2010年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛

2010年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛

高二试卷

考生注意事项：

本卷共有17道题目，全卷满分100分，考试时间120分钟.

答题前，务必在试题卷、答题卷的密封线内填写好自己的学校、姓名和准考证号. 本卷所有试题都必须用蓝色或黑色笔在答题卷上书写，在试题卷上作答无效. 本卷解答一律不准使用计算器.

一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题有且仅有一个正确的答案） 1．已知：a,b为实数，则“a＞b”是“

11＜”的 （ ） ab A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

2．f(x)是定义在R上的奇函数，对任意x?R总有f(x?)??f(x)，则f(?) 的值为

（ ）

A．0 B．7 C．

202000727277 D．- 2203．cos79?cos41?2?cos79?cos41?cos120的值为 （ ） A．

1113 B． C． D． 43244．经过点P（-1，1）引直线l交两坐标轴于A、B，且?AOB的面积为3（O为原点），若这样的直线l共有n条，则n= （ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

5．某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与

俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b的线段，则a?b的最大值为 （ ）

A．25 B．4 C．23 D．22 6．函数y?x?7?24?3x的值域为 （ ）

A．[1，2] B．[0，2] C．[1，3] D． 0,3

7．把一根长度为6的铁丝截成任意长度的3段，则能构成三角形的概率为 （ ） A．

??1134 B． C． D． 42458．已知：集合M={1，2，3}，N={1，2，3，4}，定义函数f:M?N，若点A（1，f(1)），B（2，f(2)），C（3，

→ → f(3)），?ABC的外接圆圆心D，且DA+DC=?→DB（??R），则满足条件的函数f(x)有 （ ）

A．6个 B．10个 C．12个 D．14个

二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分，请将正确的答案填在横线上）

9．已知：?ABC三个顶点的坐标为A（-2，1），B（6，1），C（-2，16），则?ABC的内切圆方程为 . 10．已知：2?2?2是一个平方数，则正整数m= . 11、设(1?sin?)(1?cos?)?m965m?k，其中k,m,n都是正整数，m,n互质，则，(1?sin?)(1?cos?)?4nk?m?n= .

12．在直角坐标系中，如果两点A（a,b），B（?a,?b）在函数y?f(x)的图象上，那么[A，B]为函数f(x)的一

x≤0 x＞0

???cosx,组关于原点的中心对称点，（[A，B]与[B，A]看作一组），函数g(x)?? 关于原点的中心2??log2010(x?1),对称点的组数为 .

13．如果集合A、B、C（其中可以有相同）的并集AUBUC={1，2，3，4}，那么有序的三元集合组（A，B，C）的个数为 . 14．设正项数列{an}满足

111，a1?a3?6，a1,a2,a3单调递增且成等???1（n?N*）

an?an?1anan?2an?1an?2比数列，Sn为{an}的前n项和，记[x]为不超过x的最大整数，则[S2008]= .

2010年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛

高二答题卷

一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题有且仅有一个正确的答案） 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分，请将正确的答案填在横线上） 9． 10． 11． 12． 13． 14．

三、解答题（本大题共3小题，第15题、16题各10分，17题12分，满分32分，要求写出必要的解答过程） 15．已知：f(x)?2sin(x??3)cos(x??3)?23cos2(x??3)?3

（1）求f(x)的最大值及取得最大值时相应的x的值. （2）若函数y?f(2x)?a在区间[0，

16．在数列{an}中，已知a1=2，an?1(an?1)?2an （1）求数列{an}的通项公式.

（2）记bn?an?(an?1)(n?N*)，数列{bn}的前n项和为Tn，求证Tn＜3.

?]上恰有两个零点x1，x2，求tan(x1?x2)的值. 4

2217．已知：集合A={(x,y)|x?y?10x?16y?81＜0}，B={(x,y)|y≥|x?t|?8}

（1）若A∩B≠?，求实数t的取值范围.

（2）设点P（t,8）?A，集合A、B所表示的两个平面区域的边界相交于点M，N，求

11?的最小值. PMPN

2010年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高二卷答案

一、选择题：DADD BAAC 二、填空题：

9．(x?1)2?(y?4)2?9 10．10 11．27 12．1004 13．2401 14．5352 三、解答题：

15解：（1）f(x)?2sin(2x?当2x??3)

?3?2k???2， x?k??5? (k?Z)时 12f(x)的最大值为2??????????????????????5分

（2）y?f(2x)?a?2sin(4x?结合图像可知：4x1?x1?x2??3)?a

?3?4x2??3??

5? ?tan(x1?x2)?2?3??????????10分 1211116解：（1）由已知可得：an＞0 ?1?(?1)

an?12an2n111n?1 ?1?(?1)?() ?an?n ??????????6分

ana122?12n? （2）bn?an(an?1)?n2(2?1)11＜n 12?22n?n?22

11? （n≥2） nn?1n?12?221111 ?Sn?b1?b2???bn＜2??2???n?1?3?n?1＜3????12分

2222 ≤

17、解（1）集合A={(x,y)|(x?5)2?(y?8)2＜8}

当射线y?x?t?8 （x≥t）与圆(x?5)2?(y?8)2?8相切时 可得t?1或9，t?9（舍去）；

当射线y?t?x?8 （x≤t）与圆(x?5)2?(y?8)2?8相切时 可得t?1或9，t?1（舍去）；

?t的范围为1＜t＜9????????????????????6分

（2）如图：设集合A所表示的圆与x轴平行的直径为CD，MP的延长线与圆的另一个交点为N/

11222?则≥ ??/PMPNPM?PNPC?PDPM?PN442??

PC?PDCD2112?当t?5时等号成立 ?的最小值为??????12分 PMPN2 ≥

y

M N 8 C p D

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/efr3.html