2009届高考数学难点突破训练 - 圆锥曲线

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本资料来源于《七彩教育网》http://www.7caiedu.cn 2009届高考数学难点突破训练——圆锥曲线

1. 已知椭圆C的焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y?25514x的焦点，离心率为

2。

（1）求椭圆C的方程；

????????（2）设A、B为椭圆上的两个动点，OA?OB?0，过原点O作直线AB的垂线OD，垂

足为D，求点D的轨迹方程．

2. 设直线l:y?ax?1与双曲线C:3x2?y2?1相交于A,B两点，O为坐标原点. （I）a为何值时，以AB为直径的圆过原点.

????????????????（II）是否存在实数a，使OA?OB且OA?OB??(2,1)，若存在，求a的值，若不存

在，说明理由.

3. （理）设双曲线C：

xa22?yb22?1（a＞0，b＞0）的离心率为e，若准线l与两条渐近线

相交于P、Q两点，F为右焦点，△FPQ为等边三角形． （1）求双曲线C的离心率e的值；

（2）若双曲线C被直线y＝ax＋b截得的弦长为

bea22求双曲线c的方程．

（文）在△ABC中，A点的坐标为（3，0），BC边长为2，且BC在y轴上的区间[-3，3]上滑动．

（1）求△ABC外心的轨迹方程；

（2）设直线l∶y＝3x＋b与（1）的轨迹交于E，F两点，原点到直线l的距离为d，

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求

|EF|d的最大值．并求出此时b的值．

24. 已知点N（1，2），过点N的直线交双曲线x? （1）求直线AB的方程；

y22?1于A、B两点，且ON?12(OA?OB)

（2）若过N的直线l交双曲线于C、D两点，且CD?AB?0，那么A、B、C、D四点是

否共圆？为什么？

接着做11.

5. 设f(x)?xbx?c（b,c为常数），若f(2)?12，且f(x)?x2?0只有唯一实数根

（1）求f(x)的解析式

（2）令a1?1,an?f(an?1)求数列?an?的通项公式。

6. 已知点C（-3，0），点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足CP?PM?0,PM?12MQ

（1）当点P在y轴上运动时，求点M的轨迹C的方程；

（2）是否存在一个点H，使得以过H点的动直线L被轨迹C截得的线段AB为直径的圆始终过原点O。若存在，求出这个点的坐标，若不存在说明理由。

??7. 设x,y?R,i,j为直角坐标平面内x,y轴正方向上的单位向量，若向量

????????a?xi?(y?2)j,b?xi?(y?2)j,且a?b?8.

(1)求点M（x,y）的轨迹C的方程；

(2)过点(0,3)作直线l与曲线C 的交于A、B两点，设OP?OA?OB，是否存在这样的直线l，使得四边形OAPB为矩形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.

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8. 已知倾斜角为45?的直线l过点A?1,?2?和点B，点B在第一象限，AB?32。 （1）求点B的坐标； （2）若直线l与双曲线C:xa22?y?1?a?0?相交于E,F两点，且线段EF的中点坐标为

2?4,1?，求a的值；

（3）对于平面上任一点P，当点Q在线段AB上运动时，称PQ的最小值为P与线段AB的距离。已知P在x轴上运动，写出点P?t,0?到线段AB的距离h关于t的函数关系式。

9. 如图，已知定点F(1,0)，动点P在y轴上运动，过点P作PM?PF交x轴于点M，延长MP到N，使PN?PM.

⑴求动点N的轨迹C的方程；

????????⑵设直线l与动点N的轨迹C交于A，B两点，若OA?OB??4.若线段AB的长度满足：

46?AB?430，求直线l的斜率的取值范围。

y

MP N OFx 10. 在?OAB中,|OA|?|OB|?4,点P分线段AB所成的比为3,以OA、OB所在的直线为渐近线且离心率为2的双曲线M恰好经过点P. ⑴求双曲线M的标准方程;

⑵若直线y?kx?m(mk?0)与双曲线M交 于不同的两点E、F,且E、F两点都在以点

Q(0,?3)为圆心的同一圆上,求实数m的取值范围.

