2011 年全国初中数学联合竞赛试题

2011 年全国初中数学联合竞赛试题

第一试

一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）

2 2 1．已知 a + b = 2， (1? a) + (1? b)

b

A．1.

B．?1.

a

= ?4，则 ab的值为（

C．? 1 .

）

2

D． .

1

2

2．已知△ ABC的两条高线的长分别为5和20,若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长 的最大值为( A．5.

)

B．6.

C．7.

)

D．4个 D．8.

2

3．方程| x ?1|= (4 ? 2 3)(x + 2)的解的个数为(

A．1个 B．2个 C．3个

4．今有长度分别为1，2，?，9的线段各一条，现从中选出若干条线段组成“线段组”，由这 一组线段恰好可以拼接成一个正方形，则这样的“线段组”的组数有( A．5组.

B．7组.

C．9组.

)

D．11组.

5．如图，菱形 ABCD 中， AB = 3， DF = 1，∠DAB = 60°，∠EFG = 15°， FG ⊥ BC， 则 AE =(

)

B． 6.

C．2 3 ?1.

D．1+ 3.

)

A．1+ 2. 6．已知 +

1 1 + 1 = 1 ， 1 + 1 = 1，则 2 + + 3 4 的值为( 1 = 1，

x y + z 2 y z + x 3 z x + y 4 x y z

B． .

A．1.

3

2

C．2.

D． .

5

2

二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）

1．在△ABC中，已知∠B = 2∠A， BC = 2, AB = 2 + 2 3，则∠A =

．

2．二次函数 y = x 2 + bx + c的图象的顶点为 D，与 x轴正方向从左至右依次交于 A，B两点， 与 y 轴正方向交于 C 点，若△ABD 和△OBC 均为等腰直角三角形（ O 为坐标原点），则

b + 2c = ．

．

A

E O

C

3．能使 2n + 256是完全平方数的正整数 n的值为

4．如图，已知 AB是⊙O的直径，弦 CD与 AB交于点 E，过点 A 作圆的切线与 CD 的延长线交于点 F，如果 DE = 3 CE，

B

4

AC = 8 5 ，D为 EF的中点，则 AB＝

．

F

D

第二试 （A）

一、（本题满分 20 分）已知三个不同的实数 a,b,c满足 a ? b + c = 3，方程 x 2 + ax +1= 0和

2 2

+ cx + b = 0也有一个相同的实 x 2 + bx + c = 0有一个相同的实根，方程 x + x + a = 0和 x

根．求a,b,c的值．

二．（本题满分 25分）如图，在四边形 ABCD中，已知

D

∠BAD = 60°，∠ABC = 90°，∠BCD =120°，对角

线 AC, BD交于点 S ，且 DS = 2SB ， P为 AC 的中 A

点．求证：（1）∠PBD = 30°；（2） AD = DC ．

P

M

S N

C B

三．（本题满分 25 分）已知 m,n, p为正整数，m < n．设 A(?m,0)， B(n,0)，C(0, p)，O 为坐标原点．若∠ACB = 90°，且OA2 + OB 2 + OC 2 = 3(OA+ OB + OC)． （1）证明：m + n = p + 3； （2）求图象经过 A, B,C三点的二次函数的解析式．

第二试 （B）

一．（本题满分20分）题目与（A）卷第一题相同.

D

二．（本题满分 25 分）如图，在四边形 ABCD 中，已知

M P

S N

C B

∠BAD = 60°，∠ABC = 90°，∠BCD =120°，对角

A 线 AC, BD 交 于 点 S ， 且 DS = 2SB ． 求证 ：

AD = DC ．

三．（本题满分 25 分）已知m,n, p为正整数，m < n．设 A(?m,0)， B(n,0)，C(0, p)，O 为坐标原点．若 ∠ACB = 90°，且 OA2＋OB2＋OC 2＝3(OA＋OB＋OC ）．求图象经过

A, B,C三点的二次函数的解析式．

第二试 （C）

一．（本题满分20分）题目与（B）卷第一题相同.

