概率论与数理统计习题集及答案

第1章 概率论的基本概念

§1 .8 随机事件的独立性

1. 电路如图，其中A,B,C,D为开关。设各开关闭合与否相互独立，且每一开关闭合的概率均为p,求L与R为通路（用T表示）的概率。

A B L R C D

1. 甲，乙,丙三人向同一目标各射击一次，命中率分别为0.4,0.5和0.6，是否命中，相

互独立， 求下列概率: (1) 恰好命中一次,(2) 至少命中一次。

第1章作业答案

§1 .8. 1： 用A,B,C,D表示开关闭合，于是 T = AB∪CD, 从而，由概率的性质及A,B,C,D的相互独立性

P(T) = P(AB) + P(CD) - P(ABCD)

= P(A)P(B) + P(C)P(D) – P(A)P(B)P(C)P(D)

?p2?p2?p4?2p2?p4

2： (1) 0.4(1-0.5)(1-0.6)+(1-0.4)0.5(1-0.6)+(1-0.4)(1-0.5)0.6=0.38； (2) 1-(1-0.4)(1-0.5)(1-0.6)=0.88.

第2章 随机变量及其分布

§2.2 0?1分布和泊松分布

1 某程控交换机在一分钟内接到用户的呼叫次数X是服从λ=4的泊松分布，求

(1)每分钟恰有1次呼叫的概率；(2)每分钟只少有1次呼叫的概率； (3)每分钟最多有1次呼叫的概率；

2 设随机变量X有分布律： X 2 3 , Y～π(X), 试求： p 0.4 0.6

（1）P(X=2,Y≤2)； (2)P(Y≤2)； (3) 已知 Y≤2, 求X=2 的概率。

§2.3 贝努里分布

2 设每次射击命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击，才能使至少击中一次的概率不小于0.9 ？

§2.6 均匀分布和指数分布

2 假设打一次电话所用时间（单位：分）X服从??0.2的指数分布，如某人正好在你前面走进电话亭，试求你等待：（1）超过10分钟的概率；（2）10分钟 到20分钟的概率。

§2.7 正态分布

1 随机变量X～N (3, 4), (1) 求 P(22), P(X>3)； (1)确定c，使得 P(X>c) = P(X

第2章作业答案

- 1 -

§2.2 1： (1) P(X = 1) = P(X≥1) – P(X≥2) = 0.981684 – 0.908422 = 0.073262, (2) P(X≥1) = 0.981684,

(3) P(X≤1) = 1 - P(X≥2) = 1 – 0.908422 = 0.091578。 2：(1) 由乘法公式：

P(X=2,Y≤2) = P(X=2) P(Y≤2 | X=2)= 0.4× (e?2?2e?2?2e?2)= 2e?2

（2）由全概率公式：P(Y≤2) = P(X=2) P(Y≤2 | X=2) + P(X=3) P(Y≤2 | X=3)

= 0.4×5e + 0.6×（3）由贝叶斯公式：P(X=2|Y≤2)=

?217?3e= 0.27067 + 0.25391 = 0.52458 2P(X?2,Y?2)0.27067??0.516

P(Y?2)0.52458§2.3 2： 至少必须进行11次独立射击. §2.6 1： 3/5 2： (1)e?2

(2)e?2?e?4

§2.7 1：(1) 0.5328, 0.9996, 0.6977, 0.5；(2) c = 3，

第3章 多维随机变量

§3.1 二维离散型随机变量

1. 设盒子中有2个红球，2个白球，1个黑球，从中随机地取3个，用X表示取到的红球

个数，用Y表示取到的白球个数，写出 (X, Y) 的联合分布律及边缘分布律。

2. 设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为： X Y 0 1 2

试根椐下列条件分别求a和b的值； 0 0.1 0.2 a (1)P(X?1)?0.6； 1 0.1 b 0.2 (2)P(X?1|Y?2)?0.5； (3)设F(x)是Y的分布函数，F(1.5)?0.5。

§3.2 二维连续型随机变量

1. (X、Y)的联合密度函数为：f(x,y)???k(x?y)0?x?1,0?y?1

其他?0求（1）常数k；（2）P(X<1/2,Y<1/2)；(3) P(X+Y<1)；(4) P(X<1/2)。

?kxy0?x?1,0?y?x2．(X、Y)的联合密度函数为：f(x,y)??