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11. 经过抛物线y2?4x的焦点F的直线L与该抛物线交于A,B两点. （1） 若线段AB的斜率为k，试求中点M的轨迹方程； （2） 若直线的斜率k＞2，且点M到直线3 x+4y+m=0的距离为

12. 一束光线从点F1(?1,0)出发，经直线l:2x?y?3?0上一点P反射后，恰好穿过点F2(1,0)．

（Ⅰ）求点F1关于直线l的对称点F1?的坐标； （Ⅱ）求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆C的方程；

（Ⅲ）设直线l与椭圆C的两条准线分别交于A、B两点，点Q为线段AB上的动点，求点Q 到F2的距离与到椭圆C右准线的距离之比的最小值，并求取得最小值时点Q的坐标．

13. 已知椭圆E：

x215，试确定m的取值范围。

25?y216?1，点P(x,y)是椭圆上一点。

（1）求x?y的最值。

（2）若四边形ABCD内接于椭圆E，点A的横坐标为5，点C的纵坐标为4，求四边形面积的最大值。

14. 已知椭圆的一个焦点F1(0,?22)，对应的准线方程为y??e，

4394222，且离心率e满足

23，

成等比数列.

(1)求椭圆的方程；

(2)试问是否存在直线l，使l与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN恰被直线x??12七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案免费下载

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平分？若存在，求出l的倾斜角的取值范围；若不存在，请说明理由.

?15. 已知向量a?(x,??3y),b?(1,0),且(a???3b)?(a??3b).

（Ⅰ）求点Q(x,y)的轨迹C的方程；

（Ⅱ）设曲线C与直线y?kx?m相交于不同的两点M、N，又点A(0,?1)，当AM时，求实数m的取值范围。

16. 设直线l:y?k(x?1)与椭圆x2?3y2?a2(a?0)相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点C，记O为坐标原点. （I）证明：a?2?AN3k221?3k；

（II）若AC?2CB,求?OAB的面积取得最大值时的椭圆方程.

17. 如图，已知⊙O?：?x?2??y2?8及点A?2,0?，在 ⊙O?上任取一点A′，连AA′并作AA′的中垂线l，设l与直线O?A′交于点P，若点A′取遍⊙O?上的点. （1）求点P的轨迹C的方程；

（2）若过点O?的直线m与曲线C交于M、N两点,且

???????????O?N??O?M,则当??[6,??)时,求直线m的斜率k的取值范

2围.

??6?6?22y?m??4m?m?0?及点M ?0,m?，在 ⊙O?上任取18. 如图，已知⊙O?：x??????33????2一点M′，连MM′，并作MM′的中垂线l，设l与O?M′交于点P， 若点M′取

遍⊙O?上的点.

（1）求点P的轨迹C的方程；

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（2）设直线l:y?k(x?1)(k?0)与轨迹C相交于A、B两个

不同的点，与x轴相交于点D.若????????AD?2DB,求?OAB的面积取得最

大值时的椭圆方程．

19. 点A、B分别是以双曲线

x2?y21620?1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆C长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆C上，且位于x轴上方，

PA?PF?0

（1）求椭圆C的的方程； （2）求点P的坐标；

（3）设M是椭圆长轴AB上的一点，点M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到M的

距离d的最小值。

20. 已知正方形的外接圆方程为x2?y2?24x?a?0，A、B、C、D按逆时针方向排列，正方形一边CD所在直线的方向向量为(3，1)．

（1）求正方形对角线AC与BD所在直线的方程；

（2）若顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线E经过正方形在x轴上方的两个顶点A、B，求抛物线E的方程． 答案：

21. （1）设椭圆C的方程为

xy2a2?b2?1?a?b?0?．

2由题意可得：b?1,c25a?5，?a?5，?x25?y?1

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（2）（1）当直线AB的斜率k存在时，

设直线AB的方程为y?kx?m,设A?x1,y1?,B?x2,y2?

?x22?y?1?，??5k2?1?x2?10kmx?5m2?5?0 ?5?y?kx?m??x1?x2??10km5k?12

22?y1y2??kx1?m??kx2?m??kx1x2?km?x1?x2??m ?????????OA?OB?0，?x1x2?y1y2?0

即?k?1?x1x2?km?x1?x2??m?0，

22?k2?1??5m?5?25k?12?10km2225k?1?m?0

2?6m?5k?5?0 ①

22又?OD?AB,设D?x,y?，?k??xy ②

又?点D?x,y?在直线AB上，?y?kx?m

x2?m?y?kx?y?y ③

22222?x?xx?y?6?x2?y2??5??0 把②③代入①得6?y???52?5?0，?2??y?yy?22?点D的轨迹方程为x?y?56?y????0?

