山东省滨州市北镇中学新校区2015届高考数学一模试卷（理科）

山东省滨州市北镇中学新校区2015届高考数学一模试卷（理科）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中．只有一个是符合题目要求的． 1．（5分）已知集合A?{1，2，3}，且集合A的元素中至少含有一个奇数，则满足条件的集合A有（） A． 8个 B． 7个 C． 6个 D．5个 2．（5分）下列说法错误的是（） A． 两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内 B． 过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直 C． 如果共点的三条直线两两垂直，那么它们中每两条直线确定的平面也两两垂直 D． 如果两条直线和一个平面所成的角相等，则这两条直线一定平行

3．（5分）（2x+1）的展开式中含x的奇次方项的系数和等于（） A． 44 B． 25 C． 41 D．40 4．（5分）若a、b、c为实数，则下列命题正确的是（） A． 若a＞b，则ac＞bc C． 若a＜b，则＞

2

24

B． 若a＜b＜0，则a＞ab＞b D． 若a＞b＞0，则＞

22

5．（5分）阅读程序框图，如果输出i=5，那么在空白矩形框中填入的语句为（）

A． S=2*i

B． S=2*i﹣1

C． S=2*i﹣2

D．S=2*i+4

6．（5分）一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是（单位：m）．（）

2

A．

B． C．

D．

7．（5分）已知向量是与单位向量夹角为60°的任意向量，则对任意的正实数t，|t﹣|的最小值是（） A． 0

B．

C．

D．1

8．（5分）下列命题正确的是（）

x8

①若f（3）=4xlog23+2，则f（2）+f（4）+…+f（2）=180； ②函数f（x）=tan2x的对称中心是（

3

2

，0）（k∈Z）；

3

2

③“?x∈R，x﹣x+1≤0”的否定是“?x∈R，x﹣x+1＞0”； ④设常数α使方程sinx+ A． ①③

cosx=α在闭区间[0，2π]上恰有三个解x1，x2，x3，则x1+x2+x3=

C． ②④

x

．

B． ②③ D．③④

9．（5分）函数f（x）的零点与g（x）=4+2x﹣2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f（x）

可以是（） A． f（x）=e﹣1

10．（5分）若存在x0∈N+，n∈N+，使f（x0）+f（x0+1）+…+f（x0+n）=63成立，则称（x0，n）为函数f（x）的一个“生成点”．已知函数f（x）=2x+1，x∈N的“生成点”坐标满足二次函

2

数g（x）=ax+bx+c，则使函数y=g（x）与x轴无交点的a的取值范围是（） A． 0＜α＜ C． α＜

B． D． 0＜α＜

＜α＜

或α＞

x

B． f（x）=（x﹣1） C． f（x）=4x﹣1

2

D．f（x）=ln（x﹣）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡相应位置上. 11．（5分）若（x﹣i）i=y+2i（x，y∈R），则复数x+yi=．

12．（5分）已知x、y满足约束条件，则z=2x+4y的最小值是．

13．（5分）2014年某地春季2015届高考有10所高校招生，如果某3位同学恰好被其中2所高校录取，那么录取方式有种． 14．（5分）有两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…，200有这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项和为． 15．（5分）在下列命题中： ①函数f（x）=x+（x＞0）的最小值为2

；

②已知定义在R上周期为4的函数f（x）满足f（2﹣x）=f（2+x），则f（x）一定为偶函数； ③定义在R上的函数f（x）既是奇函数又是以2为周期的周期函数，则f（1）+f（4）+f（7）=0；

32

④已知函数f（x）=ax+bx+cx+d（d≠0），则a+b+c=0是f（x）有极值的必要不充分条件； ⑤已知函数f（x）=x﹣sinx，若a+b＞0，则f（a）+f（b）＞0． 其中正确命题的序号为（写出所有正确命题的序号）．

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若（2a﹣c）cosB=bcosC． （Ⅰ）求角B的大小； （Ⅱ）若a=3，△ABC的面积为

，求

?

