五年级下册数学思维校本课程教材

管城回族区南关小学 特 色 校 本 课 程

数学思维训练教程

五年级数学思维训练兴趣小组试用

管城回族区南关小学 主编: 王 建 民

五年级数学思维训练兴趣小组

活动目的：

通过配合课堂教学，延伸课内知识，进行有计划、有步骤的课外数学思维能力专项训练，对于进一步激发学有余力学生的学习兴趣、开阔数学视野、培养数学思维、掌握数学学习方法具有莫大的好处，为学生中学阶段学好数学奠定坚实的基础。

动内容活：

自编数学思维训练教材，主要包括小数的简便运算和循环小数与计算 、数的整除、质数与合数、分解质因数、因数的个数与因数的和、最大公因数与最小公倍数、奇数与偶数、巧算表面积和体积等。

活动时间：

每周四下午两节课后进行（其中，期中考试和期末考试复习期间暂停3次）

活动地点：

多媒体教室

组织办法：

在开学第二周，在学生自愿报名的基础上，结合学生平时的数学学习情况，选拔活动小组成员。

效果评价：以作业、上课表现和测试结果来进行评价。 参加人员：五年级学生 指导教师：王建民

第一讲 小数乘法的运算技巧

探究目标：

1、能熟练的根据乘法运算的规则、数字特征、运算定律、性质、公式等，进行简算和速算。

2、培养善于观察、灵活运用基础知识的能力，能正确、迅速、合理、灵活的解答有关运算问题。

3、养成整体观察、深入理解、有序思考、细心解题的良好习惯。 探究过程：

例1 计算：（1）438.9×5 （2）574.62 ×25

解析：（1）由于5=10÷2，因此，可以先把438.9乘以10，再除以2，所得的商就是438.9与5的积。即

解： 438.9×5 =4389÷2 =2194.5

（2）由于25=100÷4，因此，可以先把574.62乘以100，再除以4，所得的商就是574.62乘25的积。即

解： 574.62×25 =57462÷4 =14365.5

或 574.62×25 =574.62÷4×100 =14365.5

例2 计算（1）47.39÷0.5 （2）12.348÷0.25 解析： （1）47.39÷0.5 =473.9÷5 = 473.9×2÷10 =94.78

（2）12.348÷0.25 或 12.348÷0.25 =1234.8÷25 =1234.8÷25 =1234.8÷5÷5 =1234.8×4÷100 =246.96÷5 =4939.2÷100 =49.392 =49.392 例3:计算1.25×0.25×0.05×64

解析：根据题目中的数字特点，为了凑整，将64分解成2×4×8，然后根据乘法交换律和结合律进行简算。

解： 1.25×0.25×0.05×64 =1.25×0.25×0.05×(2×4×8) =(1.28×8)×(0.25×4)×(0.05×2) =10×1×0.1 =1 例4：计算：9.728÷3.2÷2.5

解析：全面观察题目，由运算定律性质改变运算顺序，使运算变得简便。

解： 9.728÷3.2÷2.5

=9.728÷（3.2×2.5） =9.28÷（0.8×4×2.5） =9.728÷[0.8×（4×2.5）] =9.728÷（8×10） =9.728÷8 =1.216 巩固练习：

一、填空

1.（3.6×0.75×1.2）÷（1.5×24×0.18）=（ ） 2.在口里填上合适的数或运算符号。 （1）4×1.25×口×8=10

（2）4.8÷0.4÷0.12=4.8÷（0.4口0.12） （3）32×0.125×0.25=口×0.125×口×0.25 二、选择

1.选面除法算式商最大的是（ ）。 A. 2.021÷0.08 B.2021÷8 C． 2021÷0.8 D. 2.021÷8 2.下面的乘法算式积最大的是（ ）