（2）当直线AB的斜率不存在时，D???点D的轨迹方程为x?y?22306?522,0?，满足x?y? ?6?56

2. 解（I）设A(x1,y1),B(x2,y2)

?y?ax?122?(3?a)x?2ax?2?0 由?22?3x?y?1七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案免费下载

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???4a2?8(3?a2)?0?2?3?a?0???x?x?2a a2?6且a2?3，

1223?a??2?x1?x2?2a?3?又以AB为直径的圆过原点.既x1?x2?y1?y2?0?(a2?1)x1?x2?a(x1?x2)?1?0 ?a??1 （II）?y1?y2x1?x2?a

????????y?y21OA?OB??(2,1)?(x1?x2,y1?y2)??(2,1)?1?

x1?x22????????2222OA?OB?x1?y1?x2?y2?(x1?x2)?(x1?x2)?(y1?y2)?(y1?y2)?0

?1?12?a?0?a??12

ba3.右准线l的方程为：x＝

a2c，两条渐近线方程为：y??

x．

∴ 两交点坐标为 P(a2c，

abc)、Q(a2c322，?abc)．

∵ △PFQ为等边三角形，则有|MF|?|PQ|（如图）．

∴ c?a2c?32?(abc?abc)，即

c?acca2?3abc．

解得 b?3a，c＝2a．∴ e??2．

（2）由（1）得双曲线C的方程为把

xa22?y223a2?1．

把y?ax?3a代入得(a?3)x?23ax?6a?0．

2222??a?3?0,22 依题意 ? ∴ a?6，且a?3．

422???12a?24(a?3)a?0? ∴ 双曲线C被直线y＝ax＋b截得的弦长为

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l?(x1?x2)?(y1?y2)42222?2(1?a)(x1?x2)22?(1?a)[x(?x2)?4x1x2] 122 ?(1?a)12a?24(a?1)a(a?3)22

∵ l?bca222?12a．

∴ 144a?(1?a)?272a?12a(a?3)2224．

整理得 13a4?77a2?102?0． ∴ a2?2或a?25113． x2 ∴ 双曲线C的方程为：

2?y26?1或

13x512?13y1532?1．

（文）（1）设B点的坐标为（0，y0），则C点坐标为（0，y0＋2）（-3≤y0≤1）， 则BC边的垂直平分线为y＝y0＋1 ① y?y02?3y0(x?32) ②

由①②消去y0，得y2?6x?8．

∵ ?3?y0?1，∴ ?2?y?y0?1?2．

故所求的△ABC外心的轨迹方程为：y?6x?8(?2?y?2)． （2）将y?3x?b代入y?6x?8得9x?6(b?1)x?b?8?0． 由y?6x?8及?2?y?2，得 所以方程①在区间[22222243?x?2．

43，2]有两个实根．

2 设f(x)?9x?6(b?1)x?b?8，则方程③在[是：

43，2]上有两个不等实根的充要条件

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???[6(b?1)]2?4?9(b2?8)?0，??f(4)?9?(4)2?6(b?1)?4?b2?8?0，?333 ? 22?f(2)?9?2?6(b?1)?2?b?8?0，?4?6(b?1)?2．??2?9?3 之得?4?b??3． ∵ |x1?x2|?(x1?x2)?4x1x2?22[23(b?1)]?4?2b?892?23?2b?7

∴ 由弦长公式，得|EF|? 又原点到直线l的距离为d?1?k|x1?x2|?2310??2b?7

|b|102031b，

∴

|EF|d?203?2b?7b2?13?7b142?2b?203?7(1b?17)?217

∵ ?4?b??3，∴ ? ∴ 当

1b??14???EFd．

532，即b??4时，||max?2．

?1得

4. （1）设直线AB：y?k(x?1)?2代入x?y2 (2?k2)x2?2k(2?k)x?(2?k)2?2?0 （＊） 令A（x1，y1），B（x2，y2），则x1、x2是方程的两根 ∴ 2?k2?0 且 x1?x2? ∵ ON?12(OA?OB)2k(2?k)2?k2

x1?x22?1

∴ N是AB的中点 ∴

∴ k(2?k)??k2?2 k = 1 ∴AB方程为：y = x + 1 （2）将k = 1代入方程（＊）得x2?2x?3?0 x??1或x?3

由y?x?1得y1?0，y2?4 ∴ A(?1,0)，B(3,4)