的值．

17．（12分）某用人单位招聘员工依次为材料审查、笔试、面试共三轮考核．规定：只能通过前一轮考核才能进入下一轮的考核，否则将被淘汰；三轮考核都通过才算通过该高校的自主招生考试．小王三轮考试通过的概率分别为，，，且各轮考核通过与否相互独立． （Ⅰ）求小王通过该招聘考试的概率；

（Ⅱ）若小王每通过第一轮考核，家长奖励人民币1200元；若小王每通过第二轮考核，家长再奖励人民币1000元；若小王每通过第三轮考核，家长再奖励人民币1400元，记小王得到的金额为X，求X的分布列和数学期望．

18．（12分）已知单调递增的等比数列{an}满足a2+a3+a4=28，a3+2是a2，a4的等差中项． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

n+1

（Ⅱ）若bn=anlog2an，sn=b1+b2+…+bn，求sn﹣n?2+50＜0成立的正整数n的最小值．

19．（12分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=CA=AA1，侧棱AA1⊥平面ABC，O、D、E分别是棱AB、A1B1、AA1的中点，点F在棱AB上，且AF=AB．

（Ⅰ）求证：EF∥平面BDC1

（Ⅱ）求证：平面OCC1D⊥平面ABB1A1 （Ⅲ）求二面角E﹣BC1﹣D的余弦值．

20．（13分）已知函数f（x）=ax+lnx，其中为常数． （Ⅰ）当a=﹣1时，求f（x）的单调增区间；

（Ⅱ）当0＜﹣＜e时，若f（x）在区间（0，e）上的最大值为﹣3，求a的值； （Ⅲ）当a=﹣1时，试推断方程|f（x）|=

21．（14分）已知函数f（x）=

，g（x）=（）

|x﹣m|

是否有实数根．

，其中m∈R且m≠0．

（Ⅰ）判断函数f（x）的单调性；

（Ⅱ）当m＜﹣2时，求函数F（x）=f（x）+g（x）在区间[﹣2，2]上的最值； （Ⅲ）设函数h（x）=

，当m≥2时，若对于任意的x1∈[2，+∞），总存在唯

一的x2∈（﹣∞，2），使得h（x1）=h（x2）成立，试求m的取值范围．

山东省滨州市北镇中学新校区2015届高考数学一模试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中．只有一个是符合题目要求的． 1．（5分）已知集合A?{1，2，3}，且集合A的元素中至少含有一个奇数，则满足条件的集合A有（） A． 8个 B． 7个 C． 6个 D．5个

考点： 子集与真子集．

专题： 集合．

分析： 可采用列举法（分类的标准为A中只含1不含3，A中只含3不含1，A中即含1又含3）逐一列出符合题意的集合A

解答： 解：∵A?{1，2，3}，且A中至少含有一个奇数 ∴当A中只含1不含3时A={1，2}，{1} 当A中只含3不含1时A={3，2}，{3}

当A中即含1又含3时A={1，2，3}，{1，3} 故符合题意的集合A共有6个 故选C

点评： 本题主要考察了子集的概念，属中档题，较易．解题的关键是理解子集的概念和A中至少含有一个奇数分三种情况：A中只含1不含3，A中只含3不含1，A中即含1又含3！ 2．（5分）下列说法错误的是（） A． 两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内 B． 过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直 C． 如果共点的三条直线两两垂直，那么它们中每两条直线确定的平面也两两垂直 D． 如果两条直线和一个平面所成的角相等，则这两条直线一定平行

考点： 命题的真假判断与应用． 专题： 简易逻辑．

分析： 利用直线与平面的基本性质判断A的正误；直线与平面垂直的性质判断B的正误；直线的垂直与平面的基本性质判断C的正误；直线与平面所成角的反例判断D的正误； 解答： 解：定义A，如图所示， 已知a∩b=A，b∩c=B，a∩c=C， 求证：a、b、c三条直线共面． 证明：∵a∩b=A，b∩c=B，a∩c=C，

∴由两条相交直线a、b确定一个平面，不妨记为α， ∴a?α，b?α； 又∵C∈a，B∈b， ∴B∈α，C∈α； 又∵B∈c，C∈c， ∴c?α；

∴a、b、c三条直线共面．所以A正确． 对于B，：假设过一点有至少两个平面α，β与已知直线垂直，则α∥β， 这与假设矛盾，故假设不成立，

∴过空间内一点有且只有一个平面与已知直线垂直．所以B正确．

对于C，已知：直线a，b，c共点且两两垂直，直线a和b确定的平面为α，直线a和c确定的平面为β，直线b和c确定的平面为γ， 求证：a⊥γ，b⊥β，c⊥α，

证明：∵直线a，b，c共点且两两垂直，直线b和c确定的平面为γ， ∴由直线与平面垂直的判定定理可得a⊥γ， 同理可证b⊥β，c⊥α， ∴原命题得证． 所以C正确．

对于D，两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线相交、平行或异面，例如圆锥的两条母线，与底面所成角相等，但是母线是相交直线． 所以D不正确． 故选：D．

