《材料力学》附录I++截面的几何性质+习题解
更新时间:2024-05-25 12:22:01 阅读量: 综合文库 文档下载
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附录I 截面的几何性质 习题解
[习题I-1] 试求图示各截面的阴影线面积对x轴的静积。
(a)
解:Sx?A?yc?(40?20)?(20?10)?24000(mm3) (b)
解:Sx?A?yc?(20?65)?(c)
3解:Sx?A?yc?(100?20)?(150?10)?280000(mm)
652?42250(mm)
3(d)
3解:Sx?A?yc?(100?40)?(150?20)?520000(mm)
[习题I-2] 试积分方法求图示半圆形截面对x轴的静矩,并确定其形心的坐标。
解:用两条半径线和两个同心圆截出一微分面积如图所示。
dA?(xd?)?dx;微分面积的纵坐标:y?xsin?;微分面积对x轴的静矩为: dS?dA?y?(xd??dx)?y?xd??dx?xsin??xsin??dxd?
2x半圆对x轴的静矩为:
1
Sx??r0xdx?sin??d??[02?x33]?[?cos?]0?r0?r33?[?(cos??cos0)]?2r33
因为Sx?A?yc,所以
2r33?122??r?yc yc?4r3?
[习题I-3] 试确定图示各图形的形心位置。
(a) 解:
习题I-3(a): 求门形截面的形心位置 矩形 上 左 右 Li 400 150 150 Bi 20 20 20 Ai 8000 3000 3000 14000 Yci 160 75 75 AiYci 1280000 225000 225000 1730000 Yc 123.6 离顶边 46.4 (b) 解: Ai=Li*Bi Yc=∑AiYci/∑Ai 习题I-3(b): 求L形截面的形心位置 矩形 下 左 Li 160 90 Bi 10 10 Ai 1600 900 2500 Yci 5 55 AiYci 8000 49500 57500 Yc 23 Xci 80 5 AiXci 128000 4500 132500 Xc 53 (c)
Ai=Li*Bi Yc=∑AiYci/∑Ai Xc=∑AiXci/∑Ai 2
解:
习题I-3(c): 求槽形与L形组合截面的形心位置 型钢号 Ai(cm2) 槽钢20 等边角钢80*10 32.837 15.126 Yci(cm) 10 2.35 AiYci(cm3) 328.37 35.546 Yc(cm) Xci(cm) -1.95 2.35 AiXci(cm3) -64.03 35.546 Xc(cm)
47.963 363.92 7.6 -28.49 -0.6 Yc=∑AiYci/∑Ai Xc=∑AiXci/∑Ai [习题I-4] 试求图示四分之一圆形截面对于x轴和y轴的惯性矩Ix、Iy和惯性积Ixy。 解:用两条半径线和两个同心圆截出一微分面积如图所示。
dA?(xd?)?dx;微分面积的纵坐标:y?xsin?;微分面积对x轴的惯性矩为: dI?ydA?y(xd??dx)?xsin??xd??dx?xsin??dxd?
222232x四分之一圆对x轴的惯性矩为: Ix??rr0xdx?123?/20sin?d??[2x44]0??r?/21?cos2?20d?
4?4?[??/20d??1?2?/20cos2?d(2?)]
?r48{?24?12[sin2?]0?/2}
???r16
由圆的对称性可知,四分之一圆对y轴的惯性矩为:
3
Iy?Ix???r164
微分面积对x轴、y轴的惯性积为:
dIxy?xydA
22Ixy??r0xdx?r?x0ydx??r101rxx(r?x)dx?[22222221rrr ?]?(?)?42248r0x4444[习题I-5] 图示直径为d?200mm的圆形截面,在其上、下对称地切去两个高为??20mm的弓形,试用积分法求余下阴影部分对其对称轴x的惯性矩。
解:圆的方程为:
x?y22?r
2如图,作两条平行x轴的、相距为dy线段,截圆构成微分面积,微分面积为:
dA?2r?ydy
22切去2?之后,剩下部分对x轴的惯性矩为: Ix??rsin??rsin?2y2r?ydy
rsin?224?yry?2222?2?(2y?r)r?y?arcsin ?88r???rsin??r42r4(??14sin4?)