A

N2

E

M

二．（本题满分 25 分）如图，已知 P为锐角△ ABC 内 一点，过 P 分别作 BC, AC, AB的垂线，垂足分别为

M2

F N

P

D,E, F ， BM 为 ∠ABC 的平分线， MP 的延长线交

B N1

D

M1

C

AB 于点 N ．如果 PD = PE + PF ，求证： CN 是 ∠ACB的平分线．

三．（本题满分25分）题目与（B）卷第三题相同.

2011 年全国初中数学联合竞赛试题答案

第一试

一、选择题：（本题满分42分，每小题7分） 1. B

2 2

由 (1? a) + (1? b)

= ?4可得a(1? a) + b(1? b) = ?4ab，

b a 2 2 2 2 3 3

即(a + b) ? 2(a + b ) + a + b + 4ab = 0，

2 2 2 )+ 4ab = 0，即 2? 2ab + 4ab = 0，所以 ab = ?1． 即 2? 2(a + b )+ 2(a 2 ? ab+ b

2. B

2S 2S 2S

, 设△ ABC的面积为 S，所求的第三条高线的长为 h，则三边长分别为 5 20 h

, ．显 ?2S + 2S > 2S , 然 2S > 2S ，于是由三边关系，得 ?20 ?20 h 5 解得 4 < h < ．所以 h的最

5 20 3 ?2 S + 2S > 2S ,

h ? 20 5 大整数值为 6,即第三条高线的长的最大值为 6. 3. C

当| x |≥ 1时，方程为 x

?1 = (4 ? 2 3)(x + 2)，即 x ? (4 ? 2 3)x ? 9 + 4 3 = 0，

2 2 2 2

+ (4 ? 2 3)x + 7 ? 4 3 = 0，解

解得 = x1 = 3 ， x2 = | 4?，均满足| x |≥ 1． 3个解． 得 x3 3 ?2，满足x 3 3|< 1．综上，原方程有4. C 当| x |< 1时，方程为1? x

显然用这些线段去拼接成正方形，至少要 7条．当用 7条线段去拼接成正方形

= (4 ? 2 3)(x + 2)，x

时，有 3条边每边都用 2条线段连接，而另一条边只用 1条线段，其长度恰好

等于其它 3条边中每两条线段的长度之和．当用 8条线段去拼接成正方形时，则每 边用两条线段相接，其长度和相等．

又因为1+ 2 +L+ 9 = 45，所以正方形的边长不大于[454 ] =11．由于

7 = 1+ 6 = 2 + 5 = 3 + 4； 8 = 1+ 7 = 2 + 6 = 3 + 5； 9 = 1+ 8 = 2 + 7 = 3 + 6 = 4 + 5 ； 1+ 9 = 2 + 8 = 3 + 7 = 4 + 6；

2 + 9 = 3 + 8 = 4 + 7 = 5 + 6．

所以，组成边长为 7、8、10、11 的正方形，各有一种方法；组成边长为 9 的 正方形，有 5种方法。故满足条件的“线段组”的组数为 1×4＋5＝9． 5．D

过 F作 AB的垂线，垂足为 H．∵∠DAB = 60°， AF = AD ? FD = 2 ， ∴ ∠AFH = 30° ， AH = 1 ， FH = 3，又∵∠EFG = 15°， ∠EFH = ∠AFG ? ∠AFH ? ∠EFG

A

H

E

B

F

D

C

G

= 90° ? 30° ?15° = 45°从而△FHE 是等腰直角三角形，所以 HE＝FH＝ 3，∴ AE = AH + HE = 1+ 3． 6. C

由已知等式得 xx+y +y = 2， yz + xy = 3，x + y zx + + z = 4，所以 xy + yz + zx = 9． +zxz yz x + y + z x + y + z 2 yz xy x + y + z = 5，x + zx y + z = 3 ，x + y + z = 1．所以 y = 5，z = 3，y = 5， 于是，