点评： 本题考查命题的真假判断，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意空间想象能力的培养．

3．（5分）（2x+1）的展开式中含x的奇次方项的系数和等于（） A． 44 B． 25 C． 41 D．40

考点： 二项式系数的性质． 专题： 计算题；二项式定理．

4

分析： 设f（x）=（2x+1）=a0+a1x+a2x+a3x+a4x，x分别赋值1，﹣1，可得两个等式，两式相减，再除以2得到答案．

4234

解答： 解：设f（x）=（2x+1）=a0+a1x+a2x+a3x+a4x，

4

令x=1，则a0+a1+a2+a3+a4=f（1）=3=81，① 令x=﹣1，则a0﹣a1+a2﹣a3+a4=f（﹣1）=1．②

①﹣②得，2（a1+a3）=80，所以奇次项系数之和为40． 故选：D．

点评： 本题考查解决展开式的系数和问题时，一般先设出展开式，再用赋值法代入特殊值，相加或相减． 4．（5分）若a、b、c为实数，则下列命题正确的是（）

2222

A． 若a＞b，则ac＞bc B． 若a＜b＜0，则a＞ab＞b C． 若a＜b，则＞

D． 若a＞b＞0，则＞

4234

考点： 不等式的基本性质． 专题： 不等式的解法及应用． 分析： A．c=0时不成立；

22

B．利用不等式的基本性质由a＜b＜0，可得a＞ab＞b； C．取a=﹣1，b=﹣2时，即可判断出；

D．由a＞b＞0，可得＜． 解答： 解：A．c=0时不成立；

22

B．∵a＜b＜0，∴a＞ab＞b，正确；

C．取a=﹣1，b=﹣2时，=﹣1，=﹣，则＞不成立； D．若a＞b＞0，则＜，因此不正确．

故选：B．

点评： 本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力，属于基础题． 5．（5分）阅读程序框图，如果输出i=5，那么在空白矩形框中填入的语句为（）

A． S=2*i B． S=2*i﹣1 C． S=2*i﹣2 D．S=2*i+4

考点： 程序框图．

专题： 图表型；算法和程序框图．

分析： 题目给出了输出的结果i=5，让我们分析矩形框中应填的语句，根据判断框中内容，即s＜10，我们模拟程序执行的过程，从而得到答案． 解答： 解：当空白矩形框中应填入的语句为S=2*i时， 程序在运行过程中各变量的值如下表示： i S 是否继续循环 循环前1 0/ 第一圈 2 5 是 第二圈 3 6 是 第三圈 4 9 是 第四圈 5 10 否

故输出的i值为：5，符合题意． 故选：A．

点评： 本题考查了程序框图中的当型循环，当型循环是当条件满足时进入循环体，不满足条件算法结束，输出结果，属于基础题．

6．（5分）一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是（单位：m）．（）

2

A． B． C．

考点： 由三视图求面积、体积． 专题： 计算题；图表型．

分析： 由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥，垂直于底面的侧面是一个高为2，底连长也为2的等腰直角三角形，底面与垂直于底面的侧面全等，此两面的面积易求，另两个与底面不垂直的侧面是全等的，可由顶点在底面上的射影作出此两侧面底边的高，将垂足与顶点连接，此线即为侧面三角形的高线，求出侧高与底面的连长，用三角形面积公式求出此两侧面的面积，将四个面的面积加起来即可

解答： 解：由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直且底面与垂直于底面的侧面全等的三棱锥

由图中数据知此两面皆为等腰直角三角形，高为2，底面连长为2，故它们的面积皆为

D．

=2，

由顶点在底面的投影向另两侧面的底边作高，由等面积法可以算出，此二高线的长度长度相等，为

，

，同理可

将垂足与顶点连接起来即得此两侧面的斜高，由勾股定理可以算出，此斜高为2求出侧面底边长为

，

=

，

可求得此两侧面的面积皆为

故此三棱锥的全面积为2+2++=， 故选A．

点评： 本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查对三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是三棱锥的全面积，做本题时要注意本题中的规律应用，即四个侧面两两相等，注意到这一点，可以大大降低运算量．三视图的投影规则是主视、俯视 长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视 宽相等．

