《概率论与数理统计》第三版 - 王松桂 - 科学出版社 - 课后习题

第一章 事件与概率

1．写出下列随机试验的样本空间。

（1）记录一个班级一次概率统计考试的平均分数（设以百分制记分）。 （2）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。

（3）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数。 （4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。

（5）在单位正方形内任意取一点，记录它的坐标。 （6）实测某种型号灯泡的寿命。

i??{i?0,1,?,100n},n 解 （1）其中n为班级人数。

（2）??{3,4,?,18}。 （3）??{10,11,?}。

（4）??{00，100，0100，0101，0110，1100，1010，1011，0111，1101，0111，1111}，其中0表示次品，1表示正品。 （5）??{(x,y)? 0

（6）??{ t? t ? 0}。

2．设A，B，C为三事件，用A，B，C的运算关系表示下列各事件，。

（1）A发生，B与C不发生。

（2）A与B都发生，而C不发生。 （3）A，B，C中至少有一个发生。 （4）A，B，C都发生。 （5）A，B，C都不发生。

（6）A，B，C中不多于一个发生。 （7）A，B，C至少有一个不发生。 （8）A，B，C中至少有两个发生。

解 （1）ABC，（2）ABC，（3）A?B?C，（4）ABC，（5）ABC，

（6）AB?AC?BC或ABC?ABC?ABC?ABC，

（7）A?B?C，

1

（8）AB?AC?BC或ABC?ABC?ABC?ABC 3．指出下列命题中哪些成立，哪些不成立，并作图说明。 （1）A?B?AB?B （2）AB?AB

（3）若B?A,则B?AB （4）若 A?B,则B?A

（5）A?BC?ABC （6） 若AB??且C?A， 则BC?? 解 : (1) 成立，因为AB?B?(A?B)(B?B)?A?B。

(2) 不成立，因为AB?A?B?AB。

(3) 成立，?B?A,?B?AB,又AB?B,?B?AB。

(4) 成立。

(5) 不成立，因左边包含事件C，右边不包含事件C，所以不成立。

(6) 成立。因若BC≠φ，则因C?A，必有BC?AB，所以AB≠φ与已知矛盾，

所以成立。

图略。

4．简化下列各式：

（1） (A?B)(B?C) （2）(A?B)(A?B) （3）(A?B)(A?B)(A?B)

解:（1）(A?B)(B?C)?AB?AC?B?BC，因为 AB?BC?B，

所以，(A?B)(B?C)?B?AC。

（2）(A?B)(A?B)?A?AB?BA?BB，

因为 AB?BA?A??A，

BB??且C???C，所以 (A?B)(A?B)?A。

（3）(A?B)(A?B)(A?B)?A(A?B)???AB?AB。 5．设A，B，C是三

11P(AB)?P(BC)?0,P(AC)?,8求A，事件，且P（A）＝P（B）＝ P（C）＝4，

B，C至少有一个发生的概率。

解 ∵ABC?AB ∴0∠P(ABC)∠P(AB)=0，故P(ABC)=0 ∴所求概率为

2

P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)

11117???0??0?0?44288

6． 从1、2、3、4、5这5个数中，任取其三，构成一个三位数。试求下列事件的概率：

（1）三位数是奇数； （2）三位数为5的倍数； （3）三位数为3的倍数； （4）三位数小于350。 解 设A表示事件“三位数是奇数”， B表示事件“三位数为5的倍数”， C表示事件“三位数为3的倍数”，D表示事件“三位数小于350”。

3V?A?5基本事件总数为 ，

(1)

VA?A?3,242A4?336P(A)???0.6360A5； 2A4?112P(B)???0.2360A5；

(2)

VB?A?1,24(3)

VC?4?3!,P(A)?4?3!24??0.4360A5；

211A4?2?A3?A333P(D)???0.55360A5。

(4)

VD?A?2?A?A,2413137．某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶、红漆3桶，在搬运中所有标签脱落，交贷人随意将这些油漆发给顾客。问一个定货4桶白漆、3桶黑漆和2桶红漆的顾客，能按所定颜色如数得到定货的概率是多少？

9C17解 随机试验E为任意取9桶交与定货人，共有种交货方式。其中符合定货要求的

423CCC1034有··种，故所求概率为

432C10C4C3252P??92431 C178．在1700个产品中有500个次品、1200个正品。任取200个。（1）求恰有90个次品

的概率；（2）求至少有2个次品的概率。

200C1700解 （1）试验E为1700个产品中任取200个，共有种取法，其中恰有90个次品

90110CC5001200的取法为·，故恰有90个次品的概率为

90110C500?C1200P1?200C1700

3

（2）设事件A表示至少有2个次品，B表示恰有1个次品，C表示没有次品，则A=S-(B∪C)，且BC=φ，B∪C?S

1199200C500?C1200?C1200?1?200C1700∴P(A)=P[S-(B∪C)]=P(S)-[P(B)+P(C)]

9．把10本书任意地放在书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率。 解 VΩ=P10=10！，设所论事件为A，则

VA=8！×3！

?P(A)?8!?3!?0.06710!

