人教版高中数学选修2-1第三章空间向量与立体几何同步训练卷(二)

2019-2020学年选修2-1第三章训练卷

空间向量与立体几何（二）

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．点()121A -，，在x 轴上的射影和在xOy 平面上的射影的坐标分别为（ ） A ．()101-，，，()120-，， B ．()100-，，，()120-，， C ．()100-，，，()100-，， D ．()120-，，，()120-，，

【答案】B

【解析】在空间直角坐标系中，点在某坐标轴或坐标平面上的射影满足下列条件：与坐标轴或坐标平面对应的坐标不变，其他的坐标为0．故选B ． 2．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱CD 的中点，则（ ） A ．11A E DC ⊥ B ．1A E BD ⊥ C ．11A E BC ⊥

D ．1A

E AC ⊥ 【答案】C

【解析】连接1B C ，

由题意得11BC B C ⊥，

11A B ⊥平面11B BCC ，且1BC ?平面11B BCC ，111A B BC ∴⊥， 11

11A B B C B =，1BC ∴⊥平面11A ECB ，

1A E ?平面11A ECB ，11A E BC ∴⊥．故选C ．

3．已知()2,1,3=-a ，()1,2,1=-b ，若()λ⊥-a a b ，则实数λ的值为（ ）

A ．2-

B ．

14

5

C ．143

-

D ．2

【答案】D

【解析】()()()2,1,3,2,2,12,3λλλλλλλ-=---=---a b ，()2,1,3=-a ， 若()λ⊥-a a b ，则()()2212330λλλ--+-+-=，解得2λ=， 故选D ．

4．已知点(,1,2)A x 和点(2,3,4)B ，且26AB =，则实数x 的值是（ ） A ．6或2- B ．6或2

C ．3或4-

D ．3-或4

【答案】A

【解析】已知点(),1,2A x 和点()2,3,4B ，

21(2)44266AB x x =-++=?=，22x =-，故答案选A ．

5．在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是棱1AA ，AB 的中点，则异面直线EF 和1C D 所成角的大小是（ ）

此卷只

装

订

不

密

封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号

A．

π

6

B．

π

4

C．

π

3

D．

π

2

【答案】D

【解析】如图所示，

∵E，F 分别是棱1

AA，AB的中点，∴

1

EF A B

∥，

又∵11

C D AB

∥，

11

AB A B

⊥，∴

1

EF C D

⊥，∴EF 和

1

C D所成的角为

π

2

．

故选D．

6．如图所示，在平行六面体1111

ABCD A B C D

-中，M为

11

A C与

11

B D的交点．

若AB=a，AD=b，

1

AA =c，则下列向量中与BM相等的向量是（）

A．

11

22

-++

a b c B．

11

22

++

a b c

C．

11

22

--+

a b c D．

11

22

-+

a b c

【答案】A

【解析】

111

1111

()()

2222

BM BB B M AA AD AB

=+=+-=+-=-++

c b a a b c．

7．如图，在ABC

△中，90

BAC

∠=?，AD是边BC上的高，PA⊥平面ABC，

则图中直角三角形的个数是（）

A．5B．6C．8D．10

【答案】C

【解析】①PA⊥平面ABC，PA AB

∴⊥，PA AD

⊥，PA AC

⊥，

PAB

∴△，PAD

△，PAC

△都是直角三角形；

②90

BAC

∠=?，ABC

∴△是直角三角形；

③AD BC

⊥，ABD

∴△，ACD

△是直角三角形；

④由PA BC

⊥，AD BC

⊥，得BC⊥平面PAD，可知BC PD

⊥，PBD

∴△，

PCD

△也是直角三角形．

综上可知：直角三角形的个数是8个，故选C．

8．如图，在长方体1111

ABCD A B C D

-中，

1

1

AA=，2

AB AD

==，E，F分

别是BC，DC的中点则异面直线1

AD与EF所成角的余弦值为（）

A ．

105

B ．

155

C ．

35

D ．

45

【答案】A

【解析】连结111,B D AB ，因为11B D EF ∥，所以异面直线1AD 与EF 所成角是

11AD B ∠，在11AD B △中，2211115AD AA A D =+=，

22115AB BB AB =+=，2211111122D B C B C D =+=，

所以1158510

cos 52522

AD B +-∠==?． 故选A ．

9．在四面体ABCD 中，AB AD ⊥，1AB AD BC CD ====，且平面ABD ⊥平面BCD ，M 为AB 中点，则线段CM 的长为（ ） A ．2 B ．3