7．（5分）已知向量是与单位向量夹角为60°的任意向量，则对任意的正实数t，|t﹣|的最小值是（） A． 0

B． C． D．1

考点： 平面向量数量积的运算． 专题： 等差数列与等比数列．

分析： 由题意利用两个向量的数量积的定义可得?=，再根据|t﹣

|==，利用二次函数的性质求得它的最小值．

解答： 解：由题意可得?=||×1×cos60°=∵|t﹣|=

=

，对任意的正实数t，

==

，

故当t||=时，|t﹣|取得最小值为=，

故选：C．

点评： 本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模，二次函数的性质，属于中档题． 8．（5分）下列命题正确的是（）

x8

①若f（3）=4xlog23+2，则f（2）+f（4）+…+f（2）=180； ②函数f（x）=tan2x的对称中心是（

3

2

，0）（k∈Z）；

3

2

③“?x∈R，x﹣x+1≤0”的否定是“?x∈R，x﹣x+1＞0”； ④设常数α使方程sinx+

cosx=α在闭区间[0，2π]上恰有三个解x1，x2，x3，则x1+x2+x3=

．

A． ①③ B． ②③ C． ②④ D．③④

考点： 命题的真假判断与应用． 专题： 简易逻辑．

分析： 求出函数的解析式，然后求出数列的和判断①的真假．利用反例判断②的正误；通过特称命题的否定判断③的正误；请查收的三个零点，求出和判断④的正误．

解答： 解：对于①，若f（3）=4xlog23+2=4log23+2，令3=t，可得f（t）=4log2t+2，

8

则f（2）+f（4）+…+f（2）

=4log22+2+8log22+2+12log22+2+16log22+2+20log22+2+24log22+2+28log22+2+32log22+2=160≠180，所以①不正确．

对于②，函数f（x）=tan2x的对称中心是（

3

2

xxx

，0）（k∈Z），所以②不正确．

3

2

对于③，“?x∈R，x﹣x+1≤0”的否定是“?x∈R，x﹣x+1＞0”；满足特称命题的否定形式，所

以③正确．

对于④，设常数a使方程sinx+解x1=0，x2=

cosx=a化为2sin（x+）=a，在闭区间[0，2π]上恰有三个

，x3=2π，则x1+x2+x3=

．所以④正确．

故选：D．

点评： 本题考查命题的真假的判断与应用，可以采用排除法解答，方便快捷，本题考查函数的解析式的求法，命题的否定，函数的零点以及三角函数的对称轴的应用，考查分析问题解决问题的能力．

9．（5分）函数f（x）的零点与g（x）=4+2x﹣2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f（x）可以是（） A． f（x）=e﹣1

x

x

B． f（x）=（x﹣1） C． f（x）=4x﹣1

2

D．f（x）=ln（x﹣）

考点： 二分法求方程的近似解． 专题： 计算题；函数的性质及应用．

分析： 由题意知，g（x）=4+2x﹣2的零点在（，）上；再由各个函数的零点可知答案为c．

解答： 解：g（）=2+1﹣2＞0，g（）=且g（x）=4+2x﹣2连续，

故g（x）=4+2x﹣2的零点在（，）上；

f（x）=e﹣1的零点为0，f（x）=（x﹣1）的零点为1； f（x）=4x﹣1的零点为，f（x）=ln（x﹣）的零点为； 故选C．

点评： 本题考查了函数的零点的应用，属于基础题．

10．（5分）若存在x0∈N+，n∈N+，使f（x0）+f（x0+1）+…+f（x0+n）=63成立，则称（x0，n）为函数f（x）的一个“生成点”．已知函数f（x）=2x+1，x∈N的“生成点”坐标满足二次函

2

数g（x）=ax+bx+c，则使函数y=g（x）与x轴无交点的a的取值范围是（） A． 0＜α＜ C． α＜

B． D． 0＜α＜

＜α＜

或α＞

x

2

xx

x

﹣﹣2＜0；

考点： 进行简单的合情推理． 专题： 函数的性质及应用．

分析： 根据“生成点“的定义，求出（9，2），（1，6）为函数f（x）的一个“生成点”．根据函

2

数f（x）=2x+1，x∈N的“生成点”坐标满足二次函数g（x）=ax+bx+c，可求出a，b，c的关系，进而根据函数y=g（x）与x轴无交点，△＜0，求出a的取值范围． 解答： 解：∵f（x）=2x+1，x∈N，满足：

f（9）+f（10）+f（11）=63，故（9，2）为函数f（x）的一个“生成点”．

f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）+f（7）=63，故（1，6）为函数f（x）的一个“生成点”．

2

又∵函数f（x）=2x+1，x∈N的“生成点”坐标满足二次函数g（x）=ax+bx+c， ∴81a+9b+c=2，a+b+c=6， 解得：b=﹣﹣10a，c=9a+

，

若函数y=g（x）与x轴无交点， 则△=b﹣4ac=（解得：

2

）﹣4a（9a+，

2

）＜0，

故选：B

点评： 本题考查的知识点是合情推理，二次函数的图象和性质，正确理解“生成点“的定义，是解答的关键．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡相应位置上. 11．（5分）若（x﹣i）i=y+2i（x，y∈R），则复数x+yi=2+i．

