高考数学选择题解法专题

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第1页（共29页）山东世纪金榜书业有限公司高考数学选择题简捷解法专题（1）

一、数形结合

画出图形或者图象能够使问题提供的信息更直观地呈现，从而大大降低思维难度，是解决数学问题的有力策略，这种方法使用得非常之多。

【例题】、（07江苏6）设函数()f x 定义在实数集上，它的图象关于直线1x =对称，且当1x ≥时，

()31x

f x =-，则有（）

。 A 、132()()()323f f f B 、231()()()323

f f f C 、213()()()332f f f D ．321()()()233

f f f 【解析】、当1x ≥时，()31x f x =-，()f x 的

图象关于直线1x =对称，则图象如图所示。

这个图象是个示意图，事实上，就算画出

()|1|f x x =-的图象代替它也可以。由图知，

符合要求的选项是B ，

【练习1】、若P （2，-1）为圆22(1)25x y -+=的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（）

A 、30x y --=

B 、230x y +-=

C 、10x y +-=

D 、250x y --=

（提示：画出圆和过点P 的直线，再看四条直线的斜率，即可知选A ）

【练习2】、（07辽宁）已知变量x 、y 满足约束条件20

170x y x x y -+≤??≥??+-≤?，则y x 的取值范围是（） A 、9,65?????? B 、[)9,6,5??

-∞+∞ ??? C 、(][),36,-∞+∞ D 、[]3,6 （提示：把

y x 看作可行域内的点与原点所在直线的斜率，不难求得答案，选A 。）

【练习3】、曲线[]2

14(2,2)y x x =+-∈- 与直线(2)4y k x =-+有两个公共点时，

k 的取值范围是（）

A 、5(0,)12

B 、11(,)43

C 、5(,)12+∞

D 、53(,)124

世纪金榜圆您梦想 e72821d3240c844769eaee48 第2页（共29页）山东世纪金榜书业有限公司（提示：事实上不难看出，曲线方

程[]1(2,2)y x =∈-的图象为22(1)4(22,13)x y x y +-=-≤≤≤≤，表示以（1，0）为圆心，2为半径的上半圆，如图。直线

(2)4y k x =-+过定点（2，4）

，那么斜率的范围就清楚了，选D ）] 【练习4】、函数)1(||x x y -=在区间

A 上是增函数，则区间A 是（）

A 、(]0,∞-

B 、???

???21,0 C 、[)+∞,0 D 、??

? ??+∞,21

（提示：作出该函数的图象如右，知应该选B ）

【练习5】、曲线13|

|2|

|=-y x 与直线m x y +=2

有两个交点，则m 的取值范围是（）

A 、4 m 或4- m

B 、44 m -

C 、3 m 或3- m

D 、33 m -

（提示：作出曲线的图象如右，因为直线

m x y +=2与其有两个交点，则4 m 或4- m ，选A 【练习6】、（06湖南理8）设函数()1x a f x x -=

-，集合{}|()0M x f x = ，{}'|()0P x f x = ，

若M P ?，则实数a 的取值范围是（） A 、(,1)-∞ B 、(0,1) C 、(1,)+∞ D 、[1,)+∞

（提示：数形结合，先画出()f x 的图象。111()1111x a x a a f x x x x --+--=

==+---。当1a 时，图象如

左；当1a 时图象如右。

由图象知，当1a 时函数()f x 在(1,)+∞上递增，'()0f x ，同时()0f x 的解集为(1,)+∞的真子集，选C ）

【练习7】、（06湖南理10）若圆2244100x y x y +---=上至少有三个不同的点到直线:0

l ax by +=

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的距离为l 的倾斜角θ的取值范围是（）

A 、,124ππ

?????? B 、5,1212ππ?????? C 、,63ππ?????? D 、0,2π??????

（提示：数形结合，先画出圆的图形。圆方程化为

222(2)(2)2)x y -+-=，由题意知，圆心到直线

的距离d 应该满足02d ≤≤，在已知圆中画一个半 2:0l ax by +=与小圆有公共点，∴选B 。）

【练习8】、（07浙江文10）若非零向量a ，b 满足|a-b |=| b |，则（

）

A 、|2b | ＞ | a-2b |

B 、|2b | ＜ | a-2b |

C 、|2a | ＞ | 2a-b |

D 、|2a | ＜ | 2a-b |

（提示：关键是要画出向量a ，b 的关系图，为此

先把条件进行等价转换。|a-b |=| b |?|a-b |2=

| b |2? a 2+b 2-2a ·b= b 2? a ·（a-2b ）=0?

a ⊥（a-2

b ），又a-（a-2b ）=2b ，所以|a |，| a-2b |，

|2b |为边长构成直角三角形，|2b |为斜边，如上图，

∴|2b | ＞ | a-2b |，选A 。

另外也可以这样解：先构造等腰△OAB ，使OB=AB ，

再构造R △OAC ，如下图，因为OC ＞AC ，所以选A 。）

【练习9】、方程cosx=lgx 的实根的个数是（）

A 、1

B 、2

C 、3

D 、4

（提示：在同一坐标系中分别画出函数cosx 与lgx 的图象，如图，

由两个函数图象的交点的个数为3，知应选C ）

【练习10】、(06江苏7)若A 、B 、C 为三个集合，A B B C = ，则一定有（）

A 、A C ?

