数学练习14

数学练习14（2013-11-28）反比例函数

1. 对于反比例函数y=

5，下列结论中正确的是（ ） xA.y取正值 B.y随x的增大而增大 C.y随x的增大而减小 D.y取负值 2.函数y?kk的图象经过点（-4，6），则下列个点中在y?图象上的是（ ） xxm2?2m?9A.（3，8 ） B.（-3，8） C.（-8，-3） D.（-4，-6） 3. .函数y=mx

A.－2

的图象是双曲线，且在每个象限内函数值y随x的增大而减小，则m的值是（ ）

B.4

C.4或－2

D.－1

4. 在下图中，反比

k2?1例函数y?x的图象大致是（ ）

5、如图，P、P、P123是双曲线上的三点，过这三点分别作y轴的垂线，得到三个三角形，则（ ） P1A1O、P2A2O、P3A3O，设它们的面积分别是S、S、S123A． S ?S?S1236. 函数y?x?m与y?

y O A．

x

O B．

B． SC． S ?S?S?S?S213132

D． S ?S?S123第5题图 m(m?0)在同一坐标系内的图象可以是（ ） xy x

O C． y x

O D． y y A x

O B C 第7题图 x 7.如图，反比例函数y?5的图象与直线y?kx(k?0)相交于B两点， xAC∥y轴，BC∥x轴，则△ABC的面积等于 个面积单位.A.4 B.5 C.10 D.20

8.(2013年临沂)如图，等边三角形OAB的一边OA在x轴上，双曲线y?OB边的中点C，则点B的坐标是（ ）

3x在第一象限内的图像经过

（A）( 1， 3). （B）(3， 1 ). （C）( 2 ，23). （D）(23 ，2 ).

9. (2013年江西省)如图，直线y=x+a－2与双曲线y=a的值为（ ）． A．0 B．1

4交于A，B两点，则当线段AB的长度取最小值时，x C．2 D．5

的图象相交于点A（1,2）和点B，当

10. （2013四川南充，8，3分）如图，函数

时，自变量x的取值范围是（ ）

A. x＞1 B. －1＜x＜0 C. －1＜x＜0 或x＞1 D. x＜－1或0＜x＜1

11. 2013?苏州）如图，菱形OABC的顶点C的坐标为（3，4）．顶点A在x轴的正半轴上，反比例函数y=（x＞0）的图象经过顶点B，则k的值为（ ）

12 A．20 B． 24 C． 32 D． 12. 已知点A（1，y1）、B（2，y2）、C（﹣3，y3）都在反比例函数系是（ ）

A．y3＜y1＜y2 B． y1＜y2＜y3 的图象上，则y1、y2、y3的大小关

D． y3＜y2＜y1 C． y2＜y1＜y3 13. （2013?孝如图，函数y=﹣x与函数的图象相交于A，B两点，过A，B两点分别作y轴的垂线，

4 B． D． 6 C． 8 D． 垂足分别为点C，D．则四边形ACBD的面积为（ ） A． 2 14. （2013?六盘水）下列图形中，阴影部分面积最大的是（ ） A．B． C． 的图象在

15、（2013?巴中）在﹣1、3、﹣2这三个数中，任选两个数的积作为k的值，使反比例函数第一、三象限的概率是 ． 16.如图，在函数

的图象上有点

P1、P2、P3…、Pn、Pn+1，点P1的横坐标为2，且后面每 个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是2，过点 P1、P2、P3…、Pn、Pn+1分别作x轴、y轴的垂线段，构成 若干个矩形，如图所示，将图中阴影部分的面积从左至右

依次记为S1、S2、S3…、Sn，则S1= ，Sn= ． （用含n的代数式表示）

16. （2013?泸州）如图，点P1（x1，y1），点P2（x2，y2），…，点Pn（xn，yn）在函数

（x＞0）的图

象上，△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…，△PnAn﹣1An都是等腰直角三角形，斜边OA1、A1A2、A2A3，…，An﹣1An都在x轴上（n是大于或等于2的正整数），则点P3的坐标是 ；点Pn的坐标是 （用含n的式子表示）．

17.（2013聊城）如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别相交于A，B两点，且与反比例函数y=图象在第二象限交与点C，如果点A为的坐标为（2，0），B是AC的中点． （1）求点C的坐标；

