高中数学联赛

高中数学联赛

全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》。

全国高中数学联赛(加试)在知识方面有所扩展，适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加内容是： 1．平面几何

几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理； 三角形旁心、费马点、欧拉线； 几何不等式； 几何极值问题；

几何中的变换：对称、平移、旋转； 圆的幂和根轴：

面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。 2．代数

周期函数，带绝对值的函数；

三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数；

递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式； 第二数学归纳法；

平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数及其应用； 复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根；

多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*；

n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理； 函数迭代，求n次迭代*，简单的函数方程*。 3．初等数论

同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余系，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法*，欧拉定理*，孙子定理*。 4．组合问题

圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式； 组合计数，组合几何； 抽屉原理； 容斥原理； 极端原理； 图论问题； 集合的划分； 覆盖；

平面凸集、凸包及应用*。

(有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。) 全国中学生物理竞赛内容提要2006年2月修订版。 一、理论基础 力 学 1、运动学

参照系。质点运动的位移和路程，速度，加速度。相对速度。 矢量和标量。矢量的合成和分解。矢量的标积和矢积

匀速及匀速直线运动及其图象。运动的合成。抛体运动。圆周运动。 刚体的平动和绕定轴的转动。 2、牛顿运动定律 力学中常见的几种力

牛顿第一、二、三运动定律。惯性参照系的概念。摩擦力。 弹性力。胡克定律。 惯性力的概念。

万有引力定律。均匀球壳对壳内和壳外质点的引力公式（不要求导出）。 开普勒定律。行星和人造卫星的运动。 3、物体的平衡

共点力作用下物体的平衡。力矩刚体的平衡。重心。物体平衡的种类。 4、动量

冲量。动量。质点与质点组的动量定理。

动量守恒定律。质心，质心运动定理。反冲运动及火箭。 5、冲量距

角动量。质点与质点组的角动量定理（不引入转动惯量）。 角动量守恒定律。 6、机械能

功和功率。动能和动能定理。

重力势能。引力势能。质点及均匀球壳壳内和壳外的引力，势能公式（不要求导出）。 弹簧的弹性势能。功能原理。机械能守恒定律。碰撞。恢复系数。 7、流体静力学

静止流体中的压强。浮力。 8、振动

简揩振动[ x=Acos(ωt α)]。振幅。频率和周期。位相。振动的图象。 参考圆。振动的速度υ=－Asin(ωt α)]和加速度。 由动力学方程确定简谐振动的频率，简谐振动的能量。 同方向同频率简谐振动的合成。

阻尼振动。受迫振动和共振（定性了解）。 9、波和声

横波和纵波。波长、频率和波速的关系。波的图象。 平面简谐波的表达式y= Acos(t－x/v)