B 、

C A ? C 、A C ≠

D 、A =Φ

（提示：若A B C ==≠Φ，则,A B A B C B A ===

成立，排除C 、D 选项，作出Venn 图，可知A 成立）

【练习11】、(07天津理7)在R 上定义的函数()f x 是偶函数，且()(2)f x f x =-。若()f x 在区间[1，2]上是减函数，则()f x （）

A 、在区间[-2，-1]上是增函数，在区间[3，4]上是增函数

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B 、在区间[-2，-1]上是增函数，在区间[3，4]上是减函数

C 、在区间[-2，-1]上是减函数，在区间[3，4]上是增函数

D 、在区间[-2，-1]上是减函数，在区间[3，4]上是减函数

（提示：数形结合法，()f x 是抽象函数，因此画出其简单图象即可得出结论，如下左图知选B ）

【练习12】、（07山东文11改编）方程32

()2

x x -=的解0x 的取值区间是（）

A 、（0，1）

B 、（1，2）

C 、（2，3）

D 、（3，4）（提示：数形结合，在同一坐标系中作出函数3

,()

x y x y -==的图象，则立刻知选B ，如上右图）

二、特值代验

包括选取符合题意的特殊数值、特殊位臵和特殊图形，代入或者比照选项来确定答案。这种方法叫做特值代验法，是一种使用频率很高的方法。

【例题】、（93年全国高考）在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若569a a =，则

132310

l o g l o g l o g a a a +++

= （） A 、12 B 、10 C 、8 D 、32log 5+

【解析】、思路一（小题大做）：由条件有4529561119,a a a q a q a q === 从而

10129

29510

1231011()3a a a a a q

a q +++=== ，

所以原式=10

312103log ()log 310a a a == ，选B 。

思路二（小题小做）：由564738291109a a a a a a a a a a =====知原式=510

3563log ()log 33a a ==，选

B 。

思路三（小题巧做）：因为答案唯一，故取一个满足条件的特殊数列563,1a a q ===即可，选B 。【练习1】、（07江西文8）若02

x π

，则下列命题中正确的是（）

A 、2

sin x x π

B 、2

sin x x π

C 、3

sin x x π

D 、3sin x x π

（提示：取,63

x ππ

验证即可，选B ）

【练习2】、（06北京理7）设4

310

()22222

()n f n n N +=+++++∈ ，则()f n =（） A 、

2(81)7

- B 、

2(8

1)7

n +- C 、

2(8

1)7

n +- D 、4

2(1)7

n n

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（提示：思路一：f （n ）是以2为首项，8为公比的等比数列的前4n +项的和，所以4

2(18

)

2()(1)18

n n f n n

++-=

--，选D 。这属于直接法。

思路2：令0n =，则34

4710

421(2)2(0)2222

(81)127

f ??-??

=+++==--，对照选项，只有D 成立。

）【练习3】、（06全国1理9）设平面向量a 1、a 2、a 3的和a 1+a 2+a 3=0，如果平面向量b 1、b 2、b 3满足| b i |=2|

a i |，且a i 顺时针旋转30 以后与

b i 同向，其中i=1、2、3则（）

A 、-b 1+b 2+b 3=0

B 、b 1-b 2+b 3=0

C 、b 1+b 2-b 3=0

D 、b 1+b 2+b 3=0

（提示：因为a 1+a 2+a 3=0，所以a 1、a 2、a 3构成封闭三角形，不妨设其为正三角形，则b i 实际上是将三角形顺时针旋转30 后再将其各边延长2倍，仍为封闭三角形，故选D 。）【练习4】、若()(0,1)x f x a a a =≠ ，1

(2)0,f

- 则1

(1)f

x -+的图象是（）

A 、

B 、

C 、

D 、（提示：抓住特殊点2，1

(2)0f

- ，所以对数函数1

()f

x -是减函数，图象往左移动一个单位得

(1)f

x -+，必过原点，选A ）

【练习5】、若函数(1)y f x =+是偶函数，则(2)y f x =的对称轴是（）

A 、0x =

B 、1x =

C 、12

x =

D 、2x =

（提示：因为若函数(1)y f x =+是偶函数，作一个特殊函数2

(1)y x =-，则(2)y f x =变为

(21)y x =-，即知(2)y f x =的对称轴是12

x =

，选C ）

【练习6】、已知数列{a n }的通项公式为a n =2n-1，其前n 和为S n ，那么

C n 1

S 1+ C n 2

S 2+…+ C n n

S n =（）

A 、2n -3n

B 、3n -2n

C 、5n -2n

D 、3n -4n

（提示：愚蠢的解法是：先根据通项公式a n =2n-1求得和的公式S n ，再代入式子C n 1S 1+ C n 2S 2+…+ C n n S n ，

再利用二项式展开式的逆用裂项求和得解，有些书上就是这么做的！其实这既然是小题，就应该按照小题的解思路来求做：令n=2，代入式子，再对照选项，选B ）

【练习7】、（06辽宁理10）直线2y k =与曲线2

918k x y k x +=（,1k R k ∈≠）的公共点的个数

是（）

A 、1

B 、2

C 、3

D 、4

世纪金榜圆您梦想 e72821d3240c844769eaee48 第6页（共29页）山东世纪金榜书业有限公司（提示：取1k =，原方程变为2

2(1)19y x -+=，这是两个椭圆，与直线2y =有4个公共点，选D ）

【练习8】、如图左，若D 、E 、F 分别是

三棱锥S-ABC 的侧棱SA 、SB 、SC 上的点，

且SD ：DA=SE ：EB=CF ：FS=2：1，那么平

面DEF 截三棱锥S-ABC 所得的上下两部分

的体积之比为（）

A 、4：31

B 、6：23

C 、4：23

D 、2：25

（提示：特殊化处理，不妨设三棱锥S-ABC 是棱长为3的正三棱锥，K 是FC 的中点，12,V V 12,V V 分别表示上下两部分的体积则22228()33327

