第二章 矩阵及其计算

第二章 矩阵及其计算

1． 教学目的和要求：

（1）理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、对称矩阵、三角矩阵、反对

称矩阵，以及它们的性质.

（2）掌握矩阵的线性运算、乘法、转置，以及它们的运算规律，了解方阵的幂并掌握方阵

的行列式及其性质.

（3）理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质，以及矩阵可逆的充分必要条件. 理解伴随矩

阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵. 2． 教学重点：

（1）矩阵的定义及运算. （2）逆矩阵的概念及相关计算. 3．教学难点：矩阵及逆矩阵的计算.

4．教学内容：

矩阵是线性代数中重要的工具, 我们先从线性方程组引出矩阵.

§1 矩阵

已知n元线性方程组

?a11x1?a12x2???a1nxn?b1?ax?ax???ax?b?2112222nn2????????an1x1?an2x2???annxn?bn (1) 的系数及常数项可以排成m行，n+1列的有序矩阵数表：

a11a21?am1a12a22?am2?a1n?a2n???amn说明：这个有序矩阵数表完全确定了线性方程组（1），对它的研究可以判断（1）的解

的情况。 定义1 由m?n个数

b1b2?bm

aij(i=1,2,?,m;j=1,2,?n)a12?排成的m行n列的数表

a1n??a22?a2n???aij?m?n??aij??????am2?amn??

aA称为m行n列矩阵，简称m?n矩阵m?n，其中ij叫做矩阵A的元素.

根据矩阵中的元素是实数还是复数，可将矩阵分为实矩阵与复矩阵.

下面给出一些特殊矩阵：

?a11??a21A?????a?m11． 行矩阵 m=1

A=(a1,a2,...,an)1×n

?a1????a2?A???????a??m?m?1 2． 列矩阵 n=1

3． 零矩阵 4． 方阵

A??0?m?n?0 (不同型的零矩阵是不同的 ).

m?nA?aijn?n，

??，称为n阶方阵。

?10?0???01?0??En??????????00?1???m?n称为n阶单位矩阵。 5． 单位矩阵

应用举例：

例1 某厂向三个商店发送四种产品的数量可列成矩阵

?a11?A??a21?a?31aa12a22a32a13a23a33a14??a24?a34??

其中ij为工厂向第i店发送第j种产品的数量。

这四种产品的单价及单件重量也可以写成矩阵

?b11b12???bb??B??2122?b31b32???b?b?? 4142

其中

bi1为第i种产品的单价，bi2第i种产品的单件重量。

§2 矩阵的运算

一、矩阵的加法 设

A=(aij)m×n,B=(bij)m×n.称A,B为同型矩阵（行列数均相等）。

1． 相等 2． 加法

A?B??aij?bij?m?nA=B?aij=bij?i?1,2,?,m;j?1,2,?,n?

A?B?(aij?bij)m?n3. 减法

A?B??aij?bij?m?nA?B?(aij?bij)m?n?a11?b11?a1n?b1n??????????am1?bm1?amn?bmn??

?a11?b11?a1n?b1n??????????am1?bm1?amn?bmn??

加法运算律 （1）A?B?B?A;

（2）?A?B??C?A??B?C?

例2 求矩阵X，使X?A?B，其中

2?1??3?20??1????A??112?B??13?4??23?1???2?11??? ，??

2?1??3?20???24?1??1??????X?B?A??13?4???112???02?6???2?11??23?1???4?42???????. 解

二、数与矩阵的乘法

kA=(kaij)m×n,k为常数

kA?(kaij)m?n1. 数乘 2. 负矩阵

?ka11?ka1n??????????kam1?kamn??

?A?(?1)A?(?aij)m?n运算律 （1）(??)A=?(?A)；

（2）?????A??A??A；

) （3）??A?B???A??B (?,?为常数[注] 矩阵的加法和数与矩阵的乘法统称为矩阵的线性运算.

例3 设从某地四个地区到另外三个地区的距离（单位km）为：

?4060105????175130190?B??

12070135????8055100???