?82(4??sin4?)
x1?(100?20)2?100
2 x1?3600
2 4
x1?60(mm) tan??100?20?460340 ??arctan?53.13?0.927(rad)
3
Ix?10084(4?0.927?sin212.52)?3.963?10(mm)
074[习题I-6] 试求图示正方形对其对角线的惯性矩。
解:正方形四条边的直线方程如图所示(设水平坐标轴为z,竖坐标轴为y)。
Iz??yA2dA??022a?dz?2z?222aa2?z?2ydy?2?2a0dz?22?z?2222aaydy2
z??2?[?23230022a?dz?z?z?2a20ydy?2?2a0dz??z??z?a0ydy]
2??[??22a?y?322a20dz??2a0?y?322a0dz]
2??[?022a?(z?22a)d(z?322a)??2a0(?z?22a)d(?z?322a)]
?24(z?a)?22???3?4??442?aa?? ?=??3?1616?????????0222a?24(?z?a)?22??3?4???2?????0a
?
a412
5
(组合图形对形心轴x的惯性矩)
习题I-14 b(a) h(a) r(a) Ai(a2) Yci(a) AiYci Yc(a) Ixc 矩形 圆 4 2 4 -8.00 50.27 42.27 1 0 -8 0 -8 2.667 ai Ix(a4) 1.1893 14.0 201.062 -0.1893 202.9 188.9 -0.1893
[习题I-15] 正方形截面中开了一个直径为d?100mm的半圆形孔,如图所示。试确定截面的形心位置,并计算对水平形心轴和竖直形心轴的惯性矩。
解:
习题I-15 图形 半圆 全图 bi hi r Ai Yci AiYci Yc Ixci 133333333 685977 4ai Ix 2 133546801 24 2860346 130686455 Ix?Ixc?aA 2正方形 200 200 40000 100 4000000 50 -3927 79 -309365 36073 4r3?3690635 102 Ixc?yc?100? ??r84?8r 9?4形心位置:X(0,102)。对水平形心轴的惯性矩:Ix?130686455mm。对竖直形心轴的惯性矩:
Iy?a412???r84?200124?3.14159?5084?130878966(mm)
4 11
习题I-15 图形 正方形 半圆 全图 a 200 r 50 Iy(mm4) 133333333.3 2454367 130878966 Iy?a412???r84 [习题I-16] 图示由两个20a号槽钢组成的组合截面,若欲使截面对两对称轴的惯性矩Ix和
Iy相等,则两槽钢的间距a应为多少?
解:20a号槽钢截面对其自身的形心轴
;横截面积为
。
根据惯性矩定义
和平行轴定理,组合截面对 ,
、
的惯性矩是
,
的距离是
;槽钢背到其形心轴
轴的惯性矩分别是
若
;
即
等式两边同除以2,然后代入数据,得
12
于是 所以,两槽钢相距
[习题I-17] 试求图示截面的惯性积Ixy
解:设矩形的宽为b高为h,形心主惯性轴为xc0yc,则
由平行移轴公式得:
hb122Ixy?IxCyC?abA?0?()?()?bh?bh
224故,矩形截面对其底边与左边所构成的坐标系的惯性积为: Ixy?习题I-17 图形 左矩形 下矩形: 重复加的矩形 全图 b 10 100 10 h 100 10 10 Ixy 250000 250000 2500 497500 14bh
22
上图+下图-重复图= [习题I-18] 图示截面由两个125mm?125mm?10mm的等边角钢及缀板(图中虚线)组合而成。试求该截面的最大惯性矩Imax和最小惯性矩Imax。 解:从图中可知,该截面的形心C位于两缀板共同的形心上。过C点作水平线,向右为xc轴正向;过C点,垂直于xc轴的
0直线为yc轴向上为正。把xccyc坐标绕C点逆时针转45
后所得到的坐标系是截面的的两条对称轴,也就是该截面的形
13
心主惯性轴x0,y0。主惯性矩Ix?Imax,Iy?Imin
00查型钢表得:12.5号等边角钢的参数如下:
2A?24.373cm ,Iy0?Ix0?149.46cm,Ix0?Iy0?573.89cm,z0?3.45cm
'4'4角钢形心主惯性轴与截面形心主惯性轴之间的距离:
a?2z0?22?1?2(3.45?0.5)?3.9522cm
4Imax?Ix0?2?[149.46?(3.952)?24.373]?1820(cm)
Imin?Iy0?2?573.89?1148(cm)
4(注:缀板用虚线画出,表示其面积可忽略不计)