S D EF

S D EF S ABC S ABC V S h V S h ----==?=，12844278423V V -∴==-+，选C ）【练习9】、△ABC 的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，()O H m O A O B O C =++ ，则m 的

取值是（）

A 、-1

B 、1

C 、-2

D 、2

（提示：特殊化处理，不妨设△ABC 为直角三角形，则圆心O 在斜边中点处，此时有OH OA OB OC =++ ，

1m =，选B 。）

【练习10】、双曲线方程为2

125x y k k +=--，则k 的取值范围是（）

A 、5k

B 、25k

C 、22k -

D 、22k - 或5k

（提示：在选项中选一些特殊值例如6,0k =代入验证即可，选D ）

三、筛选判断

包括逐一验证法——将选项逐一代入条件中进行验证，或者逻辑排除法，即通过对四个选项之间的内在逻辑关系进行排除与确定。

【例题】、设集合A 和B 都属于正整数集，映射f ：A B →把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的元素，则在映射f 下，像20的原像是（）

A 、2

B 、3

C 、4

D 、5

【解析】、经逐一验证，在2、3、4、5中，只有4符合方程2n

n +=20，选C 。

【练习1】、（06安徽理6）将函数sin (0)y x ωω=

的图象按向量a =(,0)6π

-平移以后的图象如图所示，则平移以后的图象所对应的函数解析式是（）

A 、sin()6y x π=+

B 、sin()6y x π=-

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C 、sin(2)3

y x π

D 、sin(2)3

y x π

（提示：若选A 或B ，则周期为2π，与图象所示周期不符；若选D ，则与 “按向量a =(,0)6

-平移”

不符，选C 。此题属于容易题）

【练习2】、（06重庆理9）如图，单位圆中 AB 的长度为x ，()f x 表示 AB 与弦AB 所围成的弓形的面的 2倍，则函数()y f x =的图象是（）

A 、

B 、

C 、

D 、

（提示：解法1 设A O B θ∠=，则x θ=，

则S 弓形=S 扇形- S △AOB =1112sin cos 2

x θθ

?-?

11(sin )(sin )2

x x x θ=-=

-，当(0,)x π∈时，

sin 0x ，则sin x x x - ，其图象位于y x =下方；当(,2)x ππ∈时，sin 0x ，sin x x x - ，其图

象位于y x =上方。所以只有选D 。这种方法属于小题大作。

解法2 结合直觉法逐一验证。显然，面积()f x 不是弧长x 的一次函数，排除A ；当x 从很小的值逐渐增大时，()f x 的增长不会太快，排除B ；只要x π 则必然有面积()f x π ，排除C ，选D 。事实上，直觉好的学生完全可以直接选D ）

【练习3】、（06天津文8）若椭圆的中心点为E （-1，0），它的一个焦点为F （-3，0），相应于焦点的准线方程是72

x =-

，则这个椭圆的方程是（）

A 、2

2(1)2121

x y -+

= B 、

2(1)2121

x y ++

= C 、

(1)15

x y -+= D 、

(1)15

x y ++=

（提示：椭圆中心为（-1，0），排除A 、C ，椭圆相当于向左平移了1个单位长度，故c=2，

712

--=-

，

∴2

5a =，选D ）

【练习4】、不等式221

x x +

+ 的解集是（）

2π

π 2π

2π

π 2π

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第8页（共29页）山东世纪金榜书业有限公司 A 、(1,0)(1,)-+∞ B 、(,1)(0,1)-∞-

C 、(1,0)(0,1)-

D 、(,1)(1,)-∞-+∞

（提示：如果直接解，差不多相当于一道大题！取2x =，代入原不等式，成立，排除B 、C ；取2x =-，排除D ，选A ）

【练习5】、（06江西理12）某地一年内的气温

Q （t ）（℃）与时间t （月份）之间的关系如右图，

已知该年的平均气温为10℃。令C （t ）表示时间

段[0，t]的平均气温，C （t ）与t 之间的函数关系

如下图，则正确的应该是（）

A 、

B 、

D 、

t=6时，C （t ）=0，排除C ；t=12时，C （t ）=10，排除D ；t ＞6时的某一段气温超过10℃，排除B ，选A 。）

【练习6】、集合{}(21)|M n n Z π=+∈与集合{}(41)|N k k Z π=±∈之间的关系是（）

A 、M N ?

B 、M N ?