C ．

3

2

D ．

22

【答案】C

【解析】如图所示，取BD 的中点O ，连接OA OC ，， ∵1AB AD BC CD ====，∴OA BD OC BD ⊥⊥，． 又平面ABD ⊥平面BCD ，∴OA ⊥平面BCD OA OC ⊥，．

建立空间直角坐标系．

又2AB AD DB ⊥∴=

，．

∴()22222000000000022442O A B M C ，，，，，，，，，，，，，，??????

?? ? ? ? ? ? ? ? ?????????

． ∴222

2222223

2442442CM CM ????????=-?=-++= ? ? ? ? ? ? ? ?????????

，，， 故选C ．

10．在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别是AB ，1CC 的中点，则直线

1A E 与平面11B D F 所成角的正弦值是（ ）

A ．

15 B ．

15 C ．

5 D ．

3010

【答案】D

【解析】设正方体棱长为2，分别以1,,AD AB AA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，

则111(0,0,2),(0,1,0),(0,2,2),(2,0,2),(2,2,1)A E B D F ， 所以1111(0,1,2),(2,2,0),(2,0,1)A E B D B F =-=-=-． 设平面11B D F 的法向量为(,,)x y z =n ，

则11100

B D B F ??=???=??n n ，即22020x y x z -=??-=?，令1x =，则1,2y z ==，

即平面11B D F 的一个法向量为(1,1,2)=n ．

设直线1A E 与平面11B D F 所成角为θ，则11330

sin 1030A E

A E

θ?===?n n ．

故选D ．

11．如图，已知正方形ABCD 和正方形ADEF 的边长均为6，且它们所在的平面 互相垂直，O 是BE 的中点，1

2

FM MA =

，则线段OM 的长为（ ）

A ．32

B ．19

C ．25

D ．21

【答案】B

【解析】由题意建立以D 为坐标原点，DA 、DC 、DE 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴的空间直角坐标系，

，

则()0,0,6E ，()6,6,0B ，因为O 是EB 的中点，所以()3,3,3O ，

因为1

2

FM MA =

，所以()6,0,4M ， 所以()()()

222

63034319OM =-+-+-=，即线段OM 的长为19，

故选B ．

12．如图所示，在直角梯形BCEF 中，90CBF BCE ∠=∠=?，A D ，分别是BF CE ，上的点，AD BC ∥，且22AB DE BC AF ===（如图①）

