【智博教育原创专题】高考边缘热点问题之取整函数(高斯函数)

高考边缘热点问题之取整函数（高斯函数） 数学考试大纲明确指出高考命题要与高等数学相关联，要为进入高校学习作准备。近几年高考数学试题中出现了大量与高等数学衔接紧密的问题，主要表现为它们或以高等数学符号、概念直接出现，或以高等数学的概念、定理作为依托融于初等数学知识中，或体现高等数学中常用的数学思想方法和推理方法。此类题目的设计虽来源于高等数学，但一般起点高、落点低，其解决方法还是中学所学的初等数学知识，较易突破，它能宽角度、多观点地考查学生基本的数学素养，有层次地深入了解数学理性思维和进一步深造的潜能。

数学考试大纲提出：“创新意识和创造能力是理性思维的高层次表现。” 命题时要设“研究型、探索型或开放型的题目，让考生独立思考，自我探索，发挥主观能动性”。

新题型即创新题型。新相对旧而言，即在教材上无例习题，教参上无套路题，往年的考卷无模拟题的一类新型考题。这种题目每年由高考命题组原创设计，按15%左右的比例推出。由于这种题型有较好的信度和效度，从而有较好的区分度，因此倍受人们关注。

为了方便同学们能够准确快速解答此类问题，现将高考中常见的几类特殊函数介绍如下：

一、取整函数 x

设x R，记不超过x的最大整数为[x]，通常称函数y [x]为取整函数，又称高斯函数（这一函数最早由高斯引入，故得名），又记{x} x [x]，则函数y {x}称为小数部分函数，它表示的是x的

A. x x B. 2x 2 x C. x y x y D. x y x y

【解析】特值法：当x 1.1时，可以排除A；当x 1.9时，可以排除B；当x 1.1,y 1.9时，可以排除C。

1.给定实数x，定义[x]为不大于x的最大整数，则下列结论中不正确的序号是 （ ）

①x [x] 0；②x [x] 1；③f(x) x [x]是周期函数；④f(x) x [x]是偶函数

2.（2013湖北）x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f(x) x [x]在R上为【D】

A.奇函数 B.偶函数 C.增函数 D.周期函数

【法一】（直接法）函数f(x) x [x]表示实数x的小数部分，有

f(x 1) x 1 [x 1] x [x] f(x)，所以函数f(x) x [x]是以1为周期的周期函数。

【法二】（特值法）取x1 1.2,x2 2，则f(x1) 1.2 1.2 0.2,f( x1) 1.2 1.2 0.8，所以函数f(x) x [x]是非奇非偶函数；又f(x1) 1.2 1.2 0.2,f(x2) 2 2 0，显然f(x) x [x]不是增函数，故选D。

3.x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f(x) x [x]在R上为【C】

A.奇函数 B.偶函数 C.增函数 D.周期函数

) 0，故答案选C。 【解析】设x1 x2，可得 x1 x2 ，所以f(x2) f(x1) (x2 x1) ( x2 x1

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