C 、M N =

D 、M N ≠

（提示：C 、D 是矛盾对立关系，必有一真，所以A 、B 均假； 21n +表示全体奇数，41k ±也表示奇数，故M N ?且B 假，只有C 真，选C 。此法扣住了概念之间矛盾对立的逻辑关系。

当然，此题用现场操作法来解也是可以的，即令k=0，±1，±2，±3，然后观察两个集合的关系就知道答案了。）

【练习7】、当[]4,0x ∈-时，24413a x x x +

--≤+恒成立，则a 的一个可能的值是（） A 、5 B 、5

3 C 、5

3- D 、5-

（提示：若选项A 正确，则B 、C 、D 也正确；若选项B 正确，则C 、D 也正确；若选项C 正确，则D 也正确。选D ）

【练习8】、（01广东河南10）对于抛物线24y x =上任意一点Q ，点P （a ，0）都满足PQ a ≥，则

a 的取值范围是（）

A 、(),0-∞

B 、(,2]-∞

C 、[0,2]

D 、(0,2)

（提示：用逻辑排除法。画出草图，知a ＜0符合条件，则排除C 、D ；又取1a =，则P 是焦点，记点Q 到准线的距离为d ，则由抛物线定义知道，此时a ＜d ＜|PQ|,即表明1a =符合条件，排除A ，选B 。另外，很多资料上解此题是用的直接法，照录如下，供“不放心”的读者比较——

设点Q 的坐标为20

0(,)4y y ，由PQ a ≥，得222200()4y y a a +-≥，整理得22

00(168)0y y a +-≥，

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∵ 20

0y ≥，∴20

1680y a +-≥，即2

028

y a ≤+

恒成立，而2

028

y +

的最小值是2，∴2a ≤，选B ）

【练习9】、（07全国卷Ⅰ理12）函数22

()cos cos 2

x f x x =-的一个单调增区间是（）

A 、2,

33π

π??

??? B 、,62ππ?? ??? C 、0,3π?? ??? D 、,66ππ??

- ???

（提示：“标准”答案是用直接法通过求导数解不等式组，再结合图象解得的，选A 。建议你用代入验证法进行筛选：因为函数是连续的，选项里面的各个端点值其实是可以取到的，由()(

f f π

-=，显然直接

排除D ，在A 、B 、C 中只要计算两个即可，因为B 中代入6

会出现

，所以最好只算A 、C 、现在就验算

A ，有2(

)(

)33

f f π

π ，符合，选A ）

四、等价转化

解题的本质就是转化，能够转化下去就能够解下去。至于怎样转化，要通过必要的训练，达到见识足、

技能熟的境界。在解有关排列组合的应用问题中这一点显得尤其重要。

【例题】、（05辽宁12）一给定函数()y f x =的图象在下列图中，并且对任意()10,1a ∈，由关系

式1()n n a f a +=得到的数列满足1()n n a a n N +

+∈ ，则该函数的图象是（）

A 、

B 、

C 、

D 、

【解析】问题等价于对函数()y f x =图象上任一点(,)x y 都满足y x ，只能选A 。【练习1】、设ααcos sin +=t ，且sin 3α+ cos 3α0 ，则t 的取值范围是（）

A 、[-2，0）

B 、[2,

]

C 、（-1，0）2,1( ]

D 、（-3，0）),3(+∞

（提示：因为sin 3

α+ cos 3

α=（sin α+ cos α）（sin 2

α- sin αcos α+ cos 2

α），而sin 2

α- sin αcos α+

cos 2α＞0恒成立，故sin 3α+ cos 3α0 ?t ＜0,选A 。另解：由sin 3α+ cos 3

α 0 知α非锐角，而

我们知道只有α为锐角或者直角时ααcos sin +=t 2≤

B 、

C 、

D ，选A ）

【练习2】、12,F F 是椭圆

y +=的左、右焦点，点P 在椭圆上运动，则12P F P F

的最大值是（）

A 、4

B 、5

C 、1

D 、2

（提示：设动点P 的坐标是(2cos ,sin )αα，由12,F F 是椭圆的左、右焦点得1(0)F ，

20)F ，

世纪金榜圆您梦想 e72821d3240c844769eaee48 第10页（共29页）山东世纪金榜书业有限公司则12PF PF ?=

|(2cos sin )(2cos sin )|αααα+

- 22|4cos 3sin |αα=-+ 2|3cos 2|2α=-≤，

选D 。这里利用椭圆的参数方程把问题等价转化为三角函数求最值的问题。特别提醒：下列“简捷”解法是掉进了命题人的“陷阱”的——21212||||42

PF PF PF PF a +?≤== ）【练习3】、若log 2log 20a b ，则（）。

A 、01a b

B 、01b a

C 、1a b

D 、1b a

（提示：利用换底公式等价转化。

lg 2lg 2

log 2log 200lg lg 0lg lg a b b a a b ?? ∴01b a ，选B ）

【练习4】、,,,,abcd R ∈且d c ，,a b c d a d b c +=+++ ，则（）

A 、d b a c

B 、b c d a

C 、b d c a

D 、b d a c

（提示：此题条件较多，又以符号语言出现，

令人眼花缭乱。对策之一是“符号语言图形化”，

如图，用线段代表,,,,a b c d 立马知道选C 。当然

这也属于数形结合方法。对策之二是“抽象语言具体化”，分别用数字1，4，2，3代表,,,,a b c d 容易知道选C 。也许你认为对策一的转化并不等价，是的，但是作为选择题，可以事先把条件“,,,a b c d R ∈”收严一些变为“,,,a b c d R +∈”。

【练习5】、已知0,ω 若函数()sin

sin 22x

x f x ωπω+=在,43ππ??-????

上单调递增，则ω的取值范围是（） A 、20,3?? ??? B 、30,2?? ???

C 、(]0,2

D 、[)2,+∞ （提示：化简得1()sin 2f x x ω=，∵sin x 在,22ππ??-????

上递增， ∴2222x x ππ

ωωω-≤≤?-≤≤，而()f x 在,43ππ??-

????上单调递增

3,,043222ππππωωω?????-?-?≤≤????????