A． 999.9×99.99 B. 999.9×999.9 C． 9999×99 D. 99.99×99.99

3. C．DE×A.B=A.CDE是用数字表示的一个小数乘法算式，题种每一个字母表示一个数字，如果A.CDE＜C.DE则，A.B这个小

数是（ ）

A. 1.5 B. 0.1 C. 1.1 D. 0.2 三、计算下列各题。

1、 0.99÷4.5

2、 3.6÷2.5

3、 0.5×0.8×0.04×1.25×0.2×0.025

4、 0.125×0.25×0.5×64

5、 4.6×72×53÷4.6÷72÷53

6、 (4.8×7.5×8.1)÷（2.4×2.5×2.7）

7、 1.25×0.25×64×3.176×0.5

8、 4.27÷26.8×3.59÷42.7×2.68÷35.9

9、 0.5×2.5×96×0.125

10、5.6×16.5÷0.7÷1.1

第二讲 循环小数

探究目标：

1、能根据循环小数的结构特点，正确解答循环小数问题。 2、提高分析、推理，综合运用知识的能力，正确、迅速解答有关数学问题。 探究过程：

例1 有一个三位小数，四舍五入后成为8.70，原来的三位小数可能是哪些小数？

解析：分两种情况考虑：①四舍；②五入。

解：四舍不进位的8.70，那么原来千分位上的数字只能是1,2,3,4所以原数为8.701, 8.702, 8.703, 8.704。

五入进位后的8.70，那么原数百分为上的数字为9，十分位上的数字为6，而千分位上的数字只能是5,6,7,8,9，所以原数为8.695, 8.696, 8.697, 8.698, 8.699。

答：原来的三位小数可能是8.695,8.697,8.698,8.699. 8.701, 8.702, 8.703, 8.704。

例2 把小数0.987654321变成循环小数。

（1）如果把表示循环节的两个点加载7和1上面，则此循环小数第200位上是几？

（2） 如果要第100位上数字是5，那么表示循环节的两个点应分别加在哪两个数字上面？

解析：（1） 由于循环节的两个点加在7和1上面那么循环节应

是7位数。因为（200-9）÷7=27……2（即循环节的第二位），所以此循环小数的第200位上的数是6.

（3） 由已知可知，第100位上的数字是5，则后面四位的数字应依次是4,3,2,1。那么（104-9）=95位包含的是若干个完整的循环节。又因为95=5×19，所以循环节应是5位，即表示循环节的两个点应加在5或1的上面。

答：（1）第200位上的数字是6.（2）表示循环节的两个点因分别在5和1的上面。

例3 一个数与它自己相加、相减、相除，其和、差、商相加和为8.6，这个数是几？

解析：一个数与它自己相减的差等于0，一个不等于0的数与它自己相除的商等于1.根据“和、上、差、商相加的和是8.6”这一条件可知

解： 一个数×2＋0+1=8.6 （8.6-1）÷2=3.8

答：这个数是3.8。

例4 循环小数0.2837564（2837564循环）与0.2837564（2837564循环）在小数后面第几位时，在该位上的数字都是6。

解析：循环小数0.2837564（2837564循环）的循环节是七位与0.2837564（2837564循环）的循环节是五位，7与5的最小公倍数是35，所以两个循环小数在小数点后面第35位上的数字都是6。

例5 两个小数相乘，他们的乘积四舍五入后是60.0，这两个数都

是一位小数，这两个小数的整数部分都是7，那么两个小数的乘积四舍五入以前是多少？

解析：由题意，可知这两个带小数在7.1到7.9之间，又因为60.0÷8=7.5，所以这两个数都必须大于7.5，即在7.6到7.9之间。对此进行逐个检验：7.6×7.9=60.04；7.6×7.8=59.28.则这两个小数的乘积四舍五入前是：60.04. 巩固练习：

1、在混循环小数3.62890123（3循环）的某一位上再添一个表示循环的点后，使得：（1）新的循环小数尽可能大（2）新的循环小数尽可能小。分别求出新的循环小数各是多少？

