第五章 相交线与平行线单元测试附解析

第五章 相交线与平行线单元测试附解析

一、选择题

1．在下列命题中，为真命题的是（ ）

A ．相等的角是对顶角

B ．平行于同一条直线的两条直线互相平行

C ．同旁内角互补

D ．垂直于同一条直线的两条直线互相垂直 2．能说明命题“若a ＞b ，则3a ＞2b “为假命题的反例为（ ）

A ．a ＝3，b ＝2

B ．a ＝﹣2，b ＝﹣3

C ．a ＝2，b ＝3

D ．a ＝﹣3，b ＝﹣2 3．下列选项中，不是运用“垂线段最短”这一性质的是（ ）

A ．立定跳远时测量落点后端到起跳线的距离

B ．从一个村庄向一条河引一条最短的水渠

C ．把弯曲的公路改成直道可以缩短路程

D ．直角三角形中任意一条直角边的长度都比

斜边短

4．如图，直线//m n ，在Rt ABC 中，90B ∠=?，点A 落在直线m 上，BC 与直线n 交于点D ，若2130∠=?，则1∠的度数为（ ）.

A ．30°

B ．40°

C ．50°

D ．65°

5．定义：平面内的直线l 1与l 2相交于点O ，对于该平面内任意一点M ，点M 到直线l 1、l 2的距离分别为a 、b ，则称有序非负实数对（a ，b ）是点M 的“距离坐标”，根据上述定义，距离坐标为（2，1）的点的个数有（ ）

A ．2个

B ．3个

C ．4个

D ．5个

6．如图，∠1=70°，直线a 平移后得到直线b ，则∠2-∠3（ ）

A ．70°

B ．180°

C ．110°

D ．80°

7．如图，直线AB 、CD 相交于点E ，DF ∥AB ．若∠AEC=100°，则∠D 等于（ ）

A ．70°

B ．80°

C ．90°

D ．100°

8．如图，直线l 1∥l 2∥l 3，等腰Rt △ABC 的三个顶点A ，B ，C 分别在l 1，l 2，l 3上，∠

ACB=90°，AC 交l 2于点D ，已知l 1与l 2的距离为1，l 2与l 3的距离为3，则AB:BD 的值为（ ）

A ．425

B ．34

C ．528

D ．3220

9．已知//DE FG ，三角尺ABC 按如图所示摆放，90C ∠=?，若137∠=?，则2∠的度数为（ ）

A ．57°

B ．53°

C ．51°

D ．37° 10．命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的条件是（ ） A ．垂直

B ．两条直线互相平行

C ．同一条直线

D ．两条直线垂直于同一条直线

二、填空题

11．如图，直线l 1∥l 2∥l 3，等边△ABC 的顶点B 、C 分别在直线l 2、l 3上，若边BC 与直线l 3的夹角∠1=25°，则边AB 与直线l 1的夹角∠2=________．

12．如图，//AB CD ，FN AB ⊥，垂足为点O ，EF 与CD 交于点G ，若130∠=?，则2∠=______．

13．已知直线AB ∥CD ，点P 、Q 分别在AB 、CD 上，如图所示，射线PB 按顺时针方向以每秒4°的速度旋转至PA 便立即回转，并不断往返旋转；射线QC 按顺时针方向每秒1°旋转

至QD停止，此时射线PB也停止旋转．

（1）若射线PB、QC同时开始旋转，当旋转时间30秒时，PB'与QC'的位置关系为_____；（2）若射线QC先转45秒，射线PB才开始转动，当射线PB旋转的时间为_____秒时，PB′∥QC′．

14．如图，已知A1B//A n C，则∠A1＋∠A2＋…＋∠A n等于__________(用含n的式子表示)．

15．如果∠α与∠β的两边分别平行，∠α比∠β的3倍少40°，则∠α的度数为_______．16．如图,AB∥CD,BF平分∠ABE,DF平分∠CDE,∠BFD=35°，那么∠BED的度数为_______.