，又0,ω ∴选B ）

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第11页（共29页）山东世纪金榜书业有限公司【练习6】、把10个相同的小球放入编号为1，2，3的三个不同盒子中，使盒子里球的个数不小于它的编号数，则不同的放法种数是（）

A 、36C

B 、26

C C 、39C

D 、2

912C （提示：首先在编号为1，2，3的三个盒子中分别放入0，1，2个小球，则余下的7个球只要用隔板法分成3 堆即可，有26C 种，选B ；如果你认为难以想到在三个盒子中分别放入只0，1，2个小球，而更容

易想到在三个盒子中分别放入只1，2，3个小球，那也好办：你将余下的4个球加上虚拟的（或曰借来的）3个小球，在排成一列的7球6空中插入2块隔板，也与本问题等价。）

【练习7】、方程123412x x x x +++=的正整数解的组数是（）

A 、24

B 、 72

C 、144

D 、165

（提示：问题等价于把12个相同的小球分成4堆，故在排成一列的12球11空中插入3块隔板即可，

答案为311165C =，选D ）

【练习8】、从1，2，3，…，10中每次取出3个互不相邻的数，共有的取法数是（）

A 、35

B 、56

C 、84

D 、120

（提示：逆向思维，问题可以等价地看作是将取出的三个数再插入余下的7个数的8个空中，那么问

题转化为求从8个空位中任意选3个的方法数，为3856C =，选B ）

【练习9】、（理科）已知211

lim 31x ax bx x →++=-，则b = （）

A 、4

B 、-5

C 、-4

D 、5

（提示：逆向思维，分母（1x -）一定是存在于分子的一个因式，那么一定有221(1)(1)(1)1ax bx x ax ax a x ++=--=-++，∴必然有(1)b a =-+，且211

lim lim (1)1x x ax bx ax x →→++=--，∴1134,a a ?-=?=∴5b =-，选B ）【练习10】、异面直线,m n 所成的角为60 ，

过空间一点O 的直线l 与,m n 所成的角等于60 ，则这样的直线有（）条

A 、1

B 、2

C 、3

D 、4

（提示：把异面直线,m n 平移到过点O 的位置，记他们所确定的平面为α，则问题等价于过点O 有多少条直线与,m n 所成的角等于60

，如图，恰有3条，选C ）

【练习11】、不等式20ax bx c ++ 的解集为{}12x x - ，那么不等式2(1)(1)2a x b x c ax ++-+ 的解集为（）

A 、{}03x x

B 、{}0,3x x or x

C 、{}21x x -

D 、{}

2,1x x or x -

（提示：把不等式2(1)(1)2a x b x c ax ++-+ 化为2(1)(1)0a x b x c -+-+ ，其结构与原不等式α1

l 2l

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0ax bx c ++ 相同，则只须令112x -- ，得03x ，选A ）

五、巧用定义

定义是知识的生长点，因此回归定义是解决问题的一种重要策略。

【例题】、某销售公司完善管理机制以后，其销售额每季度平均比上季度增长7%，那么经过x 季度增长到原来的y 倍，则函数()y f x =的图象大致是（）

A 、

B 、

C 、

D 、

【解析】、由题设知，(10.07)x y =+，∵10.071+ ，∴这是一个递增的指数函数，其中0x ，所以选D 。

【练习1】、已知对于任意R y x ∈,，都有()()2()(

x y x y f x f y f f +-+=，且0)0(≠f ，则)

(x f 是（）

A 、奇函数

B 、偶函数

C 、奇函数且偶函数

D 、非奇且非偶函数

（提示：令0=y ，则由0)0(≠f 得1)0(=f ；又令x y -=，代入条件式可得)()(x f x f =-，因此

)(x f 是偶函数，选B ）

【练习2】、点M 为圆P 内不同于圆心的定点，过点M 作圆Q 与圆P 相切，则圆心Q 的轨迹是（） A 、圆 B 、椭圆 C 、圆或线段 D 、线段（提示：设⊙P 的半径为R ，P 、M 为两定点，那么|QP|+|QM|=|QA|+|QP|=R=常数，∴由椭圆定义知圆心Q 的轨迹是椭圆，选B ）

【练习3】、若椭圆2

=内有一点P （1，-1），F 为右焦点，椭圆上有一点M ，使|MP|+2|MF|最

小，则点M 为（）

A 、26,1)3

- B 、3(1,)2

C 、3(1,)2

D 、2(6,1)3

（提示：在椭圆中，2,3a b ==

，则11,2

c c e a ===，设点M 到右准线的距离为|MN|，则由椭圆

的第二定义知，||1||2||||

M F M N M F M N =?=，从而||2||||||MP MF MP MN +=+，这样，过点P 作右

准线的垂直射线与椭圆的交点即为所求M 点，知易M 1)，故选A ）

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第13页（共29页）

【练习4】、设12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -= 的左、右焦点，P 为双曲线右支上任意一点，

若221

P F P F 的最小值为8a ，则该双曲线的离心率e 的取值范围是（）

A 、[2，3]

B 、（1，3]

C 、[)3,+∞

D 、(]1,2

（提示：2

22211111

(2)448PF a PF a PF a a PF PF PF +==++≥ ，当且仅当2114a P F P F =，即12PF a =，24PF a =时取等于号，又1212PF PF F F +≥，得62a c ≥，∴13e ≤ ，选B ）

