力学求极值常用方法

一．运用二次函数求极值（顶点坐标法，配方法，判别式法）三种方法等效，适用于有二次函数的式子。

顶点坐标法对于典型的一元二次函数y?ax2?bx?c,

b4ac?b2若a?0,则当x??时,y有极小值，为ymin?；

2a4ab4ac?b2若a?0,则当x??时,y有极大值，为ymax?；

2a4a例1．一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/s的加速度开始行驶。恰在这时一辆自行车以6m/s的速度匀速驶来，从后边赶过汽车。汽车从路口开动后，在追上自行车之前过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？

解：经过时间t后，自行车做匀速运动，其位移为S1?Vt， 汽车做匀加速运动，其位移为：S2?12at 22

1232?S?S?S?Vt?at?6t?t 两车相距为：1222这是一个关于t的二次函数，因二次项系数为负值，故ΔS有最大值。 当t???Sm?b?6??2(s)时，?S有最大值 2a2?(?3/2)4ac?b24a?0?624?(?3/2)?6(m)

二．利用三角函数求极值

如果所求物理量表达式中含有三角函数，可利用三角函数的极值求解。若所求物理量表达式可化为“y=Asin?cos?”的形式，则y=Asin2α，在?=45o时，y有极值。

对于复杂的三角函数，例如y=asinθ+bcosθ，要求极值时先需要把不同名的三角函数sinθ和cosθ，变成同名的三角函数，比如sin(θ+ф)

A212

例2．如图一(1)所示,底边AB恒定为b,当斜面与底边成夹角θ为多大时,物体沿此光滑斜面由静止从顶端滑到底端所用时间才最短?

设夹角为θ时，斜面长为S，物体质量为 m，沿斜面方向的加速度为a，所用时间为t，

a mg B 图一(2)

A v θ b

FN C C B 图一(1)

θ b受力分析如图一（2）所示，据题意有：S?…………① A cos?1由运动学和牛顿第二定律有： S?at2…………②

2mgsinθ=ma…………③

联立①②③式解得：t?2S?a2b?gsin?cos?4b gsin2?可见，在90°≥θ≥0°内，当sinθ=1时，即2θ=90°，θ=45°时，有最短时间：tmin?4b g例3．如图4所示。一辆四分之一圆弧小车停在不光滑水平地面上，质量为m的小球从静止开始由车顶无摩擦滑下，且小车始终保持静止状态，试分析：当小球运动到什么位置

mgN O 时，地面对小车的摩擦力最大?最大值是多少?

[解析]：设圆弧半径为R，当小球运动到重力mg与半径夹角为θ时，速度为V，根据机械能守恒定律和牛顿第二定有：

1mV2?mgRcos?2 2VN?mgcos??mR图4

解得小球对小车的压力为：N=3mgcosθ，其水平分量为：Nx=3mgsinθcosθ=mgsin2?

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根据平衡条件，地面对小车的静摩擦力水平向右，大小为：f= Nx=mgsin2?

可以看出：当sin2θ=1,即θ=45o时，地面对小车的静摩擦力最大，其值为：fmax=mg。

例4．如图3－2－4所示，一质量m＝0.4 kg的小物块，以v0＝2 m/s的初速度，在与斜面成某一夹角的拉力F作用下，沿斜面向上做匀加速运动，经t＝2 s的时间物块由A点运动到B点，A、B之间的距离L＝10 m．已知斜面倾

3

角θ＝30°，物块与斜面之间的动摩擦因数μ＝3.重力加速度g取10 m/s2.

(1)求物块加速度的大小及到达B点时速度的大小． (2)拉力F与斜面夹角多大时，拉力F最小？拉力F的最小值是多少？

【解析】 (1)设物块加速度的大小为a，到达B点时速度的大小为v，由运动学公式得

1

L＝v0t＋2at2①

v＝v0＋at②

联立①②式，代入数据得 a＝3 m/s2③ v＝8 m/s.④

(2)设物块所受支持力为FN，所受摩擦力为Ff，拉力与斜面间的夹角为α，受力分析如图所示，由牛顿第二定律得

Fcos α－mgsin θ－Ff＝ma⑤

Fsin α＋FN－mgcos θ＝0⑥ 又Ff＝μFN⑦ 联立⑤⑥⑦式得

mg?sin θ＋μcos θ?＋maF＝⑧

cos α＋μsin α由数学知识得

323

cos α＋3sin α＝3sin(60°＋α)⑨

3232

由⑧⑨式可知对应F最小的夹角 α＝30°1○

0 联立③⑧⑩式，代入数据得F的最小值为 F133

min＝5 N．?

例5：一轻绳一端固定在O点，另一端拴一小球，拉起小球使轻 绳水平，然后无初速度的释放，如图6所示，小球在运动至轻绳 达到竖直位置的过程中，小球所受重力的瞬时功率在何处取得最 大值？

解：当小球运动到绳与竖直方向成θ角的C时，重力的功率为： P=mg υcosα=mgυsinθ ①

小球从水平位置到图中C位置时，机械能守恒有：

mgLcos??12mv2 ② 解①②可得：P?mg2gLcos?sin2? 令y=cosθsinθ

?y?cos?sin2??12(2cos2?sin4?)?1

(2cos2??sin2??sin22?)又?2cos2??sin2??sin2??2(sin2??cos2?)?2 根据基本不等式a?b?c?3abc，可知：

当且仅当2cos2??sin2?，y有最大值

由2cos2??1?cos2?得：cos??33 结论：当cos??33时，y及功率P有最大值。

三．利用均值定理法求极值（适用于y?x?1x的情况）

O L A θ T C α θ v mg B 图6

a?b?ab，均值定理可表述为2式中a、b可以是单个变量，也可以是多项式。

当a＝b时， (a+b)min＝2ab 。

例6．在倾角为37度的粗糙斜面上距离斜面底端s=1米处有一质量为m=1kg的物体,受水平恒力F的作用下由静止开始沿斜面开始下滑，到达底部时即撤去水平恒力F，然后在水平面上滑动一段距离后静止，不计物块撞击水平面的能量损失，各接触面与物体的动摩擦因数为0.2,g=10,sin37=0.6,cos37=0.8

求1.若物块在运动过程中最大速度为2m\\s,则水平恒力F大小为多少？

2.若改变水平恒力F大小，可使物块总的运动时间最短，则最短时间为多少？

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