17．如图，Rt△AOB和Rt△COD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠B＝40°，∠C＝60°，点D在边OA上，将图中的△COD绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第________秒时，边CD恰好与边AB平行．

18．如图①：MA1∥NA2，图②：MA11NA3，图③：MA1∥NA4，图④：MA1∥NA5，……，

则第n个图中的∠A1+∠A2+∠A3+…+∠A n+1______.（用含n的代数式表示）

19．如图，∠AOB＝60°，在∠AOB的内部有一点P，以P为顶点，作∠CPD，使∠CPD的两边与∠AOB的两边分别平行，∠CPD的度数为_______度．

20．观察下列图形：已知a b ，在第一个图中，可得∠1+∠2=180°，则按照以上规律：112n P P ∠+∠+∠++∠=…_________度．

三、解答题

21．如图，两个形状，大小完全相同的含有30°、60°的三角板如图放置，PA 、PB 与直线MN 重合，且三角板PAC ，三角板PBD 均可以绕点P 逆时针旋转．

（1）①如图1，∠DPC ＝ 度．

②我们规定，如果两个三角形只要有一组边平行，我们就称这两个三角形为“孪生三角形”，如图1，三角板BPD 不动，三角板PAC 从图示位置开始每秒10°逆时针旋转一周（0°<旋转<360°），问旋转时间t 为多少时，这两个三角形是“孪生三角形”．

（2）如图3，若三角板PAC 的边PA 从PN 处开始绕点P 逆时针旋转，转速3°

/秒，同时三角板PBD 的边PB 从PM 处开始绕点P 逆时针旋转，转速2°

/秒，在两个三角板旋转过程中，（PC 转到与PM 重合时，两三角板都停止转动）．设两个三角板旋转时间为t 秒，以下两个结论：①

CPD BPN

∠∠为定值；②∠BPN +∠CPD 为定值，请选择你认为对的结论加以证明．

22．对于平面内的∠M 和∠N ，若存在一个常数k ＞0，使得∠M ＋k ∠N ＝360°，则称∠N 为∠M 的k 系补周角．如若∠M ＝90°，∠N ＝45°，则∠N 为∠M 的6系补周角．

（1）若∠H ＝120°，则∠H 的4系补周角的度数为 ；

（2）在平面内AB ∥CD ，点E 是平面内一点，连接BE ，DE ．

①如图1，∠D ＝60°，若∠B 是∠E 的3系补周角，求∠B 的度数；

②如图2，∠ABE 和∠CDE 均为钝角，点F 在点E 的右侧，且满足∠ABF =n ∠ABE ，

∠CDF =n ∠CDE （其中n 为常数且n ＞1），点P 是∠ABE 角平分线BG 上的一个动点，在P 点运动过程中，请你确定一个点P 的位置，使得∠BPD 是∠F 的k 系补周角，并直接写出此时的k 值（用含n 的式子表示）．