10．从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率是多

少？

解 VΩ=C10，设A 表示事件“4只鞋中至少有2只配成一双”，则 A 表示“4只鞋中

4

没有2只能配成一双”。先求出P(A )，再求P(A)。

10?8?6?44!有利于 A 的情形共有 种（因为不考虑取4只鞋的次序，所以被4！

除）。

?10?8?6?484!P(A)??0.381P(A)?1?P(A)?1?8?13?0.6194C10212121 故

1222) 另一解法：有利于事件A的总数为C5C8?C5(C5是重复的数目12C5C8?C5213P(A)???0.6194C1021

?11．将3鸡蛋随机地打入5个杯子中去，求杯子中鸡蛋的最大个数分别为1，2，3的概

率。

解 依题意知样本点总数为53个。

以Ai(i=1, 2, 3)表示事件“杯子中鸡蛋的最大个数为i”，则A1表示每杯最多放一只鸡蛋，共有A5种放法，故

3A512P(A1)?3?25 534

A2表示由3个鸡蛋中任取2个放入5个杯中的任一个中，其余一个鸡蛋放入其余4个杯子中，放法总数为C3C5C4种

11C32?C5?C412P(A2)??25 532111C5种放法，故 A3表示3个鸡蛋放入同一个杯中，共有1C51P(A3)?3?25 5

12．把长度为a的线段在任意二点折断成为三线段，求它们可以构成一个三角形的概率。 解 设所论事件为A，线段a被分成的三段长度分别用x，y和a-x-y表示，则样本

a2L(?)?,2 而有利于A的情形必须空间Ω为：0＜x＜a，0＜y＜a，0＜x+y＜a，其面积为

满足构成三角形的条件，即

0?x?a,20?y?a,2a?x?y?a.2

1aL(A)?()2,22 其面积为

?1a2()L(A)221P(A)????0.2512L(?)4a2 。

13．甲乙两艘轮船要在一个不能同时停泊两艘轮船的码头停泊，它们在一昼夜内到达的

时刻是等可能的。若甲船的停泊时间是一小时，乙船的停泊时间是两小时，求它们中任何一艘都不需等候码头空出的概率。

解 设自当天0时算起，甲乙两船到达码头的时刻分别为x及y，则Ω为：0≤x≤24，0≤y≤24，∴L(Ω)=242，设所论事件为A，则有利于A的情形分别为：

（1）当甲船先到时，乙船应迟来一小时以上， 即y-x≥1或y≥1+x；

（2）当乙船先到时，甲船应迟来两小时以上， 即x-y≥2或y≤x-2；

∴事件A应满足关系：y≥1+x，y≤x-2，

5

L(A)

?11(24?1)2?(24?2)222

?1(232?222)L(A)2P(A)???0.8792L(?)24。

111,P(BA)?,P(AB)?,432 求P(B),P(A?B)。

111??3412

14．已知

P(A)?解 由乘法公式知

P(AB)?P(B|A)P(A)?P(AB)?P(A|B)P(B)

P(B)?∴

P(AB)1/121??P(A|B)1/26

1111???46123

∴

P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?

15．已知在10只晶体管中有2只次品，在其中取两次，每次任取一只，作不放回抽样。求下列事件的概率。

（1）两只都是正品；（2）两只都是次品；（3）一只是正品，一只是次品； （4）第二次取出的是次品。

解 设以Ai(i=1,2)表示事件“第i次取出的是正品“，因为不放回抽样，故

（1）

P(A1A2)?P(A1)P(A2|A1)?8728??10945 211??10945

（2）

P(A1A2)?P(A1)P(A2|A1)?（3）

P(A1A2?A1A2)?P(A1A2)?P(A1A2)

?P(A1)P(A2|A1)?P(A1)P(A2|A1)?822816????10910945

6

（4）

做钢筋混凝土构件以前，通过拉伸试验，抽样检查钢筋的强度指标，今有一组A3钢筋100根，次品率为2%，任取3根做拉伸试验，如果3根都是合格品的概率大于0．95，认为这组钢筋可用于做构件，否则作为废品处理，问这组钢筋能否用于做构件？

解 设Ai表示事件“第i次取出的钢筋是合格品”，则

P(A2)?P(A1A2?A1A2)?P(A1A2)?P(A1A2)?82219????1091094516．在

P(A1)?98,100P(A2A1)?97,99P(A3A1A2)?9698

所以 P(A1A2A3)?P(A1)P(A2A1)P(A3A1A2)?0.9406?0.95

故这组钢筋不能用于做构件。

17．某人忘记了密码锁的最后－个数字，他随意地拨数，求他拨数不超过三次而打开锁的概率。若已知最后一个数字是偶数，那么此概率是多少？

解 设以Ai表示事件“第i次打开锁”（i=1,2,3），A表示“不超过三次打开”，则有

A?A1?A1A2?A1A2A3

易知：A1,A1A2,A1A2A3是互不相容的。

P(A)?P(A1?A1A2?A1A2A3)?P(A1)?P(A1A2)?P(A1A2A3)?P(A1)?P(A1)P(A2|A1)?P(A1)P(A2|A1)P(A3)|A1A2)∴

?1919813??????10109109810

同理，当已知最后一个数字是偶数时，所求概率是

P?1414313??????5545435

18．袋中有8个球，6个是白球、2个是红球。 8个人依次从袋中各取一球，每人取一球后不再放回袋中。问第一人，第二人，??，最后一人取得红球的概率各是多少个。

解 设以Ai(i=1,2,?8)表示事件“第i个人取到的是红球”。则又因A2=A1A2?A1A2，由概率的全概公式得

P(A1)?14

P(A2)?P(A1A2)?P(A1A2)?P(A1)?P(A2|A1)?P(A1)?P(A2|A1)?类似地有

7

62211????87874

P(Ai)?1(i?3,4,?,8)4

19．设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知两件中有一件是不合格品，

问另一件也是不合格品的概率是多少？

解 设A，B分别表示取出的第一件和第二件为正品，则所求概率为

2A4P(AB)P(AB)P(ABA?B)???2P(A?B)1?P(AB)A102A61(1?2)?5 A1020．对某种水泥进行强度试验，已知该水泥达到500#的概率为0．9，达到600#的概率

为0.3，现取一水泥块进行试验，已达到500#标准而未破坏，求其为600#的概率。

解 设A表示事件“水泥达到500#”， B表示事件“水泥达到600#”。

则 P(A)=0.9, P(B)=0.3, 又 B?A ,即P(AB)=0.3,所以

P(BA)?P(AB)P(A)?0.30.9?13。

21．以A，B分别表示某城市的甲、乙两个区在某一年内出现的停水事件，据记载知 P（A）＝0.35，P（B）＝0.30，并知条件概率为P（A?B）＝0.15，试求： （1）两个区同时发生停止供水事件的概率；

（2） 两个区至少有一个区发生停水事件的概率。

解 （1） 由题设，所求概率为 P(AB)?P(B)P(AB)?0.3?0.15?0.045； （2） 所求概率为

P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?0.35?0.30?0.045?0.605。 22．设有甲、乙两袋，甲袋中装有n只白球、，m只红球；乙袋中装有N只白球、M只红球，今从甲袋中任意取一只球放人乙袋中，再从乙袋中任意取－只球。问取到白球的概率是多少？

