吉林省吉林市2012届高三上学期期末考试数学试题

吉林市普通中学2011—2012学年度高中毕业班上学期期末教学质量检测

数学(理科)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共22小题，共150分，共4页，考试时间120分钟.

注意事项：

1、答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名填写在答题卡上；

2、答案请使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚；

3、请按照题号在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效. 参考公式：

样本数据x1，x2, xn的标准差 锥体体积公式

s

1n

[(x1 x) (x2 x) (xn x)]

2

2

2

V

13

Sh

，

其中x为样本的平均数 其中S为底面面积，h为高

柱体体积公式 球的表面积、体积公式

2

V Sh S 4 R，

V

43

R

3

其中S为底面面积，h为高 其中R表示球的半径

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。

（RA） N的子集有 1．已知集合A {xx 1}，则

A.1个

B.2个 C.4个 D.8个

35

2．已知 是第四象限角，且sin

A.

43

，则tan

43

D.

43

B.

34

1x

C.

3．下列函数中，在区间（0,1）上为增函数的是

A.y log1

2

x

B.y

C.y sinx

D.y

x x

2

2

4．圆x2

y 6x 0

过点（4,2）的最短弦所在直线的斜率为

B.- 2

C.

12

A.2

D.

12

5．一个正方体的展开图如图所示，A、B、C、D为原正方体的 顶点，则在原来的正方体中 A.ABC.AB

//CD CD

B. AB与CD相交

D. AB与CD所成的角为60

6．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考 试成绩进行分析，抽取了总成绩介于350

0.004分到650分之间的10000名学生成绩，并 根据这10000名学生的总成绩画了样本的

频率分布直方图（如右图）．为了进一步

分析学生的总成绩与各科成绩等方面的关

系，要从这10000名学生中，再用分层抽样方法抽出200人作进一步调查，则总成绩在［400，500）内共抽出

A. 100 人 B. 90人 C. 65人 D. 50人

7．执行如图所示的程序框图，输出的M的值为

A.17

B.53

C.161 D.485

8．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意x （0，2）时，都有f(x) f(x 4)，当x

则f(2012) f(2011)的值为

f(x) 2

x

，

A.2 C.

9．为了得到函数象

A.向左平移C.向左平移

6y cos

B. 2

12

12

D.

12

2

x 3sinxcosx

的图象，只需将函数

6

y cos2x

的图

个长度单位 个长度单位

B.向右平移D.向右平移

个长度单位 个长度单位

3

3

（ 1，1）10．已知函数f(x) x3 ax2 x 2(a 0)的极大值点和极小值点都在区间内，

则实数a的取值范围是

（3，2） A．（0，2] B．（0，2） C. [3，2） D.

11．有下列四个命题：

①函数y 10 x和函数y 10x的图象关于x轴对称； ②所有幂函数的图象都经过点（1，1）；

③曲线y

x

2

与y2

x

所围成的图形的面积是；

3

1

④若{an}是首项大于零．．．．．的等比数列，则“a1 a2”是“数列{an}是递增数列”的充要条件. 其中真命题的个数有

A.1 B.2 C.3 D.4

12．过抛物线C：y2 4x的焦点F的直线l交抛物线C于P、Q两点，若点P关

于x轴对称的点为M，则直线QM的方程可能为

A.3x 2y 3 0 B.3x 5y 6 0 C.2x 3y 4 0 D.x 2y 1 0

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分。 13．i是虚数单位，若复数z (m 1) (m 1)i

为纯虚数，则实数m的值为

2

侧视图

14．已知a 0，b 0，且满足a

b 3，则

1a

4b

的最小值为 .

15的表面积是 . 16．已知以

y

3x

为渐近线的双曲线D:

xa

22

yb

22

1(a 0，b 0)的左、右焦点

PF1 PF2PF1 PF2

分别为F1、F2，若P为双曲线D右支上任意一点，则

的取值范围

是 .

三、解答题：本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤。 17.（本小题满分10分）

x 1

记不等式组 x y 2 0

x y 1 0

y

表示的平面区域为

1 1 O M.

（Ⅰ）画出平面区域M，并求平面区域M的面积；

（a，b）为平面区域M中任意一点， （Ⅱ）若点

求直线y ax b的图象经过一、二、四象限的概率.

