中考数学知识点考点几何部分:梯形
更新时间:2023-08-24 12:00:01 阅读量: 教育文库 文档下载
梯形
与平行四边形一样,梯形也是一种特殊的四边形,其中等腰梯形与直角梯形占有重要地位,本讲就来研究它们的有关性质的应用.
例1 如图2-43所示.在直角三角形ABC中,E是斜边AB上的中点,D是AC的中点,DF∥EC交BC延长线于F.求证:四边形EBFD是等腰梯形.
分析 因为E,D是三角形ABC边AB,AC的中点,所以ED∥BF.此外,还要证明(1)EB=DF;
(2)EB不平行于DF.
证 因为E,D是△ABC的边AB,AC的中点,所以
ED∥BF.
又已知DF∥EC,所以ECFD是平行四边形,所以
EC=DF. ①
又E是Rt△ABC斜边AB上的中点,所以
EC=EB. ②
由①,②
EB=DF.
下面证明EB与DF不平行.
若EB∥DF,由于EC∥DF,所以有EC∥EB,这与EC与EB交于E矛盾,所以EB 根据定义,EBFD是等腰梯形. DF.
例2 如图2-44所示.ABCD是梯形, AD∥BC, AD<BC,AB=AC且AB⊥AC,BD=BC,AC,BD交于O.求∠BCD的度数.
分析 由于△BCD是等腰三角形,若能确定顶点∠CBD的度数,则底角∠BCD可求.由等腰Rt△ABC可求知斜边BC(即BD)的长.又梯形的高,即Rt△ABC斜边上的中线也可求出.通过添辅助线可构造直角三角形,求出∠BCD的度数.
解 过D作DE⊥EC于E,则DE的长度即为等腰Rt△ABC斜边上的高AF.设AB=a,由于△ABF也是等腰直角三角形,由勾股定理知
AF+BF=AB,
即
222
又
BC=AB+AC=2AB=2a, 22222
由于BC=DB,所以,在Rt△BED中,
从而∠EBD=30°(直角三角形中30°角的对边等于斜边一半定理的逆定理).在△CBD中,
例3 如图2-45所示.直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,∠ADC=135°,CD的垂直平分线交BC于N,交AB延长线于F,垂足为M.求证:AD=BF.
分析 MF是DC的垂直平分线,所以ND=NC.由AD∥BC及∠ADC=135°知,∠C=45°,从而∠NDC=45°,∠DNC=90°,所以ABND是矩形,进而推知△BFN是等腰直角三角形,从而AD=BN=BF.
证 连接DN.因为N是线段DC的垂直平分线MF上的一点,所以ND=NC.由已知,AD∥BC及∠ADC=135°知
∠C=45°,
从而
∠NDC=45°.
在△NDC中,
∠DNC=90°(=∠DNB),
所以ABND是矩形,所以
AF∥ND,∠F=∠DNM=45°.
△BNF是一个含有锐角45°的直角三角形,所以BN=BF.又
AD=BN,
所以 AD=BF.
例4 如图2-46所示.直角梯形ABCD中,∠C=90°,AD∥BC,AD+BC=AB,E是CD的中点.若AD=2,BC=8,求△ABE的面积.
分析 由于AB=AD+BC,即一腰AB的长等于两底长之和,它启发我们利用梯形的中位线性质(这个性质在教材中是梯形的重要性质,我们将在下一讲中深入研究它,这里只引用它的结论).取腰AB的中点F
,
(或BC).过
A引AG⊥BC于G,交EF于H,则AH,GH分别是△AEF与△BEF的高,所以
AG=AB-BG=(8+2)-(8-2)=100-36=64,
所以AG=8.这样S△ABE(=S△AEF+S△BEF)可求.
解 取AB中点F,连接EF.由梯形中位线性质知
EF∥AD(或BC),
22222
过A作AG⊥BC于G,交EF于H.由平行线等分线段定理知,AH=GH且AH,GH均垂直于EF.在Rt△ABG中,由勾股定理知
AG=AB-BG
=(AD+BC)-(BC-AD)
=10-6=8,
所以 AG=8,
从而 AH=GH=4,
所以
S△ABE=S△AEF+S△BEF
22222222
例5 如图2-47所示.四边形ABCF中,AB∥DF,∠1=∠2,AC=DF,FC<AD.