0其他?求（1）常数k；（2）P(X+Y<1)；(3) P(X<1/2)。

- 2 -

§3.3 边缘密度函数

1. 设(X, Y) 的联合密度函数如下，分别求X与Y的边缘密度函数。

f(x,y)?1?2(1?x2)(1?y2)???x???,???y???

§3.4 随机变量的独立性

1. (X, Y) 的联合分布律如下， X Y 1 2 3 试根椐下列条件分别求a和b的值； 1 1/6 1/9 1/18 (1) P(Y?1)?1/3； 2 a b 1/9 (2) P(X?1|Y?2)?0.5； （3）已知X与Y相互独立。

第3章作业答案 §3.1 1： X Y 1 2 2： (1) a=0.1 b=0.3

1 0.4 0.3 0.7 (2) a=0.2 b=0.2

2 0.3 0. 0.3 (3) a=0.3 b=0.1

0.7 0.3 1

§3.2 1：(1) k = 1；(2) P(X<1/2, Y<1/2) = 1/8；(3) P(X+Y<1) = 1/3；(4) P(X<1/2) = 3/8。 2：(1) k = 8；(2) P(X+Y<1) = 1/6；(3) P(X<1/2) = 1/16。 §3.3 1： fX(x)?12dy?????2(1?x2)(1?y2)?(1?x2)?????x???；

fY(y)??12dx????2(1?x2)(1?y2)?(1?y2)?????y???；

§3.4 1： （1）a=1/6 b=7/18； (2) a=4/9 b=1/9；（3）a = 1/3, b = 2/9。

第4章 随机变量的数字特征

§4.1 数学期望

1．盒中有5个球，其中2个红球，随机地取3个，用X表示取到的红球的个数，则EX是： （A）1； （B）1.2； （C）1.5； （D）2.

?3x22?x?41?2. 设X有密度函数：f(x)??8 , 求E(X),E(2X?1),E(2),并求X其他X?0?大于数学期望E(X)的概率。

3. 设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为： X Y 0 1 2

已知E(XY)?0.65， 0 0.1 0.2 a

- 3 - 则a和b的值是： 1 0.1 b 0.2

（A）a=0.1, b=0.3； （B）a=0.3, b=0.1； （C）a=0.2, b=0.2； （D）a=0.15, b=0.25。

4．设随机变量 (X, Y) 的联合密度函数如下：求EX,EY,E(XY?1)。

?xy0?x?1,0?y?2 f(x,y)??