23．已知AB ∥CD ，点C 在点D 的右侧，连接AD ，BC ，BE 平分∠ABC ，DE 平分∠ADC ，BE ，DE 相交于点E ．

（1）如图1，当点B 在点A 的左侧时，

①若∠ABC =50º，∠ADC =70º，求∠BED 的度数；

②请直接写出∠BED 与∠ABC ，∠ADC 的数量关系；

（2）如图2，当点B 在点A 的右侧时，试猜想∠BED 与∠ABC ，∠ADC 的数量关系，并说明理由．

24．如图，已知直线12//l l ，直线3l 交1l 于C 点，交2l 于D 点，P 是线段CD 上的一个动点，

（1）若P 点在线段CD （C 、D 两点除外）上运动，问PAC ∠，APB ∠，PBD ∠之间的关系是什么？这种关系是否变化？

（2）若P 点在线段CD 之外时，PAC ∠，APB ∠，PBD ∠之间的关系怎样？说明理由

25． [问题解决]：如图1，已知AB∥CD，E是直线AB，CD内部一点，连接BE，DE，若

∠ABE=40°，∠CDE=60°，求∠BED的度数．

嘉琪想到了如图2所示的方法，但是没有解答完，下面是嘉淇未完成的解答过程：

解：过点E作EF∥AB，

∴∠ABE=∠BEF=40°

∵AB∥CD，

∴EF∥CD，

…

请你补充完成嘉淇的解答过程：

[问题迁移]：请你参考嘉琪的解题思路，完成下面的问题：

如图3，AB∥CD，射线OM与直线AB，CD分别交于点A，C，射线ON与直线AB，CD分别交于点B，D，点P在射线ON上运动，设∠BAP=α，∠DCP=β．

（1）当点P在B，D两点之间运动时(P不与B，D重合)，求α，β和∠APC之间满足的数量关系．

（2）当点P在B，D两点外侧运动时(P不与点O重合)，直接写出α，β和∠APC之间满足的数量关系．

26．阅读材料（1），并利用（1）的结论解决问题（2）和问题（3）．

（1）如图1，AB∥CD，E为形内一点，连结BE、DE得到∠BED，求证：∠E＝∠B+∠D

悦悦是这样做的：

过点E作EF∥AB．则有∠BEF＝∠B．

∵AB∥CD，∴EF∥CD．

∴∠FED＝∠D．

∴∠BEF+∠FED＝∠B+∠D．

即∠BED＝∠B+∠D．

（2）如图2，画出∠BEF和∠EFD的平分线，两线交于点G，猜想∠G的度数，并证明你的猜想．

（3）如图3，EG1和EG2为∠BEF内满足∠1＝∠2的两条线，分别与∠EFD的平分线交于点G1和G2，求证：∠FG1E+∠G2＝180°．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1．B

解析：B

【分析】

分别利用对顶角的性质以及平行线的性质和推论进而判断得出即可．

【详解】

解：A、相等的角不一定是对顶角，故此选项错误；

B、平行于同一条直线的两条直线互相平行，正确；

C、两直线平行，同旁内角互补，故此选项错误；

D、垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故此选项错误．

故选B．

【点睛】

此题主要考查了命题与定理，熟练掌握平行线的性质与判定是解题关键．

2．B

解析：B

【分析】

本题每一项代入题干命题中，不满足题意即为反例．

【详解】

解：当a＝﹣2，b＝﹣3时，﹣2＞﹣3，而3×（﹣2）＝2×（﹣3），

即a＞b时，3a＝2b，

∴命题“若a＞b，则3a＞2b”为假命题，

故选：B．

【点睛】

本题考查的是假命题的证明，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．

3．C

解析：C

【分析】

垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．据此逐个分析即可.

【详解】

解：A．立定跳远时测量落点后端到起跳线的距离，运用“垂线段最短”这一性质；

B．从一个村庄向一条河引一条最短的水渠，运用“垂线段最短”这一性质；

C．把弯曲的公路改成直道可以缩短路程，运用“两点之间，线段最短”这一性质；

D．直角三角形中任意一条直角边的长度都比斜边短，运用“垂线段最短”这一性质；

故选：C．

【点睛】

本题主要考查了垂线段最短，实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．

4．B

解析：B

【分析】

l m，利用平行线的判定定理和性质定理进行分析即可得出答案．由题意过点B作直线//

【详解】

l m，

解：如图，过点B作直线//

l m，

∵直线m//n，//

l n，

∴//

∴∠2+∠3=180°，

∵∠2=130°，

∴∠3=50°，

∵∠B=90°，

∴∠4=90°-50°=40°，

l m，

∵//

∴∠1=∠4=40°．

故选：B．

【点睛】

本题主要考查平行线的性质定理和判定定理，熟练掌握两直线平行，平面内其外一条直线平行于其中一条直线则平行于另一条直线是解答此题的关键．

5．C

解析：C

【分析】

首先根据题意，可得距离坐标为（2，1）的点是到l1的距离为2，到l2的距离为1的点；然后根据到l1的距离为2的点是两条平行直线，到l2的距离为1的点也是两条平行直线，可得所求的点是以上两组直线的交点，一共有4个，据此解答即可．

【详解】

解：如图1，

，

到l1的距离为2的点是两条平行直线l3、l4，到l2的距离为1的点也是两条平行直线l5、l6，

∵两组直线的交点一共有4个：A、B、C、D，

∴距离坐标为（2，1）的点的个数有4个．

故选C．

【点睛】

此题主要考查了点的坐标，以及对“距离坐标”的含义的理解和掌握，解答此题的关键是要明确：到l1的距离为2的点是两条平行直线，到l2的距离为1的点也是两条平行直线．6．C

解析：C

【解析】

【分析】作AB∥a,先证AB∥a∥b，由平行线性质得∠2=180°-∠1+∠3，变形可得结果.【详解】作AB∥a,由直线a平移后得到直线b，

所以，AB∥a∥b

所以，∠2=180°-∠1+∠3，

所以，∠2-∠3=180°-∠1=180°-70°=110°.

