电路与电子技术基础第五章习题答案

电路与电子技术基础教辅

习题五

5-1 若i1(t)=cosωtA，i2(t)=3sinωtA，求i1(t)+i2(t)。

解：设i(t)=i1(t)+i2(t)，各电流均为同频率的正弦波，以相量表示后得： I=I1+I2

根据已知条件有：I1=1∠0=1所以，I=1+j3=2∠60o

与相量I相对应的正弦电流i(t)为：

i(t)=i1(t)+i2(t)=2cos(ωt+60o)(A)

o

I2=∠90o=j3

（注：所谓正弦量既可以是正弦也可以是余弦，仅差900相位差，所以此处将其化为余弦，主要就是让同学们了解：正弦量不单单是正弦，也可以是余弦。）

5-2 已知uab=100cos(314t+30o)V，ubc=100sin(314t+60o)V，在用相量法求uac时，下列四种算法得答案哪些是正确的？不正确的，错在何处？

方法一： 方法二：

Uab=86.6+j50

Uab=86.6+j50

Ubc=86.6 j50Uab+Ubc=173.2+j0uac=173.2cos314tV

Ubc=50+j86.6Uab+Ubc=136.6+j136.6uac=193.4cos(314t+45o)V

方法三： 方法四：

Uab= 50+j86.6

Uab= 50+j86.6

Ubc=50+j86.6Uab+Ubc=0+j173.2uac=173.2sin(314t+90o)V

Ubc=86.6 j50Uab+Ubc=36.6+j36.6uac=51.7sin(314t+45o)V

解：方法（一）、（三）是正确的，方法（二）、（四）是错误的，它们的错误在于：在同一问题中采用了两种不同的标准来表示正弦量，方法（二）中，Uab是用1∠0o代表cosωt写出的，而Ubc则是用1∠0o代表sinωt写出的，其结果显然是不正确的。方法（四）中，Uab是用1∠0o代表sinωt写出的，Ubc则是用1∠0o代表cosωt写出的，其结果仍然是不正确的。因此在分析正弦稳态电路时，虽然既可以用正弦表示也可以用余弦表示，但在分析题是只能选其中一种，不可混用，否则导致错误。

5-3 （1）指出题图5-1所示相量模型是否有错？

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（2）指出下列各式是否有错？

UI=；

R+ωL

U=UL+UR；

Im

Um

=；R+ωL

UL

jωL=U；

R+jωL

UR=U

RR+ωL

u=uL+uR；Um=ULm+Urm

解：（1）题图5-1(a)所示的相量模型有错误，因为电流应用相量表示，电感需用感抗表示，故应改为题图5-1(b)所示的相量模型。

U

(a)

U

(b)

题图5-1 习题5-3电路相量图

（2）式UL

错。

jωL=U；

R+jωL

U=UL+UR；

u=uL+uR是正确的，其余各式均有

UU

式I=应改为I=（欧姆定理在正弦稳态电路中的形式）

R+ωLR+jωL

式Im=

Um

应改为Im=

R+ωL

UmR+(ωL)

2

2

（计算电流的模的方法）

式UR=U

RR

应改为UR=U R+ωLR+jωL

改为Um=ULm+Urm，即用最大值相量表示也是正确的。 式Um=ULm+Urm是不正确的，

5-4 电路如题图5-2(a)所示，问频率ω为多大时，稳态电流i(t)为零？

(a)

j

(b)

1

ω

题图5-2 习题5-4电路图及相量图

解：画出原电路的相量模型如题图5-2(b)所示，根据欧姆定律有： I=

1+

jω j

1∠0ojω( j

1

=ω2 1ω2 1 jω

=

(ω2 1)(ω2 1+jω)(ω2 1)2+ω2

=

(ω2 1)2+jω(ω2 1)