考点： 复数代数形式的乘除运算． 专题： 数系的扩充和复数．

分析： 根据复数相等的关系即可得到结论． 解答： 解：若（x﹣i）i=y+2i=1+xi（x，y∈R）， 则y=1且x=2， 则x+yi=2+i， 故答案为：2+i

点评： 本题主要考查复数相等的应用，比较基础．

12．（5分）已知x、y满足约束条件，则z=2x+4y的最小值是﹣6．

考点： 专题： 分析： 解答：

简单线性规划．

不等式的解法及应用．

作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用数形结合即可得到结论． 解：作出不等式组对应的平面区域如图：

由z=2x+4y得y=﹣x+，

平移直线y=﹣x+，由图象可知当直线y=﹣x+经过点A时， 直线y=﹣x+的截距最小，此时z最小，

由，解得，即A（3，﹣3），

此时z=2×3+4×（﹣3）=﹣6，

故答案为：﹣6．

点评： 本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键． 13．（5分）2014年某地春季2015届高考有10所高校招生，如果某3位同学恰好被其中2所高校录取，那么录取方式有270种．

考点： 计数原理的应用． 专题： 应用题；排列组合．

分析： 解决这个问题得分两步完成，第一步把三个学生分成两组，第二步从10所学校中取两个学校，把学生分到两个学校中，再用乘法原理求解

解答： 解：由题意知本题是一个分步计数问题，解决这个问题得分两步完成， 第一步把三个学生分成两组，

第二步从10所学校中取两个学校，把学生分到两个学校中，共有C3C2A10=270． 故答案为：270．

点评： 本题考查分步计数问题，本题解题的关键是把完成题目分成两步，看清每一步所包含的结果数，本题是一个基础题． 14．（5分）有两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…，200有这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项和为1472．

考点： 等差数列的前n项和．

专题： 计算题；等差数列与等比数列．

分析： 由等差数列2，6，10，…190的公差为4，等差数列2，8，14，…，200的公差为6，得到由这两个等差数列的公共项组成一个新数列公差为12，由此能求出这个新数列，进而能求出这个新数列的各项和．

解答： 解：等差数列2，6，10，…190中，公差d1=4，

122

等差数列2，8，14，…，200中，公差d2=6， ∵4，6的最小公倍数是12，

∴由这两个等差数列的公共项组成一个新数列公差d=12， ∵新数列最大项n≤190， ∴2+（n﹣1）×12≤190， 解得n≤

，∴n=16

∵新数列中第16项a16=2+（16﹣1）×12=182

由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列： 2，14，26，…，182 各项之和为S16=

=1472．

故答案为：1472．

点评： 本题考查等差数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意等差数列的基本性质的合理运用． 15．（5分）在下列命题中： ①函数f（x）=x+（x＞0）的最小值为2

；

②已知定义在R上周期为4的函数f（x）满足f（2﹣x）=f（2+x），则f（x）一定为偶函数； ③定义在R上的函数f（x）既是奇函数又是以2为周期的周期函数，则f（1）+f（4）+f（7）=0；

32

④已知函数f（x）=ax+bx+cx+d（d≠0），则a+b+c=0是f（x）有极值的必要不充分条件； ⑤已知函数f（x）=x﹣sinx，若a+b＞0，则f（a）+f（b）＞0． 其中正确命题的序号为②③⑤（写出所有正确命题的序号）．

考点： 命题的真假判断与应用． 专题： 函数的性质及应用．

分析： ①，由函数f（x）=x+（x＞0），知a≤0时，在f（x）在（0，+∞）为单调递增函数，不存在最小值，可判断①；

②，利用函数的对称性与周期性可得到f（﹣x）=f（x），从而可判断②； ③，依题意可求得f（4）=0；f（7）=f（﹣1）=﹣f（1），从而可判断③； ④，利用导数法及充分必要条件的概念可判断④；

⑤，易求f′（x）=1﹣cosx≥0，可得f（x）=x﹣sinx为R上的增函数，进一步可知，f（x）为R上的为奇函数，从而可判断⑤．

解答： 解：①，函数f（x）=x+（x＞0）中，

当a≤0时，在f（x）在（0，+∞）为单调递增函数，不存在最小值，故①错误； ②，∵f（2﹣x）=f（2+x）， ∴f（4﹣x）=f（x），又f（x）为定义在R上周期为4的函数， ∴f（x）=f（4﹣x）=f（﹣x）， ∴f（x）为偶函数，故②正确；