解

设A1、A2分别表示从甲、乙袋中取到白球，则

P(A1)?nn?m

P(A1)?mn?m

P(A2|A1)?N?1N?M?1

P(A2|A1)?NN?M?1

由全概率公式

8

P(A2)?P(A2|A1)P(A1)?P(A2|A1)P(A1)N?1nNm???N?M?1n?mN?M?1m?nmN?n(N?1)?(N?M?1)(n?m) ?23．盒中放有12只乒乓球，其中有9只是新的。第一次比赛时从其中任取3只来用，

比赛后仍放回盒中。第二次比赛时再从盒中任取3只，求第二次取出的球都是新球的概率。

解 设Bi(i?0,1,2,3)表示事件“第一次比赛时用了i个新球”，用A表示事件“第二次比赛时取出的球都是新球”。则有

i3?iC9C3P(Bi)?,3C123

3C9?iP(ABi)?3C12。

i3?i3C9C3C9?i441P(A)??P(Bi)P(ABi)????0.416323025(C12)i?0由全概公式有 。

24． 将两信息分别编码为A和B传递出去，接收站收到时，A被误收作B的概率为

0．02．而B被误收作A的概率为0．01．信息A与信息B传送的频繁程度为2：l．若接收站收到的信息是A，问原发信息是A的概率是多少？

解 设事件H表示原发信息为A，C表示收到信息为A，则H表示原发信息是B。H，

H是S的一个划分。依题意有

P(H)?由贝叶斯公式有

21,P(H)?,P(C|H)?0.98,P(C|H)?0.0133

P(H|C)?P(H|C)P(H)?P(C|H)P(H)?P(C|H)P(H)0.98?0.98?2321?0.01?33?196197

25．甲、乙、丙三组工人加工同样的零件，它们出现废品的概率：甲组是0.01，乙组是0.02，丙组是0.03，它们加工完的零件放在同一个盒子里，其中甲组加工的零件是乙组加工的2倍，丙组加工的是乙组加工的一半，从盒中任取一个零件是废品，求它不是乙组加工的概率。

解 设A1,A2,A3分别表示事件“零件是甲、乙、丙加工的”，B表示事件“加工的零件是废品”。

则

9

P(BA1)?0.01,P(BA2)?0.02,P(BA3)?0.03

P(A1)?4,7P(A2)?2,7P(A3)?17

P(A2B)?P(A2)P(BA2)P(B)?2?0.02/70.044??(4?0.01?2?0.02?1?0.03)/70.04?0.04?0.0311

47?1111。

所以

P(A2B)?1?P(A2B)?1?26．有两箱同种类的零件。第一箱装50只，其中10只一等品；第二箱装30只，其中18只一等品。今从两箱中任挑出一箱，然后从该箱中取零件两次，每次任取一只，作不放回抽样。试求（1）第一次取到的零件是一等品的概率。（2）第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的也是一等品的概率。

解 设事件A表示“取到第一箱”，则A表示“取到第二箱”，B1，B2分别表示第一、二次取到一等品。

（1）依题意有：

P(A)?P(A)?由全概率公式

1011183P(B1|A)??P(B1|A)??505，2，305

P(B1)?P(B1|A)P(A)?P(B|A)P(A)?11312????52525

（2）

P(B1B2|A)?18?1710?9P(B1B2|A)?50?49 30?29

由全概率公式

P(B1B2)?P(B1B2|A)P(A)?P(B1B2|A)P(A)?913?171???5?4925?292

∴

P(B2|B1)?P(B1B2)?93?17?12?????/?0.4856P(B1)?5?495?29?25

27．设有四张卡片分别标以数字1，2，3．4．今任取一张．设事件A为取到4或2，

事件B为取到4或3，事件C为取到4或1，试验证

P（AB）＝P（A）P（B）， P（BC）＝P（B）P（C）， P（CA）＝P（C）P（A〕， P（ABC）?P〔A〕P（B）P（C）。

证 样本空间?中有4个样本点，而A、B、C中均含有2个样本点，故

P(A)?P(B)?P(C)?21?42

10

又AB、AC、BC中均含有1个样本点“取到4”

故

P(AB)?P(AC)?P(BC)?14

14

∴

P(AB)?P(A)P(B)?同理 P(AC)=P(A)P(C) P(BC)=P(B)P(C) 又ABC中有1个样本点取到4

∴

P(ABC)?11??P(A)?P(B)?P(C)48

28．假设B1,B2关于条件A与A都相互独立，求证

P(AB1B2)?证

P(AB1)P(B2A)P(AB1)P(B2A)?P(AB1)P(B2A)

由B1,B2关于条件A与A是相互独立的，故有

，以及

P(B1B2A)?P(B1A)?P(B2A),P(B1B2A)?P(B1A)?P(B2A)P(A)P(B1A)?P(AB1)?P(B1)P(AB1)，从而 P(AB1B2)???P(A)P(B1A)P(B2A)P(A)P(B1A)P(B2A)?P(A)P(B1A)P(B2A)P(B1)P(AB1)P(B2A)P(B1)P(AB1)P(B2A)?P(B1)P(AB1)P(B2A)P(AB1)P(B2A)P(AB)P(BA)?P(AB)P(BA)1212

29．如果一危险情况C发生时，一电路闭合并发出警报，我们可以借用两个或多个开关井联以改善可靠性，在C发生时这些开关每一个都应闭合，且若至少一个开关闭合了，警报就发出，如果两个这样的开关并联联接，它们每个具有0．96的可靠性（即在情况C发生时闭合的概率），问这时系统的可靠性（即电路闭合的概率）是多少？如果需要有一个可靠性至少为0．9999的系统，则至少需要用多少只开关并联？这里设各开关闭合与否都是相互独立的。