故选：C

【点睛】本题考核知识点：平行线性质.解题关键点：熟记平行线性质. 7．B

解析：B

【解析】

因为AB ∥DF ，所以∠D+∠DEB=180°，因为∠DEB 与∠AEC 是对顶角， 所以∠DEB=100°，所以∠D=180°﹣∠DEB=80°．故选B ．

8．A

解析：A 【解析】解：

如图，作3BF l ⊥， 3AE l ⊥，

∵090ACB ∠=，

∴090BCF ACE ∠+∠=，

∵090BCF CFB ∠+∠=，

∴ACE CBF ∠=∠，

在ACE ?和CBF ?中，

{BFC CEA

CBF ACE BC AC

∠=∠∠=∠=

∴ACE CBF ???，

∴3,4CE BF CF AE ====，

∵1l 与2l 的距离为1， 2l 与3l 的距离为3，

∴1,7AG BG EF CF CE ===+=， ∴2252AB BG AG +=

∵23//l l ， ∴14

DG AG CE AE ==， ∴1344

DG CE ==， ∴325744BD BG DG =-=-

=， ∴22255

4AB BD ==，

故选A ．

【点睛】

本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线分线段成比例定理等，构造全等三角形是解决本题的关键．

9．B

解析：B

【分析】

作GH ∥FG ，推出GH ∥FG ∥DE ，得到∠1=∠3，∠2=∠4，由90C ∠=?， 137∠=?，即可求解．

【详解】

作GH ∥FG ，

∵DE ∥FG ，

∴GH ∥FG ∥DE ，

∴∠1=∠3，∠2=∠4，

∵90C ∠=?， 137∠=?，

∴∠3+∠4=90?，即37?+∠2=90?，

∴∠2=53?，

故选：B ．

【点睛】

本题考查了平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键．

10．D

解析：D

【分析】

命题有条件和结论两部分组成，条件是已知的部分，结论是由条件得出的推论．

【详解】

“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的条件是“两条直线垂直于同一条直线”，结论是“两条直线互相平行”．

故选：D ．

【点睛】

本题考查了对命题的题设和结论的理解，解题的关键在于利用直线垂直的定义进行判断．

二、填空题

11．【解析】

试题分析：如图：

∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABC=60°，

又∵直线l1∥l2∥l3，∠1=25°，

∴∠1=∠3=25°．

∴∠4=60°-25°=35°，

∴∠2=∠4=35

解析：0

35

【解析】

试题分析：如图：

∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABC=60°，

又∵直线l1∥l2∥l3，∠1=25°，

∴∠1=∠3=25°．

∴∠4=60°-25°=35°，

∴∠2=∠4=35°．

考点：1．平行线的性质；2．等边三角形的性质．

12．120°

【分析】

过点F作PT//AB，则有PT//CD，根据平行线的性质可得∠GFP=30゜，∠OFP=90゜，从而可求出∠2的度数.

【详解】

过点F作PT//AB，如图，

∴∠OFP=∠N

解析：120°

【分析】

过点F作PT//AB，则有PT//CD，根据平行线的性质可得∠GFP=30゜，∠OFP=90゜，从而可

求出∠2的度数.