(ω2 1)2+ω2

ω1

ω

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(ω2 1)2=0(实部）

令I=0，则有 2

ω(ω1)0（虚部） =

解之得：ω=±1时，实部和虚部均为0，舍去负值后得ω=1

故当ω=1rad/s时，LC并联电路发生谐振，其阻抗为无穷大，此时的电路相当于开路，故稳态电流为零。

5-5 若某电路的阻抗为Z=3+j4，则导纳Y=解：这是不对的。 因为导纳Y定义为：Y=故有：Y=G+jB=

1

，而Y=G+jB,Z

Z=R+jZ

11

+j。对吗？为什么？ 34

R1X

=2 j 22R+jXR+X2R+X

R1

=≠G R2+X2R 于是得：

X1

B=≠ R2+X2X

因此，Y=

332+42

j

432+42

=

34

j 2525

5-6 在某一频率时，测得若干线性时不变无源电路的阻抗如下：

RC电路： Z=5+j2 RL电路： Z=5-j7 RLC电路： Z=2-j3 LC电路： Z=2+j3 这些结果合理吗？为什么？ 解：（1）此结果不合理。因为RC电路阻抗Z的虚部应为负值。 （2）此结果不合理。因为RL电路阻抗Z的虚部应为正值。 （3）此结果合理。

（4）此结果不合理。因为LC电路阻抗Z的实部应为零。 5-7 指出并改正下列表达式中的错误 答：（1）i(t)=2sin(ωt 15o)=2e j15A

因为i(t)是瞬态表示，它与相量是对应关系而不是相等关系，即i(t)=2sin(ωt 15o)， I=2e j15。若用等式表示，则应写为i(t)=2sin(ωt 15o)=IM2ej(ωt 15

o

o

[

o

)

]

（2）U=5∠90o=52sin(ωt+90o)V

同（1）相量形式与瞬态表示不是相等关系而是对应关系。 （3）i(t)=2cos(ωt 15o)=2∠ 15oA 同（1）i(t)=2cos(ωt 15o)=2sin(ωt+75o)A （4）U=220∠38oV

U应该是相量形式，而不是有效值。即U=220∠38oV

5-8 试求下列正弦信号的振幅、频率和初相角，并画出其波形图 解：（1）u(t)=10sin314tV

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Um=10V，ω=314，ω=2πf，f=ω/2π=314/2π=50Hz，θu=0 （2）u(t)=5sin(100t+30°)V

Um=5V，ω=100，ω=2πf，f=ω/2π=100/2π=15.92Hz，θu=30 （3）u(t)=4cos(2t-120°)V

Um=4V，ω=2，ω=2πf，f=ω/2π=2/2π=0.32Hz，θu=-120+90=-30 （4）u(t)=82sin(2t 45o)

Um=11.31V，ω=2，ω=2πf，f=ω/2π=2/2π=0.32Hz，θu=-45

t (1)

u t

(2)

t (4)

5-9 写出下列相量所表示的正弦信号的瞬时表达式（设角频率均为ω） 答：（1）I1m=(8+j12)A

因为：I1m=(8+j12)=14.42∠56.31oA 则：i1(t)=14.42sin(ωt+56.31o)A

（2）I2=11.18∠ 26.6oA

则：i2(t)=211.18sin(ωt 26.6o)=15.81sin(ωt 26.6o)A

（3）U1m=( 6+j8)V

因为：U1m=( 6+j8)=10∠126.87oV 则：u1(t)=10sin(ωt+126.87o)V

（4）U2=15∠ 38oV

则：u2(t)=215sin(ωt 38o)V=21.21sin(ωt 38o)V

5-10 电路如题图5-3(a)所示。

已知uc(t)=cos2t V，试求电源电压us(t)。分别绘出题图中所标出的所有电压和和所标出的所有电流的相量图。

解：做原电路的相量模型，如题图5-3(b)所示。

已知：UC=1∠0oV，根据分压公式得：

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UC

j2×2

2 j21 j

=Us=Us=0.447∠ 63.4o×Us

j2×22+j2+1 j

2+j2+

2 j2

UC

则 Us=

0.447∠ 63.4o

=2.24∠63.4oV

故 u

s(t)=2.24cos(2t+63.4o)V

2Ω Ω I

R2 R2

(c)

(b) (a)