【练习5】、已知P 为抛物线24y x =上任一动点，记点P 到y 轴的距离为d ，对于给定点A （4，5），|PA|+d 的最小值是（）

A 、4

B 34171 D 341

（提示：d 比P 到准线的距离（即|PF|）少

1，∴|PA|+d=|PA|+|PF|-1，而A 点在抛物线外，

∴|PA|+d 的最小值为341，选D ）

【练习6】、函数()y f x =的反函数112()3x

f x x --=+，则()y f x =的图象（）。

A 、关于点(2, 3)对称

B 、关于点(-2, -3)对称

C 、关于直线y=3对称

D 、关于直线x = -2对称

（提示：注意到112()3x

f x x --=+的图象是双曲线，其对称中心的横坐标是-3，由反函数的定义，知

()y f x =图象的对称中心的纵坐标是-3，∴只能选B ）

【练习7】、已知函数()y f x =是R 上的增函数，那么0a b + 是()()()()f a f b f a f b +-+- 的（）条件。

A 、充分不必要

B 、必要不充分

C 、充要

D 、不充分不必要

（提示：由条件以及函数单调性的定义，有

()()0()()()()()()a b f a f b a b f a f b f a f b b a f a f b -?-?+??+-+-?-?-?

，而这个过程并不可逆，因此选A ）

【练习8】、点P 是以12,F F 为焦点的椭圆上的一点，过焦点2F 作12F PF ∠的外角平分线的垂线，垂足为M ，则点M 的轨迹是（）

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A 、圆

B 、椭圆

C 、双曲线

D 、抛物线（提示：如图，易知2PQ PF =，M 是2F Q 的中点， ∴OM 是1F Q 的中位线，∴1

111()(

)22

2M O F Q F P P Q F P F P =

=+=+

，由椭圆的定义知，

12F P F P +=定值，∴M O =定值（椭圆的长半轴长a ）

，∴选A ）【练习9】、在平面直角坐标系中，若方程m （x 2

+y 2

+2y+1）=（x-2y+3）2

表示的是双曲线，则ｍ的取

值范围是（）

A 、（0，1）

B 、（ 1，∞+）

C 、（0，5）

D 、（5，∞+）（提示：方程m （x 2

+y 2

+2y+1）=（x-2y+3）2

可变形为2

(23)

x y m x y y -+=

+++，22

(1)23

x y x y m

++=

-+，

(1)523

x y x y m

++=

-+(,)x y 到定点（0，-1）与定直线230x y -+=的距离之

比为常数5e m

=1e ，得到05m ，∴选C 。若用特值代验，右边展开式含有xy 项，你无法

判断）

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高考数学选择题简捷解法专题（2）

六、直觉判断

数学思维包括逻辑思维和直觉思维两种形式，逻辑思维严格遵守概念和逻辑规则，而直觉思维不受固定的逻辑规则约束，直接领悟事物本质，大大节约思考时间。逻辑思维在数学思维中始终占据着主导地位，而直觉思维又是思维中最活跃、最积极、最具有创造性的成分。两者具有辨证互补的关系。因此，作为选拔人才的高考命题人，很自然要考虑对直觉思维的考查。

【例题】、已知1sin cos ,25

x x x ππ+=≤ ，则tan x 的值为（）

A 、43

B 、43

或34

C 、34

- D 、

【解析】、由题目中出现的数字3、4、5是勾股数以及x 的范围，直接意识到34sin ,cos 55

x x =-=

，

从而得到3tan 4

x =-

，选C 。

【练习1】、如图，已知一个正三角形内接于一个边长为a

的正三角形中，问x 取什么值时，内接正三角形的面积最小（）

A 、

a B 、

a C 、

a D 32

（提示：显然小三角形的边长等于大三角形的边长之半时面积最小，选A 。）

【练习2】、（课本题改编）测量某个零件直径的尺寸，得到10个数据：12310,,,,x x x x 如果用x 作为

该零件直径的近似值，当x 取什么值时，2222

12310()()()()x x x x x x x x -+-+-++- 最小？（）

A 、1x ，因为第一次测量最可靠

B 、10x ，因为最后一次测量最可靠

C 、

110

x x +，因为这两次测量最可靠 D 、

12310

x x x x ++++

（提示：若直觉好，直接选D 。若直觉欠好，可以用退化策略，取两个数尝试便可以得到答案了。）【练习3】、若727

0127(12)x a a x a x a x -=++++ ，则0127||||||||a a a a ++++= （） A 、-1 B 、1 C 、0 D 、7

（提示：直觉法，系数取绝对值以后，其和会相当大，选D 。或者退化判断法将7次改为1次；还有

一个绝妙的主意：干脆把问题转化为:已知7

27(12)x a a x a x a x +=++++ ，求

012a a a a +++

+ ，这与原问题完全等价，此时令1x =得解。）

【练习4】、已知a 、b 是不相等的两个正数，如果设11()()p a b a

+，2

q =，

2()2

a b r a b

+=++，那么数值最大的一个是（）

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第16页（共29页）山东世纪金榜书业有限公司 A 、p B 、q C 、r D 、与a 、b 的值有关。

（提示：显然p 、q 、r 都趋向于正无穷大，无法比较大小，选D 。要注意，这里似乎是考核均值不等式，其实根本不具备条件——缺乏定值条件！）

【练习5】、（98高考）向高为H 的水瓶中注水，注满为止。如果注水量V 与水深h 的函数关系如下列左图，那么水瓶的形状是（）。

A B C D

（提示：抓住特殊位置进行直觉思维，可以取OH 的中点，当高H 为一半时，其体积过半，只有B 符合，选B ）

【练习6】、（07江西理7文11）四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自不同的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图，盛满酒好他们约定：先各自饮杯中酒的一半。设剩余酒的高度从左到右依次为1234,,,,h h h h 则它们的大小关系正确的是（）