．将四边形ADEF 沿AD 折起，连接BE BF CE ，，（如图②）．在折起的过程中，下列说法中错误的个数是（ ）

①AC

平面BEF ；

②B C E F ，，，四点不可能共面；

③若EF CF ⊥，则平面ADEF ⊥平面ABCD ； ④平面BCE 与平面BEF 可能垂直． A ．0 B ．1

C ．2

D ．3

【答案】B

【解析】①连接AC ，取AC 的中点O ，BE 的中点M ，连接,MO MF ，易证明

四边形AOMF 是平行四边形，即AC FM ∥，所以AC 平面BEF ，所以①正确；

②若B C E F ，，，四点共面，

因为BC AD ∥，所以BC ∥平面ADEF ，可推出BC EF ∥，所以AD EF ，

这与已知相矛盾，故B C E F ，，，四点不可能共面，所以②正确； ③连接CF DF ，，在梯形ADEF 中，易得EF FD ⊥，

又EF CF ⊥，所以EF ⊥平面CDF ，即CD EF ⊥，所以CD ⊥平面ADEF ， 则平面ADEF ⊥平面ABCD ，所以③正确；

④延长AF 至G ，使得AF FG =，连接BG EG ，，易得平面BCE ⊥平面ABF ，过F 作FN BG ⊥于N ，则FN ⊥平面BCE ，

若平面BCE ⊥平面BEF ，则过F 作直线与平面BCE 垂直，其垂足在BE 上， 前后矛盾，故④错误．

综上所述，一共有1个说法错误．故选B ．

二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）

13．在空间直角坐标系xOy 中，点(1,2,4)--关于原点O 的对称点的坐标为_____．

【答案】(1,2,4)-

【解析】空间直角坐标系xOy 中，关于原点对称，每个坐标变为原来的相反数， 点(1,2,4)--关于原点O 的对称点的坐标为(1,2,4)-，故答案为(1,2,4)-．

14．已知点()1

27A --，，，()3109B ，，，C 为线段AB 的中点，则向量CB 的坐标为______． 【答案】(1,6,8)

【解析】依题意，点()127A --，，，()3109B ，，，C 为线段AB 的中点，

所以C 点坐标为1321079,,2

22+-+-+??

???，即()241C ，

，， 所以向量CB 的坐标为()32(1,10681)9,4CB =---=，，． 故填(1,6,8)．

15．已知三棱锥P ABC -，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，3BC PA ==，

1AC =，则三棱锥P ABC -的表面积__________．

【答案】

73

2

【解析】三棱锥P ABC -，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，3BC PA ==，

1AC =，

画出图像：

易知：每个面都是直角三角形．

123437333322

S S S S S =+++=+

++=． 16．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 为AD 的中点，点Q 为11B C 上的动点，给出下列说法：

PQ ①可能与平面11CDD C 平行；

PQ ②与BC 所成的最大角为π

3

；

1CD ③与PQ 一定垂直；

PQ ④与1DD 所成的最大角的正切值为5

2

； 2PQ AB ≥⑤．

其中正确的有______.(写出所有正确命题的序号) 【答案】①③④⑤

【解析】由在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中点P 为AD 的中点， 点Q 为11B C 上的动点，知：

在①中，当Q 为11B C 的中点时，1PQ C D ∥，由线面平行的判定定理可得PQ 与平面11CDD C 平行，故①正确；

在②中，当Q 为11B C 的中点时，1PQ C D ∥，111B C C D ⊥，11BC B C ∥， 可得PQ BC ⊥，故②错误；

在③中，由11CD C D ⊥，111CD B C ⊥，可得1CD ⊥平面11ADC B ， 即有1CD PQ ⊥，故③正确；

在④中，如图，点M 为11A D 中点，PQ 与1DD 所成的角即为PQ 与PM 所成的角，当Q 与1B ，或1C 重合时，PQ 与1DD 所成的角最大，其正切值为

5

2

，故④正确；

在⑤中，当Q 为11B C 的中点时，PQ 的长取得最小值，且长为2AB ，故⑤正确．

故答案为①③④⑤．

三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17．（10分）如图，在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，11A E CF ==．

（1）求异面直线1AC 与1D E 所成角的余弦值； （2）求二面角1B EB F --的余弦值． 【答案】（1）

230；（2）14

．

【解析】（1）因为1,,DA DC DD 两两垂直，所以分别以1,,DA DC DD 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示．

因为棱长为3，11A E CF ==，

则11(0,0,0),(3,0,0),(3,3,0),(0,0,3),(0,3,3)D A B D C ，(3,0,2), (0,3,1)E F ，

所以11(3,3,3),(3,0,1)AC D E =-=-，

所以1111

1193230

cos ,1599991|

AC D E

AC D E AC D E ?--===-++?+， 所以异面直线 1AC 与 1D E 所成角的余弦值是

230

15

． （2）平面11A EBB 的法向量是11(3,0,0)BC =-， 设平面1BED F 的法向量是(,,)x y z =n ，

又因为(0,3,2)BE =-，(3,0,1)BF =-，BE ⊥n ，BF ⊥n ，

所以0,0BE BF ?=?=n n ，即32030y z x z -+=??-+=?