2.甲、乙两个数的和是303.49，若果乙数的小数点向左移动一位就等于甲数，那么甲、乙数各是多少？

3、有一个四位数在他某位数上加以个小数点，在和这个四位数相加得1258.46，问这个四位数是多少？

4、一个小数，若把小数点向右移动一位，所得的数比原数增大了42.84，问原数是多少？

5、循环小数0.28375463（28375463循环）与0.4972163（72163循环）在小数点后几位时，在该位上数字是3？

6.在小数0.7082169453中，添上表示循环节的两个点，使它变成循环小数。

（1）如果把两个点加在8和3的上面，那么第100位的数应该是几？

（2）如果要使第100位上的数字是5，那么表示循环节的两个点应分别加在哪两个数字的上面？

第三讲 灵活求和差积商

探究目标

1、根据运算定律和性质，运用“凑整”“拆数”“等积变形”改变运算顺序和方法，进行速算和巧算。

2、培养整体观察，综合运用知识及合理灵活的理解能力。 3、养成对任何一个算式，都要作整体观察，全面统筹，深入理解，不盲目硬算，在千变万化的运算过程中，随时注意运用简算，速

算的良好习惯。 探究过程

例1 计算：7.46×36+74.6×64

解析：通过整体观察，将6.4扩大10倍，74.6缩小10倍，利用乘法分配律使计算简便。

解：原式=7.46×36+7.46×64 =7.46×（36+64） =7.46×100

例2 计算：1240×3.4+1.24×2300+12.4×430

解析：先把题中的1240,1.24和12.4转化为124，然后再想有多少个124.

解：原式=124×34+124×23+124×43

=124×（34+23+43） =124×100 =12400

例3 计算：43×11.8+860×0.91

解析：将860分解成43×20,43是两个乘法计算的共同因数，利用乘法分配律使运算简便。

解：原式=43×11.8+43×20×0.91

=43×11.8+43×（20×0.91） =43×11.8+43×18.2 =43×（11.8+18.2）

=43×30 =1290

例4 计算：7.5×2.3+1.9×2.5+12.5×0.4

解析：7.5与2.5互为补救，将2.3拆成1.9+0.4，得7.5×1.9+7.5×0.4，利用乘法分配律使运算简便。

解：原式=7.5×（1.9+0.4）+2.5×1.9+12.5×0.4 =7.5×1.9+7.5×0.4+2.5×1.9+12.5×0.4 =（7.5×1.9+2.5×1.9）+（7.5×0.4+12.5×0.4） =1.9×（7.5×2.5）+0.4×（7.5+12.5） =27

例5 计算：0.16×9.85+264×0.0985+72×0.985

解析：先利用积的变化规律，再利用乘法分配律使运算简便。 解：原式=1.6×0.985+26.4×0.985+72×0.985

=0.985×（1.6+26.4+72） =0.985×100 =98.5

巩固练习

1. 1 52.3×4.8—4.8×31.15—4.8×21.15

2. 6.3×27+1.9×21

3. 2.4×7.6+6.5×7.6+0.76+7.6

4. 0.0495×2500+495×0.24+51×4.95

6. 0.9+9.9+99.9+999.9+9999.9+99999.9+999999.9

7. 15.37×7.88—9.37×7.88—15.37×2.12

8. 4.65×32+2.5×46.5+0.465×430

第四讲 数的整除

探究目标：

1.在掌握能被2、3、4、5、7、9、11等特殊数整除特征的基础上，能判断整除，并根据整出性求整数。

2.灵活运用数的整除概念、性质及特征，熟悉数的整除的主要问题及其解题方法和技能技巧。

探究过程：

例1： 在568后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3.、4、5整除，并且要求这个数值尽可能小，这个六位数是多少？

解析： “首先根据能被5整除数的特征，确定这个六位数的个位是0或5。根据能被4整除的数的特征：这个数的未两位数能被4整除，确定这个六位数的个位只能是0，十位可能是0、2、4、6、8。根据能被3整除的数的特征：个位上的数字和能被3整除，5+6+8=19，且“这个数尽可能小”，19+2=21, 21能被3整除则百位上数字与十位上数字和最小为2，所以百位上数字是0，十位上数字是2.