题图5-3 习题5-10电路图和相量模型

相量图题图5-3(c)所示。

5-11 电路如题图5-4(a)所示，写出输入阻抗与角频率ω的关系式，当ω=0时，输入阻抗是多少？

(a)

1Ω

(b)

题图5-4 习题5-10电路图及相量模

解：原电路的相量模型如题图5-4(b)所示，输入阻抗为

(1+j2ω)( j

Z=2+

11

ω=2+

)

1+j2ω j=

1+j( 4ω3+ω)ω j(2ω2 1)

×=2+2

ω+j(2ω2 1)ω j(2ω2 1)ω+(2ω2 1)2

2ω j

ω

8ω4 6ω2+3+j( 4ω3+ω)

4ω4 3ω2+1

当ω=0时，Z=3Ω

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5-12 电路如题图5-5所示，电压源均为正弦电压，已知图(a)中电压表读数为V1：30V，V2：60V；图(b)中的V

：15V，V：80V，V：100V。求电源电压U。

解：电压表的读数为正弦电压的有效值。

用相量图求解，设电流为I=I∠0，电阻电压与电流同相，电感电压超前电流90°，电容电压滞后电流90°，可以画出各元件电压相量如下图所示：

o

R(a)

(b)

从图(a)中可以得到：

22

US=R+UL=302+602=67.08V

从图(b)中可以得到：

2US=R+(UC UL)2=2+(100 80)2=25V

显然，如果电流初相角为任意角度，即I=I∠ i，所得结论相同。

5-13 电感线圈可等效成一个电阻和一个电感的串联电路，为了测量电阻和电感值，首先在端口加

30V直流电压，如题图5-6所示，测得电流为1A；再加f=50Hz，有效值为90V的正弦电压，测得电流有效值为1.8A。求R和L的值。

解：当加30V直流电压时，电感L可看作短路，则电阻

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R=

uS30==30 i1

加正弦电压时，设电流为I=I∠ i，根据相量法，可以画出相量图如图所示： 其中UR=RI，UL=jXLI，US=UR+UL，所以，

222222

US=UR+UL=R2I2+XLI=(R2+XL)I2

得：XL=

2

US

I2

R2=(

902

) 302=40 1.8

再由XL=ωL，得：

XX40

=0.127H L=L=L=

ω2πf100π

5-14 电路如题图5-7所示，已知电源电压为正弦电压，电流I1=I2=10A，试求I和US，

设US的初相角为零。

解：以US

为参考相量，可以画出各电流相量如图所示。 由图可知：

2I=I12+I2=102A

i=45°

故US和I分别为：

US=100∠0oV I=102∠45oA

U

S=US∠0oV。求当电流有效值I最大时，电感L为何值？

US=RI1=100V

5-15 电路如题图5-8所示，已知R1=1 ，C=103µF，R2=0.5 ，ω=1000rad/s，

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解：应用戴维南定理求解，先把R2和L断开，求1和2端开路电压。根据分压公式，得：

UOC

jXC

=US R1+jXC

其中jXC= j

UOC=

1

= j1 ，所以 ωC

U j

US∠0o=S∠ 45oV 1 j2

再求等效阻抗： R(jXC) jZ0=1==(0.5 0.5j)

R1+jXC1 j

可以画出戴维南等效电路如图所示。从图中可知：

USUSo 45∠ 45o∠ UOC22

I===A

Z0+R2+jωL0.5 0.5j+0.5+jωL1+j(ωL 0.5)电流有效值为：

US

I=

2+(ωL 0.5)

2

A

若I取得最大值，上式分母应最小，即ωL-0.5=0，所以，电感量L为：

L=

0.5

ω

=0.5mH

5-16 在题图5-9所示电路中，已知g=1S，uS=102sintV，iS=102costA。求受控电流源两端电压u12。

解：原电路的相量模型如右图所示，其中：

US=10∠0o=10V

IS=10∠90o=j10A，因为：iS=10cost=102sin(t+90o)A

这里采用有效值相量。对节点1、2应用节点法，得：

US 111 1

U1+ 1 U2= j gU2 j+j+1

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1 11

UIgU=++ U1+ S2 j1 2

1

解得：U1=jUS，U2=US jIS

所以，U12=U1 U2=( 1+j)US+jIS= 20+j10=10∠153.4oV 故：u12=10sin(t+153.4o)V

5-17 电路相量模型如题图5-10(a)所示。试用①节点分析法求流过电容的电流；②用叠加定理求流过电容的电流。

I -jΩ 2Ω

I -jΩ 2Ω (b)