A 、214h h h

B 、123h h h

C 、324h h h

D 、241h h h

（提示：选A ）

【练习7】、（01年高考）过点A （1，-1）、B （-1，1）且圆心在直线20x y +-=上的圆的方程是（）

A 、22(3)(1)4x y -++=

B 、22(3)(1)4x y ++-=

C 、22(1)(1)4x y -+-=

D 、22(1)(1)4x y +++=

（提示：显然只有点（1，1）在直线20x y +-=上，选C ）

【练习8】、（97全国理科）函数sin(

2)cos 23y x x π=-+的最小正周期是（） A 、2π

B 、π

C 、2π

D 、4π

（提示：因为总有sin cos sin()a x b x A x ωωω?+=+，所以函数y 的周期只与ω有关，这里2ω=，所以选B ）

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第17页（共29页）山东世纪金榜书业有限公司【练习9】、（97年高考）不等式组0,

3232x x x x x ??--??++?

的解集是（） A 、{}|02x x B 、{}|0 2.5x x

C 、{}

|06x x D 、{}|03x x （提示：直接解肯定是错误的策略；四个选项左端都是0，只有右端的值不同，在这四个值中会是哪一个呢？它必定是方程33||33x

x x --=++的根！

，代入验证：2不是，3不是， 2.5也不是，所以选C ）

【练习10】、△ABC 中，cosAcosBcosC 的最大值是（）

A 、383

B 、81

C 、1

D 、21

（提示：本题选自某一著名的数学期刊，作者提供了下列 “标准”解法，特抄录如下供读者比较：设y =cosAcosBcosC ，则2y =[cos （A+B ）+ cos （A-B ）] cosC ，

∴cos 2C- cos （A-B ）cosC+2y =0，构造一元二次方程x 2- cos （A-B ）x+2y =0，则cosC 是一元二次方程的根，由cosC 是实数知：△= cos 2（A-B ）-8y ≥0，

即8y ≤cos 2（A-B ）≤1，∴81

≤y ，故应选B 。

这就是“经典”的小题大作！事实上，由于三个角A 、B 、C 的地位完全平等，直觉告诉我们：最大值必定在某一特殊角度取得，故只要令A=B=C=60゜即得答案B ，这就是直觉法的威力，这也正是命题人的意图所在。）

【练习11】、（07浙江文8）甲乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜，根据以往经验，每局比赛中甲获胜的概率为0.6，则本次比赛中甲获胜的概率为（）

A 、0.216

B 、0.36

C 、0.432

D 、0.648

（提示：先看“标准”解法——甲获胜分两种情况：①甲：乙=2：0，其概率为0.6×0.6=0.36，②甲：

乙=2：1，其概率为12[0.60.4]0.60.288C ??=，所以甲获胜的概率为0.36+0.288=0.648，选D 。

现在再用直觉法来解：因为这种比赛没有平局，2人获胜的概率之和为1，而甲获胜的概率比乙大，应该超过0.5，只有选D 。）

【练习12】、s i n c o s 2αα+=tan cot αα+=（）

A 、1

B 、2

C 、-1

D 、-2 （提示：显然4

πα=，选B ）七、趋势判断

趋势判断法，包括极限判断法，连同估值法，大致可以归于直觉判断法一类。具体来讲，顾名思义，趋势判断法的要义是根据变化趋势来发现结果，要求化静为动，在运动中寻找规律，因此是一种较高层次的思维方法。

【例题】、（06年全国卷Ⅰ，11）用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm ）的5根细木棍围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为多少？

A 、

2 B 、

2 C 、

2 D 、20 cm 2

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【解析】、此三角形的周长是定值20，当其高或底趋向于零时其形状趋向于一条直线，其面积趋向于零，可知，只有当三角形的形状趋向于最“饱满”时也就是形状接近于正三角形时面积最大，故三边长应该为7、7、6

，因此易知最大面积为2，选B 。）

【练习1】、在正n 棱锥中，相邻两侧面所成二面角的平面角的取值范围是（） A 、2(

,)n n

ππ- B 、1(

,)n n

ππ- C 、(0,

D 、21(

)n n n

ππ--

（提示：进行极限分析，当顶点无限趋近于底面正多边形的中心时，相邻两侧面所成二面角απ→，且απ ；当锥体h →+∞且底面正多边形相对固定不变时，正n 棱锥形状趋近于正n 棱柱，2,