波的干涉和衍射（定性）。驻波，声波。声音的响度、音调和音品。 声音的共鸣。乐音和噪声。多普勒效应。

热 学

1、分子动理论 原子和分子的量级。

分子的热运动。布朗运动。温度的微观意义。 分子力。 分子的动能和分子间的势能。物体的内能。 2、热力学第一定律 热力学第一定律。 3、热力学第二定律

热力学第二定律。可逆过程和不可逆过程。 4、气体的性质 热力学温标。

理想气体状态方程。普适气体恒量。 理想气体状态方程的微观解释（定性）。 理想气体的内能。

理想气体的等容、等压、等温和绝热过程（不要求用微积分运算）。 5、液体的性质 流体分子运动的特点。

表面张力系数。浸润现象和毛细现象（定性）。 6、固体的性质

晶体和非晶体。空间点阵。 固体分子运动的特点。 7、物态变化

熔解和凝固。熔点。熔解热。

蒸发和凝结。饱和汽压。沸腾和沸点。汽化热。临界温度。 固体的升华。空气的湿度和湿度计。露点。 8、热传递的方式 传导、对流和辐射。 9、热膨胀

热膨胀和膨胀系数。 电 学 1、静电场

库仑定律。电荷守恒定律。

电场强度。电场线。点电荷的场强，场强叠加原理。均匀带电球壳壳内的场强和壳外的场强公式（不要求导出）。匀强电场。 电场中的导体。静电屏蔽。

电势和电势差。等势面。点电荷电场的电势公式（不要求导出）。电势叠加原理。均匀带电球壳壳内和壳外的电势公式（不要求导出）。

电容。电容器的连接。平行板电容器的电容公式（不要求导出）。 电容器充电后的电能。电介质的极化。介电常数。 2、恒定电流

欧姆定律。电阻率和温度的关系。 电功和电功率。电阻的串、并联。 电动势。闭合电路的欧姆定律。

一段含源电路的欧姆定律。基尔霍夫定律。 电流表。电压表。欧姆表。 惠斯通电桥，补偿电路。 3、物质的导电性

金属中的电流。欧姆定律的微观解释。 液体中的电流。法拉第电解定律。

气体中的电流。被激放电和自激放电（定性）。 真空中的电流。示波器。

半导体的导电特性。P型半导体和N型半导体。

晶体二极管的单向导电性。三极管的放大作用（不要求机理）。 超导现象。 4、磁场

电流的磁场。磁感应强度。磁感线。匀强磁场。 长直导线中的电流和磁场。 安培力。洛仑兹力。电子荷质比的测定。质谱仪。回旋加速器。 5、电磁感应

法拉第电磁感应定律。楞次定律。感应电场（涡旋电场） 自感系数。互感和变压器。 6、交流电

交流发电机原理。交流电的最大值和有效值。 纯电阻、纯电感、纯电容电路。 整流、滤波和稳压。

三相交流电及其连接法。感应电动机原理。 7、电磁振荡和电磁波

电磁振荡。振荡电路及振荡频率。

电磁场和电磁波。电磁波的波速，赫兹实验。 电磁波的发射和调制。电磁波的接收、调谐，检波。 光 学

1、几何光学

光的直进、反射、折射。全反射。 光的色散。折射率与光速的关系。

平面镜成像。球面镜成像公式及作图法。薄透镜成像公式及作图法。 眼睛。放大镜。显微镜。望远镜。 2、波动光学

光程，光的干涉和衍射（定性），双缝干涉，单缝衍射光谱分析。电磁波谱。 原子和原子核 。 光谱和 1、光的本性

光电效应。光的学说的历史发展。爱因斯坦方程。波粒二象性。光子的能量和动量。 2、原子结构

卢瑟福实验。原子的核式结构。

玻尔模型。用玻尔模型解释氢光谱。玻尔模型的局限性。 原子的受激辐射。激光。 3、原子核 原子核的量级。

天然放射现象。放射线的探测。

质子的发现。中子的发现。原子核的组成。

核反应方程。质能方程。裂变和聚变。基本粒子。 夸克模型。 4、不确定关系 实物粒子的波粒二象性。

5、狭义相对论 爱因斯坦假设时间和长度的相对论效应 6、太阳系、银河系宇宙和黑洞的初步知识。 数学基础

1、中学阶段全部初等数学（包括解析几何）。

2、矢量的合成和分解。极限、无限大和无限小的初步概念。 3、不要求用微积分进行推导或运算。 二、实验基础

1、要求掌握国家教委制订的《全日制中学物理教学大纲》中的全部学生实验。

2、下列仪器和用具：米尺。游标卡尺。螺旋测微器。天平。停表。温度计。量热器。电流表。电压表。欧姆表。万用电表。电池。电阻箱。变阻器。电容器。变压器。电键。二极管。光具座（包括平面镜、球面镜、棱镜、透镜等光要求能正确地使用（有的包括选用）学元件在内）。

3、有些没有见过的仪器。要求能按给定的使用说明书正确使用仪器。例如：电桥、电势差计、示波器、稳压电源、信号发生器等。

4、除了国家教委制订的《全日制中学物理教学大纲》中规定的学生实验外，还可安排其它的实验来考查学生的实验能力，但这些实验所涉及到的原理和方法不应超过本提要第一部分（理论基础），而所用仪器就在上述第2、3指出的范围内。

5、对数据处理，除计算外，还要求会用作图法。关于误差只要求：直读示数时的有效数字电桥PM6306和误差；计算结果的有效数字电桥PM6306（不做严格的要求）；主要系统误差来源的分析。 三、其它方面

物理竞赛的内容有一部分要扩及到课外获得的知识。主要包括以下三方面： 1、物理知识在各方面的应用。对自然界、生产和日常生活中一些物理现象的解释。 2、近代物理的一些重大成果和现代的一些重大信息。 3、一些有重要贡献的物理学家的姓名和他们的主要贡献。

目录

第一章 原子结构与性质 第一节 原子结构

第二节 原子结构与元素的性质 归纳与整理 复习题 第二章 分子结构与性质 第一节 共价键

第二节 分子的立体结构 第三节 分子的性质 归纳与整理 复习题 第三章 晶体结构与性质 第一节 晶体的常识 第二节 分子晶体与原子晶体 第三节 金属晶体 第四节 离子晶体 归纳与整理 复习题 开放性作业——元素周期表 后记

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1．表达物理世界特征的所有(可测量的)无量纲参数原则上是否都可以推算，

或者是否存在一些仅仅取决于历吏或量子力学偶发事

件，因而也是无法推算 的参数?