2 2 2 x 3 y x 3 1 = 1，得 1 + 5 = 1，解得 x = 23． 即 z = 3y = 5x。代入 1 +

x y + z 2 x 2 10

x 1 + 5x 3

3 4 2 5 3 + 4 23 = 2． 所以 2 + + = +

= x y z x

x 5x 5x 3

二、填空题：（本题满分 28分，每小题 7分） 1. 15°

延长 AB 到 D，使 BD＝BC，连线段 CD，则∠D = ∠BCD = 1 ∠ABC = ∠A，所以

2 CA＝CD。作CE ⊥ AB于点 E，则 E为 AD的中点，故 AE = DE = 1 AD = 1 (AB + BD) = 1 (2 + 2 3 + 2) = 2+ 3

2 2 2 ，

BE = AB ? AE = (2 + 2 3) ? (2 + 3) = 3 .

A

C E

B D

在 Rt△BCE中，cos∠EBC = EB = 3，所以∠EBC = 30°，故 ∠A = 1 ∠ABC = 15°．

BC 2 2 2. 2

2 2 2

由已知，得C(0,c)， A(? b ? b ? 4c ,0)， B(? b + b ? 4c ,0)， D(? b ,? b ? 4c)．

2 2 2 4

?4 c b 过 D 作 DE ⊥ AB 于点 E，，则 2DE = AB ，即 2 ×b= 2 2

? 4c ，得

4

2 2 2

? 4c > 0 ，所以 b ? 4c = 0 或 b ? 4c = 2 ．又 b b 2 ? 4c = 2 b 2 ? 4c ，所以

2

? 4c = 2．又OC = OB，即c = ? b + b ? 4c ，得b + 2c = b 2 ? 4c = 2． b

2 2

3. 11

当n < 8时， 2n + 256 = 2n (1+ 28?n )，若它是完全平方数，则 n必为偶数． ，则 若 n = 2 ，则 2n + 256 = 22 × 65 ；若 n = 4 ，则 2n + 256 = 24 ×17 ；若 n = 6

2 + 256 = 2 ×5；

n 6

若 n = 8，则2n + 256 = 28 × 2。

所以，当 n ≤ 8时， 2n + 256都不是完全平方数．

当n > 8时， 2 n + 256 = 28(2n?8 +1)，若它是完全平方数，则 2n?

平方。设2n?8 +1= (2k +1) 2 偶，所以 k = 1，于是2n?10

8

+1为一奇数的

（k为自然数），则2n?10 = k(k +1)．由于 k和 k +1一奇一

4. 24

= 2，故 n = 11．

设CE = 4x, AE = y，则 DF = DE = 3x, EF = 6x．连 AD，

C

BC．因为 AB 为⊙O 的直径，AF 为⊙O 的切线，所以 ∠EAF = 90°, ∠ACD = ∠DAF ．又因为 D为 Rt△AEF的斜

A

E O

B

边 EF的中点，

∴ DA = DE = DF，∴ ∠DAF = ∠AFD， ∴ ∠ACD = ∠AFD，∴ AF = AC = 8 5． 在 Rt△AEF中，由勾股定理得 EF = AE + AF

2 2 2

2

2

D

F

，即 36x = y + 320．设 BE = z，

2 2

由相交弦定理得CE ? AED DE = AE BE， 又∠DAE = ∠BCE, ∠= ∠?BEC，∴ ∠BCE = ∠BEC，从而 BC = BE = z． 即 yz = 4x?3x = 12x ∴ y + 320 = 3yz ① 2

在 Rt△ACB中，由勾股定理得 AB 2 = AC 2 + BC 2，即(y + z) = 320 + z 2， 又∵ AD = DE， ∴ ∠DAE = ∠AED． 2