（2）求一次函数的解析式．

的

18. （2013菏泽）（1）已知m是方程x﹣x﹣2=0的一个实数根，求代数式值．

（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=﹣x的图象与反比例函数

的图象交于A、B两点．

2

的

①根据图象求k的值；

②点P在y轴上，且满足以点A、B、P为顶点的三角形是直角三角形，试写出点P所有可能的坐标．

19．（2013?十堰）如图，已知正比例函数y=2x和反比例函数的图象交于点A（m，﹣2）． （1）求反比例函数的解析式；

（2）观察图象，直接写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围；

（3）若双曲线上点C（2，n）沿OA方向平移个单位长度得到点B，判断四边形OABC的形状并证明你的结论．

21.某住宅小区计划购买并种植500株树苗，某树苗公司提供如下信息：

信息一：可供选择的树苗有杨树、丁香树、柳树三种，并且要求购买杨树、丁香树的数量

第23题图 相等.

信息二：如下表：

树苗 每棵树苗批发价格（元）

设购买杨树、柳树分别为x株、y株.

(1) 用含x的代数式表示y；

(2)若购买这三种树苗的总费用为w元，要使这500株树苗两年后对该住宅小区的空气净化指数之和不低于．．．120，试求w的取值范围.

22．某化妆公司每月付给销售人员的工资有两种方案． 方案一：没有底薪，只拿销售提成； 方案二：底薪加销售提成．

设x（件）是销售商品的数量，y（元）是销售人员的月工资．如图12所示，y1为方案一的函数图象，y2为方案二的函数图象．已知每件商品的销售提成方案二比方案一少7元．从图中信息解答如下问题（注：销售提成是指从销售每件商品得到的销售费中提取一定数量的费用）： （1）求y1的函数解析式；

（2）请问方案二中每月付给销售人员的底薪是多少元？

（3）如果该公司销售人员小丽的月工资要超过1000元，那么小丽选用哪种方案最好，至少要销售商品多

y（元） 560 420 杨树 丁香树 柳树 3 2 0.1 3 0.2 两年后每棵树苗对空气的净化指数 0.4 y2 y1 O 30 图12

x（件）

少件？

8.答案：C

解析：设B点的横坐标为a，等边三角形OAB中，可求出B点的纵坐标为3a，所以，C点坐标为（

a3a,），22代入y?3得：a＝2，故B点坐标为( 2 ，23) x9.【答案】 C.

【考点解剖】 本题以反比例函数与一次函数为背景考查了反比例函数的性质、待定系数法，以及考生的直觉判断能力．

【解题思路】 反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形，只有当A、B、O三点共线时，才会

有线段AB的长度最小OA?OB?AB，（当直线AB的表达式中的比例系数不为1时，也有同样的结论）. 【解答过程】 把原点（0，0）代入y?x?a?2中，得a?2.选C..

【方法规律】 要求a的值，必须知道x、y的值（即一点的坐标）由图形的对称性可直观判断出直线AB过原点（0，0）时，线段AB才最小，把原点的坐标代入解析式中即可求出a的值. 【关键词】 反比例函数 一次函数 双曲线 线段最小 10答案：C