【详解】

过点F作PT//AB，如图，

∴∠OFP=∠NOA

∵FN AB

∴∠NOA=90゜

∴∠OFP=90゜

∵AB//CD

∴CD//PT

∴∠DGF=∠GFP

∵∠DGF=∠1=30゜

∴∠GFP=30゜

∴∠2=∠OFP+∠GFP=90゜+30゜=120゜

故答案为：120゜

【点睛】

此题主要考查了平行线的判定与性质，关键是掌握两直线平行，内错角相等，同位角相等．

13．PB′⊥QC′ 15秒或63秒或135秒．

【分析】

（1）求出旋转30秒时，∠BPB′和∠CQC′的度数，过E作EF∥AB，根据平行线的性质求得∠PEF和∠QEF的度数，进而得结论；

解析：PB′⊥QC′ 15秒或63秒或135秒．

【分析】

（1）求出旋转30秒时，∠BPB′和∠CQC′的度数，过E作EF∥AB，根据平行线的性质求得∠PEF和∠QEF的度数，进而得结论；

（2）分三种情况：①当0s＜t≤45时，②当45s＜t≤67.5s时，③当67.5s＜t＜135s时，根据平行线的性质，得出角的关系，列出t的方程便可求得旋转时间．

【详解】

（1）如图1，当旋转时间30秒时，由已知得∠BPB′＝4°×30＝120°，∠CQC′＝30°，

过E作EF∥AB，则EF∥CD，

∴∠PEF＝180°﹣∠BPB′＝60°，∠QEF＝∠CQC′＝30°，

∴∠PEQ＝90°，

∴PB′⊥QC′，

故答案为：PB′⊥QC′；

（2）①当0s＜t≤45时，如图2，则∠BPB′＝4t°，∠CQC′＝45°+t°，

∵AB∥CD，PB′∥QC′，

∴∠BPB′＝∠PEC＝∠CQC′，

即4t＝45+t，

解得，t＝15（s）；

②当45s＜t≤67.5s时，如图3，则∠APB′＝4t﹣180°，∠CQC'＝t+45°，∵AB∥CD，PB′∥QC′，

∴∠APB′＝∠PED＝180°﹣∠CQC′，

即4t﹣180＝180﹣（45+t），

解得，t＝63（s）；

③当67.5s＜t＜135s时，如图4，则∠BPB′＝4t﹣360°，∠CQC′＝t+45°，

∵AB ∥CD ，PB′∥QC′，

∴∠BPB′＝∠PEC ＝∠CQC′，

即4t ﹣360＝t+45，

解得，t ＝135（s ）；

综上，当射线PB 旋转的时间为15秒或63秒或135秒时，PB′∥QC′．

故答案为：15秒或63秒或135秒．

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质，第（1）题关键是作平行线，第（2）题关键是分情况讨论，运用方程思想解决几何问题．

14．【分析】

过点向右作，过点向右作，得到，根据两直线平行同旁内角互补即可得出答案．

【详解】

解：如图，过点向右作，过点向右作

,

故答案为：．

【点睛】

本题考查了平行线的性质定理,根据题

解析：()1180n -??

【分析】

过点2A 向右作21//A D A B ，过点3A 向右作31//A E A B ，得到

321////...////n A E A D A B A C ，根据两直线平行同旁内角互补即可得出答案．

【详解】

解：如图，过点2A 向右作21//A D A B ，过点3A 向右作31//A E A B

1//n A B A C

321////...////n A E A D A B A C ∴

112180A A A D ∴∠+∠=?,2323180DA A A A E ∠+∠=?...

()11231...1180n n A A A A A A C n -∴∠+∠++∠=-??

故答案为：()1180n -??．

【点睛】

本题考查了平行线的性质定理,根据题意作合适的辅助线是解题的关键．

15．或

【分析】

由两角的两边互相平行可得出两角相等或互补，再由题意，其中一个角比另一个角的3倍少，可得出答案．

【详解】

解：设为x ，则为，

若两角互补，则，解得，；

若两角相等，则，解得，．

故答案

解析：125?或20?

