【历年高一数学期末试题】河北省唐山市2012-2013学年度高一上学期期末考试甲卷答案数学 Word版含答案

唐山市高一年级2012～2013学年度第一学期期末考试

数学甲卷参考答案及评分标准

一、选择题

A卷：CDABB BCBDA DA B卷：DABCD CBABC DC 二、填空题

13．(－

3

41] 14．8 15．4 16．①③④ 三、解答题 17．解：

（Ⅰ－cosα＋2sinα －sinα＋4cosα－1＋2tanα

－tanα＋4

＝5，

∴tanα＝3． （Ⅱ）sin2α＝2sinαcosα2tanα3

sinα＋cosα＝ 1＋tanα5

18．解：

由题意得：

2(t＋1)， 0＜t≤2，f(t)＝ －t2

＋6t－2，2＜t＜4，

14－2t， 4≤t＜6．

19. 解：

（Ⅰ）设b＝（x，y）， ∵a∥b ，∴y＝2x； ①

又∵|b|＝25，∴x2＋y2

＝20； ②

由①②联立，解得c＝(2，4)或c＝(－2，－4)．

（Ⅱ）由已知(2a＋c)⊥(4a－3c)，

(2a＋c)·(4a－3c)＝8a2－3c 2－2a·c＝0， 又|a|＝5，|c|＝10， 解得a·c＝5，

∴cos＜a，ca·c2

|a||c|2，＜a，c＞∈[0，π]

∴a与c的夹角为

4.

20．解：

A＝22A＝22，

，

（Ⅰ）由题意可知， 2ω＋φ＝

2 6ω＋φ＝π，

解得 ω＝8 φ

4.

因此，函数的解析式为y＝2sin

(

8x＋4)

．

（Ⅱ）由 kπ≤

3

228x4≤2＋2kπ，得2＋16k≤x≤10＋16k，所以，函数y＝f(x)的单调递减区间为[2＋16k，10＋16k]（k∈Z）．

…5分 …10分

…12分…5分

…12分

…8分

…12分

21．解：

13

以OB所在直线为x轴，以O为原点建立直角坐标系，由题意可得A－22，B(1，

(

0)，C(cosθ，sinθ)．

（Ⅰ）当θ＝

2时，C(0，1)

A

∵→OC＝x→OA＋y→OB，

∴(0，1)＝x(

1

3

2，2＋y(1，0)，

0＝－

1

2＋y，

∴

3，解得1＝3

2x，

x＝23 y3

3

…5分

（Ⅱ）由题意可知θ∈[

0，2

3]

，

∵→OC＝x→OA＋y→OB，

∴(cosθ，sinθ)＝x(－

1

3

2

2)＋y(1，0)，

cosθ＝－

1

x＝3

2x＋y，∴ 3θ，解得

sinθ＝3

2，

y＝cosθ＋3

3θ．

xy＝23

(cosθ3

3θ3sinθ)

＝3

2

3θcosθ3sin2θ

＝3

2θ＋

2

1－cos2θ33 2

＝

2

(

＋ 1

32θ－63． 由θ∈[

02 ]

[

7 ]

(

)[

1

3，得2θ－6－66，sin2θ6∈－21]

，因此，xy∈[0，1]

…12分

22．解：

（Ⅰ）由题意可知定义域：x≠a，因为函数为奇函数，所以a＝0． 经检验，a＝0时函数f(x)为奇函数．

（Ⅱ）函数在(12]上f(x)为减函数．

设x1，x2是(1，2]上任意两个实数，且x1＜x2．

f(x)－f(x22

12)＝x1＋x1－1x2－x2

－1

＝x2(x2－x1)

1－x2( x1－1)( x2－1)

＝(x2

1－x2)[1－( x 1－1)( x2－1)

]

∵x1，x2∈(12]，且x1＜x2．

∴x1－x2＜0，( x1－1)( x2－1) ∈(0，1),

2

( x x21－1)(2－1)

∴12

( x－1)( x－1)＜0

12

∴(x[2

1－x2)1－( x ＞01－1)( x2－1)

]

，故f(x1)＞f(x2)． 因此，函数f(x)在(1，2]上为减函数．

（Ⅲ）不等式x2(y＋z)＋y2(z＋x)＋z2(x＋y)≥kxyz

等价于x2(y＋z)＋y2(z＋x)＋z2(x＋y)

xyz

k 即：

x

x

y

y

z

z

z＋yxzyx≥k 设：P=

x

x

y

y

z

z

z＋y＋x＋zy＋x不妨令z为斜边长，边长为y的边的对角为α， 所以

x

y

(

zcosαz＝sinα，α∈0，2)

．

P＝ x x y y z z

1＋sinα＋cosαzyxz＋yx＝sinα＋cosα＋ sinαcosα

令t＝sinα＋cosα，sinαcosα＝t2－1

2

2P＝t＋t－1

f(t)，

又α∈(0,

)

t＝sinα＋cosα＝2sin(α＋

2，得4)∈(1，2]

由（Ⅱ）可知，在(1，2]上f(t)＝t＋2

t－1为减函数．

当t＝2时，f(t)有最小值2＋2．

∴原不等式恒成立等价于32 ＋2≥k， 因此，k的最大值为32 ＋2．

…2分 …4分

…8分

…12分

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