∵ CD?AB?0 ∴ CD垂直平分AB ∴ CD所在直线方程为 y??(x?1)?2即y?3?x代入双曲线方程整理得x2?6x?11?0 令C(x3,y3)，D(x4,y4)及CD中点M(x0,y0) 则x3?x4??6，x3?x4??11， ∴x0? |CD| =410，|MC|?|MD|?12x3?x42??3， y0?6

|CD|?210

|MA|?|MB|?210，即A、B、C、D到M距离相等 ∴ A、B、C、D四点共圆 12分

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5. （1）直线l方程为y?x?c代入

xa22?yb22?1(a?b?0)得

(a?b)x?2acx?ac?ab22222222?0，设A(x1,y1),B(x2,y2)则

2x1?x2?2aca?b222,y1?y2??22bca?b222 ?OC?OA?OB

?C 点的坐标为(2aca?b4ac2422,?2bca?b22)

222?C 在椭圆上?(a?b)?4bc24222(a?b)?1即

4c222a?b?1?4c2?a?b

22?5c2?2a ?e?2105

c2ac2?AB?AF?BF?(a?ex1)?(a?ex2)?2a?e(x1?x2)?2a?（2）

?2a?2ac2?22aa?b22

a?b?32a已知

32a?15?a?10,e?105,a?210,?b2?60

?椭圆方程为

x2100?y2602?1

12x2x(2?c?bx)2bx?2c22．（1）?f(2)?令f(x)?x22b?c??c?4?2b，又f(x)??

?0得x(2?c?bx)?0

2?cb当b?0时得方程的实数根x?0和x? 于是c?2,b?1

当b?0时c?4方程有唯一实数根x?0

?f(x)?x2?x或f(x)?x2?xx4

an?1an?1?21an（2）当f(x)?时，an?，令bn?,则bn?2bn?1?1，

?bn?1?2(bn?1?1) ?bn?2?1n?an?12?1n

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当f(x)??x4时，an?12?1n11n?1an?1 ??an?为等比数列，an?() 44an?或an?41?n

6. （1）设M(x,y), P(0, t), Q(s, 0) 则CP?(3,t),PQ?(s,?t)

由CP?PQ?0得3s—t2=0……………………………………………………① 又由PM?12MQ得(x,y?t)?12(s?x,?y)

1?x?(s?x)?s?3x???2， ????3……………………………………②

1t?y??y?t?(?y)2??2?把②代入①得9x?(32y)=0，即y=4x，又x≠0

2

22

∴点M的轨迹方程为：y=4x（x≠0） （2）如图示，假设存在点H，满足题意，则

OA?OB即OA?OB?0

设A(y1422,y1),B(y242,y2)，则由OA?OB?0可得

y1y2162?y1y2?0解得y1y2??16

又kAB?y2?y1y224?y21?4y1?y2

4则直线AB的方程为：y?y1?24y1?y22(x?y142)

即(y1?y2)y?y1?y1y2?4x?y1把y1y2??16代入，化简得 (4x?16)?(y1?y)y?0

令y=0代入得x=4，∴动直线AB过定点（4，0） 答，存在点H（4，0），满足题意。

????7. (1)?a?(x,y?2),b?(x,y?2),且a?b?8

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即点M(x,y)到两个定点F1(0,-2)、F2(0,2)的距离之和为8,

?点M（x,y）的轨迹C为以F1(0,-2)、F2(0,2)为焦点的椭圆，其方程为

y216?x212?1.

(2)由题意可设直线l方程为y?kx?3,A(x1,y1),B(x2,y2)，

?y?kx?3?2

2由?y2消去y得：(4+3k)x +18kx-21=0. x??1?12?1618k?x?x??122??4?3k22

此时，△=(18k)-4(4+3k (-21)>0恒成立，且?

21?xx??122?4?3k?由OP?OA?OB知：四边形OAPB为平行四边形.