【分析】

由两角的两边互相平行可得出两角相等或互补，再由题意，其中一个角比另一个角的3倍少40?，可得出答案．

【详解】

解：设β∠为x ，则α∠为340x -?，

若两角互补，则340180x x +-?=?，解得55x =?，125α∠=?；

若两角相等，则340x x =-?，解得20x =?，20α∠=?．

故答案为：125?或20?．

【点睛】

本题考查了平行线的性质，解题的关键是注意若∠α与∠β的两边分别平行，即可得∠α与∠β相等或互补，注意方程思想与分类讨论思想的应用．

16．70°

【分析】

此题要构造辅助线：过点E，F分别作EG∥AB，FH∥AB．然后运用平行线的性质进行推导．

【详解】

解：如图所示，过点E，F分别作EG∥AB，FH∥AB．

∵EG∥AB，FH∥A

解析：70°

【分析】

此题要构造辅助线：过点E，F分别作EG∥AB，FH∥AB．然后运用平行线的性质进行推导．

【详解】

解：如图所示，过点E，F分别作EG∥AB，FH∥AB．

∵EG∥AB，FH∥AB，

∴∠5=∠ABE，∠3=∠1，

又∵AB∥CD，

∴EG∥CD，FH∥CD，

∴∠6=∠CDE，∠4=∠2，

∴∠1+∠2=∠3+∠4=∠BFD=35°．

∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，

∴∠ABE=2∠1，∠CDE=2∠2，

∴∠BED=∠5+∠6=2∠1+2∠2=2（∠1+∠2）=2×35°=70°．

故答案为70°．

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质，根据题中的条件作出辅助线EG∥AB，FH∥AB，再灵活运用平行线的性质是解本题的关键．

17．10或28

【解析】

【分析】

作出图形，分①两三角形在点O的同侧时，设CD与OB相交于点E，根据两直线平行，同位角相等可得∠CEO=∠B，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠

解析：10或28

【解析】

【分析】

作出图形，分①两三角形在点O的同侧时，设CD与OB相交于点E，根据两直线平行，同位角相等可得∠CEO=∠B，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠DOE，然后求出旋转角∠AOD，再根据每秒旋转10°列式计算即可得解；②两三角形在点O的异侧时，延长BO与CD相交于点E，根据两直线平行，内错角相等可得

∠CEO=∠B，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠DOE，然后求出旋转角度数，再根据每秒旋转10°列式计算即可得解．

【详解】

解：①两三角形在点O的同侧时，如图1，设CD与OB相交于点E，

∵AB∥CD，

∴∠CEO=∠B=40°，

∵∠C=60°，∠COD=90°，

∴∠D=90°-60°=30°，

∴∠DOE=∠CEO-∠D=40°-30°=10°，

∴旋转角∠AOD=∠AOB+∠DOE=90°+10°=100°，

∵每秒旋转10°，

∴时间为100°÷10°=10秒；

②两三角形在点O的异侧时，如图2，延长BO与CD相交于点E，

∵AB∥CD，

∴∠CEO=∠B=40°，

∵∠C=60°，∠COD=90°，

∴∠D=90°-60°=30°，

∴∠DOE=∠CEO-∠D=40°-30°=10°，

∴旋转角为270°+10°=280°，

∵每秒旋转10°，

∴时间为280°÷10°=28秒；

综上所述，在第10或28秒时，边CD恰好与边AB平行．

故答案为10或28．

【点睛】

本题考查了平行线的判定，平行线的性质，旋转变换的性质，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观．

18．【解析】

分析：分别求出图①、图②、图③中，这些角的和，探究规律后，理由规律解决问题即可．

详解：如图①中,∠A1+∠A2=180°=1×180°，

如图②中,∠A1+∠A2+∠A3=360°=2

解析：n180?

【解析】

分析：分别求出图①、图②、图③中，这些角的和，探究规律后，理由规律解决问题即可．

详解：如图①中,∠A1+∠A2=180°=1×180°，

如图②中,∠A1+∠A2+∠A3=360°=2×180°，

如图③中,∠A1+∠A2+∠A3+∠A4=540°=3×180°，

…，

第n个图,∠A1+∠A2+∠A3+…+∠A n+1学会从=n180?，

故答案为180n?.

点睛：平行线的性质.

