ∥，

所以1CD A OC ⊥面，

又1A C ?面1A OC

故1CD A C ⊥；

（2

）因为BE =，所以23π∠=BAE ， 设AB=2,则11A O OC ==,

又

1A C AB =所以12A OC π∠= 建立如图所示的空间直角坐标系，

则(0,0,0)O

，B ，(0,1,0)C ，1(0,0,1)A

，(E

,(D -，

则(ED =- ,1(3,0,1)EA = 则面1A EB 的法向量为1(0,1,0)n =， 设面1A ED 的法向量为2(,,)n x y z =，

则22100n ED n EA ??=???=?? ,

则00

y z ?+=?+=， 令1x =,

则3,y z ==则2(1,3,3)n =-，

所以cos 12,n n ??=12

12n

n n n

?

=7, 又由图可知二面角1B A E D --为钝二面角， 故二面角1

B A E D --的余弦值为7-.

【点睛】本题考查了线线垂直的判定及利用空间向量求二面角的平面角的大小，属中档题.

21.已知抛物线2:2E y px =的焦点F 恰好是椭圆22

:22C x y +=的右焦点.

（1）求实数p 的值及抛物线E 的准线方程；

（2）过点F 任作两条互相垂直的直线分别交抛物线E 于A 、B 和M 、N 点，求两条弦的弦长之和AB MN +的最小值．

【答案】（1）2p =，1x =-；（2）最小值为16

【解析】

【分析】

（1）根据椭圆方程C:2222x y +=求出右焦点()1,0,即为抛物线的焦点,根据抛物线的焦点坐标与P 的关系式即可求出P ,最后得抛物线的准线方程2

P x =-. （2）根据题意设AB 、 MN 的直线方程,将直线AB 代入抛物线中,消y 得

()

2222220k x k x k -++=,根据韦达韦达定理求得AB ,同理求得MN ,将AB +MN 用基本不等式不等式即可求出最小值. 【详解】（1）由已知椭圆C 整理得2

212

x y +=2,1,1a b c ?===,

所以焦点F 的坐标为()1,0, 所以2p =

所以抛物线E 的准线方程为：1x =-

（2）由题意知两条直线的斜率存在且不为零

设直线AB 的斜率为k ,方程为()1y k x =-,

则MN 的斜率为1k -,方程为()11y x k

=-- 设()11,A x y 、()22,B x y ,由()214y k x y x ?=-?

=?得()2222220k x k x k -++= 因为>0?,所以122

42x x k +=+,121=x x , 所以122424AB x x k =++=+同理得2244441MN k k =+=+??- ???,

所以22184816AB MN k k ??+=++

≥+= ??? 当且仅当221k k

=即1k =±时取“等号”,所以两条弦的弦长之和AB MN +的最小值为16 【点睛】本题考查抛物线及其标准方程的求法和抛物线的几何性质中的定点定值问题,根据垂直问题设斜率可以减少变量,从而方便求极值.

22.已知函数()x

f x e ex =-，()2

g x ax a =+，其中e 为自然对数的底数，a R ∈.

（1）求证：()0f x ≥；

（2）若对于任意x ∈R ，(21)(())3()x f x ex ax g x -+≥-恒成立，求a 的取值范围；

（3）若存在0x R ∈，使00()()f x g x =，求a 的取值范围.

【答案】（1）证明见解析；

（2）321,4e ??????； （3）2

e a <-

或0a ≥. 【解析】

【分析】 （1）对利用导数研究函数的单调性及最小值，进而证明不等式；

（2）由题意得(21)x

x e ax a -≥-，对1x -分成1,1,1x x x <=>三种情况讨论，进而利用参变分离，构造新函数，利用导数研究新函数最值，从而得到a 的取值范围；

（3）设()2x F x e ex ax a =---，题设等价于函数()F x 有零点时的a 的取值范围，先对函

数进行求导得()2x F x e e a '=--，再对a 分成,,222

e

e e a a a <-=->-三种情况进行研究函数的零点.

【详解】解：（1）令()0x

f x e e '=-=，得1x =，

当1x <时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '<，

所以函数()f x 在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，

所以函数()f x 在1x =处取得最小值，因为(1)0f =，

所以()0f x ≥.

（2）由题意，得(21)x x e ax a -≥-，

当1x =，不等式显然成立，此时a R ∈； 当1x >时，(21)1x e x a x -≤-，所以min (21)()1

x e x a x -≤-， 当1x <时，(21)1x e x a x -≥-，所以max (21)()1

x e x a x -≥-， 记(21)()1x e x g x x -=-，()222e 23e (21)(1)e (21)()(1)(1)

x x x x x x x x g x x x -+---'==--， ∴()g x 在区间(,0)-∞和3,2??+∞ ???

上为增函数，(0,1)和31,2?? ???上为减函数. ∴当1x >时，i 32m n 4(21)()1

x e x a x e -≤=-， 当1x <时，max (21)()11

x e x a x -≥=-， 综上所述a 的取值范围为321,4e ??????

. （3）设()2x

F x e ex ax a =---，题设等价于函数()F x 有零点时的a 的取值范围. ()2x F x e e a '=-- 当2

e a <-，20e a +<，()(2)0x F x e e a '=-+>恒成立，

所以()F x 在(,)-∞+∞单调递增，

(0)10F a =->，

若0x <，则()(21)1(21)x F x e ex a x ex a x =--+<--+， 只需12a x e a

-<+，则1(21)1(2)0ex a x a e a x --+=--+<，则()0F x <， 所以()F x 有零点. 当2e a =-时，()02

x e F x e =+>，对(,)x ∈-∞+∞恒成立， 所以()F x 无零点，不成立. 当2

e a >-时，()20x F x e e a '=--=，得ln(2)x e a =+， 则(,ln(2))x e a ∈-∞+时()0F x '<，所以()F x 在(,ln(2))e a -∞+单调递减；

(ln(2),)x e a ∈++∞时()0F x '>，所以()F x 在在(ln(2),)e a ++∞单调递增，

所以min ()(ln(2))(2)(1ln(2))F x F e a e a e a a =+=+-+-，

①0a >时，ln(2)1e a +>，min ()(2)(1ln(2))0F x e a e a a =+-+-<，

又1

(1)0F e e a --=++>，

所以()F x 有零点；

②0a =时，ln(2)1e a +=，min ()(1)0F x F ==

所以()F x 有零点； ③02

e a -<<时，20e a +>，ln(2)1e a +<， 所以()F x 无零点，不成立.

综上，a 的取值范围是2

e a <-或0a ≥. 【点睛】本题考查利用导数证明不等式、不等式恒成立问题、函数的零点，考查函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化与化归思想的综合运用，在求解过程中反复运用

零点存在性定理，既要考虑函数的单调性又要考虑区间端点函数值的正负.

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