解 设n只开关并联，以 Ai表示事件“在C发生时，第i只开关闭合“，则由已知条件诸Ai相互独立，且P(Ai)=0.96，从而知，当n=2时，系统的可靠性为

11

P(A1?A2)?1?P(A1A2)?1?P(A1)P(A2)?1?(1?0.96)2?0.9984又若使系统可靠性至少为0.9999，则必须

nnn

0.9999?P(?Ai)?1?P(?Ai)?1?P(?Ai)?1?[P(Ai)]n?1?(0.04)ni?1i?1i?1

n?lg即

(1?0.9999)?2.86lg0.04

故至少需用3只开关才能使系统的可靠性至少为0.9999。

30．甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人中的概率分别为0.4，0.5，0.7．飞机被

一人击中而被击落的概率为0.2，被两人击中而被击落的概率为0.6，若三人都击中，飞机必定被击落。求飞机被击落的概率。

解 设A1,A2,A3分别表示甲、乙、丙击中飞机，Bi(i?0,1,2,3)表示有i个人击中飞机，H表示飞机被击落。

则A1,A2,A3独立，且

B0?A1A2A3,B1?A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3B3?A1A2A3

B2?A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3,于是 P(B0)?(1?0.4)(1?0.5)(1?0.7)?0.09

P(B1)?0.4?0.5?0.3?0.6?0.5?0.3?0.6?0.5?0.7?0.36 P(B2)?0.4?0.5?0.3?0.4?0.5?0.7?0.6?0.5?0.7?0.41

P(B3)?0.4?0.5?0.7?0.14

依题意有：

P(HB0)?0,P(HB1)?0.2,P(HB2)?0.6,P(HB3)?1

于是，由全概公式有

P(H)?0.09?0?0.36?0.2?0.41?0.6?0.14?1?0.458。

31．在装有6个白球，8个红球和3个黑球的口袋中，有放回地从中任取5次，每次取出一个。试求恰有3次取到非白球的概率。

解 由题设知，取一个非白球的概率 p=11/17，于是

3b(3;5,11/17)?C5(11/17)3(6/17)2?0.3375。

12

4 若视 11/17?0.65，则可查表得 b(3;5,11/17)?b(3;5,0.65)?0.336。

32．电灯泡使用时数在1000小时以上的概率为0.2，求三个灯泡在使用1000小时后最

多只有一只坏了的概率。

解 设A表示事件“一个灯泡可使用1000小时以上”，则A的概率为p=0.2,q=0.8。 考察三个灯泡可视为n=3 的贝努利试验，于是所求概率为

P?C3pq?C3pq?(0.2)?3?(0.2)?0.8?0.104。

33．某地区一年内发生洪水的概率为0.2，如果每年发生洪水是相互独立的，试求：

（1） 洪水十年一遇的概率；

（2） 至少要多少年才能以99%以上的概率保证至少有一年发生洪水。 解 这是贝努利概型， p=0.2.

(1) n=10,设A表示事件“洪水十年一遇”，则

199P(A)?Cp(1?p)?10?0.2?(0.8)?0.2684 10

3302232n1?(0.8)?0.99 成立，解此不等式得 n?21， （2）由题设，即要

即至少要21年才能以99%以上的概率保证至少有一年发生洪水。

34． 在打桩施工中，断桩是常见的，经统计，甲组断桩的概率为3%，乙组断桩的概

率为1.2%。某工地准备打15根桩，甲组打5根，乙组打10根，问：

（1） 产生断桩的概率是多少？ （2） 甲组断两根的概率是多少？ 解 设A表示事件“所打桩是甲组的”，B表示事件“所打桩是乙组的”， C表示事件“在打桩施工中产生断桩”。

,P(A)?5/15,P(B)?10/15。 则 P(CA)?0.03,P(CB)?0.012（1） 由全概公式有 P(C)?P(A)P(CA)?P(B)P(CB)?0.018； （2） 是贝努利概型，这里p?P(CA)?0.03,n?5，于是所求概率为 P?C5p(1?p)?10?(0.3)?(0.97)?0.0082。 35． 某养鸡场一天孵出n只小鸡的概率为

22323

?apn?Pn??ap1??1?p?n?1,n?0.

0?p?1,0?a? 其中

1?pp,若认为孵出一只公鸡和一只母鸡是等可能的,求证:一天

13

2aPkk?1孵出k只母鸡的概率(2?p),又已知一天已孵出母鸡,问还能孵出一只公鸡的概率是多

少?

证 小鸡”，

k1k1n?kk1nP(AkBn)?Cn()()?Cn()BP(B)?P222。 nn，则n是互不相容事件，且

设Ak是表示事件“一天中孵出k只母鸡”，Bn是表示事件“一天中孵出n只

（1）k?1

k1nP(Ak)??P(Bn)P(AkBn)??apnCn()2n?kn?k??1k1?n!pn?k1k11(k)?a()()?a()()?2k!n?k(n?k)!22k!1?x111?a()k2k!(1?x)k?1x?p2x?p2

2apk?(2?p)k?1

（2）某天已孵出一只母鸡，即A1发生，在此条件下还孵出一只公鸡，即B2发生，因此所求概率为

1122C2()apP(A1B2)P(B2)p(2?p)22P(B2A1)???2apP(A1)4(2?p)2

第二章 随机变量

2.1 X P

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

1/36 1/18 1/12 1/9

??5/36 1/6 5/36 1/9 1/12 1/18 1/36

2.2解：根据

?P(X?k)?1，得?aek?0k?0?kae?1?1。 ?1，即?11?e 故 a?e?1

14

2.3解：用X表示甲在两次投篮中所投中的次数，X~B(2,0.7) 用Y表示乙在两次投篮中所投中的次数, Y~B(2,0.4) (1) 两人投中的次数相同

P{X=Y}= P{X=0,Y=0}+ P{X=1,Y=1} +P{X=2,Y=2}=

020211112020C20.70.3?C20.40.6?C20.70.3?C20.40.6?C20.70.3?C20.40.6?0.3124001122(2)甲比乙投中的次数多