18.（本小题满分12分）

（在某海岸A处，发现北偏东30 方向，距离A处

艘走私船

3 1）n mile的B处有一

在A处北偏西15 的方向，距离A处6n mile的C处的缉私船奉命以53n mile/h

的速度追截走私船. 此时，走私船正以5 n mile/h的速度从B处按照北偏东30 方向逃窜，问缉私船至少经过多长时间可以追上走私船，并指出缉私船航行方向.

19.（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P ABCD中，侧棱PA 底面ABCD，底面ABCD为矩形， AD 2AB 2PA，E为PD的上一点，且PE 2ED，F为PC的中点.

（Ⅰ）求证：BF//平面AEC；

P

E AC D（Ⅱ）求二面角的余弦值.

30

20.（本小题满分12分）

2

数列{an}各项均为正数，其前n项和为Sn，且满足2anSn an 2.

2

（Ⅰ）求证数列{Sn}为等差数列，并求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）设bn

2

4

4Sn

1

， 求数列{bn}的前n项和Tn，并求使Tn

16

(m

2

3m) 对

所

有的n N 都成立的最大正整数m的值.

21.（本小题满分12分）

（如图，焦距为2的椭圆E的两个顶点分别为A和B，且AB与n

2， 1）共

线.

（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；

（Ⅱ）若直线y kx m与椭圆E有两个不同的交

点P和Q，且原点O总在以PQ为直径的圆的内部，求

实数m的取值范围.

22.（本小题满分12分）

设函数标；

（Ⅱ）当0 a （Ⅲ）当a

13

12

f(x) lnx ax

1 ax

1．

（Ⅰ）当a 1时，过原点的直线与函数f(x)的图象相切于点P，求点P的坐

时，求函数f(x)的单调区间；

x 2bx

2

时，设函数g(x)

512

，若对于 x1 （0,e]，

x2

[0，）

1]

使f(x1)≥g(x2)成立，求实数b的取值范围.（e是自然对数的底，e

3 1

吉林市普通中学2011—2012学年度高中毕业班上学期期末教学质量检测

数学(理科)参考答案及评分标准

评分说明：

1．本解答给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．

2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

二、填空题：每小题5分

13. -1 14. 3 15. 16三、解答题

17.解：（Ⅰ）如图，△ABC的内部及其各条边就表示平面区域Ｍ，其中A（

31

）、22

16.（0，]

2

1

2）B（1,3）、C（1，， （3分）

∴平面区域M的面积为

a)

12

52

5

254

（5分）

（Ⅱ）要使直线y ax b的图象经过一、二、四

象限，则a 0，b 0， （6分）

（a，b）的区域为M，故使直线又点

y ax b

的图

象经

过一、二、四象限的点（a，b）的区域为第二象限的阴影部分

（8分）

2

12 25412 1

故所求的概率为P

725

（10分）

18.解：设缉私船至少经过t h 可以在D点追上走私船，则CD分）

在△ABC中，由余弦定理得，

BC

2

53t

BD，

5t

（1

AB

2

AC

2

2AB ACcos(15 30) 4

,∴BC

2

（3分）

D

由正弦定理得，∴sinABC

32

BCsin45

ACsinABC

，

， ABC

60

（5分）

C

30

∴点B在C的正东方向上， DBC

又在△DBC中，由正弦定理得∴sinBCD

12

CDsin120

120

（7分） ,

（9分）

BDsinBCD

A

，∴ BCD

2

30

∴ BDC又 BCD

30 30

，∴BD

25

BC

，即5t，∴t

25

， （11分）

故缉私船至少经过h可以追上走私船，缉私船的航行方向为北偏东60 .（12分）

19.解：建立如图所示空间直角坐标系A xyz，设B(1,0,0)，则D(0，2，0)，P(0，0，1)，

C(1,2,0)E(0,

4111

,)，F(,1,) （2

2233

分）

设平面AEC的一个法向量为n (x,y,z)，（Ⅰ）∵AE

(0,

41 n AE 0

,)，AC (1,2,0)∴由

33 n AC 0

1 4

y z 0得 3，令y 1，得n (2, 1,4) （4分） 3

x 2y 0

1111

又BF ( ,1,) ∴BF n 2 ( ) ( 1) 1 4 0， （5分）

2222

，BF 平面AEC∴BF//平面AEC

（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面AEC的一个法向量为n (2, 1,4)，

BF n

AP (0,0,1)又

（8分）

（7分） 向

量

为

42121

平面ACD的法，

而cos故

n,AP

（11分）

的

余

弦

值

为

2

二面角

E AC D

42121

（12分）

20．解：（Ⅰ）∵2anSn

an 1，∴当

2n≥2时，2(Sn

Sn

1)Sn (Sn Sn 1) 1

，

2

整理得，Sn，（2 Sn 1 1（n≥2）

2分）又S12

1， （3分）

2

∴数列{Sn（4分） }为首项和公差都是1的等差数列

∴Sn2 n，又Sn 0，∴Sn

nn

（5分）

n 1

∴n≥2时，an（Ⅱ）∵bn∴Tn

11 3

Sn Sn 1

，又a1

12n 1

S1 1适合此式 （6

分）

∴数列{an}的通项公式为an

n n 1

（7分）

12n 1

24Sn 1

13 5

4

2

(2n 1)(2n 1)