假设存在直线l，使得四边形OAPB为矩形，则OA?OB,即OA?0B?0 . 因为OA?(x1,y2),OB?(x2,y2)，所以x1x2?y1y2?0， 而y1y2?(kx1?3)?(kx2?3)?k2x1x2?3k(x1?x2)?9，

2故(1?k)(?214?3k2)?3k(?18k4?3k2)?9?0，即k2?518,得k??54.

所以，存在直线l：y??54x?3，使得四边形OAPB为矩形.

8. （1）设B?x,y?，x?0,y?0

y?2??1?x?4?x?1? ， ??y?1??2?x?1?32??B?4,1?

（2）设E?x1,y1?,F?x2,y2?

?x?y?3?0?2222由?x2 得1?ax?6ax?10a?0， ??2?2?y?1?a七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案免费下载

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?1?a2?0 ? ?a??0,1??1,10

??0??? ?x1?x2?6a22a?1?8，?a?2

（3）设线段AB上任意一点Q?x,x?3?,1?x?4

t?32 PQ??t?x?2??x?3??22(x?)?2?t?3?22 ?1?x?4

?当1?t?32?4时，即?1?t?5时，当x?t?32时，PQ??2min?t?32；

当当

t?32t?32?4时，即t?5时，当x?4时，PQ?1时，即t??1时，当x?1时，PQmint?8t?17； t?2t?5。

2min?t2?2t?5,?t?3??h?t???,2??t2?8t?17,?t??1?1?t?5t?5?b?00?1??b,?kPM?1b,

9. (1) 设动点N(x,y),P(0,b),则kPF直线PN的方程为

y?b?1b?x，

令y?0得x??b,即M(?b,0)。?P是MN

22?x?b2的中点，?N(b,2b)，故??y?2b2，消去b得N

的轨迹C的方程为y2?4x. (2) 直线

l的方程为y?kx?b，直线

得x1x2l与抛物线y2?4x的交点坐标分别为

y1y21622A(x1,y1),B(x2,y2),由OA?OB??4?y2?4x 又由??y?kx?b?y1y2??4,即?y1y2??4,则y1y2??8，

得ky2?4y?4b?0(k?0),则y1?y2?24k,y1y2?24bk??8,即b??2k

由|AB|?(1?21k2)(y1?y2)2?1?kk2(16k2?32),可得6?1?kk2(1k2?2)?30，解得k的取值

范围是[?1,?

12]?[12,1]

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10. (1)由已知得y?2x?1,即L?{(x,y)|y?2x?1},∴P1(0,1), a1?0,b1?1, ∴an?n?1,bn?2n?1.

(2)当n?2时,Pn(n?1,2n?1),|P1Pn|?∴cn?5n|P1Pn|?1n(n?1)?1n?1?125(n?1),

1n,

12131n?11n∴lim(c2?c3?…?cn)?lim[(1?n??n??)?(?)?…?(?)]?1.

(3)f(n)???n?1,(n?2k?1)?2n?1,(n?2k) （k?N?）,假设存在符合条件的k使命题成立,则

①当k为偶数时,k?11为奇数,则f(k?11)?k?10,f(k)?2k?1,由

f(k?11)?2f(k)得k?10?2(2k?1)?k?4?N?.

②当k为奇数时,k?11是偶数,则f(k?11)?2(k?11)?1,f(k)?k?1, 由f(k?11)?2f(k)得2(k?11)?1?2(k?1)?23?0,矛盾. 综合以上知,存在k?4?N?使得f(k?11)?2f(k).

xa2220.解:(1)因为双曲线M离心率为2,所以可设双曲线M的标准方程?y223a?1

由此可得渐近线的斜率k??3??BOx?60?,从而B(2,23),A(2,?23),又因为点

P分线段AB所成的比为3,所以P(2,3),将点P的坐标代入双曲线方程的a2?3,

所以双曲线M的方程为

x23?y29?1.

(2)设E(x1y1),F(x2,y2),线段EF的中点为N(x0,y0).

?y?kx?m?2222由?x2?(k?3)x?2kmx?m?9?0 y??1?39?则k2?3且m?9?3k ①

kmk222由韦达定理的x0???3,y0??3mk2?3,由题意知NQ?EF,

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所以kNQ?y0?3x0?0??3m?9?3k?km942??1k?3k2?4m?9. ②

由①、②得 m?4或?