爱因斯坦的表述更为清楚：上帝在创造宇宙时是否有选择?想象上帝坐

在控制台前，准备引发宇宙大爆炸。“我该把光速定在多少?”“我该让这

种名叫电子的小点带多少电荷?”“我该把普朗克常数——即决定量子大小

的参数——的数值定在多大?”他是不是为了赶时间而胡乱抓来几个数字?抑

或这些数值必须如此，因为其中深藏着某种逻辑?

2．量子引力如何帮助解释宇宙起源?

现代物理学的两大理论是标准模型和广义相对论。前者利用量子力学来

描述亚原子粒子以及它们所服从的作用力，而后者是有关引力的理沦。很久

以来，物理学家希望合二为一，得到一种“万物至理”——即量子引力论，

以便更深入地了解宇宙，包括宇宙是如何随着大爆炸自然地诞生的。实现这

种融合的首要候选理论是超弦理论，或者叫 M理论

——这是其名称的最新

“升级版”，M代表“魔法”( magic)、“神秘”( mystery)或“所有理论

之母”( mother of alltheories)。

3．质子的寿命有多长，如何来理解?

以前人们认为质子与中子不同，它永远不会分裂成更小的颗粒。这曾

被当成真理。然而在70年代，理论物理学家认识到，他们提出的各种可能

成为“大一统理论”——该理论把除引力外的所有作用力汇于一炉——的

理论暗示：质子必须是不稳定的。只要有足够长的时间，在极其偶然的情 况下，质子是会分裂的。 况下，质子是会分裂的。

办法是捕捉到正在死去的质子。许多年来，实验人员一直在地下实验

空中密切注视大型的水槽，等待着原子内部质子的死去。但迄今未止质子

的死亡率是零，这意味着要么质子十分稳定，要么它们的寿命很长——估

计在10亿亿亿亿年以上。

4．自然界是超对称的吗？如果是，超对称性是如何破灭的?

许多物理学家认为，把包括引力在内的所有作用力统一成为单一的理

论要求证明两种差异极大的粒子实际上存在密切的关系，这种关系就是所 谓的超对称现象。

第一种粒子是费密子，可以把它们粗略地说成是物质的基本组件，就

像质子、电子和中子一样。它们聚集在一起组成物质。另一种粒子是玻色

子，它们是传递作用力的粒子，类似于传递光的光子。在超对称的条件下，

每一个费密子都有一个与之对应的玻色子，反之亦然。

物理学家有杜撰古怪名字的冲动，他们把所谓的超级对称粒子称为

“Sparticle”。但由于在自然界中还没有观察到5particle，物理学家

还需要解释这种对称性“破灭”的原因：随着宇宙冷却

并凝结成现在的这

种不对称状态，在其诞生之际所存在的数学上的完美被打破了。

5．为什么宇宙表现为一个时间维数和三个空间维数? 这只是因为还没有想到一个可以接受的答案，只是因为除了上下、左

右、前后，人们无法想像在更多的方向上运动。这并不意味着宇宙原本就

是这样的。实际上，根据超弦理论，肯定还存存着另外六个维数，每一维

都呈卷曲状，十分微小，因而无法察觉。如果这一理论是正确的，那么为

什么只有这三个维数是伸展开来的，留给我们这个相对幽闭恐怖的空间呢?

6．为什么宇宙常数有它自身的数值?它是否为零，是否真正恒定?

直到最近，宇宙学家仍然认为宇宙是以一个稳定的速度在膨胀。但最

近的观察发现，宇宙可能膨胀得越来越快。人们用一个叫宇宙常数的数字

来描述这种轻微的加速。这个常数是否如人们早期所认为的是零，或者是

一个非常小的数值，物理学家现在还无法做出解释。 根据一些基本计算，这个常数 应该很大——是我们观测结果的大约

10到122倍。换句话说，宇宙应该以跳跃般的速度在膨胀。而实际情况并

非如此，肯定有什么机制在压制这种作用。如果宇宙真是超对称性的，那

宇宙常数就该被完全抵消掉。但这种对称性——如果确实存在的话——看

来已经破灭。如果这个常数随时间的变化而变化的话，那情况就更加复杂 了。

7．M理论的基本自由度( M理论的低能极限是 ll维的超引力，它包含5种

相容的超弦理论)是多少?这一理论是否真实地描述了自然?

