上海交大大学物理习题6

习题6

6-1．设固有长度l0?2.50m的汽车，以v?30.0m/s的速度沿直线行驶，问站在路旁的观察者按相对论计算该汽车长度缩短了多少？

1221?x?1?x?22l?l1?(uc)02解：，由泰勒展开，知

221u1u?141?(u2)?1??l?l?l?l??1.25?10m0022c2c，2c∴。

86-2．在参考系S中，一粒子沿直线运动，从坐标原点运动到了x?1.5?10m处，经历时间为?t?1.00s，试计算该过程对应的固有时。

2???t1?(u2c2)?t?S解：以粒子为系，利用有：

1.5?1082?t??1?()?0.866s83?10 。

6-3．从加速器中以速度v?0.8c飞出的离子在它的运动方向上又发射出光子。求这光子相对于加速器的速度。

vx?解：设加速器为S系，离子为S?系，利用：

v??uc?0.8cvx?x??cuv?0.8c?c1?2x1?c2c则：。

v?x?uuv?1?2xc，

6-4 1000m的高空大气层中产生了一个π介子，以速度v?0.8c飞向地球,假定该π介子在其自身的

?6静止参照系中的寿命等于其平均寿命2.4×10s，试分别从下面两个角度，即地面上观测者相对π介子静止系中的观测者来判断该π介子能否到达地球表面。 解：（1）地面上的观察者认为时间膨胀：

u2(0.8c)21?21?c，∴c2有

8?6由l?v?t?0.8?3?10?4?10?960m?1000m，∴到达不了地球； （2）?介子静止系中的观测者认为长度收缩：

?t??t'?t?2.4?106?4?10?6sa(0.8c)2u2l?10001??600ml?l01?22cc，∴有

?68而s?v?t?2.4?10?0.8?3?10?576m?600m，∴到达不了地球。

6-5 长度l0?1m的米尺静止于S'系中，与x′轴的夹角?'=30°，S'系相对S系沿x轴运动，在S系中观测者测得米尺与x轴夹角为??45°。试求：（1）S'系和S系的相对运动速度。（2）S系中测得的米尺长度。 解：（1）米尺相对S?静止，它在x?,y?轴上的投影分别为：

?L0sin???0.5m??L0cos???0.866mL?Lx，y。

米尺相对S沿x方向运动，设速度为v，对S系中的观察者测得米尺在x方向收缩，而y方向的长度不

v2?1?2Lx?Lxy c，Ly?L?变，即：

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tan??故 ：

LyLx?L?yLx?L?yv2?1?2Lxc。

v20.51??ο??c20.866，故 ：v?0.816c 把??45及L,Ly代入，则得：LyL??0.707mSsin45?(2)在系中测得米尺长度为。

6-6 一门宽为a，今有一固有长度l0(l0＞a)的水平细杆，在门外贴近门的平面内沿其长度方向匀速运动。若站在门外的观察者认为此杆的两端可同时被拉进此门，则该杆相对于门的运动速率u至少为多少？

uul?l01?()2a?l01?()2c，c 解：门外观测者测得杆长为运动长度，当1?a时，可认为能被拉进门，则：解得杆的运动速率至少为：

6-7 两个惯性系中的观察者O和O?以0.6c（c表示真空中光速）的相对速度相互接近，如果O测得两者的初始距离是20m，则O?测得两者经过多少时间相遇？

L20?t?0?v0.6c 解： O测得相遇时间为?t：

au?c1?()2l0L01??2?t????8?8.89?10s， ?v??O ?t测得的是固有时：∴

LL?L01??2?L01?0.62?0.8L0?t??v 或者，O?测得长度收缩：

0.8L00.8?20?t????8.89?10?8s80.6c0.6?3?10

6-8 一宇航员要到离地球为5光年的星球去旅行．如果宇航员希望把这路程缩短为3光年，则他所乘

的火箭相对于地球的速度是多少？

3l??3?l01??2?51??2,?1??25解：

?t∴

6-9．两个宇宙飞船相对于恒星参考系以0.8c的速度沿相反方向飞行，求两飞船的相对速度。

'v?0.8cv?SSxx解：设宇宙船A为系，测得恒星的速度为，宇宙船B为系，测得恒星的速度为??0.8c，两个飞船的相对速度为u，

'vx?uvx?'uvx1?2c，有： 根据洛伦兹速度变换公式：

?0.8c?u0.8c??0.8cu1?c2 得：u?0.976c。

10s后到达x2点，6-10．从S系观察到有一粒子在t1?0时由x1?100m处以速度v?0.98c沿x方向运动，

?,x1?,t2?,x2?各为如在S?系(相对S系以速度u?0.96c沿x方向运动)观察，粒子出发和到达的时空坐标t1v?1?94c?c255

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多少？(t?t??0时，S?与S的原点重合)，并算出粒子相对S?系的速度。