n n

απ-→且2,n n

απ-

选A ）

【练习2】、设四面体四个面的面积分别为它们的最大值为S ，记4

i S

λ==

∑，则λ一定满足（）

A 、24λ≤

B 、34λ

C 、2.5 4.5λ

D 、3.5 5.5λ （提示：进行极限分析，当某一顶点A 无限趋近于对面时，S=S

对面

，不妨设S=S 1，则S 2+S 3+S 41S →那

么2λ=，选项中只有A 符合，选A 。当然，我们也可以进行特殊化处理：当四面体四个面的面积相等时，4λ=，凭直觉知道选A ）

【练习3】、正四棱锥的相邻两侧面所成二面角的平面角为α，侧面与底面所成角为

，则

2c o s c o s 2αβ+的值是（）

A 、1

B 、

C 、0

D 、-1

（提示：进行极限分析，当四棱锥的高无限增大时，90,90,αβ→→

那么

2cos cos 22cos 90cos1801αβ+→+=-

，选D ）

【练习4】、在△ABC 中，角A 、B 、C 所对边长分别为a 、b 、c ，若c-a 等于AC 边上的高，那么

sin

cos

2C A C A -++的值是（） A 、1 B 、12

C 、

D 、-1

(提示：进行极限分析，0A →

时，点C →A ，此时高0,h c a →→，那么180,0C A →→ ，

所以sin

cos

C A C A -++sin 90cos 01→+=

，选A 。）

【练习5】、若0,sin cos ,sin cos ,4

a b π

αβααββ+=+=

则（）

A 、a b

B 、a b

C 、1ab

D 、2ab

世纪金榜圆您梦想 e72821d3240c844769eaee48 第19页（共29页）山东世纪金榜书业有限公司（提示：进行极限分析，当0α→时，1a →；当4πβ→

时，b →b a ，选A ）

【练习6】、双曲线221x y -=的左焦点为F ，

点P 为左支下半支异于顶点的任意一点，则直

线PF 的斜率的变化范围是（）

A 、 (,0)-∞

B 、(,1)(1,)-∞-+∞

C 、(,0)(1,)-∞+∞

D 、(1,)+∞

（提示：进行极限分析，当P →A 时，PF 的斜率0k →；当PF x ⊥时，斜率不存在，即k →+∞或k →-∞；当P 在无穷远处时，PF 的斜率1k →。选C 。）

【练习7】、（06辽宁文11）与方程221(0)x x y e e x =-+≥的曲线关于直线y x =对称的曲线方程为（）

A 、ln(1)y x =+

B 、ln(1)y x =-

C 、ln(1y x =-+

D 、ln(1)y x =-- （提示：用趋势判断法：显然已知曲线方程可以化为2(1)(0)x y e x =-≥，是个增函数。再令,

x →+∞那么,y →+∞那么根据反函数的定义，在正确选项中当y →+∞时应该有,x →+∞只有A 符合。当然也可以用定义法解决，直接求出反函数与选项比较之。）

【练习8】、若sin cos 1θθ+=，则对任意实数n ，sin cos n n θθ+=（）

A 、1

B 、区间（0，1）

C 、11

2n - D 、不能确定

（提示：用估值法，由条件sin cos 1θθ+=完全可以估计到sin ,cos θθ中必定有一个的值是1，另一个等于0，则选A 。另外，当n=1，2时，答案也是1）

【练习9】、已知1c ，且1x c c =+-1y c c =--,x y 之间的大小关系是（）

A 、x y

B 、x y

C 、x y =

D 、与c 的值有关

（提示：此题解法较多，如分子有理化法，代值验证法，单调性法，但是用趋势判断法也不错：当1c →时，21x →

；当x →+∞时，0x →1t t +B ）

八、估值判断

有些问题，属于比较大小或者确定位臵的问题，我们只要对数值进行估算，或者对位臵进行估计，就可以避免因为精确计算和严格推演而浪费时间。

【例题】、已知1x 是方程lg 3x x +=的根，2x 是方程103x x +=的根，则12x x +=（）

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A 、6

B 、3

C 、2

D 、1

【解析】、我们首先可以用图象法来解：如图，在同一坐标系中作出四个函数，10x y =，lg y x =，3y x =-，

y x =的图象，设3y x =-与lg y x =的图象交于点A ，其

横坐标为1x ；10x y =与3y x =-的图象交于点C ，其横坐标为2x ；3y x =-与y x =的图象交于点B ，其横坐标为32

。因为10x y =与lg y x =为反函数，点A 与点B

关于直线y x =对称，所以12x x +=2×

=3，选B 。

此属于数形结合法，也算不错，但非最好。现在用估计法来解它：因为1x 是方程lg 3x x +=的根，所以123,x 2x 是方程103x x +=的根，所以201,x 所以1224,x x + 选B 。

【练习1】、用1、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（） A 、24个 B 、30个 C 、40个 D 、60个

（提示：如果用直接法可以分两步：先排个位，在两个偶数中任取一个有1

2C 种方法；第二步在剩下

的4个数字中任取两个排在十位与百位有24A 种，由乘法原理，共有12

24C A =24个，选B 。用估计法：五个

数字可以组成3

560A =个三位数，其中偶数不到一半，选B 。）

【练习2】、农民收入由工资性收入和其它收入两部分组成，2003年某地农民人均收入为3150元，其中工资性收入为1800元，其它收入1350元。预计该地区农民自2004年起工资性收入将以每年6%的年增长率增长，其它收入每年增加160元，根据以上数据，2008年该地区农民人均收入介于（）元 A 、（4200，4400） B 、（4400，4600）C 、（4600，4800）D 、（4800，5000）

（提示：由条件知该地区农民工资性收入自2004年起构成以11800,16%a q ==+的等比数列，所以

2008年工资性收入为5

61800(10.06)1800(150.06)2340a =+≈?+?=元；其它收入构成以1350为首项，

公差为160的等差数列，所以所以2008年其它收入为1350+160×5=2150元，所以2008年该地区农民人均收入约为2340+2150=4490元，选B 。）

【练习3】、已知过球面上A 、B 、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=2，则球面面积是（）

A 、

169

π B 、8

π C 、4π D 、

649

（提示：用估计法，设球半径R ，△ABC 外接圆半径为 33

r =，