?m?0.

11. .(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=k(x-1) (k≠0),代入y2?4x,,得 k2x2-(2k2+4)x+k2=0 设M(x ,y).则

2?x1?x2k?2x??,?2?2k ?y?y22?y?1?.?2k?∴点M的坐标为(

K?22,) 2kk2消去k可得M的轨迹方程为2?2x?2(x?0).

k23??22 (2)由 d=得

6k2k?4?52k?m?15,

?1k8k??1?3?m, 12即 0＜＜,得

1120＜?1?3?m?即 ?152,

192?m??4,

?m??2 或 ?192,?2)

故的取值范围为 (-

12. （Ⅰ）设F1?的坐标为(m,n)，则解得m??95,n?25nm?1??12且2?m?12?n2?3?0．

， 因此，点 F1?的坐标为(?92,)． 55（Ⅱ）?PF1??PF1，根据椭圆定义，

952得2a?|PF1?|?|PF2|?|F1?F2|?(??1)?(25?0)2?22，

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?a?2，b?2?1?1． x2∴所求椭圆方程为

2?y2?1．

（Ⅲ）?a2c?2，?椭圆的准线方程为x??2．

设点Q的坐标为(t,2t?3)(?2?t?2),d1表示点Q到F2的距离，d2表示点Q到椭圆的右准线的距离． 则d1?d1d2?(t?1)?(2t?3)22?25t?10t?10，d2?t?2．

25t?10t?10t?2t?2t?2(t?2)222?5?t?2t?2(t?2)2，

令f(t)?(?2?t?2)，则

f?(t)?(2t?2)?(t?2)?(t?2t?2)?2(t?2)(t?2)43,43422??(6t?8)(t?2)3，

43?当?2?t??f?(t)?0，?43?t?2,f?(t)?0， t??，f?(t)?0．

∴ f(t)在t??d1d2时取得最小值．

432241,)． 33因此，最小值＝5?f(?)?，此时点Q的坐标为(?注：f(t)的最小值还可以用判别式法、换元法等其它方法求得．

d141,)即为切点P，的最小值即为椭圆的离心率． 33d2说明：求得的点Q(?

13. （1）由

x225?y216?1得y?16(1?2x225)，则

x?y?x?16(1?222x225),x?[?5,5]

则16?x?y?25

所以x?y的最大值为25，最小值为16。

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2222七彩教育网 http://www.7caiedu.cn

（2）如图，由xA?5及椭圆方程得A（5，0）。同理C（0，4），设B(5cos?,4sin?)为椭圆上任一点，又AC方程为

x5?y4?1，即4x?5y?20?0。所以B到AC的距离为

d1?20cos??20sin??2041202sin(???41202?204112?4)?20?202?2041

同理得D到直线AC的距离d2?所以四边形ABCD最大面积S?

14. （1）∵

23,e,43

AC(d1?d2)max?202。

成等比数列 ∴e?223?43 e?232

设p(x,y)是椭圆上任意一点，依椭圆的定义得 x?(y?22)y?94222?223,化简得9x?y22?9

2即x?2y9?1为所求的椭圆方程.

12（2）假设l存在，因l与直线x??相交，不可能垂直x轴

因此可设l的方程为：y?kx?m由

?y?kx?m22消去y,得9x?(kx?m)?9整理得 ?22?9x?y?9(k2?9)x?2kmx?(m?9)?0 ①

22方程①有两个不等的实数根

∴??4km?4(k?9)(m?9)?0即m?k?9?0 ② 设两个交点M、N的坐标分别为(x1,y1)(x2,y2) ∴x1?x2?12?2kmk2222222?9

∵线段MN恰被直线x??平分 ∴?12?x1?x22k2即?2kmk?922??1

∵k?0 ∴m?k2?92k ③ 把③代入②得 (?92k)?(k2?9)?0

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∵k?9?0 ∴

2k?94k222?1?0 ∴k?3解得k?3或k??3

∴直线l的倾斜角范围为(

15. 由题意得：

??3,2)?(?2,2?3)

?y?kx?m?（II）由?x2得(3k2?1)x2?6mkx?3(m2?1)?0,

2?y?1??3由于直线与椭圆有两个不同的交点，???0，即m2?3k2?1 ①

（1）当k?0时，设弦MN的中点为P(xp,yp),xM、xN分别为点M、N的横坐标，则

xM?xN23mk3k?12xp???从而yp?kxp?m?m3k?11k2kAP?yp?1xp2??m?3k?13mk2

又AM?AN,?AP?MN,则?m?3k?13mk2??即2m?3k?1 ②.