ut?2xx?utct??x??22u1?(u2)1?()c，c2， 解：利用洛仑兹变换：考虑到

21?(uc2)?1?0.962?0.28，有：

u0.96cx0??100212cct1????1.147?10?6s21?(0.96c)21?(u2)cc；

t1?u0.96cx10??9.8c222cc??t2??2.11s221?(0.96c)1?(u2)cc；

t2???x1x1?ut11?(u2?2100?0.96c?01?(0.96c)c2?357.14mc)?；

?2.14?108m??x2x2?ut22u1?(9.8c?0.96c?101?(0.96c)2cc2)；

vx?u0.98c?0.96c??1.014?108m/su0.96c1?2vx1?2?0.98ccc 。

6-11．一飞船静长l0，以速度u相对于恒星系作匀速直线飞行，飞船内一小球从尾部运动到头部，宇

'vx?航员测得小球运动速度为v，试算出恒星系观察者测得小球的运动时间。

l?t??0v， 解：设恒星系为S系，飞船为S?系，由题意：

uu?x?u?t??2?x??t?(1?2)l0(1?2v)cc?t??c?t??2221?(u2)1?(u2)v1?(u2)ccc。 ∴

??06-12．一个静止的K介子能衰变成一个π介子和一个π介子，这两个π介子的速率均为0.85c．现有

0一个以速率0.90c相对于实验室运动的K介子发生上述衰变。以实验室为参考系，两个π介子可能有的最大速率和最小速率是多少？

vx?0解：以实验室为S系，运动的K介子为S?系，利用

v??u0.85c?0.9cvxmax?x??0.992cuv?0.9c?0.85c1?2x1?c2c最大速度：，

v??u(?0.85c)?0.9cvxmin?x??0.213cuv?0.9c?(?0.85c)1?2x1?c2c最小速度 。

6-13．一个电子从静止开始加速到0.1c，需对它做多少功？，若速度从0.9c增加到0.99c又要做多少功？

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v?x?uuv?1?2xc，有：

22E?mc?mc0解：由相对论动能：k：

Ek1?m0c2(11?v11?v222?1)?0.51?106(c2?c211?0.12?1)?2.57MeV；

（1）

Ek2?m0c2(11?v21)c2

（2）

?0.51?106(11?0.992?11?0.92)?2.44MeV 。

6-14．一静止电子(静止能量为0.51MeV)被1.3MeV的电势差加速，然后以恒定速度运动。求：（1）电子在达到最终速度后飞越8.4m的距离需要多少时间？（2）在电子的静止系中测量，此段距离是多少？

2解：（1）∵m0c?0.51MeV，Ek?1.3MeV

m?22mc?mc?Ek?1.81MeV，考虑到：0∴

m0v21?2c，

v2m0c21?2?cmc2，可求得：v?0.96c?2.88?108m?s?1， 得：

l8.4?8t???2.92?10s8v2.88?10那么，； vl??l1?2c，有l??8.4?1?0.962?2.37m。 （2）由

26-15．有两个中子A和B，沿同一直线相向运动，在实验室中测得每个中子的速率为?c．试证明相

1??22E?mc021??AB对中子静止的参考系中测得的中子的总能量为：，其中m0为中子的静质量。 证明：设中子A为S系，实验室为S?系，中子B相对于中子A速度为：

v??u2?cvx?x?2u1??1?2v?2xE?mcc，代入，有：

m0c2m0c21??22E???mc0222?21??vx1?()1?221??c 。

?316-16．一电子在电场中从静止开始加速，电子的静止质量为9.11?10kg. （1）问电子应通过多大的电势差才能使其质量增加0.4%？ （2）此时电子的速率是多少？

m?m0?0.00422E?eUE?mc?mcm00解：（1）由k，且k，，

0.004m0c2U??2.05?103V222eU?mc?mc?0.004mc00e有：，∴；

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v2m01?2?m?1.004mcm，可求得：v?2.7?107m?s?1。 0，∴（2）∵