解：根据能被3、4、5整除的数的特征判断，这个数最小是568020。

例2：2002年5月25日是星期六，问在经过 2003 2003 2003……2003天是星期几？

解析： 这道题首先考虑2003 2003 2003……2003能否被7整除，或者被7除余数是几。

解： 200320032003 =2003×100010001 =2003×（7×14287143）

所以，200320032003可以被7整除，从而可以把3个2003看成

一“节”，2004÷3=668，共688节，每一节能被7整除，688节也可以被7整除。

所以再过2003 2003 2003……2003天仍然是星期六。 例3： 超市里有6筐货物，分别重16、19、20、18、15、31千克。两顾客买走其中5箱货物，而且一个顾客的货物重量是另一个顾客的2倍，超市里剩下的那箱货物是多少千克？

解析： 由“一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍”，可知，两个顾客买走的5箱货物总量应是（1+2）=3的倍数，6箱的总重量是16+19+20+18+15+31=119（千克）119+3=39……2，因为卖出的5箱货物总量是3的倍数，所以剩下的那箱货物重量除以3应余2，6箱中只有29除以3余2，所以剩下的货物时20千克。

解：（16+19+20+18+15+31）÷（1+2）=39……2 20÷3=6……2

答：剩下的那箱货物重量是20千克。 巩固练习

1、 一个四位数9□2□既有因数2，又是3的倍数，同时又能被5整除。这个四位数最大是多少？

2、把789连续写几次得到的数，能被9整除，这个数最小是多少？

3、 7箱油分别是汽油、柴油、机油，它们的容量分别是12升、13升、16升、17升、22升、27升和32升。现在知道汽油有一箱，而柴油总量是机油的3倍，但不知哪箱是什么油。请判断出每只箱里装的各是什么油？

4、一个五位数，能被3整除，而且读这个数时必须读出两个零，这样的五位数最小是什么数？

5、五年级有72名学生每人买了一本《新华字典》。共交书费□43.5□元。首位数字被污迹遮盖。每本新字典多少元？

6、植树节那天，学生把55棵树分给三个班栽，一班分到的棵树是二班的2倍，三班最少，但也多于10棵，这三个班各栽树多少棵？

第五讲 质数与合数

探究目标：

1. 掌握指数，合数的定义。

2. 养成准确掌握数学概念、区分概念和灵活运用概念的良好习惯。 探究过程：

例1： 判断119和227两个数是质数还是合数

解析： 先找一个大于119且接近119的平方数a2，再写出比a小的所有质数，然后判断119能否被这些质数整除。

解：因为119小于11, 质数有2.3.5.7。119是合数。因为227小于16，小于16的质数有2.3.5.7.11.13。227不能被2.3.5.7.11.13整除所以227是质数。

例2： A是一个互质数，而且A+6,A+8，A+12,A+14都是互质数，则A最小是多少？

解析： 这道题可从最小的质数试算，A=2不可能，因为偶+偶=偶数，不是质数。A=3，则A=6=9,9是合数，所以A#3,。A=5,则A+6=11,A+8=13.A+12=17，A+14=19，11、13、17、19都是质数，所以A=5。

解：试算A=2、A=3、A=5 可知A=5 答：A最小是5.

例3： 三个质数的和为38，求这三个质数的乘积最大值是多

少？

解析： 三个质数的和是偶数，所以这三个数中必有一个是偶数，在质数中只有2是偶数，那么三个数中一定有一个质数是2.另外两个数的和是36，要使乘积尽可能大，那么这两个质数尽可能接近。

解：38=2+17+19 2×17×19=646

答：这三个质数的乘积最大是646。 巩固练习

1、 判断437、541是质数还是合数？

2、 N是质数，并且N+4、N+6、N+10都是质数，求N最小是多少？

3、 两个质数的和为50，求这两个质数的乘积最大是多少？

4、判断299和461两个数是质数还是合数？

5、有这样一个质数，它分别加上2、8、14、26后，得到的仍为质数，这个质数最小是多少？

6、 将80分成8个质数的和，要求其中一个质数尽可能大，那么这个最大的质数是多少？

第六讲 分解质因数

探究目标：

1. 掌握分解质因数的方法，能用质因数的积的形式表示一个合数。

2. 灵活运用相关知识解答综合问题。 探究过程：

例1： 长、宽均为自然数，面积为105的形状不同的长方形共有多少种？

解析： 面积为105，105是长与宽的乘积。可把105分解质因数，再写成两个自然数相乘的形式。

解：105=3×5×7

=1×105=3×25=5×21=7×15

答：面积为105的形状不同的长方形共有4种。 例:2： 用216元去买一种拖鞋，正好将钱用完，如果每双拖鞋便宜1元，则可多买3双，钱正好用完，求一共买了多少双拖鞋？