，

令3z =，则1x =，2y =，所以(1,2,3)=n ． 所以11111131cos ,||314914

B C B C B C ?-<>=

==-++‖n n n ，

所以二面角1B EB F --的余弦值是

14

14

． 18．（12分）四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，侧面SBC ⊥底面

ABCD ，45ABC ∠=?，SAB △是等边三角形．

（1）证明：SA BC ⊥； （2）若6,3BC AB SA SB =

===，求二面角D SA B --的余弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）6

-

． 【解析】（1）作,SO BC O ⊥为垂足，平面SBC ⊥底面ABCD ，SO ⊥平面

ABCD ，

,SA SB SOA SOB =?△△，∴OA OB =， 45,90ABC AOB ∠=?∠=?，,AO BC SO

AO O ⊥=，

BC ⊥平面SOA ，SA ?面SOA ，BC SA ⊥．

（2）6,3BC AB SA SB =

===

45ABC ∠=?，∴63236cos453AC =+-???=， ABC △是等腰直角三角形，

O 是BC 的中点，,,OA OB OS 两两垂直，以,,OA OB OS 所在直线分别为x 轴，y

轴，z 轴建立空间直角坐标系，

66666,,,6,0,0,A B S D C ???????

? ? ? ?? ? ? ???????????， SA 的中点6644E ? ?

?，()

6660,6,0,,,424AD EB ??

=-=-- ? ???， ,AD SA EB SA ⊥⊥，

二面角D SA B --的大小等于6

cos<,||||

AD EB AD EB AD EB ?>=

=-?， 二面角D SA B --的余弦值为6

3

-

． 19．（12分）在正方体1111ABCD A B C D -中，棱长是1，E ，F 分别是AB ，BC 的

中点，H 是1DD 的中点．

（1）求证：1B H ⊥平面11AC FE ；

（2）求直线DC 与平面11AC FE 所成角的正弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）

2

3

． 【解析】在正方体1111ABCD A B C D -中，DA ，DC ，1DD 两两垂直，如图， 以D 为坐标原点，DA ，DC ，1DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴， 建立空间直角坐标系D xyz -，

则()11,0,1A ，10,0,2H ?? ???，()1

0,1,1C ，11,,02E ??

???

， （1）又()11,1,1B ，10,0,2H ?? ???，所以111,1,2B H ?

?=--- ??

?，

易得11

=(0,,1)2

A E -，()111,1,0AC =-．

故110B H A E ?=，1110B H AC ?=，所以1

1B H A E ⊥，111B H AC ⊥， 又1111A E AC A =，所以1B H ⊥平面11AC FE ．

（2）由（1）知111,1,2B H ?

?

=--- ??

?

是平面11AC FE 的一个法向量． 又(0,1,0)DC =，

设直线DC 与平面11AC FE 所成的角为θ，

故11112sin ,33

12

DC B H cos DC B H DC B H

θ?=??=

=

=

??， 所以直线DC 与平面11AC FE 所成角的正弦值为

2

3

． 20．（12分）如图，四棱锥S ABCD -的底面是直角梯形，AB CD ∥，

90BAD ADC ∠=∠=?，SD ⊥平面ABCD ，M 是SA 的中点，22AD SD CD AB ====．

（1）证明：DM ⊥平面SAB ； （2）求二面角A SB C --的大小．

【答案】（1）证明见解析；（2）135°． 【解析】（1）SD ⊥∵平面ABCD ，AB 平面ABCD ，AB SD ∴⊥，

又AB AD ⊥，SD

AD D =， AB ∴⊥平面SAD ，DM AB ∴⊥，

2AD SD ==，M 是SA 的中点，DM SA ∴⊥，

又SA AB A =，DM ∴⊥平面SAB ．

（2）

,,DA DC DS 两两互相垂直，以,,DA DC DS 所在直线分别为,,x y z 轴，

建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，

则(0,0,2),(2,1,0),(0,2,0),(1,0,1)S B C M ， 取1(1,0,1)DM ==n 为平面SAB 的一个法向量， 设2(,,)x y z =n 为平面SBC 的一个法向量，

(2,1,2),(0,2,2)SB SC =-=-，

则220,220,1,1,1220,

20,SB x y z x y z y z SC ??=+-=????===?

