同济大学线性代数第六版答案(全)

好学子!

第一章 行列式

1 利用对角线法则计算下列三阶行列式 201

(1)1 4

183201

解 1 4

183

2 ( 4) 3 0 ( 1) ( 1) 1 1 8 0 1 3 2 ( 1) 8 1 ( 4) ( 1) 24 8 16 4 4 abc

(2)bca

cababc

解 bca

cab

acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a3 b3 c3

111

(3)abc

a2b2c2111

解 abc

a2b2c2

bc2 ca2 ab2 ac2 ba2 cb2 (a b)(b c)(c a)

好学子!

xyx y

(4)yx yx

x yxyxyx y

解 yx yx

x yxy

x(x y)y yx(x y) (x y)yx y3 (x y)3 x3 3xy(x y) y3 3x2 y x3 y3 x3 2(x3 y3)

2 按自然数从小到大为标准次序 求下列各排列的逆序数

(1)1 2 3 4 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2

解 逆序数为4 41 43 42 32 (3)3 4 2 1

解 逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1 (4)2 4 1 3

解 逆序数为3 2 1 4 1 4 3 (5)1 3 (2n 1) 2 4 (2n)

n(n 1)

解 逆序数为

2 3 2 (1个) 5 2 5 4(2个) 7 2 7 4 7 6(3个)

好学子!

(2n 1)2 (2n 1)4 (2n 1)6 (2n 1)(2n 2) (n 1个)

(6)1 3 (2n 1) (2n) (2n 2) 2 解 逆序数为n(n 1) 3 2(1个) 5 2 5 4 (2个)

(2n 1)2 (2n 1)4 (2n 1)6 (2n 1)(2n 2) (n 1个) 4 2(1个) 6 2 6 4(2个)

(2n)2 (2n)4 (2n)6 (2n)(2n 2) (n 1个) 3 写出四阶行列式中含有因子a11a23的项 解 含因子a11a23的项的一般形式为

( 1)ta11a23a3ra4s

其中rs是2和4构成的排列 这种排列共有两个 即24和42 所以含因子a11a23的项分别是

( 1)ta11a23a32a44 ( 1)1a11a23a32a44 a11a23a32a44 ( 1)ta11a23a34a42 ( 1)2a11a23a34a42 a11a23a34a42 4 计算下列各行列式

好学子!

41 (1)0125120214

2 07

41 解 1252024c2 c342 10 1

23202 104 1 10

2 122 ( 1)4 3 140117c4 7c30010

3 14 4 110c2 c39910

123 142 c00 2 0

1 2c31714

2 (2)31 114152203162 22

40 解 31 1211 c 4 c3 223 11402r4 r2252106

2215

220360

3

1 142221213240 0

r 4 r12

31 1142022030 0 00

(3) bdabacae

bf cfcd deef

解 bdabbf accfcdae

deef

adf bbb ccce ee

1111

1 11 1 4abcdef

好学子!

a1 (4) 001b 1001c 100 1d

a1 解 001b 1001c 10r1 ar201 ab0 1b10 1d00a

1c 100 1d

aba0c3 dc2 abaad

( 1)( 1)2 1 1c1 1c1 cd

0 1d0 10

5 证明:

abad abcd ab cd ad 1 ( 1)( 1)3 2 11 cd

a2abb2

(1)2aa b2b (a b)3;

111 证明

a2abb2c2 c1a2ab a2b2 a2

2aa b2b 2ab a2b 2a

00111c3 c11

222

ab ab aab a (a b)3 (b a)(b a)1 ( 1)2b a2b 2a

3 1

ax byay bzaz bxxyz

(2)ay bzaz bxax by (a3 b3)yzx;

az bxax byay bzzxy 证明

ax byay bzaz bx

ay bzaz bxax by

az bxax byay bz

好学子!

xay bzaz bxyay bzaz bx

ayaz bxax by bzaz bxax by

zax byay bzxax byay bzxay bzzyzaz bx

a2yaz bxx b2zxax by

zax byyxyay bzxyzyzx

a3yzx b3zxy

zxyxyzxyzxyz

a3yzx b3yzx

zxyzxyxyz

(a3 b3)yzx

zxy

a22b (3)2cd2 证明

(a 1)2(b 1)2(c 1)2(d 1)2(a 2)2(b 2)2(c 2)2(d 2)2(a 3)2(b 3)2

0; (c 3)2(d 3)2

a22b 2cd2(a 1)2(b 1)2(c 1)2(d 1)2(a 2)2(b 2)2(c 2)2(d 2)2(a 3)2

(b 3)2(c c c c c c得) (c 3)2433221(d 3)2

a22b c2d22a 12b 12c 12d 12a 32b 32c 32d 32a 5

2b 5(c c c c得) 2c 543322d 5

好学子!

a22b c2d2 1a (4)a2a4

1bb2b4

2a 12b 12c 12d 11cc2c4

1d d2d4

22222

2 0 22

(a b)(a c)(a d)(b c)(b d)(c d)(a b c d); 证明 1a a2a4

1bb2b4

1cc2c4

1d d2d4

1110b ac ad a

0b(b a)c(c a)d(d a)

0b2(b2 a2)c2(c2 a2)d2(d2 a2)

111

cd (b a)(c a)(d a)b

222

(b a)c(c a)d(d a)

11

c bd b (b a)(c a)(d a)0

0c(c b)(c b a)d(d b)(d b a)

1 (b a)(c a)(d a)(c b)(d b)(c 1b a)d(d b a) =(a b)(a c)(a d)(b c)(b d)(c d)(a b c d) x

(5)

0an

1x 0an 1

0 1 0an 2

0000

xn a1xn 1 an 1x an x 1a2x a1

好学子!