解析：将点A（1,2）代入，可得：y?2，y?2x， x时，自变量x的取值范围是－1＜x

联立方程组，可得另一交点B（－1，－2），观察图象可知，当

＜0 或x＞1 11. 11.考反比例函数综合题． 点： 分析： 过C点作CD⊥x轴，垂足为D，根据点C坐标求出OD、CD、BC的值，进而求出B点的坐标，即可求出k的值． 解答： 解：过C点作CD⊥x轴，垂足为D， ∵点C的坐标为（3，4）， ∴OD=3，CD=4， ∴OC===5， ∴OC=BC=5， ∴点B坐标为（8，4）， ∵反比例函数y=（x＞0）的图象经过顶点B， ∴k=32， 故选D． 12.反比例函数图象上点的坐标特征． 考点： 专探究型． 题： 分分别把各点代入反比例函数y=求出y1、y2、，y3的值，再比较出其大小即可． 析： 解解：∵点A（1，y1）、B（2，y2）、C（﹣3，y3）都在反比例函数的图象上， 答： ∴y1==6；y2==3；y3==﹣2， ∵6＞3＞﹣2， ∴y1＞y2＞y3． 故选D． 点本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此评： 函数的解析式是解答此题的关键． 13考反比例函数与一次函数的交点问题． 点： 分析： 首先根据反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=|k|，得出S△AOC=S△ODB=2，再根据反比例函数的对称性可知：OC=OD，AC=BD，即可求出四边形ACBD的面积． 解答： 解：∵过函数的图象上A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D， ∴S△AOC=S△ODB=|k|=2， 又∵OC=OD，AC=BD， ∴S△AOC=S△ODA=S△ODB=S△OBC=2， ∴四边形ABCD的面积为：S△AOC+S△ODA+S△ODB+S△OBC=4×2=8． 故选D． 点评： 本题主要考查了反比例函数y=中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|；图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=|k|，是经常考查的一个知识点；同时考查了反比例函数图象的对称性． 14.考反比例函数系数k的几何意义． 点： 分析： 分别根据反比例函数系数k的几何意义以及三角形面积求法以及梯形面积求法得出即可． 解答： 解：A、根据反比例函数系数k的几何意义，阴影部分面积和为：xy=3， B、根据反比例函数系数k的几何意义，阴影部分面积和为：3， C、根据反比例函数系数k的几何意义，以及梯形面积求法可得出： 阴影部分面积为：（1+3）=2， D、根据M，N点的坐标以及三角形面积求法得出，阴影部分面积为：×2×6=6， 阴影部分面积最大的是6． 故选：D． 15考列表法与树状图法；反比例函数的性质． 点： 分析： 首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与任选两个数的积作为k的值，使反比例函数的图象在第一、三象限的情况，再利用概率公式即可求得答案． 解答： 解：画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，任选两个数的积作为k的值，使反比例函数的有2种情况， 的图象在第一、三象限∴任选两个数的积作为k的值，使反比例函数的图象在第一、三象限的概率是： =． 故答案为：． 点评： 本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比． 6 考反比例函数系数k的几何意点： 义．3718684 专规律型． 题： 分求出P1、P2、P3、P4…的纵坐标，析： 从而可计算出S1、S2、S3、S4…的高，进而求出S1、S2、S3、S4…，从而得出Sn的值． 解解：当x=2时，P1的纵坐标为4， 答： 当x=4时，P2的纵坐标为2， 当x=6时，P3的纵坐标为， 当x=8时，P4的纵坐标为1， 当x=10时，P5的纵坐标为：， … 则S1=2×（4﹣2）=4=2[﹣]； S2=2×（2﹣）=2×=2[﹣]； S3=2×（﹣1）=2×=2[﹣]； … Sn=2[﹣]=； 故答案为：4，． 点此题考查了反比例函数图象上点评： 的坐标特征，根据坐标求出个阴影的面积表达式是解题的关键． 16.反比例函数综合题． 考点： 专综合题． 题： 分过点P1作P1E⊥x轴于点E，过点析： P2作P2F⊥x轴于点F，过点P3作P3G⊥x轴于点G，根据△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3都是等腰直角三角形，可求出P1，P2，P3的坐标，从而总结出一般规律得出点Pn的坐标． 解解：过点P1作P1E⊥x轴于点E，答： 过点P2作P2F⊥x轴于点F，过点P3作P3G⊥x轴于点G， ∵△P1OA1是等腰直角三角形， ∴P1E=OE=A1E=OA1， 设点P1的坐标为（a，a），（a＞0）， 将点P1（a，a）代入y=，可得a=1， 故点P1的坐标为（1，1）， 则OA1=2a， 设点P2的坐标为（b+2，b），将点P1（b+2，b）代入y=，可得b=﹣1，