② ∴ y + 2yz = 320．

联立①②，解得 y = 8, z = 16．所以 AB = AE + BE = 24．

第二试 （A）

一、 解 依次将题设中所给的四个方程编号为①，②，③，④．

2 ?x 1 + ax1 +1 = 0,

两式相减，可解得 设 x1是方程①和方程②的一个相同的实根，则? 2

?x + bx1 + c = 0,

1

x1 = c ?1。

a ? b

?x 2 2 + x2 + a = 0,

两式相减，可解得 设 x2是方程③和方程④的一个相同的实根，则 ?2

?x 2 + cx2 + b = 0, x 2= ac??1b。 所以 x1x2 =1．

+ ax2 +1= 0。 又方程①的两根之积等于 1，于是 x2也是方程①的根，则 2 x2

2 又 x2 + x2 + a = 0，两式相减，得 (a ?1)x2 = a ?1．

若 a = 1，则方程①无实根，所以 a ≠ 1，故 x2 = 1．

于是 a = ?2, b + c = ?1．又 a ? b + c = 3，解得 b = ?3, c = 2．

二、 证明 （1）由已知得 ∠ADC = 90°，从而 A,B,C, D四点共圆，AC为直径，P 为该圆的圆心．作 PM ⊥ BD于点 M ，知 M 为 BD的中点，所以∠BPM＝ 1 ∠BPD

2 ＝∠A = 60°，从而∠PBM = 30°．

（2）作 SN ⊥ BP于点 N，则 SN = 1 SB．又 DS = 2SB, DM = MB = 1 BD，

2 2

3 SB = 1 SB = SN ， ∴ MS = DS ? DM = 2SB ? 2 2

∴ Rt△ PMS≌Rt△ PNS ，∴ ∠MPS = ∠NPS = 30°，

又 PA = PB，所以∠PAB = 1 ∠NPS =15°，故∠DAC = 45° = ∠DCA，所以 AD = DC．2

三、解 （1）因为∠ACB = 90°，OC ⊥ AB，所以OA?OB = OC 2，即 mn = p 2．

2 2 2 2

+ OC = 3(OA+ OB + OC)，得m 2 + n + p = 3(m + n + p)． 由OA 2 + OB

2 2 = (m + n + p) 2 又m 2 + n + p ? 2(mn + np + mp) = (m + n + p2 ) 2 ? 2p(m + n + p) = (m + n + p)(m + n ? p)， = (m + n + p)

2

? 2( p + np + mp)

从而有 m + n ? p = 3，即m + n = p + 3 （2）由 mn = 2 p

2

2

? ( p + 3)x + p = 0

，m + n = p + 3知m,nΔ = 是关于x的一元二次方程 x ?1< p < 3。 ① 的两个不相等的正整数根，从而[?( p + 3)] ? 4p > 0，解得

2 2

又为正整数，故 p = 或 p = 2． 当 pp = 1时，方程①为x 12 ? 4x +1= 0，没有整数解． 当 p = 2时，方程①为 x 2 ? 5x + 4 = 0，两根为 m = 1, n = 4． 综合知： m = 1, n = 4, p = 2．

设图象经过 A, B,C三点的二次函数的解析式为 y = k(x +1)(x ? 4)，将点 C(0,2)的坐 标代入得 2 = k ×1× (?4)，解得k = ? 1．

2

所以，图象经过 A, B,C三点的二次函数的解析式为： 3 y = ? 12 (x +1)(x ? 4) = ? 12 2 x + x + 2． 2

第二试 （B）

二、证明 由已知得 ∠ADC = 90°，从而 A,B,C, D四点共圆， AC为直径． 设 P为 AC的中点，则 P为四边形 ABCD的外接圆的圆心．

作 PM ⊥ BD于点 M ，则 M 为 BD 的中点,所以∠BPM＝ 1 ∠BPD＝∠A = 60°，从

2 而∠PBM = 30°．作 SN ⊥ BP于点 N，则 SN = 1 SB．又 DS = 2SB, DM = MB = 1

BD

2 2 3 SB = 12 SB = SN， ∴ Rt△ PMS≌Rt△ PNS ， ∴ MS = DS ? DM = 2SB ?