③，∵定义在R上的函数f（x）既是奇函数又是以2为周期的周期函数，

∴f（4）=f（0）=0；f（7）=f（8﹣1）=f（﹣1）=﹣f（1）， ∴f（1）+f（4）+f（7）=f（1）+0﹣f（1）=0，故③正确；

32

④，∵f（x）=ax+bx+cx+d（a≠0），

2

∴f′（x）=3ax+2bx+c（a≠0），

2

要使y=f（x）有极值，则方程3ax+2bx+c=0（a≠0）有两异根，

22

∴△=4b﹣12ac＞0，即b﹣3ac＞0；

当a+b+c=0（a≠0）时，b=﹣（a+c），b﹣3ac=（a+c）﹣3ac=a+c﹣ac=（a﹣）+c＞0，充分性成立，反之不然；

∴a+b+c=0是f（x）有极值的充分不必要条件，故④错误； ⑤，∵f（x）=x﹣sinx， ∴f′（x）=1﹣cosx≥0，

∴f（x）=x﹣sinx为R上的增函数，

又f（﹣x）=﹣x+sinx=﹣（x﹣sinx）=﹣f（x）， ∴f（x）=x﹣sinx为R上的奇函数；

∴若a+b＞0，即a＞﹣b时，f（a）＞f（﹣b=﹣f（b）， ∴f（a）+f（b）＞0，故⑤正确．

综上所述，正确的命题序号为：②③⑤． 故答案为：②③⑤

点评： 本题考查命题的真假判断与应用，主要考查函数的单调性、奇偶性、周期性的综合应用，考查导数法判定极值及充分必要条件概念及其应用，属于中档题．

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若（2a﹣c）cosB=bcosC． （Ⅰ）求角B的大小； （Ⅱ）若a=3，△ABC的面积为

，求

?

的值．

2

2

2

2

2

2

考点： 平面向量数量积的运算；余弦定理． 专题： 计算题；解三角形；平面向量及应用．

分析： （Ⅰ）运用正弦定理和两角和的正弦公式，化简整理，即可得到B；

（Ⅱ）运用三角形的面积公式和余弦定理，结合向量的数量积的定义，即可计算得到． 解答： 解：（Ⅰ）∵（2a﹣c）cosB=bcosC， 由正弦定理得：（2sinA﹣sinC）cosB=sinB?cosC， ∴2sinAcosB=sinCcosB+cosCsinB=sin（B+C）=sinA，

∵0＜A＜π，∴sinA＞0∴2cosB=1，又0＜B＜π，∴

；

，

，

（Ⅱ）∵a=3，△ABC的面积为∴

∴c=2，

，即，

，

∴=．

点评： 本题考查正弦定理和余弦定理及面积公式的运用，考查平面向量的数量积的定义，考查运算能力，属于中档题． 17．（12分）某用人单位招聘员工依次为材料审查、笔试、面试共三轮考核．规定：只能通过前一轮考核才能进入下一轮的考核，否则将被淘汰；三轮考核都通过才算通过该高校的自主招生考试．小王三轮考试通过的概率分别为，，，且各轮考核通过与否相互独立． （Ⅰ）求小王通过该招聘考试的概率；

（Ⅱ）若小王每通过第一轮考核，家长奖励人民币1200元；若小王每通过第二轮考核，家长再奖励人民币1000元；若小王每通过第三轮考核，家长再奖励人民币1400元，记小王得到的金额为X，求X的分布列和数学期望．

考点： 离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列．

专题： 概率与统计．

分析： （1）设“小王通过招聘考核”为事件A，由此利用相互独立事件同时发生的概率乘法公式能求出小王通过招聘考核的概率．

（2）X的可能取值为0元，1200元，2200元，3600元，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望． 解答： 解：（1）设“小王通过招聘考核”为事件A，

则P（A）=

…（4分）

所以小王通过招聘考核的概率为

（2）X的可能取值为0元，1200元，2200元，3600元 …（5分）

，

，

，

…（9分）

所以，X的分布列为 X 0 1200 P

2200

3600

数学期望为（元） …（12分）

点评： 本题主要考查概率、随机变量分布列以及数学期望等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力．

18．（12分）已知单调递增的等比数列{an}满足a2+a3+a4=28，a3+2是a2，a4的等差中项． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

n+1

（Ⅱ）若bn=anlog2an，sn=b1+b2+…+bn，求sn﹣n?2+50＜0成立的正整数n的最小值．

考点： 数列与不等式的综合；等比数列的性质． 专题： 等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．