P{X>Y}= P{X=1,Y=0}+ P{X=2,Y=0} +P{X=2,Y=1}=

1102200220110.70.3?0.40.6?0.70.3?0.40.6?0.70.3?0.40.6?0.5628C2C2C2C2C2C21020212.4 解:（1）P{1≤X≤3}= P{X=1}+ P{X=2}+ P{X=3}=

1232??? 1515155(2) P{0.5

121?? 1515511k[1?()]11114?1 (3) 2.5解：（1）P{X=2,4,6,…}=2?4?6??2k=lim4k??1222231?4（2）P{X≥3}=1―P{X<3}=1―P{X=1}- P{X=2}=1?111?? 2442.6解：(1)设X表示4次独立试验中A发生的次数，则X~B(4,0.4)

P(X?3)?P(X?3)?P(X?4)?C40.430.61?C40.440.60?0.1792

(2)设Y表示5次独立试验中A发生的次数，则Y~B(5,0.4)

P(X?3)?P(X?3)?P(X?4)?P(X?5)?C50.430.62?C50.440.61?C50.450.60?0.31744

345342.7 （1）X～P(λ)=P(0.5×3)= P(1.5)

1.50?1.5?1.5e=e P{X?0}?0!（2）X～P(λ)=P(0.5×4)= P(2)

15

（2）

P{Y?1}?P{X??1}?P{X?1}?0.3?0.5?0.8 P{Y?2}?P{X?2}?0.2

Y

1 0.8

2 0.2

qi

1?x22.22?X~N(0,1)?fX(x)?e

2?（1）设FY(y)，fY(y)分别为随机变量Y的分布函数和概率密度函数，则

x222FY(y)?P{Y?y}?P{2X?1?y}?P{X?y?1}??2y?12)?22(y?12??1e2??dx

1对FY(y)求关于y的导数，得fY(y)?e2?(y?1)?y?11()??e8 y?(??,?) 222?2（2）设FY(y)，fY(y)分别为随机变量Y的分布函数和概率密度函数，则 当y?0时，FY(y)?P{Y?y}?P{e?X?y}?P{?}?0 当y?0时，有

FY(y)?P{Y?y}?P{e?X?y}?P{?X?lny}?P{X??lny}??对FY(y)求关于y的导数，得

??lny1e2??x22dx

21

(lny)?1?(?lny)y>0?122??e(?lny)?e?fY(y)??2?2?y

?y?0?022（3）设FY(y)，fY(y)分别为随机变量Y的分布函数和概率密度函数，则 当y?0时，FY(y)?P{Y?y}?P{X2?y}?P{?}?0

当y>0时，FY(y)?P{Y?y}?P{X2?y}?P{?y?X?y}??y?y1?x2edx 2?2对FY(y)求关于y的导数，得

?1?(e?fY(y)??2???0y)221?(y)??e2?(?y)22(lny)?1(?y)??e2 2?y2y>0y?0

?1?2.23 ∵X~N(0,1)∴fX(x)???

??0（1）

当2ln??y??时

FY(y)?P{Y?y}?P{2lnX?y}?P{lnX2?y}?P{?}?0 当???y?2ln?时yFY(y)?P{Y?y}?P{2lnX?y}?P{lnX2?y}?P{X2?ey}?P{X?ey}??e210?dx

22

yy???y?2ln??1212?e?(e)?对FY(y)求关于y的导数，得到fY(y)??? 2?

?02ln??y???（2）

当y?1或 y?-1时，FY(y)?P{Y?y}?P{cosX?y}?P{?}?0

当?1?y?1时,FY(y)?P{Y?y}?P{cosX?y}?P{X?arccosy}??对FY(y)求关于y的导数，得到

?1arccosy?dx

1?1?1?y?1??(arccosy)??fY(y)??? ?1?y2

?0其它?（3）当y?1或 y?0时FY(y)?P{Y?y}?P{sinX?y}?P{?}?0

当0?y?1时，

FY(y)?P{Y?y}?P{sinX?y}?P{0?X?arcsiny}?P{??arcsiny?X??}??arcsiny10?dx???1??arcsiny?dx

对FY(y)求关于y的导数，得到

12?10?y?1??arcsiny?(??arcsiny)???fY(y)??? ?1?y2 ?0其它?第三章 随机向量

3.1 P{1

3 12823

Y X 2 1 2 0 ccc345222=3 53 ccc53232= 4510 3.4（1）a=

1 9（2）

5 1211?y1?y1111(6?x?y)dx??[(6?y)x?x2]|dy （3）P{(X,Y)?D}??dy?000990211121113111882??(y?6y?5)dy?(y?3y?5y)|??? 9022962093273.5解：（1）

F(x,y)??y0?x02e?(2u?v)yxdudv??edv?2e?2udu?(?e?v|0)(?e?2u|0)?(1?e?y)(1?e?2x)00y?vx,x>o,Y>0;F(x,y)=0,其他 （2）

P(Y?X)??x0??0x2e?(2x?y)dxdy??2e?2xdx?e?vdy??2e?2x(?e?y|0)dx000?x???2?3x?21??2e?2x(1?e?x)dx??(2e?2x?2e?3x)dx?(?e?2x|?)?e|?1?? 00003333.6解：P(x2?y2?a2)?2?a1r?d?dr 22222????00?(1?x?y)?(1?r)x2?y2?a2??d??02?a0a11111a22 d(1?r)???2???1??222|022?(1?r)?2(1?r)1?a1?a24

3.7参见课本后面P227的答案

13.8 fX(x)??0323y31xf(x,y)dy??xydy?x|?

02230212fy(y)??f(x,y)dx??02032312xydx?y2x2|?3y2 2220?x0?x?2?3y20?y?1?,fX(x)??2 fY(y)??