2 ∴ ∠MPS = ∠NPS = 30° ， 又 PA = PB ， 所 以 ∠PAB = 1 ∠NPS =15° ， 所 以

2

∠DAC = 45° = ∠DCA，所以 AD = DC．

三、解 因为∠ACB = 90°，OC ⊥ AB，所以 OA?OB = OC 2，即 mn = p 2．

2 2 2 2

+ OC = 3(OA+ OB + OC)，得m 2 + n + p = 3(m + n + p)． 由OA 2 + OB

2 2 = (m + n + p) 2 2 + np + mp) 又m 2 + n + p ? 2(mn + np + mp) = (m + n + p2 ) ? 2( p 2 ? 2p(m + n + p) = (m + n + p)(m + n ? p)， = (m + n + p)

从而有 m + n ? p = 3，即m + n = p + 3．

2 ，故m,n是关于 x的一元二次方程 2 x 2 又 mn = p ? ( p + 3)x + p = 0 ① 2

的两个不相等的正整数根，从而Δ = [?( p + 3)] ? 4p 2 > 0，解得?1< p < 3。

又 p为正整数，故 p = 1或 p = 2．

当 p = 1时， ①

2

方程 为 x 4x ++ 1= 0，没有整数解．当 p = 2时，方程①为 x ?2 ? 5x 4 = 0，两根为 m = 1, n = 4． 综合知：m = 1, n = 4, p = 2．

设图象经过 A, B,C三点的二次函数的解析式为 y = k(x +1)(x ? 4)，将点 C(0,2)的坐 标代入得 2 = k ×1× (?4)，解得k = ? 1．

2 所以，图象经过 A, B,C三点的二次函数的解析式为 3 y = ? 12 (x +1)(x ? 4) = ? 12 2 x + x + 2． 2

第二试 （C）

二、证明 如图 1，作 MM 1 ⊥ BC于点 M 1，

2

MM 2 ⊥ AB于点 M 2， NN1 ⊥ BC于点 N1， F

A

N2

E

M

M N

P

NN 2 ⊥ AC于点 N 2．设 NP = λNM ， ∵ NN1 // PD // MM 1， ∴ N1D = λN1M 1． B

N1

D

M1

C

若 NN1 < MM1 ，如图 2，作 NH ⊥ MM1 ，分别交 MM 1, PD 于点 H, H1 ，则 △ NPH1∽△ NMH ，∴ PH NP = λ，∴ PH1 = λMH， 1

= MH

NM

∴ PD = PH1 + H1H = λMH + NN1 = λ(MM 1 ? NN1) + NN1 = λMM 1 + (1? λ)NN1． 若 NN1 = MM 1，则 PD = NN1 = MM 1 = λMM1 + (1? λ)NN1．

N

M H

P H1

N1 D M1

若 NN1 > MM 1，同理可证 PD = λMM1 + (1? λ)NN1． PE =

∵ PE // NN 2，∴ PM = 1? λ，∴ PE = (1? λ)NN 2． NN 2 NM PF NP = λ，∴ PF = λMM 2． ∵ PF // MM 2，∴ =

MM 2 NM

又 PD = PE + PF，∴ λMM1 + (1? λ)NN1 = λMM 2 + (1? λ)NN 2．

又因为 BM 是∠ABC的平分线，所以 MM1 = MM 2，∴ (1? λ)NN1 = (1? λ)NN 2． 显然λ ≠ 1，即1? λ ≠ 0，∴ NN1 = NN 2，∴CN 是∠ACB的平分线．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/eerx.html