分析： （Ⅰ）设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，运用等差数列的性质和等比数列的通项公式，结合条件递增，即可得到通项公式；

n+1

（Ⅱ）运用错位相减法求得前n项和，sn﹣n?2+50＜0得到指数不等式，解得即可． 解答： 解：（Ⅰ）设等比数列{an}的首项为a1，公比为q， 由题意有：2（a3+2）=a2+a4 代入a2+a3+a4=28，得a3=8， ∴

，

解之得：，

又∵{an}单调递增，∴a1=2，q=2， ∴（Ⅱ）∴∴

；

，

①

②

∴②﹣①得：=﹣2由

n+1

5

n+1

=

+n?2

n+1

+2，

，得﹣2

n+1

+52＜0，∴2

n+1

＞52．

又当n≤4时，2≤2=32＜52，

n+16

当n≥5时，2≥2=64＞52． 故使

成立的正整数n的最小值为5．

点评： 本题考查等比数列的通项公式和求和公式，等差数列的性质，考查数列求和的方法：错位相减法，考查运算能力，属于中档题．

19．（12分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=CA=AA1，侧棱AA1⊥平面ABC，O、D、E分别是棱AB、A1B1、AA1的中点，点F在棱AB上，且AF=AB． （Ⅰ）求证：EF∥平面BDC1

（Ⅱ）求证：平面OCC1D⊥平面ABB1A1 （Ⅲ）求二面角E﹣BC1﹣D的余弦值．

考点： 二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定． 专题： 空间位置关系与距离；空间角．

分析： （Ⅰ）连接OA1，由已知得EF∥OA1，OBDA1为平行四边形，从而OA1∥BD，由此能证明EF∥平面BDC1．

（Ⅱ）由已知得AA1⊥OC，OC⊥AB，从而OC⊥平面ABB1 A1，由此能证明平面OCC1D⊥平面ABB1 A1．

（Ⅲ）法一：建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法能求出二面角E﹣BC1﹣D的余弦值． （Ⅲ）法二：CODC1为平行四边形，从而C1D∥CO，过E作EG⊥BD于G，过G作GH⊥BC1于H，连接EH，∠GHE为所求二面角E﹣BC1﹣D的平面角，由此能求出二面角E﹣BC1﹣D余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：如图1，连接OA1，

O为AB的中点，且

∴AF=FO，又E为A A1的中点， ∴EF∥OA1（2分）

在三棱柱ABC﹣A1B1C1中， A1B1∥AB且A1B1=AB，

∵O、D分别为AB、A1B1中点， ∴OB∥A1D且OB=A1D，

∴OBDA1为平行四边形，∴OA1∥BD（3分） ∴EF∥BD，又EF?平面BDC，BD?平面BDC ∴EF∥平面BDC1．（4分）

（Ⅱ）证明：如图1，∵AA1⊥平面ABC，OC?平面ABC， ∴AA1⊥OC，（5分） ∵AB=BC，O为AB中点

∴OC⊥AB，又AB、AA1?平面ABB1 A1，AB∩AA1=A（6分） ∴OC⊥平面ABB1 A1，又OC?平面OCC1D ∴平面OCC1D⊥平面ABB1 A1．（8分）

（Ⅲ）解法一，如图2建立空间直角坐标系O﹣xyz，设AB=2 则A（0，﹣1，0），A1（0，﹣1，2），E（0，﹣1，1），

，（9分）

∴

设平面EBC1的法向量为

则取

设平面DBC1的法向量为

（10分）

则取∴

（11分）

．（12分）

故所求二面角E﹣BC1﹣D的余弦值为

（Ⅲ）解法二，如图1，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中 ∵O、D分别为AB、A1B1的中点

∴OD平行且等于AA1，AA1平行且等于CC1， ∴CODC1为平行四边形，

∴C1D∥CO，由（Ⅱ）知，OC⊥平面ABB1 A1 ∴C1D⊥平面ABB1 A1

∴面C1DB⊥平面ABB1A1（9分）

过E作EG⊥BD于G，过G作GH⊥B C1于H，连接EH ∴EG⊥平面BDC1，EG⊥GH，EG⊥BC1 ∴BC1⊥平面EGH，BC1⊥EH，

∴∠GHE为所求二面角E﹣BC1﹣D的平面角（10分） 设AB=2，连接DE，则BE=BD=，DE=， ∴

，∴

，

∵，又，∴，（11分）

∴，

．（12分）

故所求二面角E﹣BC1﹣D余弦值为

点评： 本题考查直线与平面平行的证明，考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养． 20．（13分）已知函数f（x）=ax+lnx，其中为常数． （Ⅰ）当a=﹣1时，求f（x）的单调增区间；

