二元一次方程组经典讲义

八年级精品班专用讲义

金牌数学初二专题系列之 一次函数

1、二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元

一次方程。

2、二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一

次方程组。

3、二元一次方程组的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次

方程的解，二元一次方程有无数个解。

4、二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。 5、代入消元法解二元一次方程组：

（1） 基本思路：未知数又多变少。

（2） 消元法的基本方法：将二元一次方程组转化为一元一次方程。

（3） 代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，

再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这个方法叫做代入消元法，简称代入法。

（4） 代入法解二元一次方程组的一般步骤：

1、从方程组中选出一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数（例如y）用含另一个未知数（例如x）的代数式表示出来，即写成y=ax+b的形式，即“变”

2、将y=ax+b代入到另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元一次方程，即“代”。 3、解出这个一元一次方程，求出x的值，即“解”。 4、把求得的x值代入y=ax+b中求出y的值，即“回代” 5、把x、y的值用｛联立起来即“联”

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6、加减消元法解二元一次方程组

（1） 两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或

相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。

（2） 用加减消元法解二元一次方程组的解

1、方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数幼不相等，那么就用适当的数乘方程两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等，即“乘”。

2、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数、得到一个一元一次方程，即“加减”。 3、解这个一元一次方程，求得一个未煮熟的值，即“解”。

4、将这个求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程中，求出另一个未知数的值即“回代”。

5、把求得的两个未知数的值用{联立起来，即“联”。

二元一次方程组应用题

1、 一、列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步，即： 2、 审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表示其中的两个未

知数；

3、 找：找出能够表示题意两个相等关系；

4、 列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组； 5、 解：解这个方程组，求出两个未知数的值；

6、 答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案

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题型一：基础回顾

?x?2例1.已知?是方程x-ky=1的解，那么k= k=-1

?y?3拓展变式练习

?x=y+5?2x-y=51.已知方程组?和方程组?有相同的解，则m的值是 5

?x+y+m=0?x+y+m=02.在方程2x?y?5中，用x的代数式表示y，得y?_______．5?2x 3.若方程4xm?n?5ym?n?6是二元一次方程，则m?____，n?____．1，0 4.若x?2y??3，则5?x?2y?____．8 5.下列方程： ①2x?yx3?1； ②??3； ③x2?y2?4； 32y④5(x?y)?7(x?y)；⑤2x2?3；⑥x?1?4．其中是二元一次方程的是 ．①，④ y题型二：技能拓展

?4x?y?5?ax?by?3例2.（8分）已知方程组?和?有相同的解，求a2?2ab?b2的值．

?3x?2y?1?ax?by?1

拓展变式练习

?3x?5z?6 ①?m?n?2 ①1.（6分）解方程组? 2.（6分）解方程组?

?x?4z??15 ②?2m?3n?14 ②

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?4(x?y?1)?3(1?y)?2?3.（6分）解方程组?xy

??2??23

?x??1?x?24.已知?和?都是方程y=ax+b的解，求a和b的值．

y?3y?0??

题型三：综合能力提升

例3.某城市规定：出租车起步价允许行使的最远路程为3千米，超过3千米的部分按每千米另行收费，甲说：“我乘这种出租车走了11千米，付了17元”；乙说：“我乘这种出租车走了23千米，付了35元”．请你算一算这种出租车的起步价是多少元？以及超过3千米后，每千米的车费是多少元？ 解：设出租车的起步价是x元，超过3千米后，每千米的车费是y元，由题意得： {x+y(11-3)=17，x+y(23-3)=35， 解得：{x=5，y=3/2，

答：出租车的起步价是5元，超过3千米后，每千米的车费是1.5元．

拓展变式练习

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1.甲、乙、丙三队要完成A、B两项工程．B工程的工作量比A工程的工作量多25%，甲、乙、丙三队单独完成A工程所需的时间分别是20天、24天、30天．为了共同完成这两项工程，先派甲队做A工程，乙、丙二队做B工程；经过几天后，又调丙队与甲队共同完成A工程．问乙、丙二队合作了多少天？

解：可设A的工作量为1，可得B的工作量；两个等量关系为：甲独做的工作量+甲丙合作的工作量=1；乙丙合作的工作量+乙独做的工作量=B的工作量，把相关数值代入求解即可．解答：解：设乙、丙二队合作了x天，丙队与甲队合作了y天．将工程A视为1，则工程B可视为1+25%=5/4，由题意得：{x/20+y/30+y/20=1，x/24+x/30+y/24=5/4去分母得{3x+5y=60，9x+5y=150， 由此可解得x=15，

答：乙、丙二队合作了15天．点评：考查二元一次方程组的应用，根据工作量得到两个等量关系是解决本题的关键；在工程问题中，如果工作总量不是一个具体的量，常常将工作总量视为1． 2.（2013?苏州）苏州某旅行社组织甲乙两个旅游团分别到西安、北京旅行，已知这两旅游团共有55人，甲旅游团的人数比乙旅游团的人数的2倍少5人．问甲、乙两个旅游团个有多少人？ 分析： 设甲、乙两个旅游团个有x人、y人，根据题意可得等量关系：甲团+乙团=55人；甲团人数=乙团人数×2﹣5，根据等量关系列出方程组，再解即可． 解答： 解：设甲、乙两个旅游团个有x人、y人，由题意得： ， 解得， 答：甲、乙两个旅游团个有35人、20人． 3.（2013聊城）夏季来临，天气逐渐炎热起来，某商店将某种碳酸饮料每瓶的价格上调了10%，将某种果汁饮料每瓶的价格下调了5%，已知调价前买这两种饮料个一瓶共花费7元，调价后买上述碳酸饮料3瓶和果汁饮料2瓶共花费17.5元，问这两种饮料在调价前每瓶各多少元？

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