证明 用数学归纳法证明

x 1 x2 ax a 命题成立 当n 2时 D2 a122x a1

假设对于(n 1)阶行列式命题成立 即 Dn 1 xn 1 a1 xn 2 an 2x an 1 则Dn按第一列展开 有 1

Dn xDn 1 an( 1)n 1 x

1

0 1 1

00 x

00 1

xD n 1 an xn a1xn 1 an 1x an 因此 对于n阶行列式命题成立

6 设n阶行列式D det(aij), 把D上下翻转、或逆时针旋转90 、或依副对角线翻转 依次得

an1 anna1n annann a1n

D1 D2 D3

a11 a1na11 an1an1 a11证明D1 D2 ( 1)

n(n 1)

2

D D3 D

证明 因为D det(aij) 所以 a11

an1 ann

D1 ( 1)n 1an1

a11 a1n

a21

a1nann a2n

好学子!

a11a21

( 1)n 1( 1)n 2an1

a31

a1na2n

ann a3n

n(n 1)2

( 1)1 2 (n 2) (n 1)D ( 1) 同理可证 D2 ( 1) D3 ( 1)

n(n 1)112

D

a an1n(n 1)n(n 1)

T

( 1)2D ( 1)2D a1n ann

n(n 1)2

n(n 1)2

D2 ( 1)

( 1)

n(n 1)2

D ( 1)n(n 1)D D

7 计算下列各行列式(Dk为k阶行列式)

a

(1)Dn 都是0 解

1

1a

, 其中对角线上元素都是a 未写出的元素

a0

Dn 0

010a0 0000a 0000a 0

000 a0000 a

10

0(按第n行展开) 0a

1

a0

( 1)2n a 0

a(n 1) (n 1)0(n 1) (n 1)

0an 1

( 1)0

0000 0

好学子!

a

n 1n

( 1) ( 1)

a(n 2)(n 2)

an an an 2 an 2(a2 1)

x

(2)Dn a

a

ax a aa; x

a 0 0 0x a

解 将第一行乘( 1)分别加到其余各行 得 xaaa xx a0

Dn a x0x a

a x00

再将各列都加到第一列上 得

x (n 1)aaa

0x a0

Dn 00x a

000 a

0n 1 0 [x (n 1)a](x a) 0x a

an(a 1)nan 1(a 1)n 1

(3)Dn 1

aa 111 (a n)n

(a n)n 1

;

a n 1

解 根据第6题结果 有 11a 1n(n 1)a

Dn 1 ( 1)

an 1(a 1)n 1an(a 1)n

1 a n

n 1

(a n) (a n)n

此行列式为范德蒙德行列式

好学子!

Dn 1 ( 1) ( 1) ( 1)

an

n(n 1)n 1 i j 1

n(n 1)2

[(a i 1) (a j 1)]

n 1 i j 1n(n 1)2

[ (i j)]

n (n 1) 1

2

( 1)

n 1 i j 1

(i j)

n 1 i j 1

(i j)

bn

(4)D2n

cn

a1b1c1d1

; dn

解

an

bn

D2n

cn

a1b1c1d1

(按第1行展开) dn

an 1

an

a1b1c1d1

bn 10

cn 10dn 100dn

好学子!

0an 1

( 1)

2n 1

bn

cn 1cn

a1b1c1d1

bn 1

dn 10

再按最后一行展开得递推公式

D2n andnD2n 2 bncnD2n 2 即D2n (andn bncn)D2n 2 于是 D2n (aidi bici)D2

i 2n

而 D2

a1b1

a1d1 b1c1 c1d1

ni 1

所以 D2n (aidi bici) (5) D det(aij) 其中aij |i j|; 解 aij |i j| 01

Dn det(aij) 23

n 1 1r1 r2 1

1 1r2 r3

n 1

123012101210 n 2n 3n 411 11 11 1 1 n 3n 4

111 1 0

n 1n 2n 3 n 4 0

1 1 1 1 n 2

好学子!

1c2 c1 1

1 1c3 c1

n 1000 200 2 20 2 2 2 2n 32n 42n 5 000 0 n ( 1)n 1(n 1)2n 2

a11

(6)Dn 11 a2

11 解

a11

Dn 11 a2

11

1

1, 其中aa a 0

12n

1 an

1 1 1 an

a1

c1 c2 a2

0

c2 c3

0

00a2 a3 0000a3 00 0 0 0 an 1 0

010101 an 11 an1 an

1 1

a1a2 an0

0001 1 00001 00 000 10

0a1 1

1

0a2

1

0a3

1

1an 1

1

11 an

好学子!