（Ⅱ）当0＜﹣＜e时，若f（x）在区间（0，e）上的最大值为﹣3，求a的值； （Ⅲ）当a=﹣1时，试推断方程|f（x）|=

是否有实数根．

考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值． 专题： 计算题；综合题；函数的性质及应用；导数的综合应用．

分析： （Ⅰ）先求函数f（x）的定义域为{x|x＞0}，再代入求导f′（x）=函数的单调区间；

（Ⅱ）令f′（x）=a+=0解得

；从而确定单调性及最值及即可；

，从而确定

（Ⅲ）由（Ⅰ）知当a=﹣1时，f（x）max=f（1）=﹣1，从而得|f（x）|≥1；再令则g′（x）=

；从而求最值即可．

，

解答： 解：（Ⅰ）由已知知函数f（x）的定义域为{x|x＞0}， 当a=﹣1时，f（x）=﹣x+lnx，f′（x）=

；

当0＜x＜1时，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＜0； 所以，f（x）的单调增区间为（0，1）． （Ⅱ）因为f′（x）=a+，

令f′（x）=0解得由f′（x）＞0解得

；

，由f′（x）＜0解得

，减区间为

；

； ；

从而f（x）的单调增区间为所以，

2

解得，a=﹣e．

（Ⅲ）由（Ⅰ）知当a=﹣1时，f（x）max=f（1）=﹣1， 所以，|f（x）|≥1； 令

，则g′（x）=

；

当0＜x＜e时，g′（x）＞0；当x＞e时，g′（x）＜0；

从而g（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减； 所以，

所以，|f（x）|＞g（x）， 即|f（x）|＞

；

没有实数根．

；

所以，方程|f（x）|=

点评： 本题考查了导数的综合应用及存在性命题的处理方法，属于中档题．

21．（14分）已知函数f（x）=

，g（x）=（）

|x﹣m|

，其中m∈R且m≠0．

（Ⅰ）判断函数f（x）的单调性；

（Ⅱ）当m＜﹣2时，求函数F（x）=f（x）+g（x）在区间[﹣2，2]上的最值； （Ⅲ）设函数h（x）=

，当m≥2时，若对于任意的x1∈[2，+∞），总存在唯

一的x2∈（﹣∞，2），使得h（x1）=h（x2）成立，试求m的取值范围．

考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值． 专题： 计算题；压轴题；函数的性质及应用；导数的综合应用．

分析： （Ⅰ）求导，由导数讨论正负从而

确定函数的单调性；

（Ⅱ）当m＜﹣2，﹣2≤x≤2时，可判断g（x）与f（x）在[﹣2，2]上单调递减，从而

在[﹣2，2]上单调递减；从而求最值；

（Ⅲ）由题意先求得当m≥2，x1∈[2，+∞）时＜2时，

，从而求解．

；从而化为

；再求得当m≥2，x2

即可，记函数

解答： 解：（Ⅰ）依题意，，

①当m＞0时，

解f′（x）≥0得﹣2≤x≤2，解f′（x）＜0得x＜﹣2或x＞2； 所以f（x）在[﹣2，2]上单调递增，在（﹣∞，﹣2），（2，+∞）上单调递减； ②当m＜0时，

解f′（x）≤0得﹣2≤x≤2，f′（x）＞0得x＜﹣2或x＞2； 所以f（x）在[﹣2，2]上单调递减；在（﹣∞，﹣2），（2，+∞）上单调递增．

（Ⅱ）当m＜﹣2，﹣2≤x≤2时，

在[﹣2，2]上单调递减，

由（Ⅰ）知，f（x）在[﹣2，2]上单调递减， 所以∴

．

（Ⅲ）当m≥2，x1∈[2，+∞）时，

，

由（Ⅰ）知h（x1）在[2，+∞）上单调递减， 从而h（x1）∈（0，f（2）]， 即

当m≥2，x2＜2时，

在（﹣∞，2）上单调递

增，

从而h（x2）∈（0，g（2）），即

；

；

在[﹣2，2]上单调递减； ；

对于任意的x1∈[2，+∞），总存在唯一的x2∈（﹣∞，2），使得h（x1）=h（x2）成立， 只需

，即

成立即可．

记函数易知

，

在[2，+∞）上单调递增，且H（4）=0；

所以m的取值范围为[2，4）．

点评： 本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，同时考查了函数的四则运算等，属于难题．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/egep.html