0其他?第4章作业答案

§4.1 1： B； 2：3/2, 2, 3/4, 37/64； 3： D； 4： 2/3，4/3，17/9；

第5章 极限定理

§5.2 中心极限定理

1． 一批元件的寿命（以小时计）服从参数为0.004的指数分布，现有元件30只，一只在用，

其余29只备用，当使用的一只损坏时，立即换上备用件，利用中心极限定理求30只元件至少能使用一年（8760小时）的近似概率。

2． 某一随机试验，“成功”的概率为0.04，独立重复100次，由泊松定理和中心极限定理

分别求最多“成功”6次的概率的近似值。

第5章作业答案

§5.2 2：0.1788； 3：0.889， 0.841；

第6章 数理统计基础

§6.1 数理统计中的几个概念

1． 有n=10的样本；1.2， 1.4， 1.9， 2.0， 1.5， 1.5， 1.6， 1.4， 1.8， 1.4，则样本

2均值X= ，样本均方差S? ，样本方差S? 。

2．设总体方差为b有样本X1,X2,?,Xn，样本均值为X，则Cov(X1,X)? 。

2§6.2 数理统计中常用的三个分布

1. 查有关的附表，下列分位点的值：Z0.9= ，22 ?0.1(5)= ，t0.9(10)= 。

2．设X1,X2,?,Xn是总体?(m)的样本，求E(X),D(X)。

§6.3 一个正态总体的三个统计量的分布

1．设总体X~N(?,?)，样本X1,X2,?,Xn，样本均值X，样本方差S，则

22

X???/n

~ ，

X??~ ，

S/n- 4 -

1?2?(Xi?1ni?X)～ ，

21?2?(Xi?1ni??)2～ ，

第6章作业答案

§6.1 1．x?1.57,s?0.254,s2?0.0646； 2. Cov(X1,X)?b2/n；

D(X)?2m/n；

§6.2 1．-1.29， 9.236， -1.3722； 2．E(X)?m,§6.3 1.N(0,1),t(n?1),

?2(n?1),?2(n)；

第7章 参数估计

§7.1 矩估计法和顺序统计量法

???x1.设总体X的密度函数为：f(x)????0知参数? 的矩估计。

2.每分钟通过某桥量的汽车辆数X~?(?)，为估计?的值，在实地随机地调查了20次，每次1分钟，结果如下：次数： 2 3 4 5 6

量数： 9 5 3 7 4 试求?的一阶矩估计和二阶矩估计。

??10?x?1其他，有样本X1,X2,?,Xn，求未

§7.2 极大似然估计

??(??1)x1.设总体X的密度函数为：f(x)????0未知参数? 的极大似然估计。

?0?x?1其他，有样本X1,X2,?,Xn，求

第7章作业答案

§7.1 1：(X2)； 2： 5， 4.97； 1?Xn?1)2；

i§7.2 1：(?lnXi?1n

- 5 -

一.填空题（每空题2分，共计60分）

1、A、B是两个随机事件，已知p(A)?0.4,P(B)?0.5,p(AB)?0.3，则

p(A?B)? 0.6 , p(A-B)? 0.1 ，P(A?B)= 0.4 , p(AB)?0.6。

2、一个袋子中有大小相同的红球6只、黑球4只。（1）从中不放回地任取2只，

则第一次、第二次取红色球的概率为： 1/3 。（2）若有放回地任取2只，则第一次、第二次取红色球的概率为： 9/25 。（3）若第一次取一只球观查球颜色后，追加一只与其颜色相同的球一并放入袋中后，再取第二只，则第一次、第二次取红色球的概率为： 21/55 。

3、设随机变量X服从B（2，0.5）的二项分布，则p?X?1??0.75, Y 服从二项分布B(98, 0.5), X与Y相互独立, 则X+Y服从 B(100,0.5)，E(X+Y)= 50 ，方差D(X+Y)= 25 。

4、甲、乙两个工厂生产同一种零件，设甲厂、乙厂的次品率分别为0.1、0.15．现

从由甲厂、乙厂的产品分别占60%、40%的一批产品中随机抽取一件。 （1）抽到次品的概率为： 0.12 。

（2）若发现该件是次品，则该次品为甲厂生产的概率为： 0.5 ． 5、设二维随机向量(X,Y)的分布律如右，则a?0.1, E(X)?0.4，X与Y的协方差为: - 0.2 ， Z?X?Y2的分布律

X Y -1 1 0 1 0.2 0.3 0.4 a z 概率 1 2 0.6 0.4 为:

6、若随机变量X~N(2, 4)且?(1)?0.8413，?(2)?0.9772,则

P{?2?X?4}?0.815 ， Y?2X?1,则Y~N( 5 ， 16 ）。

7、随机变量X、Y的数学期望E(X)= -1，E(Y)=2, 方差D(X)=1，D(Y)=2, 且X、Y相

互独立，则：E(2X?Y)? - 4 ，D(2X?Y)? 6 。

（X）?25，D（Y）?1，Cov(X,Y)?2，则D（X?Y）? 30 8、设D

- 6 -

9、设X1,?,X26是总体N(8,16)的容量为26的样本，X为样本均值，S2为样本方差。

则：X~N（8 ， 8/13 ），

252X?8S~?2(25)，~ t(25)。 16s/25?ax2, 0?x?1二、（6分）已知随机变量X的密度函数f(x)??

0 , 其它?求：（1）常数a， （2）p(0.5?X?1.5)（3）X的分布函数F（x）。

解:(1)由

?????f(x)dx?1,得a?3

(2) p(0.5?X?1?5)=

?1..50.5f(x)dx??3x2dx?0.875

0.51 x?0?0 ?0?x?1 (3) F(x)??x3,

?1 , 1?x??2y, 0?x?1,0?y?1三、（6分）设随机变量（X，Y）的联合概率密度为：f(x,y)??