I -jΩ 2Ω I -jΩ

20V 10A

(c) (d)

题图5-10 习题5-17电路相量模

解：（1）以节点0为参考点，设节点1、2的电位相量为U1及U2，则节点方程为

(1)+ jUjU12=10

1 11

=× +++jUjUj20 12

2 22

(1+j)U1 jU2=10

化简得

jU1+(1+j)U2=j10

解之得：U1=4+j2(V)，U2=6+j8(V)

，则 设流过电容的电流为I（方向题图5-10(a)所示）

I=j(U2 U1)=j(6+j8 4 j2)= 6+j2=6.32∠161.6o(A)

（2）根据叠加定理，流过电容的电流I可看作是电流源和电压源分别单独作用所产生电流的代数和。

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电流源单独作用时，见题图5-10(b)，根据分流关系可得 I1=

1 10

×10∠0o== 4 j2(A)

2 j 2×2

1+ j 2+2

电压源单独作用时，电路如题图5-10(c)，将电压源与电阻串联电路等效为电流源与电

阻并联的电路，如题图5-10(d)所示，根据分流关系可得

2×2

j102+2 I2=×j10== 2+j4(A)

2×22 j

+(1 j)2+2

流过电容的总电流为

I

=I1+I2= 4 j2 2+j4= 6+j2=6.32∠161.6o(A)

5-18 题图5-11中虚线框部分为日光灯等效电路，其中R

为日光灯等效电阻，L为铁芯电感，称为镇流器。已知Us=220V， f=50Hz，日光灯功率为40W额定电流为0.4A，试求电阻R和电 感L。

I=0.4∠θi

解：设电压的初相为零，即Us=220∠0°，则电流相量为

题图5-11 习题5-18电路图

P=UI=220∠0o×0.4∠θi=88∠θi

因为P=40W，且感性元件电流滞后电压，所以θi=arccos

UI

40

= 62.96o 88

又因为Z==

220∠0o0.4∠ 62.96o

=550∠62.96=250+j489.9

所以R=250Ω，ωL=489.9

因为f=50Hz，所以ω=2πf=314 故L=

489.9

=1.56H 314

5-19 题图5-12电路中，R1=100 ，L1=1H，R2=200 ，L2=1H，正弦电源电压为US=1002∠0

oV，角频率ω=100rad/s，电流有效值I2=0，求其它各支路电流。

解：首先计算感抗：

jXL1=jωL1=j100 ，jXL2=jωL2=j100

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由于I2=0，所以节点1和2等电位，故有：

US1002∠0o

==1∠ 45oA I1=

R1+jXL1100+j100

UL1=UL2=jXL1I1=j100×1∠ 45o=100∠45oV

I3=

UL2jXL2

=

100∠45o100∠90

o

=1∠ 45oA

由I3+I4=0得：I4= I3= 1∠ 45oA。

本题中L2和C的并联支路实际发生了并联谐振，即ω=

1L2C

，该支路入端阻抗为∞，因

此I2=0，可以看作开路，但I3和I4不等于零，它们振幅相同，相位相差180°，L2和C构成的回路中呈现电磁振荡。

5-20 求题图5-13电路的谐振角频率。 解：由KCL得： I=IC+2IC=3IC

由KVL得：

1 1

US=jωLI+IC=j(3ωL )IC

ωCjωC

电路的入端阻抗为：

Z=

USI

3ωL =j

3

1

C

显然当电路谐振时，应满足US、I同相位，即Z=0，故有：

3ωL

1

=0 ωC13LC

ω=

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