0其它???0,其它3.9解：X的边缘概率密度函数fX(x)为： (1)当x?1或x?0时，f(x,y)?0，

12111fY(y)??4.8y(2?x)dx?4.8y[2x?x]|?4.8y[1?2y?y2]yy2221fX(x)?0y?1或y?00?y?1fX(x)??4.8y(2?x)dy?2.4y2(2?x)|?2.4x2(2?x)00xx

(2)当0?x?1时，fX(x)??x04.8y(2?x)dy?2.4y2(2?x)|?2.4x2(2?x)

0xY的边缘概率密度函数fY(y)为：

① 当y?1或y?0时，f(x,y)?0，fY(y)?0 ② 当0?y?1时，fY(y)?1211124.8y(2?x)dx?4.8y[2x?x]?4.8y[1?2y?y] |?yy2221?2.4y(3?4y?y2)

3.10 （1）参见课本后面P227的答案

25

?(t)?0.997,解得t=2即?=12

所以成绩在60到84的概率为

P(60?X?84)?P(60-72X-?84-72??) 12?12 ??(1)-?(-1)

?2?(1)-1 ?2?0.8413-1 ?0.6826

4.12E(X2)?0?0.4?12?0.3?22?0.2?32?0.1?2

E(5X2?4)?4?0.4?(5?12?4)?0.3?(5?22?4)?0.2?(5?32?4)?0.1?14

E(Y)?E(2X)??2xedx?2?xd(?e)?2[?xe00??x??x?x?04.13解：

|???0e?xdx]?2(?e?x)|?20?

???11E(Y)?E(e?2X)??e?2xe?xdx??e?3xdx??e?3x|?

000334?R34.14解：V?

3?1a?x?b?设球的直径为X,则：f(x)??b?a

其它?0?4?(E(V)?E(X3)2)?E(?X3)=b?x31dx???1?1x4b??(b?a)(b2?a2)?a6b?a6b?a4|a24364.15参看课本后面231页答案 4.16

解:

31

fx(x)??f(x,y)dy??12ydy?4x

3??0??x2fy(y)??f(x,y)dy??12ydx?12y?12y

??y????1223E(X)??E(Y)????ffx(x)?xdx??104xdx?344 54????y(x)?ydy??12y?12ydy?013 51xE(XY)?0?y?x?1??f(x,y)xydxdy?0?y?x?1??12xydxdy??5300?12xydydx?31 2E(X)??E(Y)??E(X 4.17解

222????f(x)?xdx??22104xdx?42 35????f(y)?ydy??12y?12ydy?012 5?Y2)?E(X)?E(Y)?2216 15∵X与Y相互独立， ∴

1?21?E(XY)?E(X)E(Y)??x2xdx?ye5?ydy?(x3|)?yd(?e5?y)05305???222??(?ye5?y|??e5?ydy)??[5?(?e5?y)|]??(5?1)?4555 3334.18，4.19，4.20参看课本后面231，232页答案

4.21设X表示10颗骰子出现的点数之和，Xi(i?1,2,?10)表示第i颗骰子出现的点数，则X??Xi?110i，且X1,X2,?X10是

32

独立同分布的，又E(Xi)?1?101011121?2????6??6666

所以E(X)?E(?Xi)??E(Xi)?10?i?1i?121?35 64.22参看课本后面232页答案

4.23E(X2)?0?0.4?12?0.3?22?0.2?32?0.1?2

D(X)?E(X2)?[E(X)]2?2?12?1

E(Y2)?0?0.3?12?0.5?22?0.2?32?0?1.3 D(Y)?E(Y2)?[E(Y)]2?1.3?0.92?0.49

4.24E(X)?2?204111421413411142xxdx??x(?x?1)dx?x|?[?x?x]|?1??

2244160163332D(X)?E(X2)?[E(X)]2?142?4? 33?1?x?1?1?11?xy?1?x?1dy??=?2 4.25fX(x)????14

其它??00其它??1112Var(X)?E(X)?[E(X)]??xdx?[?xdx]2

?12?122211111111??x3|??x2|? 23?122?13?1?y?1?1?11?xy?1?y?1dx???1?fY(y)??=?2 4其它??其它?0?01112Var(Y)?E(Y)?[E(Y)]??ydy?[?ydy]2

?12?122211111111??y3|??y2|? 23?122?1333

4.26因为X~N(0,4),Y~U(0,4)所以有Var(X)=4 Var(Y)=

4 3故：Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)=4+

416= 334?28 3Var(2X-3Y)=4Var(X)+9Var(Y)= 4?4?9?4.27参看课本后面232页答案 4.28E(Z)?E(X1?X2???XnXXX)?E(1)?E(2)???E(n)

nnnn?1111E(X1)?E(X2)???E(Xn)???n?? nnnnD(Z)?D(X1?X2???XnXXX)?D(1)?D(2)???D(n)

nnnn11112?2?2E(X1)?2E(X2)???2E(Xn)?2??n? nnnnn后面4题不作详解

第五章 极限理

5.3

解：用Xi表示每包大米的重量，，则E(Xi)???10,D(Xi)??2?0.1

100?Xi?1i~N(n?,n?2)?N(100?10,100?0.1)

100i?1100i?1Z??Xi?1100i?n?2n???Xi?100?10??Xi?100010~N(0,1)

100?0.1990?1000?P(990??Xi?1010)?P(?i?110i?1100100Xi?100010?1010?1000)

1034

1010?10001010?1000??()??(?)??(10)??(?10)?2?(10)?1?0.9986

10105.4解：因为Vi 服从区间[0,10]上的均匀分布，

0?10102100E(Vi)??5 D(Vi)??

21212202020?Vi~N[?E(Vi),?D(Vi)]?N(20?5,20?i?1i?1i?1100) 12Z??V??E(V)?V?20?5?V?100iiiii?1i?120202020?D(Vi)i?120?i?120?10012?i?110153~N(0,1)

P(V?105)?1?P(V?105)?1?P(?Vi?105)?1?P(i?120?V?100ii?12010153?105?100)

10153105?100?1??()?1??(0.387)?0.348

10153?1,正常工作Xi~B(1,0.9)，

0,损坏?5.5解：方法1：用Xi表示每个部件的情况，则Xi??E(Xi)?p?0.9,D(Xi)?p?(1?p)?0.9?0.1?Xi?1100i~N[np,np?(1?p)]?N(100?0.9,100?0.9?0.1)