解析： 根据单价×数量=总价，可将总价216元分解质因数，再写成两个数相乘的形式。

解：216=2×2×2×3×3×3 216=（3×3）×（2×2×2×3） =（2×2×2）×（3×3×3） =9×24 =8×27

答：一共买了24双拖鞋。

例3： 在1×2×3×4×5×…×200的末尾连续有多少个零？

解析： 2×5=10,22×52 =100，23×53 =1000……在相乘的各个因数中，如果把它们分解质因数，产生一个2和一个5，末尾就会出现一个0，在这一串因数中，含有因数2的个数远多于含有因数5的个数。因此，只需求出乘积中有几个5的因数，就只有几个零。

解： 200÷5=40（个） 200÷（5×5）=8（个）

200 ÷（5×5×5）=1（个）……75 40+8+1=49（个） 答：积的末尾有49个零。

巩固练习

1、 学校进行大型团体操表演，用180名学生参加，现在排成每行人数在10至20之间，共有几种排法？

2、 刘聪是个小学生，他对妈妈说：“这才考试（百分制），我的名次乘以我的年龄再乘以我的考试分数，结果是5335分。”你能算出刘聪的名次、年龄与他的考试分数吗？

3、1×2×3×4×…×99×100的末尾有几个0?

4、要是25×26×27×28×29×30□积的末五位数都是0，□里填入的自然是最小是多少？

5、把7、14、20、21、28、30这六个数分成两组，每组三个数

相乘是它们的积相等，应如何分？

6，商店讲积压的圆珠笔降价到每支不足4角出售，共卖得31.93元，积压的圆珠笔有多少支？

第七讲 巧用质因数

探究目标：

1.掌握分解质因数的方法，能用质因数的积的形式表示一个合数。

2.灵活运用相关知识解答综合问题。 解题思路：

任何一个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每一个质数都是这个合数的质因数。有些数学问题用分解质因数的方法解答，不仅可以简化思路，有利于问题的解决，而且能够锻炼同学们的思维，拓展同学们的解决思路。 探究过程：

例1： 甲、乙、丙三个数的乘积是26250.甲数比乙数大5，乙数比丙数大5.求甲、乙、丙各是多少？

解析：如果是中学生做这道题，可以列方程组解答，但是小学生怎么做呢？题中告诉我们三个数的乘积是26250，这就提示我们尝试用分解质因数的方法分析解答。

解： 26250=5×5×5×5×3×2×7 =（5×5）×（5×2×3）×（5×7） =25×30×35

正好符合题中的要求。所以甲数是35，乙数是30，丙数是25。 例2： 甲、乙两数的乘积是1728，甲数比乙数大12.两个数分别是多少？

解析：由于甲乙两数的乘积是1728，只要把1728分解质因数即可。

解： 1728=2×2×2×2×2×2×3×3×3 =12×3×12×4 =（12×3）×（12×4）

知道甲数比乙数大12，所以甲数是12×4=48，乙数是12×3=36。 例3: 144的因数有多少个？360的因数有多少个？

解析：如果是一个比较小的数，我们可以用一一列举的方法找出这个数的所有因数，但是，144和360这两个数都比较大，因数比较多，要想用一一列举的方法找出它们的所有因数当然比较困难。这就启发我们思考，还有没有其他更简便的方法。

借助分解质因数地方法，可以更快捷更方便地找出一个数的因数的个数。

解： 144=2×2×2×2×3×3=24×32 所以144的因数有(4+1)×（2+1）=15（个） 360=2×2×2×3×3×5=23×32×5

所以360的因数有（3+1）×（2+1）×(1+1)=24(个) 例4： 有168颗糖，平均分成若干份，没份不得少于10颗，也不能多于50颗，共有多少种不同的分法？

解析：把168分解质因数：168=2×2×2×3×7。根据每份不得少于10颗，也不能多于50颗得到每份是多少颗，再求出份数。

解：每份可以是2×2×3=12（颗），可以分成168÷12=14（份）； 每份可以是2×7=14（颗），可以分成168÷14=12（份）； 每份还可以是2×2×7=28（颗），可以分成168÷28=6（份）； 每份还可以是3×7=21（颗），可以分成168÷21=8（份）； 每份还可以是2×2×2×3=24（颗），可以分成168÷24=7（份）； 每份还可以是2×3×7=42（颗），可以分成168÷42=4（份）。 答：共有6种不同的分法。