[习题I-19] 试求图示正方形截面的惯性积Ix1y1和惯性矩Ix,Iy并作出比较。
11
解:Ix?a412a4
Iy?12
Ixy?0 (x,y为形心主惯性轴)
aIx1?Ix?Iy2?Ix?Iy2cos2??Ixy4sin2??12?a4412?0?0?a
212a44aIy1?Ix?Iy2?Ix?Iy2cos2??Ixy4sin2??12?12?0?0?a
212 14
IIx?Iyx1y1?2sin2??Ixycos2??0?0?0
结论:
1、过正方形形心的一对相互垂直的轴,它们的惯性矩相等,它们的惯性积为零; 2、过正方形形心的一对相互垂直的轴,绕形心转动之后,惯性矩、惯性积保持不变。 [习题I-20] 确定图示截面的形心主惯性轴的位置,并求形心主惯性矩。
(a)
解: 截面的形心主惯性轴与竖直矩形的形心主惯性轴重合。
I[112?200?403?(4002?402)2?200?40]?2?13x?12?20?(400?2?40)?575146666I13200202134y?[12?40?200?(2?2)?200?40]?2?12?320?20?183146666.6(mm)Ixy?[?(400402002?2)?(2?202)?200?40]?2??259200000(mm4)
tan2?2Ixy(?2)?(?259200000)0??Ix?I?y575146666.5?181346666.6?1.3164
2?1.3164?5200?arctan47'
?00?2624'
Ix Iy Ixy 575146666.5 183146666.6 -259200000 Ix0= 704109187 575146666.5 183146666.6 -259200000 Iy0= 54184146 Ix0?Ix?Iy?12Iy022(Ix?Iy)2?4Ixy
15
.5(mm4)
(b)
解:以20号槽钢(图I)的下边缘为x轴,左边缘为y轴,建立坐标系。8号槽钢编号为图II。则组合截面的形心计算如下:
习题I-20(b) 长度单位:cm 图形 I II 全图 图形 I II 全43.1 Ai 32.8 10.2 43.1 Xci 1.95 -1.4 Yci 10 16 AiXci 64 -15 49.4 AiYci 328.3 163.8 492.1 Xc 1.15 Yc 11.4 习题I-20(b) Ai 32.8 10.2 ai bi Ixci' Iyci' Ixci Iyci 165 84.6 249 Ixciyci' Ixciyci 0 0 0 -37.635 -120.66 -158.29 tan2a0 a0 Ix0 Iy0 -1.43 0.804 4.573 -2.58 1913.7 143.6 1981 101.3 16.6 315.5 2296 图 0.1547 4.4 2308.2 237.2
[习题21] 试用近似法求习题I-4所示截面的Ix,并与该题得出的精确值相比较。已矩该截面的半径r?100mm。
解:圆的方程为:
x?y22?100
2把y轴的半径10等分,即??10mm。过等分点,作x轴的平行线。从下往上,每个分块 的中点的y坐标与x坐标如下表所示。
16
习题I-21 yi 5 15 25 35 45 55 65 75 85 95 10xi 99.87 98.87 96.82 93.67 89.30 83.52 75.99 66.14 52.68 31.22 ai 5 15 25 35 45 55 65 75 85 95 ? 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 ai?xi 224969 222454 605154 1147518 1808383 2526373 3210722 3720588 3806005 2818055 近似解Ix??ai?12i?xi 3.14159?10016419890221 精确解Ix?误差(%) ??r164? 19634938 1.30
[习题I-22] 试证明:直角边长度为a的等腰三角形,对于平行于直角边的一对形心轴之惯性积绝对值为Ixy?a472(提示:最简单的证法是利用惯性积的平行移轴公式,并利用一对
相互垂直的坐标轴中有一为截面的对称轴时,其惯性积为零的特征。)
17
解: z?h(b?y)b
b
Iyz??AyzdA??0?zzdz???0?ydy???22?bh2202b(b?y)ydy?2bh2422
IyCzC?Iyz?()()A?33bhbh24bhbhbh ?????3327222令b?h?a得:|Ia4yCzC|?72.
18
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