Z??Xi?1100i?np??Xi?1100i?100?0.9??Xi?1100i?90~N(0,1)

np?(1?p)100?0.9?0.1335

P(?Xi?85)?1?P(?Xi?85)?1?P(i?1i?1i?1100100?X100i?90?385?90) 355?1??(?)??()?0.9525

33方法2：用X表示100个部件中正常工作的部件数，则

X~B(100,0.9)

E(X)?np?100?0.9?90D(X)?np(1?p)?100?0.9?0.1?9X~N[np,np(1?p)]?N(90,9)Z?X?npX?90?~N(0,1)

3np(1?pZ?X?npX?90?~N(0,1)

3np(1?pX?9085?90?)33P(X?85)?1?P(X?85)?1?P(55?1??(?)??()?0.9525335.6略

第六章样本与统计

6.1 6.3.1证明: 由=

+b可得，对等式两边求和再除以n有

36

?Y?(aXi?1innn 由于

?i?1i?b)

n1n1nY??YiX??Xini?1 ni?1

所以由 可得

annbY=?Xi?=aX?b

ni?1nn2n2n26.3.2因为

?(Yi?Y)??Yii?1i?12?nY??(aXi?b)?ni?12?aXi?b?

2??ai?1nXX2i?2nabX?nb?(na22X2?2nabX?nb)

2??ai?1n22i?na2X2?a2??Xni?12i?X

2??a?a2?(Xi?2Xi?1nn2iX?X2)

2?(Xi?X)

i?122?(n?1)aS2X

?(n?1)SY

37

2所以有6.2 证明：

S2Y?a2S2X

n1n?E(X)?E(?Xi)???

ni?1nVar(X)?1n2Var(?Xi)?i?1nn?2n2??

n26.3（1）

S2??(Xi?X)i?1n221n2?(?2X??XiX) n?1i?1Xin?1nn212?(?Xi?2X?Xi?nX) n?1i?1i?1n212?(?Xi?2X?nX?nX) n?1i?1n212?(?Xi?nX) n?1i?1（2）由于Var(2X)?E(Xi2i)?(E(Xi))2

22所以有E(Xi)?(E(X2i))2?Var(Xi)????

22E(X)?(EX)?Var(X)????

n2E(?(Xi?1n)?n(???)?n(???)?(n?1)? ?X)in22222238

两边同时除以（n-1）可得E(i?1?(Xi?X)n?1n2)?? 即 E(S)??

2226.4 同例6.3.3可知

P{|X-?|?0.3}?2?(0.3n?)-1?2?(0.3n)-1?0.95

得 ?(0.3n)?0.975查表可知0.3n=1.96 又n?Z 根据题意可知n=43

6.5解（1）记这25个电阻的电阻值分别为

标准差为=10欧姆的正态分布的样本则根据题意有：

,它们来自均值为=200欧姆，

199?200X-?202?200P{199?X?202}?P{??}

1025?n1025X-??1}

?n?P{?0.5???(1)??(?0.5)

?0.5328

(2)根据题意有

25P{?Xi?5100}?P{25X?5100}?P{i?1X-??2}??(2)?0.9772

?n，它们是来自均

6.6 解：（1）记一个月（30天）中每天的停机时间分别为值为=4小时，标准差为=0.8小时的总体的样本。根据题意有：

P{1?X?5}?P{1?4X-?5?4??}

0.830?n0.83039

?P{?20.54?X-??6.846}

?n??(6.846)??(?20.54)

?1

（注：?(u)当u?6时，?(u)的值趋近于1，相反当u??6时，其值趋近于0）

（2）根据题意有：

30P{?Xi?115}?P{30X?115}?P{i?1X-???1.14}??(?1.14)?1??(1.14)?0.1271

?nX的密度函数为 Y/n6.7证明：因为T ，则，随机变量T??n?12?()??t2f(t)??1??n?n??()?n??2n?12,???t?? 显然f(?t)?f(t)，则f(t)为偶函数，则

E(T)??f(t)tdt??f(t)tdt????????0??0f(t)tdt????0f(?t)(?t)dt????0f(t)tdt?????0f(t)tdt????0f(t)tdt?0

6.8 解：记??1.50，??25，则XN(?,

?2),n=25故

140-150X-?147.5-150P{140?X?147.5}?P{??}

2525?n2525X-???0.5}

?n?P{-2???(-0.5)-?(-2) ??(2)-?(0.5)

40

?0.2857

6.9 解：记这100人的年均收入为

，它们是来自均值为??1.5万元，标准差

为??0.5万元的总体的样本，n=100则根据题意有： （1）P{X?1.6}?1?P{X?1.6}

?1?P{X-?1.6-1.5?}

?n0.5100?1?P{X-??2}

?n?1??(2)

?1?0.9772 ?0.0228

（2）

P{X?1.3}?P{（3）

X-?1.3-1.5X-??}?P{??4}??(?4)?1??(4)?1?1?0?n0.5100?n1.2-1.5X-?1.6-1.5P{1.2?X?1.6}?P{??}

0.5100?n0.5100??(2)-?(-6)

?0.9772?0

?0.9772

6.10 解：根据题意可知此样本是来自均值为??12，标准差为??2的总体，样本容量为n=5

41

（1）依题意有

P{X?13}?1?P{X?13}?1?P{X-?13-12X-??}?1?P{?1.12}?1??(1.12)?1?0.8686?0.1314 ?n25?n（2）要求样本的最小值小于10概率，即5个数中至少有一个小于10的概率，首先计算每个样本小于10的概率：

p?P(X?10)?P(X-???10-12)??(-1)?1-?(1)?1-0.8413?0.1587 2设X是5个样本中小于10的样本个数则X服从二项分布B(5,0.1587)故有

PB(X?1)?1-P(X?0)?1-C50p?1?p?05?1?1?1?(1?0.1587)?0.5785

5即样本的最小值小于10的概率是0.5785.