例5：用2100个棱长1厘米的正方体堆成一个长方体，它的高是1分米用长和宽都大于高。它的长和宽各是多少？

解析：用2100个棱长1厘米的正方体堆成一个长方体，要知道成的长方体到底有多大，首先要知道长上放几块，因为正方体的棱长是1厘米，那么放几块就是几厘米。题中告诉我们，堆成的长方体的高是1分米（10厘米）,所以高上放了10块，用分解质因数的方法可以求出长和宽上各放了几块。

解：2100=2×2×5×5×3×7

因为，高是1分米（10厘米）,长和宽都大于高，所以2100=2×2×5×5×3×7=15×4×10

即：堆成的长方体是15厘米，宽是14厘米。 答：它的长是15厘米，宽是14厘米。

例6： 把14，30，33，35，39，75，143，169这八个数平均分成两组，使每组里4个数的乘积相等，求这组数。

解析：依据题意可知，这两组数一定都含相同的因数，因此，可以先把8个数分别分解质因数，然后再根据这8个质因数情况进行分组。

解：14=2×7 39=3×13 30=2×3×5 35=3×5×5 33=3×11 143=11×13 35=5×7 169=13×13

上面8个数的质因数共有2个2，4个3，4个5，2个7，2个11，4个13。根据题目要求要将8个数平均分成两组，要是每组里4个数的乘积相等，每组4个数中的质因数就一定相同。都应该包含1个2,2个3,2个5,1个7,1个11,2个13。

因此，分成的两组数分别是14,39,75,143和30、33、35、169。 例7： 两个数最大公因数是45，最小公倍数是945，（大数不是小数的倍数）求这两个数。

解析：想一想，怎么样求两个数的最大公因数，怎么样求两个数的最小公倍数？求两个数的最大公因数和两个数的最小公倍数都用短除法来做，不同的是，两个数的最大公因数包含两个数中所有相同

分的因数，而两个数的最小公倍数不但包含两个数中所有相同的因数，还包含各自独有的因数。如：

12=2×3×3 30=2×3×5

12和30相同的因数是2和3，除了2和3外12还有因数2,30还有因数5。2和30的最大公因数是2×3=6,12和30的最小公倍数是2×3×2×5=60。

解：因为45=3×3×5,945=3×3×5×3×7意知大数不是小数的倍数，所以这两个数分别是3×3×5×3=135和3×3×5×7=315。答：这两个数分别是135和315。 巩固练习

1、 一个长方体的面积是375平方米，长比宽多10米长和宽各是多少米？

2、 王老师有一张电影票，这张电影票的排数与座位数的最小公倍数是84，最大公因数是3，那么，王老师的电影票是几排几座？

3、 小明的哥哥参加了今年中学数学竞赛，小明问哥哥：“这次竞赛你得了多少分？获了第几名？”哥哥告诉他：“我的的名次和我的年龄及我的分数乘起来是2910，你猜我的成绩是多少？”

4、 3月12日植树节，周老师带领同学们排成两路人数相等的纵队去植树，已知周老师植树的棵树与每个同学植树的棵数相等，而且一共值了111棵树，你知道有多少个同学吗？