已知货物每吨的运费为1.40元/km. 那么，各地区之间每吨货物的运费可记为 ?1.4?40??1.4?1751.4?B??1.4?120??1.4?80?

三、矩阵的乘法

1．线性变换与线性变换的乘积 设有两个线性变换

1.4?601.4?1301.4?701.4?551.4?105??56??1.4?190??245???1.4?135168???1.4?100???112841829877147??266?189??140??

?y1?a11x1?a12x2?a13x3??y2?a21x1?a22x2?a23x3(2)?a11A???a?21 其系数矩阵

a12a22a13??a23??

?x1?b11t1?b12t2??x2?b21t1?b22t2?x?bt?bt311322?3(3) 其系数矩阵

?b11?B??b21?b?31b12??b22?b32??

将(3)代入(2)，可得从t1,t2到y1,y2的线性变换：

?y1??a11b11?a12b21?a13b31?t1??a11b12?a12b22?a13b32?t2??y2??a21b11?a22b21?a23b31?t1??a21b12?a22b22?a23b32?t2称(4)为(2)与(3)的乘积。

相应地，称(4)的系数矩阵为(2)与(3)的系数矩阵的乘积，记作：

(4)

?a11AB???a?21?b11b12??a13???bb?2122?a22a23???b??31b32??a11b11?a12b21?a13b31a11b12?a12b22?a13b32?????ab?ab?aba21b12?a22b22?a23b32?22212331?2111??C

a12

一般地，我们有: 2. 矩阵与矩阵的乘法 定义2 设

C??cij?m?nA=(aij)m×s,B=(bij)s×n.则规定A与B的乘积是一个m?n矩阵

，其中

scij=ai1b1j+ai2b2j+?+aisbsj并记作C=AB [注]

(1) 一行与一列相乘

??aikbkjk?1(i?1,2,?,m;j?1,2,?,n)

其结果为一个数.

(2) 只有A的列数等于B的行数时，AB才有意义（乘法可行）

?b1j????b2j?s?ai1,ai2,?,ais?????aikbkj?cij???k?1?b??sj?6??4?2??3A????21??B????2?4??????，求AB及BA. 例4 设，

6??1632??4?2??3??AB????21???2?4??????8?16???????? 解

6??4?2??00??3BA????2?4?????21?????00????????

由此发现： （1）AB?BA，（不满足交换律）

（2）A?0，B?0，但却有BA?0(注意与实数乘法相区别).

矩阵乘法的运算律（假定运算是可行的）

（1）(AB)C?A(BC) ( 结合律)

（2）A(B?C)?AB?AC； (A?B)C?AC?BC ( 分配律) （3）?(AB)???A?B?A??B?

（4）EA?A，BE?B （单位矩阵的意义所在）

4． n阶方阵的幂

设A是n阶方阵，则定义

或

klA1=A,A2=A1A1,?,Ak+1=AkA1

A1=A,A2=A1A1,?,Ak+1=?A??A?k+1k?l

?Akl，其中k,l为正整数. kkk??AB?AB，(A,B为n阶方阵).若AB=BA, 则称A,B为可交换的但一般地，

规律： AA?An阶方阵

，?A?kl?11???01??? 例5 计算?解法一 （采用数学归纳法）

n?11?A???01????， 设

?11??12A?AA???01????0???则

?12??1A3?A2A???01???????0?1n?1??An?1???0?1??， 假设

A?Ann?11??12?????01??1????， 1??13???????1??01??

则

于是由归纳法知，对于任意正整数n，有

n?1n?1??11??1n?????A?????0????1??01??01???，

?11??1n??????01??01??????

?11?A???01????分解为两个矩阵之和, 然后利用二项式展开定理计算. 解法二 将

四、转置矩阵

定义3 把矩阵A的各行均换成同序数的列所得到的矩阵，称为A的转置矩阵，记作

AT.例如：

运算律 （1）(A)?21???T?20?1?A??03?A????12??132???? ??，

TT=A； （2）(A+B)T=AT+BT；

TTTTT()()AB=BA kA=kA（3）； （4）

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