（3）同（2）要求样本的最大值大于15的概率，即5个数中至少有一个大于15的概率，首先计算每个样本大于15的概率：

p?P(X?15)?1-P(X?15)?1?P(X-???15-12)?1??(1.5)?1-0.9332?0.0668 2设X是5个样本中大于15的样本个数则X服从二项分布B(5,0.0668)故有

PB(X?1)?1-P(X?0)?1-C5

0p?1?p?05?1?1?1?(1?0.0668)?0.2923

5即样本的最大值大于15的概率是0.2923

第七章参数估计

7.1解因为:

是抽自二项分布B（m,p）的样本，故都独立同分布所以有

??E(X)?mp用样本均值X代替总体均值，则p的矩估计为p1X m7.2解：E(x)????0?e??x?xdx?? 用样本均值x代替总体均值，则?的矩估计为

42

??1?1 ?E(x)x由概率密度函数可知联合密度分布函数为：

L(?)??ex1??ex2????exn????????ne???xi 对它们两边求对数可得

i?1nln(L(?))?ln(?ne??n?xi)?nln????i?1ni?1x 对?求导并令其为0得

i?ln(L(?))nn??1?1 ???xi?0 即可得?的似然估计值为?1n???i?1x?xini?17.3解:记随机变量x服从总体为[0,]上的均匀分布，则

E(X)?0?????2X ? 故的矩估计为?22X的密度函数为p(x)?n1?故它的是似然函数为

L(?)?1?n?Ii?1{0?Xin???}1?nIX{(n)??}要使L(?)达到最大，首先一点是示性函数的取值应

n该为1，其次是1?尽可能大。由于1?是的单调减函数，所以的取值应该尽可能小，

但示性函数为1决定了不能小于

??,因此给出的最大似然估计?（示性函数I= ，=min{} =max{}）

7.4解:记随机变量x服从总体为[,]上的均匀分布，则

E(X)???2?2?3???2X 所以的矩估计为?231X的密度函数为p(x)??故它的是似然函数为

43

L(?)?1?n?I?i?1n{?Xi??2?}1?nI?x{?(1)?x(n)??2?}1?nIx{(n)2???x(1)}

要使L(?)达到最大，首先一点是示性函数的取值应该为1，其次是1n?n尽可能大。由于

1?是的单调减函数，所以的取值应该尽可能小，但示性函数为1决定了不能小于

,

??因此给出的最大似然估计?

7.5 解:似然函数为:L(?2)??i?1n12??e?(Xi??)22?2?(2??2)e?n2??(Xi??) 2?i?121n2它的对数为:lnL(?22nn1n2 )??ln(2?)?ln(?)??(??)2Xii?1222?对

?2求偏导并令它等于零有

?lnL(?)??22??n2??212??0 4?(Xi??)i?1n2解得

?2的似然估计值为

??2?21n?(Xi??) ni?17.6解:根据所给的概率密度函数是指数函数的密度函数可知

E(x)??xf(x)dx??x?-?0?????dx?? e?1?xVar(X)??

(1) E(2?)?E(X)?? ?11E(??)?E(X12?X22)?11(E(X1)?E(X2))??2??? 2211)?(E(X1)?2E(X2))??3???

3344

E(X1)?E(??3?2X23

E(??)?E(X)?E(X14?X2?X3311)?(E(X1)?E(X2)?E(X3))??3???

33故这四个估计都是的无偏估计..

（2）Var(?)?Var(X)???112

Var(??)?Var(2X1?X22112)?(Var(X1)?Var(X2))??2???

442112? )?(Var(X1)?4Var(X2))??5??599922Var(??)?Var(3X1?2X23Var(??)?Var(4X1?X2?X33112)?(Var(X1)?Var(X2)?Var(X3))??3???

9932故有 Var(?)?Var(??)?Var(??)?Var(??) ?42317.7证明（1）因为X服从[]上的均匀分布，故

E(X)?????12???1 2E(X)?E(X)???1?? 故样本均值不是的无偏估计 21 2无偏估计.

??X?（2）由（1）可知的矩估计为 ??)?E(X?)???又 E(?1211??? 故它是222222?7.8解;因为Var(?)?E(c??(1?c)?)?c??(??11?c)?2

12?)最小则对Var(??)关于c求一阶导并令其等于零可得 要使Var(?45

?)22?Var(??2c?1?2(1?c)?2?0 ?c解得 c??2?1??2222

?)Var(???)关于c求二阶导可得 因为对Var(??2?1?2?2?c2222?0

故当c??2?1??2222?)达到最小。 时Var(?7.9 解(1)根据题意和所给的数据可得

??0.05,n?16,Z??Z0.025?1.96,??0.01,X?2.125

222?nZ?2?0.01?1.96?0.0049

162所以?的置信区间为

[X??Zn?2,X??,2.125?0.0049]?[2.1201,2.1299] ?]?[2.125?0.0049Zn2(2) ??0.05 n?16 X?2.125

t15(0.025)?2.1315

S2115??15i?1??Xi?X??0.0002932 即S?0.0171

所以?的置信区间为[X?S?S?0.01710.0171(),X?()]?[2.125??2.1315,2.125??2.1315]?[2.116,2.1406] tt151522nn16167.10解:根据所给的数据计算: X?0.14125, Y?0.1392

46

13S1?3?i?12?Xi?X?214 S2???0.000008254i?12?Yi?Y??0.00000522

则X 和Y构成的总体的方差为

S2?(m?1)S1?(n?1)S2m?n?222 ?0.0000065所以

???12置信系数??1?0.95?0.05的置信区间为

?11?11[X?Y?tm?n?2()S?,X?Y?tm?n?2()S?]

2mn2mn1111?,X?Y?t7(0.025)S?] 4545=[X?Y?t7(0.025)S=[-0.002,0.006]

7.11 解: n?1000 ??1?0.95?0.05

Z??Z20.025?1.96 Yn?228

??Yn?0.238 则比例p的区间估计为：pn??Z?[p2?(1?p?)/n,p??Z?p?(1?p?)/n]?[0.238?1.960.238(1?0.238)/1000,0.238?1.960.238(1?0.238)/1000]p2

=[0.202,0.254]

7.12 解：根据题意有，n?120 ??1?0.95?0.05 X?7.5 则?的置信区间为：

Z??Z20.025?1.96

[X?Z?X/n,X?Z?X/n]?[7.5?1.967.5/120,7.5?1.967.5/120]?[7.01,7.99]

22

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