0 , 其它?求：（1）X，Y的边缘密度，（2）讨论X与Y的独立性。 解:(1) X，Y的边缘密度分别为:

1?0?x?1??02ydy?1 fX(x)??? 其他 ?0

??1? 0?y?1?f(x，y)dx??02ydx?2y，fY(y)?????? 其他?0 (2)由(1)可见

, 可知: X，Y相互独立 f（x，y）?f（?f（Xx）Yy）

3． 填空题（每小题2分，共计60分）

1. 设随机试验E对应的样本空间为S。 与其任何事件不相容的事件为 不可能事件， 而与其任何事件相互独立的事件为 必然事件；设E为等可能型试验，且S包含10个样本点，则按古典概率的定义其任一基本事件发生的概率为 1/10。

2．P(A)?0.4,P(B)?0.3。若A与B独立，则P(A?B)? 0。28 ；若已知A,B中至少

- 7 -

有一个事件发生的概率为0.6，则P(A?B)? 0.3，P(AB)? 1/3 。

3、一个袋子中有大小相同的红球5只黑球3只，从中不放回地任取2只，则取到球颜色不同的

概率为： 15/28。若有放回地回地任取2只，则取到球颜色不同的概率为： 15/32 。 4、E(X)?D(X)?1。若X服从泊松分布，则P{X?0}?1?e?1；若

X服从均匀分布，则

P{X?0}? 0 。

5、设

X~N(?,?2)，且P{X?2}?P{X?2}, P{2?X?4}?0.3，则?? 2 ；

P{X?0}? 0.8 。

6、某体育彩票设有两个等级的奖励，一等奖为4元，二等奖2元，假设中一、二等奖的概率分别为0.3和0.5, 且每张彩票卖2元。是否买此彩票的明智选择为： 买 （买，不买或无所谓）。

7、若随机变量X~U(1,5)，则

p?〈0X〈4?? 0.75 ；E(2X?1)?__7___，

D(3X?1)? 12 ．

8、设X~b(n,p),E(X)?2.4,D(X)?1.44，则P{X?n}?0.422?6?k6?k??6?0.4?0.6?(6?0.4)?7.2。 k0.40.6???k?k?0??63，并简化计算

9、随机变量X、Y的数学期望E(X)= -1，E(Y)=2, 方差D(X)=1，D(Y)=2, 且X、Y相互独立，

则：E(2X?Y)? -4 ，D(2X?Y)? 6 。

10、设X1,?,X16是总体N(20,4)的容量为16的样本，X为样本均值，S为样本方差。

则：X~N（20， 1/4 ），pX?20?1= 0.0556 ，

2??X?20152S~?2(15)，~ t(15)。 16s/15此题中?(2)?0.9772。

??e??x, x?0111、随机变量X的概率密度f(x)?? ，则称X服从指数分布，E(X)?。

?0, x?0? - 8 -

13、设二维随机向量(X,Y)的分布律是： 则X的方差D(X)? 0.21 ；

X Y 0 1 0 1 0.4 0.3 0.3 0 X与Y的相关系数为:?XY? 3/7 。

二、 （7分）甲、乙、丙三个工厂生产同一种零件，设甲厂、乙厂、丙厂的次品率分别为0.2，

0.1，0.3．现从由甲厂、乙厂、丙厂的产品分别占15%，80%，5%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，求该次品为甲厂生产的概率． 解：设A1,A2,A3分别表示产品取自甲、乙、丙厂， 有：

p(A1)?15%,P(A2)?80%,P(A3)?5%

A1)?0.2,P(BA2)?0.1,P(BA3)?0.3，

3B 表示取到次品，p(B由贝叶斯公式：p(A1B)=

p(A1)?P(BA1)（/?p(Ak)?P(BAk)?0.24

k?1三、（7分）已知随机变量X的密度函数

0?x?1?ax, f(x)?? , 其它?0 求：（1）常数a， （2）p(0?X?0.5)（3）X的分布函数F（x）。 解:(1)由 (2)

?????f(x)dx?1,得a?2

0.50.5p(0.?X?1?5)=?f(x)dx??2xdx?0.25

00 x?0?0 ?20?x?1 (3) F(x)??x, ?1 , 1?x??4xy, 0?x?1,0?y?1四、（7分）设随机变量（X，Y）的联合概率密度为：f(x,y)??