19．60或120

【分析】

根据题意分两种情况，如图所示（见解析），再分别根据平行线的性质即可得．

【详解】

由题意，分以下两种情况：

（1）如图1，，

（两直线平行，同位角相等），

（两直线平行，内错

解析：60或120

【分析】

根据题意分两种情况，如图所示（见解析），再分别根据平行线的性质即可得．

【详解】

由题意，分以下两种情况：

PC OB PD OA，

（1）如图1，//,//

∠?（两直线平行，同位角相等），

∴=∠=

60

PDB

AOB

∴=∠=

∠?（两直线平行，内错角相等）；

CPD

PDB

60

PC OB PD OA，

（2）如图2，//,//

∠?（两直线平行，同位角相等），

60

∴=∠=

PDB

AOB

∠=?-

∴∠=?（两直线平行，同旁内角互补）；

D

180120

C P B

P D

∠的度数为60?或120?，

综上，CPD

故答案为：60或120．

【点睛】

本题考查了平行线的性质，依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键．

20．（n﹣1）×180

【分析】

分别过P1、P2、P3作直线AB的平行线P1E，P2F，P3G，由平行线的性质可得出：∠1+∠3=180°，∠5+∠6=180°，∠7+∠8=180°，∠4+∠2=18

解析：（n﹣1）×180

【分析】

分别过P1、P2、P3作直线AB的平行线P1E，P2F，P3G，由平行线的性质可得出：

∠1+∠3=180°，∠5+∠6=180°，∠7+∠8=180°，∠4+∠2=180°于是得到∠1+∠2=10°，

∠1+∠P1+∠2=2×180，∠1+∠P1+∠P2+∠2=3×180°，∠1+∠P1+∠P2+∠P3+∠2=4×180°，根据规律得到结果∠1+∠2+∠P1+…+∠P n=（n+1）×180°．

【详解】

解：如图，分别过P1、P2、P3作直线AB的平行线P1E，P2F，P3G，

∵AB∥CD，

∴AB∥P1E∥P2F∥P3G．

由平行线的性质可得出：∠1+∠3=180°，∠5+∠6=180°，∠7+∠8=180°，∠4+∠2=180°

∴（1）∠1+∠2=180°，

（2）∠1+∠P1+∠2=2×180，

（3）∠1+∠P1+∠P2+∠2=3×180°，

（4）∠1+∠P1+∠P2+∠P3+∠2=4×180°，

∴∠1+∠2+∠P1+…+∠P n=（n+1）×180°．

故答案为：（n+1）×180．

【点睛】

本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，利用两直线平行，同旁内角互补是解答此题的关键．

三、解答题

21．（1）①90；②t 为3s 或6s 或9s 或18s 或21s 或24s 或27s ；（2）①正确，②错误，证明见解析．

【分析】

（1）①由平角的定义，结合已知条件可得：180,DPC CPA DPB ∠=?-∠-∠从而可得答案；②当//BD PC 时，有两种情况，画出符合题意的图形，利用平行线的性质与角的和差求解旋转角，可得旋转时间；当//PA BD 时，有两种情况，画出符合题意的图形，利用平行线的性质与角的和差关系求解旋转角，可得旋转时间；当//AC DP 时，有两种情况，画出符合题意的图形，利用平行线的性质与角的和差关系求解旋转角，可得旋转时间；当//AC BD 时，画出符合题意的图形，利用平行线的性质与角的和差关系求解旋转角，可得旋转时间；当//AC BP 时的旋转时间与//PA BD 相同；

（2）分两种情况讨论：当PD 在MN 上方时，当PD 在MN 下方时，①分别用含t 的代数式表示,CPD BPN ∠∠，从而可得CPD BPN

∠∠的值；②分别用含t 的代数式表示,CPD BPN ∠∠，得到BPN CPD ∠+∠是一个含t 的代数式，从而可得答案．

【详解】

解：（1）①∵∠DPC ＝180°﹣∠CPA ﹣∠DPB ，∠CPA ＝60°，∠DPB ＝30°，

∴∠DPC ＝180﹣30﹣60＝90°，

故答案为90；

②如图1﹣1，当BD ∥PC 时，

∵PC ∥BD ，∠DBP ＝90°，

∴∠CPN ＝∠DBP ＝90°，

∵∠CPA ＝60°，

∴∠APN ＝30°，

∵转速为10°

/秒， ∴旋转时间为3秒；

如图1﹣2，当PC ∥BD 时，

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