100

a1a2 an

0010 0001 0 000 0000 1

a1 1 1a2 1a3 1an 1

ni 1

000 001 ai 1

(a1a2 an)(1 1)

i 1ai

8 用克莱姆法则解下列方程组 x1 x2 x3 x4 5 x 2x2 x3 4x4 2

(1) 1

2x1 3x2 x3 5x4 2 3x x 2x 11x 0 1234

n

解 因为 1

D 12

3

12 31

1 1 12

1

4 142 511

52 D1 20 D3 2

3所以 x1

12 311 1 1214 142 D 2 52

1135

2 201 1 121

4 284 511

12 315 2 20114 426 D 1

42 5

1131

2 311 1 125

2 142 20

DDDD

1 x2 2 x3 3 x4 1

DDDD

好学子!

1 5x1 6x2

0 x1 5x2 6x3

(2) x2 5x3 6x4 0

x3 5x4 6x5 0

x4 5x5 1

解 因为 51

D 0

00

651000651000651

00

0 665 65

D1 0

051

D3 0

00

6510065100

0651010001

0065100651

05010 1507 D2 0605005010 703 D4 06050

1

000165100

0651006510

0065110001

00

0 1145 6500

0 395 65

5 D5 0

0065100065100065110

0 212 01

所以

x1 1507 x2 1145 x3 703 x4 395 x4 212

665665665665665

x1 x2 x3 0

9 问 取何值时 齐次线性方程组 x1 x2 x3 0有非

x1 2 x2 x3 0

零解？

好学子!

解 系数行列式为

1 D 1

12 令D 0 得 0或 1

于是 当 0或 1时该齐次线性方程组有非零解

(1 )x1 2x2 4x3 0

10 问 取何值时 齐次线性方程组 2x1 (3 )x2 x3 0

x1 x2 (1 )x3 0有非零解？

解 系数行列式为

24 3 4

D 23 1 21 1

111 101

(1 )3 ( 3) 4(1 ) 2(1 )( 3 ) (1 )3 2(1 )2 3 令D 0 得

0 2或 3

于是 当 0 2或 3时 该齐次线性方程组有非零解

好学子!

第二章 矩阵及其运算

1 已知线性变换

x1 2y1 2y2 y3

x2 3y1 y2 5y3 x3 3y1 2y2 3y3

求从变量x1 x2 x3到变量y1 y2 y3的线性变换 解 由已知

x1 221 y1

x2 315 y2

x 323 y

2 3

y1 221 x1 7 49 y1

故 y2 315 x2 63 7 y2

y 323 x 32 4

3 y3 2

1

y1 7x1 4x2 9x3

y2 6x1 3x2 7x3

y3 3x1 2x2 4x3 2 已知两个线性变换

x1 2y1 y3

x2 2y1 3y2 2y3

x3 4y1 y2 5y3 解 由已知

y1 3z1 z2

y2 2z1 z3 y3 z2 3z3

求从z1 z2 z3到x1 x2 x3的线性变换

x1 201 y1 201 31

x2 232 y2 232 20

x 415 y 415 0 1

2 3 0 z1

1 z2 z 3 3

好学子!

613 z1 12 49 z2

10 116 z 3 x1 6z1 z2 3z3

所以有 x2 12z1 4z2 9z3

x3 10z1 z2 16z3

111 123

3 设A 11 1 B 1 24 求3AB 2A及ATB

1 11 051 111 123 111

解 3AB 2A 3 11 1 1 24 2 11 1

1 11 051 1 11 058 111 21322

3 0 56 2 11 1 2 1720

290 1 11 429 2 111 123 058

AB 11 1 1 24 0 56

1 11 051 290

T

4 计算下列乘积

431 7

(1) 1 23 2

570 1

431 7 4 7 3 2 1 1 35

解 1 23 2 1 7 ( 2) 2 3 1 6

570 1 5 7 7 2 0 1 49

3

(2)(123) 2

1

好学子!

3

解 (123) 2 (1 3 2 2 3 1) (10)

1 2

(3) 1 ( 12)

3

2 ( 1)2 2 2 2

解 1 ( 12) 1 ( 1)1 2 1

3 3 ( 1)3 2 3 1

02140 (4) 11 134 4

3 1 30

1 2 1 2

4

2 6

1

02140 解

1 134 1

4

3 1 30

1

2 6 78

1 20 5 6 2

a11a12a13 x1

(5)(x1x2x3) a12a22a23 x2

aaa 132333 x3 解

a11a12a13 x1

(x1x2x3) a12a22a23 x2

aaa 132333 x3

x1

(a11x1 a12x2 a13x3 a12x1 a22x2 a23x3 a13x1 a23x2 a33x3) x2

x 3

222

a11x1 a22x2 a33x3 2a12x1x2 2a13x1x3 2a23x2x3

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