0 , 其它?求：（1）X，Y的边缘密度，（2）由（1）判断X，Y的独立性。 解:(1) X，Y的边缘密度分别为:

- 9 -

??1?f(x，y)dy? 0?x?1??04xydy?2x，fX(x)?????? 其他 ?0

??1? 0?y?1?f(x，y)dx??04xydx?2y，fY(y)?????? 其他?0 (2)由(1)可见

, 可知: X，Y相互独立 f（x，y）?f（?f（Xx）Yy）

七、（5分）某人寿保险公司每年有10000人投保，每人每年付12元的保费，如果该年内投保人死亡，保险公司应付1000元的赔偿费，已知一个人一年内死亡的概率为0.0064。用中心极限定理近似计算该保险公司一年内的利润不少于48000元的概率。已知?(1)?0.8413，

?(2)?0.9772。

解:设X为该保险公司一年内的投保人死亡人数,则X∽B(10000,0.0064)。 该保险公司的利润函数为：L?120000?1000?X。

}?P{120000?1000?X?48000}?P{X?72} 所以P{L?48000 ?P{X?6410000?0.0064?0.9936?72?64}用中心极限定理

7.996 ??(1)?0.8413

答：该保险公司一年内的利润不少于48000元的概率为0。8413

4． 填空题（每小题2分，共计60分）

1、A、B是两个随机事件，已知p(A)?0.5,p(B)?0.3，则

a) 若A,B互斥，则p(A- B)? 0.5 ; b) 若A,B独立,则p(A?B)? 0.65 ; c) 若p(A?B)?0.2,则p(AB)? 3/7 . 2、袋子中有大小相同的红球7只，黑球3只，

(1)从中不放回地任取2只，则第一、二次取到球颜色不同的概率为： 7/15 。 (2)若有放回地任取2只，则第一、二次取到球颜色不同的概率为： 21/50 。

(3)若第一次取一只球后再追加一只与其颜色相同的球一并放入袋中再取第二只球,则第一、二次取到球颜色不同的概率为： 21/55 .

3、设随机变量X服从泊松分布?(?),p{X?7}?P{X?8}，则E?X

- 10 -

?? 8 .

4、设随机变量X服从N（500，1600）的正态分布,则p?X?580?? 0.0228 , Y

服从N（500，900）的二项分布, 且X与Y相互独立，则X?Y服从 N（1000，2500） 分布;若

p?X?Y?a??0.05,则a? 1082.5 。?(1)?0.8413；

?(2)?0.9772,?(1.645)?0.95

5.已知随机变量X的密度函数f(x)??0?x?1?2x,

, 其它?0 则:（1）p(0.5?X?1?5)= 0.75

x ? 0 ?0 ?2 ? x?1 。 （2）X的分布函数F（x）= F(x)??x, 0?1 , 1 ? x ?6、设随机变量(X,Y)具有D(X)?9,D(Y)?4，

?XY??1/6，则D(X?Y)= 11 ，

D(X?3Y?4)= 51 。

7、两个可靠性为p>0的电子元件独立工作，

（1）若把它们串联成一个系统，则系统的可靠性为：p； （2）若把它们并联成一个系统，则系统的可靠性为：1?(1?p)； 8、若随机变量X~U(0,3)，则p??〈1X〈2?? 2/3；E(X)?_1.5 ，

22D(2X?1)? 3 ．

二、（6分）计算机中心有三台打字机A,B,C，程序交与各打字机打字的概率依次为0.6, 0.3, 0.1，打字机发生故障的概率依次为0.01, 0.05, 0.04。已知一程序因打字机发生故障而被破坏了，求该程序是在A,B,C上打字的概率分别为多少？

解：设“程序因打字机发生故障而被破坏”记为事件M，“程序在A,B,C三台打字机上打字”分别记为事件N1,N2,N3。则根据全概率公式有

P(M)??P(Ni)P(M|Ni)?0.6?0.01?0.3?0.05?0.1?0.04?0.025，

i?13根据Bayes公式，该程序是在A,B,C上打字的概率分别为

P(N1|M)?P(N1)P(M|N1)0.6?0.01??0.24，

P(M)0.025 - 16 -

P(N2|M)?P(N2)P(M|N2)0.3?0.05??0.60，

P(M)0.025P(N3|M)?P(N3)P(M|N3)0.1?0.04??0.16。

P(M)0.025

?e?x, 0?x,三、（6分）设随机变量X，Y的概率密度分别为：fX(x)??，

, 其它?0 f?2y, 0?y?1,Y(y)???0 , 其它，且随机变量X，Y相互独立。 （1）求（X，Y）的联合概率密度为：f(x,y) （2）计算概率值

p?Y?2X?。

解:(1)

X，Y相互独立，可见（X，Y）的联合概率密度为

f（x，y）?f（Xx）?f（Yy）, f(x,y)???2e?xy, 0?x,0?y?1 3’

?0 , 其它P(Y?2X)?f(x,Y)dxdy??2?e?1/2 3‘

y???2x?1dy?0?y2e?xydx2

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