1

（8分）

(2n 1)(2n 1)

=1

12n 1

2n2n 1

1

13

23

13

15

12n 123 16

2

12n 1

（10分）

∴Tn

，依题意有

(m

3m)，解得 1 m 4，

故所求最大正整数m的值为3

xa

22

yb

22

（12分）

21.解：（Ⅰ）设椭圆E的标准方程为

（ a,b），∵ABA(a，0)、B(0，b)，∴AB

1（a b 0），由已知得

2b

与n (2， 1)共线，∴a

x

2

2

，又

a b 1 （3

2

2分）

E的标准方程为

2 y

1

∴a

2

2，b 1， ∴椭圆

2

x

2

（5分）

y

2

（Ⅱ）设P(x1,y1),Q(x2,y2),把直线方程y kx m代入椭圆方程消去y，得，(2k2∴x1

x2

2

2

2

1，

1)x 4kmx 2m 2 0

22

,

（7分）

4km2k 1

2

2

, x1x2

2

2m 22k 1

2

2

2

2

Δ 16km 4 (2k 1)(2m 2) 16k 8m 8 0

(*) （8分）

分）

m 2k2k 1

23

22

2

∵原点O总在以PQ为直径的圆内，∴OP又y1y2

2

2

即x1x2 y1y2 0 （9 OQ 0，

2

(kx1 m)(kx1 m) kx1x2 mk(x1 x2) m

2

由

m 2k2k 1

2

2m 22k 1

2

2

0

得m2

63

23

k

2

23

，依题意m2且满足(*) （11分）

故实数m的取值范围是( 22.函数

1x

63

（12分） )

1x a

1 ax

2

f(x)的定义域为(0， )，f (x) （2分）

（Ⅰ）设点P(x0,y0)(x0

f (x)

1，∴f (x0) e

2

当a 1时，f(x) lnx x 1，则y0 lnx0 x0 1， 0)，

1x0

1

lnx0 x0 1

x0

（3分）

解得x0

2

1 e) ，故点P 的坐标为(e2，（4分）

（Ⅱ）

f (x)

12

ax

2

ax a 1x

2

(x 1)(ax 1 a)

x

2

a(x 1)(x

x

2

1 aa

)

∵0 a ∴当0

∴

1 aa

1 0 1 aa

x

1 aa1 aa

时，

)；

（5分）

x 1，或x 时

f (x) 0

，当1

f (x) 0

故当0 a

12

时，函数f(x)的单调递增区间为(1,

1 aa

单调递减区间为(0,1)，(（Ⅲ）当a

13

, ) （7

x3 23x

1由（Ⅱ）可知函数f(x)在（0，1)

f(1)

23

分）

时，

f(x) lnx

上是

23e

减函数，在在(2，e]上为减函数，且（1，2)上为增函数，∵∴

f(e) f(1)

2 e

2

，f(e)

，

e3

2e

3e

3 (e 1)

3e

2

，又e 3 1，∴(e 1)2 3

f(e) f(1)，故函数f(x)在(0,e]上的最小值为

23

23

（9分）

若对于 x1 （0,e]， x2 [0,1]使

f(x)

f(x1)≥g(x2)成立 g(x)在[0,1]上的最小值不大于

在

(0,e]

上的最

512

小值

（*）

（10分） 又g(x)

x

2

2bx

512

(x b) b

22

，x [0,1]

g(0)

5

12

52 123

23

①当b 0时，g(x)在[0,1]上为增函数，[g(x)]min②当0

12

b 1时，[g(x)]min g(b) b

2

与（*）矛盾

b 1得，

512

，由 b2及0

b 1

g(1)

712

2b

1712

23

③当b 1时，g(x)在[0,1]上为减函数，[g(x)]min

此时b 1

12

，

分）

综上，b的取值范围是[， ） （12

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