多年来，超弦理论最大的弱点是它有5个不同的版本。到底哪一个——

如果有的话——描述了宇宙?反对这一理论的人最近

已经接受了被称为 M理

论的最主要的 l l维理论框架。但情况却因此变得更加复杂。

在 M里论前，所有的亚原子粒子都被说成是由微小的超弦组成的。M理

论给组成亚原子的物质增加了一种叫做“膜”(brane)的更为神秘的物质，

它就像生理学上的膜一样，但最多有9个维数度。现在的问题是，什么是更

基本的物质组成单位，是膜组成了弦还是刚好相反?或者另外存在着一些更

基本的物质单位，只是人们没有想到罢了?最后，这两种东西中是否有一种

确实存在，或者 M理论仅仅是一种迷人的大脑游戏?

8，黑洞信息悖论的解决方法是什么?

根据量子理论，信息——无沦它描述的是粒子运动的速度还是油墨颗

粒组成文件的确切方式——是不会从宇宙中消失的。但物理学家基普·索

恩、约翰·普雷希尔和斯蒂芬·霍金却提出了一个固定的假设：如果你把 学会心静，细心的寻找自己的优势，取长补短。

记地图的方法

首先闭上你的眼睛，先想像一下宇宙有多大，不断想宇宙的边境在哪里？这样先锻炼你的发散思维。

再接着从宇宙的想象中回到银河系——太阳系——八大行星（注意他们的的特征。首先考虑太阳系的最关键因素是什么？——太阳，不然就不叫太阳系，因为太阳有强大的引力控制八大新星运转，其次就是他的核反应所放出的光和热，光是沿直线传播，而光是热的载体。所以有光的地方就有光明和热量。而太阳就是光源，距离太阳越近，光照就越强，亮度和热量就越多，反而亦之。这样你就可以知道八大新星的基本状态，随距离太阳远近依次温度降低，放光度依次减弱，这样可以知道每个星球的自然状况。例如由于地球距离太阳的距离特殊而得到的光照，温度适合生命的诞生，所以就会有生物。

一本大不列颠百科全书扔进黑洞中去，将会发生什么事?宇宙中是否有其他

同样的百科全书是无关紧要的。正如物理学中所定义的，信息并不等同于

含义，信息仅指二进制的数字，或是一些其他的代码，它被用来精确地描

述一个物体或一种方式。所以看起来那些特定的书本里的信息将被吞没，

并永远地消失。但人们觉得这是不可能的。 霍金博士和索恩博士相信那些信息确实消失了，而量子力学必须对此

作出解释。普雷希尔博士推测信息其实并没有消失；它也许以某种形式显

示于黑洞的表面，如同在一个宇宙中的银幕上。

9．何种物理学能够解释基本粒子的重力与其典型质量

之间的巨大差距?

换言之，为什么重力比其他的作用力(如电磁力)要弱得多?一块磁铁

能够吸起一个回形针，即使整个地球的引力在把它往下拉。

根据最近的一种说法，重力实际上要大得多。它仅仅是看上去比较弱

而已，因为大部分重力陷入了某一个额外的维数度之中。如果我们可以用

高能粒子加速器俘获全部的重力，也许就有可能制造出微型黑洞。虽然这

看上去会引起固体垃圾处理业的兴趣，但这些黑洞很可能刚一形成就消失 了。

10，我们能否定量地理解量子色动力学中的夸克和胶子约束以及质量差距 的存在?

量子色动力学( QCD)是描述强核子力的理论。这种力由胶子携带，它

把夸克结合成质子和中子这样的粒子。根据量子色动力学理论，这些微小

的亚粒子永远受到约束。你无法把一个夸克或脑子从质子中分离出来，因

为距离越远，这种强作用力就越大，从而迅速地把它们拉回原位。

但物理学家还没有最终证明夸克和胶子永远 不能逃脱约束。他们也不

能解释为什么所有能感受强作用力的粒子必须至少有一丁点儿的质量，为

什么它们的质量不能为零。一些人希望 M理论能提供答案，这一理论也许 还能进一步阐明重力的本质。

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