?-=?=???n n ，21

(,1,1)2∴=n ， ∴1212121

1

22cos ,||||29

24

+?<>===n n n n n n ， 由图形得：求二面角A SB C --的大小为135°．

21．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，侧面PAD 为正三角形， 且平面PAD ⊥平面ABCD ，E 为PD 中点，AD =2．

（1）证明平面AEC 丄平面PCD ；

（2）若二面角A PC E --的平面角θ满足2

cos θ=，求四棱锥P ABCD -的体积．

【答案】（1）见解析；（2）2．

【解析】（1）取AD 中点为O ，BC 中点为F ，

由侧面PAD 为正三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，知PO ⊥平面ABCD ， 故FO PO ⊥，

又FO AD ⊥，则FO ⊥平面PAD ，所以FO AE ⊥，

又CD FO ∥，则CD AE ⊥， 又E 是PD 中点，则AE PD ⊥，

由线面垂直的判定定理知AE ⊥平面PCD ， 又AE ?平面AEC ，故平面AEC ⊥平面PCD ． （2）如图所示，建立空间直角坐标系O xyz -，

令AB

a ，则3)P ，(1,0,0)A ，(1,,0)C a -，(1,0,0)D -．

由（1）知33,0,22EA ?=- ??

为平面PCE 的法向量，

令(1,,)y z =n 为平面PAC 的法向量，

由于(1,0,3)PA =-，(2,,0)CA a =-均与n 垂直，

故00

PA CA ??=???=??n n ，即13020z ay ?=??-=??，解得23y a z ?

=??

??=??

231,,3a ?= ??n ，

由2

12

cos 444

33EA EA a

θ?=

=

=?+n n

，解得3a =． 故四棱锥P ABCD -的体积11

233233

ABCD V S PO =

?=???=． 22．（12分）如图，ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，AF DE ∥，

3DE AF =，BE 与平面ABCD 所成角为60?．

（1）求证：AC ⊥平面BDE ； （2）求二面角F BE D --的余弦值；

（3）设点M 在线段BD 上，且AM ∥平面BEF ，求BM 的长． 【答案】（1）见证明；（2）

13；（3）2BM =． 【解析】（1）因为DE ⊥平面ABCD ，所以DE AC ⊥， 因为ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥， 又BD ，DE 交于点E ，从而AC ⊥平面BDE ．

（2）因为DA ，DC ，DE 两两垂直，所以建立空间直角坐标系D xyz -如图所示．

因为BE 与平面ABCD 所成角为60?，即60DBE ∠=?，所以

3ED

DB

=． 由3AD =，可知36DE =6AF =

则()3,0,0A ，(6F ，(0,0,36E ，()3,3,0B ，()0,3,0C ，

所以(0,6BF =-，(3,0,26EF =-，

设平面BEF 的法向量为(),,x y z =n ，则0

0BF EF ??=???=??n n ，

即360

360

y z x z ?-+=??-=??，令6z =(4,6=n ， 因为AC ⊥平面BDE ，所以CA 为平面BDE 的法向量，()3,3,0CA =-， 所以13

cos<,>2632

CA CA CA

?=

=

=?n n n 因为二面角为锐角，所以二面角F BE D --13

． （3）点M 是线段BD 上一个动点，设(),,0M

t t ，则()3,,0AM t t =-，

因为AM ∥平面BEF ，所以0AM ?=n ， 即()4320t t -+=，解得2t =． 此时，点M 坐标为()2,2,0，1

23

BM BD =

=，符合题意．

由Ruize收集整理。感谢您的支持！

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/egje.html