故点P2的坐标为（则A1F=A2F=2+1，﹣1）， ﹣2，， ，c），OA2=OA1+A1A2=2设点P3的坐标为（c+2将点P1（c+2得c=﹣，c）代入y=，可， +，故故点P3的坐标为（﹣）， 综上可得：P1的坐标为（1，1），P2的坐标为（的坐标为（++1，，﹣1），P3﹣）， 总结规律可得：Pn坐标为：（+，+，﹣，﹣﹣）． ）、）． 故答案为：（（+点本题考查了反比例函数的综合，涉评： 及了点的坐标的规律变化，解答本题的关键是根据等腰三角形的性质结合反比例函数解析式求出P1，P2，P3的坐标，从而总结出一般规律，难度较大． 17.考点：反比例函数与一次函数的交点问题．专题：探究型． 分析：（1）先根据点A的坐标为（2，0），B是AC的中点，B在y轴上，得出点C的横坐标为﹣2，再将x=﹣2代入y=，求出y=4，即可得到点C的坐标； （2）设一次函数的解析式y=kx+b，将点A．点C的坐标代入，运用待定系数法即可求出一次函数的解析式． 解答：解：∵点A的坐标为（2，0），B是AC的中点，B在y轴上， ∴点A与点C的横坐标互为相反数，即点C的横坐标为﹣2， ∵点C在反比例函数y=的图象上， ∴y=﹣=4， ∴点C的坐标为（﹣2，4）； （2）设一次函数的解析式y=kx+b． ∵点A（2，0），点C（﹣2，4）在直线y=kx+b上， ∴， 解得． ∴一次函数的解析式y=﹣x+2． 点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，运用待定系数法确定函数的解析式，这是常用的一种解题方法．同学们要熟练掌握这种方法． 18．考点：反比例函数与一次函数的交点问题；分式的化简求值． 分析：（1）根据方程的解得出m2﹣m﹣2=0，m2﹣2=m，变形后代入求出即可； （2）①求出A的坐标，代入反比例函数的解析式求出即可； ②以A或B为直角顶点求出P的坐标是（0，2）和（0，﹣2），以P为直角顶点求出P的坐标是（0，），（0，﹣）． 解答：解：（1）∵m是方程x2﹣x﹣2=0的根， ∴m2﹣m﹣2=0，m2﹣2=m， ∴原式=（m2﹣m）（+1） =2×（+1）=4． （2）①把x=﹣1代入y=﹣x得：y=1， 即A的坐标是（﹣1，1）， ∵反比例函数y=经过A点， ∴k=﹣1×1=﹣1； ②点P的所有可能的坐标是（0，（0，﹣），（0，2），（0，﹣2）． ），点评：本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题和直角三角形的判定的应用，主要考查学生的计算能力，用了分类讨论思想． 19．考反比例函数综合题．3718684 点： 分析： （1）设反比例函数的解析式为y=（k＞0），然后根据条件求出A点坐标，再求出k的值，进而求出反比例函数的解析式； （2）直接由图象得出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围； （3）首先求出OA的长度，结合题意CB∥OA且CB=，判断出四边形OABC是平行四边形，再证明OA=OC即可判定出四边形OABC的形状． 解答： 解：（1）设反比例函数的解析式为y=（k＞0）， ∵A（m，﹣2）在y=2x上， ∴﹣2=2m， ∴m=﹣1， ∴A（﹣1，﹣2）， 又∵点A在y=上， ∴k=﹣2， ∴反比例函数的解析式为y=； （2）观察图象可知正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围为﹣1＜x＜0或x＞1； （3）四边形OABC是菱形． 证明：∵A（﹣1，﹣2）， ∴OA==， ， 由题意知：CB∥OA且CB=∴CB=OA， ∴四边形OABC是平行四边形， ∵C（2，n）在y=上， ∴n=1， ∴C（2，1）， OC==， ∴OC=OA， ∴四边形OABC是菱形． 点评： 本题主要考查了反比例函数的综合题的知识点，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的性质以及菱形的判定定理，此题难度不大，是一道不错的中考试题． 四、1．解:⑴y?400?2x. ⑵根据题意,得 解这个不等到式组得:100≤x≤200 ∵ ??0.4x?0.1x?0.2?400?2x??90???400?2x?0w?3x?2x?3?400?2x??1200?x （法1） ∴x=1200-w，∴100≤1200-w≤200，解得 1000≤w≤1100. （法2）. 又 ∵w随x的增大而减小，并且100≤x≤200， ∴-200+1200≤w≤-100+1200，即1000≤w≤1100 2．解（1）设y1的函数解析式为y?kx(x≥0)． ?y1经过点(30，420)，?30k?420． ?k?14．?y1的函数解析式为y?14x(x≥0)． （2）设y2的函数解析式为y?ax?b(x≥0)，它经过点(30，560)， ?560?30a?b．?每件商品的销售提成方案二比方案一少7元，?a?14?7?7． ?560?30?7?b．?b?350，即方案二中每月付给销售人员的底薪为350元． （3）由（2），得y2的函数解析式为y?7x?350(x≥0)．联合y?14x与y?7x?350组成方程组，解得x?50，y?700．?1000?700，?小丽选择方案一最好．由14x?1000，x?71得37．?x为正整数，?x取最小整数72．故小丽至少要销售商品72件．

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