6-17．已知一粒子的动能等于其静止能量的n倍，求：（1）粒子的速率，（2）粒子的动量。

222E?nmcE?mc?mck0k0解：（1）依题意知：，又∵，

m0c2v21?2c∴

?m0c2?nm0c2v211?2?(n?1)2 ，有：ccn(n?2)v?n?1； 整理得：222242E?Pc?mcE?(n?1)mc00（2）由，而：， 得：P?m0cn(n?2)。

1236-18．太阳的辐射能来源于内部一系列核反应，其中之一是氢核(1H)和氘核(1H)聚变为氦核(2He)，同时放出?光子，反应方程为：

1231H?1H?2He?? 3已知氢、氘和He的原子质量依次为1.007825u、2.014102u和3.016029u. 原子质量单位

1u?1.66?10?27kg. 试估算?光子的能量。 解：?m?1.007825u?2.014102u?3.016029u

?0.005898u?0.979?10?29kg

0.979?10?29?(3?108)22?E??mc??5.5MeV1.6?10?19根据质能方程：。

思考题6

6-1．关于狭义相对论，下列几种说法中错误的是下列哪种表述：

（A）一切运动物体的速度都不能大于真空中的光速；

（B）在任何惯性系中，光在真空中沿任何方向的传播速率都相同； （C）在真空中，光的速度与光源的运动状态无关； （D）在真空中，光的速度与光的频率有关。 答：（D）

6-2．两飞船A、B均沿静止参照系的x轴方向运动，速度分别为v1和v2。由飞船A向飞船B发射一束光，相对于飞船A的速度为c，则该光束相对于飞船B的速度为多少？ 答：光速c 。

6-3．在惯性系S和S?，分别观测同一个空间曲面。如果在S系观测该曲面是球面，在S?系观测必定是椭球面。反过来，如果在S?系观测是球面，则在S系观测定是椭球面，这一结论是否正确？ 答：根据运动的相对性这个结论是正确的。

6-4．一列以速度v行驶的火车，其中点C?与站台中点C对准时，从站台首尾两端同时发出闪光。从看来，这两次闪光是否同时？何处在先？

u?t???(?t?2?x)c答：根据，由于?t?0，?x?0，所以?t??0，即对C?点的观测者来说两次闪光不同时发生，尾部在先。

6-5．一高速列车穿过一山底隧道，列车和隧道静止时有相同的长度l0，山顶上有人看到当列车完全进

入隧道中时，在隧道的进口和出口处同时发生了雷击，但并未击中列车。试按相对论理论定性分析列

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车上的旅客应观察到什么现现象？这现象是如何发生的？

答：对于地面的观察者雷击是在不同地方同时发生的，但是对于列车上的旅客来说这两个事件不是同时发生的，他应该看到两次雷击现象。

6-6．假设在海拔9000m高山处产生的?子，静止时的平均寿命为?0?2?s，以速度v?0.998c向山下运动。在下述两参考系中估计在山脚下能否测到?子？（1）在地面参考系中观测；（2）在?子参考系中观测。

2l??v?5.988?10m； ??0答：在子参考系中观测子飞过的距离 ll???9.46?103mv21?2?c对于地面的观测者子飞过的距离，

因l?大于9000m，所以可以到达地面。

6-7．在地球上测量来自太阳赤道上相对的两端辐射的Hα线，其中一条Hα线的波长为656nm，且与

?3另一条Hα线的波长相差9?10nm. 假定此效应是由于太阳自转引起的，求太阳自转的周期（太阳的直径是1.4?10km）。

答：此题可根据多普勒效应求解，具体解略。

6-8．设在S?系中有一粒子，原来静止于原点O?，在某一时刻粒子分裂为相等的两半A和B，分别以速率u沿x?轴的正向和反向运动。设另一参考系S以速率u沿?x?方向运动。

（1）S系中测得B的速度多大？

6mA)m（2）S系中测得A和B的质量比B多大？

答：S系中测得B的速度为0。

u?u2uc2v??22uc?u21?2cA相对于S系中的速度：，

(m0(c2?u2)mA??2c2?u2v1?2c（1）；

mAc2?u2?22（2）mBc?u。

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