5、 韩老师带领一班同学去植树，学生恰好分成4组，他们一共值了539棵树。如果韩老师和每个学生值的树一样多，那么这个班有多少个学生？每个学生植树多少棵？

6、 把一个长25厘米、宽10厘米、高4厘米的长方体木块，锯成若干个小正方体，然后拼成一个大正方体，这个大正方体的表面积是多少平方米？

7、 3个连续的自然数的最小公倍数是2730，这三个数分别是多少个？

第八讲 因数的个数与因数的和

探究目标：

1、掌握求自然数N的因数的个数及因数方法. 2、运用求自然数和的方法解决问题。 探究过程：

例1： 200有多少个因数，全部因数的和是多少？

解析：把200分解质因数，在根据求因数的个数和的方法求出200的因数个数，及全部因数的和。

解：200=23×52

200的因数个有数有：（3+1）×（2+1）=12（个） 200的因数和是：

（1+2+22+23）×（1+5+52） =15×31 =465

答： 200 有12个因数，所有因数和是465。 例2： 找出40一内刚好有6个因数的所有自然数。

解析：因为6=1×6=2×3，根据一个数的质因数的指数与这个因数的个数之间的关系，这样的自然数可以是下面两种形式：

（1）

a6-1 = a5

a(2-1)×b3-1=a×b2

（2）

解: 6=1×6=2×3

2×32=18 3×22=12

22×5=20 22×7=28

再根据40以内有6个因数的所有自然数是32、18、12、20、28。 答：40以内有6个因数的所有自然数是32、18、12、20、28。 例3： 一个数是5个2，3个3,2个5，1个7的连乘积，这个两位数因数中最大是几？

解析：这个数是25×33×52×7，最大两位数是是99=32×11，不是这个数的因数，98=2×72也不是这个数的因数，96=25×3是这个数的因束，所以这个数因数中最大是96。

解：25×33×52×7

25×3=96

答：这个数的两位数因数中最大因是96。 巩固练习

1、60与105各有几个不同的因数？并分别求出60和105的全部因数之和。

2、求不大于200的只有15个因数的所有自然数。

3、合数3570有很多因数，其中最大的三位数是多少？

4、一个数是6个2,3个3,1个5,1个7的连乘积，这个数有许多是两位数，这些两位数的因数中，最大是几?

5、求不大于100只有6个不同因数的所有自然数。

6、675的全部因数有多少个？全部因数和是多少？

第九讲 最大公因数与最小公倍数

探究目标：

1、熟练掌握求最大公因数的三种方法，及求最小公倍数的方法。 2、能运用最大公因数和最小公倍数的知识正确解答有关问题。 探究过程：

例1： 把长132厘米，宽60厘米，厚36厘米的木料锯成尽可能大的，同样大小的正方体木块，据后不许有剩余（损耗不计），能锯成多少块？

解析：要求锯成木料是正方体，木料又不能剩余，这正方体的棱长应是长方体木料的长、宽、高的公因数，有要求正方体要最大，则正方体的棱长应是长方体的长、宽、高的最大公因数。正方体的棱长确定后，可求出锯成正方体的块数。

2、能灵活应用棱长的有关知识来解决生活中的实际问题。 探究过程：

例1：王老师要用铁丝做一个长方体教具模型，教具模型的长、宽、高分别是12厘米、8厘米、6厘米。王老师做这个教具模型至少需要多少厘米的铁丝？

解析1： 需要铁丝的长度就是长方体教具模型的总棱长。长方体教具模型有12条棱（4条长、4条宽、4条高）

解： 4条长的总长度：12×4=48（厘米） 4条宽的总长度：8×4=32（厘米） 4条高的总长度：6×4=24（厘米） 12条棱长的总长度是：48+32+24=104（厘米）

解析2：需要铁丝的长度就是长方体教具模型的总棱长。长方体教具模型有12条棱（4条长、4条宽、4条高），12条棱长的总长度是：

(长+宽+高)×4

解：12条棱长的总长度是：（12+8+6）×4=104（厘米） 答：王老师做这个教具模型至少需要104厘米的铁丝。 例2: 用24个棱长1厘米的小正方体摆成形状不同的长方体，可以摆几种？每种长方体的长、宽、高各是多少？

解析： 这道题主要考查同学们对长方体长、宽、高知识的理解与掌握情况，同时考查同学们的空间想象能力及有序思考能力。同学们在做题时最好用笔画出草图，借助草图帮助做题。有条件的同学可

以用24个小正方体实际摆一下，以验证自己的想法。

解：用24个棱长1厘米的小正方体摆成长方体主要有6种： （1） 长24厘米，宽1厘米，高1厘米。 （2） 长12厘米，宽2厘米，高1厘米。 （3） 长8厘米，宽2厘米，高1厘米。 （4） 长6厘米，宽4厘米，高1厘米 （5） 长6厘米，宽2厘米，高2厘米 （6） 长4厘米，宽3厘米，高2厘米。