(1)求证:ADCF是等腰梯形;
(2)若△ADC的周长为16厘米(cm),AF=3厘米,AC-FC=3厘米,求四边形ADCF的周长. 分析 欲证ADCF是等腰梯形.归结为证明AD∥CF,AF=DC,不要忘了还需证明AF不平行于DC.利用已知相等的要素,应从全等三角形下手.计算等腰梯形的周长,显然要注意利用AC-FC=3厘米的条件,才能将△ADC的周长过渡到梯形的周长.
解 (1)因为AB∥DF,所以∠1=∠3.结合已知∠1=∠2,所以∠2=∠3,所以 EA=ED.
又 AC=DF,
所以 EC=EF.
所以△EAD及△ECF均是等腰三角形,且顶角为对顶角,由三角形内角和定理知∠3=∠4,从而AD∥CF.不难证明
△ACD≌△DFA(SAS),
所以 AF=DC.
若AF∥DC,则ADCF是平行四边形,则AD=CF与FC<AD矛盾,所以AF不平行于DC.
综上所述,ADCF是等腰梯形.
(2)四边形ADCF的周长=AD+DC+CF+AF. ①
由于
△ADC的周长=AD+DC+AC=16(厘米), ②
AF=3(厘米), ③
FC=AC-3, ④
将②,③,④代入①
四边形ADCF的周长=AD+DC+(AC-3)+AF
=(AD+DC+AC)-3+3
=16(厘米).
例6 如图2-48所示.等腰梯形ABCD中,AB∥CD,对角线AC,BD所成的角∠AOB=60°,P,Q,R分别是OA,BC,OD的中点.求证:△PQR是等边三角形.
分析 首先从P,R分别是OA,OD中点知,欲证等边三角形PQR的边长应等于等腰梯形腰长之半,为此,只需证明QR,QP等于腰长之半即可.注意到△OAB与△OCD均是等边三角形,P,R分别是它们边上的中点,因此,BP⊥OA,CR⊥OD.在Rt△BPC与Rt△CRB中,PQ,RQ分别是它们斜边BC(即等腰梯形的腰)的中线,因此,PQ=RQ=腰BC之半.问题获解. 证 因为四边形ABCD是等腰梯形,由等腰梯形的性质知,它的同一底上的两个角及对角线均相等.进而推知,∠OAB=∠OBA及∠OCD=∠ODC.又已知,AC与BD成60°角,所以,△ODC与△OAB均为正三角形.连接BP,CR,则BP⊥OA,CR⊥OD.在Rt△BPC与Rt△CRB中,PQ,RQ分别是它们的斜边BC上的中线,所以
又RP是△OAD的中位线,所以
因为 AD=BC, ③
由①,②,③得
PQ=QR=RP,
即△PQR是正三角形.
说明 本题证明引人注目之处有二:
(1)充分利用特殊图形中特殊点所带来的性质,如正三角形OAB边OA上的中点P,可带来BP⊥OA的性质,进而又引出直角三角形斜边中线PQ等于斜边BC之半的性质.
(2)
等腰梯形的“等腰”就如一座桥梁“接通”了“两岸”的髀
使△PQR
的三边相等.
练习十三
1.如图2-49所示.梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD=DC,BD⊥CD.求∠A的度数.
2.如图2-50所示.梯形ABCD中,AD∥BC,AE∥DC交BC于E,△ABE的周长=13厘米,AD=4厘米.求梯形的周长.
3.如图2-51所示.梯形ABCD中,AB∥CD,∠A+∠B=90°,AB=p,CD=q,E,F分别为AB,CD的中点.求EF.
4.如图2-52所示.梯形ABCD中,AD∥BC,M是腰DC的中点,MN⊥AB于N,且MN=b,AB=a.求梯形ABCD的面积.
5.已知:梯形ABCD中,DC∥AB,∠A=36°,∠B=54°,M,N分别是DC,AB的中点.求证:
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