注：(上面每一种摆法如果改变摆放的状况，都可以摆出另外的长方体，但它们只是长、宽、高互换，整个长方体的形状还是相同的。)

例3： 用棱长1厘米的小正方体摆成稍大一些的正方体，至少需要多少个小正方体？动手摆一摆看。

解析： 这道题主要考查同学们的分析能力和空间想象能力。同学们在思考分析之余，可以实际摆一下，以验证自己的想法。

解： 因为一个小正方体的边长是1厘米，要摆成稍大一些的正方体，摆成的正方体的边长至少要是2厘米。

因此，最少需要：2×2×2=8（个） 答：至少需要8个小正方体.

例4： 一个长25厘米、宽12厘米、高8厘米的小纸盒，按下图那样的捆绑方式捆绑起来（不计接头），一共要用多长的绳子？

解析： 观察图形（也可以找一个纸盒自己实际捆绑一下）发现，绳子的长度实际上是纸盒的长度实际上是纸盒的两个侧面与一个前面的长方体的周长之和，所以一共要用绳子的长度是：

解：（25+8）×2+（12+8）×2×2=146（厘米） 答：一共要用146厘米长的绳子。 巩固练习：

1 做一个棱长12厘米的正方体模型，至少需要多少厘米的铁丝？

2 做一个长12厘米、宽8厘米、高6厘米的长方体模型，至少需要多少厘米的铁丝？

3 摆一个长6厘米、宽5厘米、高8厘米的长方体，至少需要多少块棱长1厘米的小正方体？

4 准备用一些长3厘米，宽1厘米，高1厘米的小长方体摆成一个比较大的正方体，最少需要这样的小正方体多少块？

5 一个长7厘米、宽4厘米、高2厘米的木箱，用三个铁丝捆起来，每打结处要用1厘米的铁丝，那么这三根铁丝总长至少为多少厘米

第十二讲 与表面积有关的计算

探究目标：

1、进一步理解和掌握长方体和正方体的表面积计算方法。 2、能熟练的应用表面积的计算方法来灵活的解决生活中的实际问题。 探究过程：

例1：把2个相同的正方体拼成1个长方体，表面积减少了80平方厘米，原来每个正方体的表面积是多少平方厘米？

解析： 把2个相同的正方体拼成1个长方体，表面积减少了2个面，题中告诉我们拼成后长方体的表面积比原来2个正方体的表面积和减少了80平方厘米，根据这个条件，就可以求出原来正方体1个面的面积。

解：原来正方体每个面的面积是： 80÷3=40（平方厘米） 原来每个正方体的表面是是： 40×6=240（平方厘米） 答：原来每个正方体的表面积是240平方厘米。

例2：有一个长方体，长是12厘米，宽是8厘米，高是6厘米，把它截成棱长是2厘米的小正方体，这些小正方体的表面积之和比原来长方体的表面积增加了多少平方厘米？

解析： 要知道这些小正方体的表面积比原来长方体的表面积增减了多少平方厘米，首先要算出截之后所有小正方体的表面积之和是多少，用所有小正方体的表面积之和点去原来长方体的表面积，就是增加的面积。那么，到底截成了多少个小正方体呢？

解：长上可以截：12÷2=6（个） 宽上可以截：8÷2=4（个）

高上可以截：6÷2=3（个） 一共可以截：6×4×3=72（个）

这72个小正方体的表面积之和是：2×2×6×72=1728（平方厘米）原来小长方体的表面积是：（12×8+12×6+8×6）×2=432（平方厘米）这些小正方体的表面积之和比原来长方体的表面积增加的面积是：1728—432=1296（平方厘米）

答：这些小正方体的表面积之和比原来长方体的表面积增接了1296平方厘米。

例3： 有2块相同的长方体木料，每块长4厘米，宽3厘米，高2厘米，打算将这2块长方体木料拼成一个比较大的长方体。问：怎样拼成长方体的表面积最小？最小的表面积是多少平方厘米？

解析： 想一想，几块相同的长方体木料拼成一个大的长方体，怎样拼成表面积最小？怎样拼表面积最大？

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