2m?131222将②代入①得2m?m，解得0?m?2, 由②得k??0,解得m? ,

故所求的m取值范围是(,2)

21（2）当k?0时，AM?AN,?AP?MN,m?3k?1,解得?1?m?1

22

16. 依题意，直线l显然不平行于坐标轴，故y?k(x?1)可化为x?1ky?1.

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将x?(1k21ky?1代入x?3y222?a,消去x，得

2?3)y?2k1y?1?a2?0. ①

由直线l与椭圆相交于两个不同的点，得

??4k22?4(k22?3)(1?a)?0,2整理得(1k2?3)a2?3，

即a?3k1?3k2.

2k2 （II）解：设A(x1,y1),B(x2,y2).由①，得y1?y2?1?3k?2k因为AC?2CB,. 得y1??2y2，代入上式，得y2?21?3k13于是，△OAB的面积 S?|OC|?|y1?y2|?|y2|

22

?3|k|1?3k2?3|k|23|k|?32.

其中，上式取等号的条件是3k2?1,即k??33.

由y2??2k1?3k332,可得y2??33.

将k?,y2??33及k??33,y2?332这两组值分别代入①，均可解出a2?5.

2所以，△OAB的面积取得最大值的椭圆方程是x?3y?5. 17. (1) ∵l是线段AA?的中垂线，∴PA?PA?,

∴||PA|－|PO?||=||PA?|－|PO?||=|O?A?|=22.即点P在以O?、A为焦点，以4为焦距，以22为实轴长的双曲线上，故轨迹C的方程为

x22?y22?1.

????????????? (2)设M(x1,y1),N(x2,y2),则直线m的方程为y?k(x?2),则由ON??OM,得

?y?k(x?2).由?2,得(1?k2)y2?4ky?2k2?0.∴2?x?y?2 x2??(x1?2)?2,y2??y14k1?k2y1?y2?,

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2k22 y1y2?,

4k1?k21?k??16k?8k(1?k)?8k(1?k)?02k2222222.由

y2??y1,y1?y2?,y1y2?2,

11?k2 消去y1,y2,得单调递增. ∴

81?k281?k?(1??)??????2.∵??6,函数g(?)???1??2在[6,??)上

?6?16?2?496,

149?k?1，所以 ?1?k??1717217或?k?1.

71 故斜率k的取值范围为(?1,?]?[,1).

18. (1) ∵l是线段MM?的中垂线，∴PM?PM?,

∴|PM|+|PO?|=|PM?|+|PO?|=|O?M?|=2m?m?0?.即点P在以O?、M为焦点，以

263以2m为长轴长的椭圆上，故轨迹C的方程为m为焦距，

ym22?xm22即3x?y?1，

22m?2.

3（2）由 y?k(x?1)(k?0)得x?将x?1k2221ky?1.

3k2y?1代入3x?y?m消去x，得 (?1)y?26ky?3?a?0. ①

2由直线l与椭圆相交于两个不同的点，得

??36k2?4(3k2?1)(3?m)?0,2整理得(3k2?1)m?3，即m?6k3?k2223k223?k.

设A(x1,y1),B(x2,y2).由①，得y1?y2?.

????????∵AD?2DB,而点D(?1,0), ∴(?1?x1,?y1)?2(x2?1,y2)，所以y1??2y2，

代入上式，得y2??6k3?k2.

1232于是，△OAB的面积 S?|OD|?|y1?y2|?|y2|?9|k|3?k2?9|k|23|k|?332.

2其中，上式取等号的条件是k?3,即k??3.

由y2?将k??6k3?k2.可得y2??3.

3,y2??3及k??3,y2?3这两组值分别代入①，均可解出a?15.

222∴△OAB的面积取得最大值的椭圆方程是3x?y?15.

19. （1）已知双曲线实半轴a1=4，虚半轴b1=25，半焦距c1=16?20?6，

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∴椭圆的长半轴a2=c1=6，椭圆的半焦距c2=a1=4，椭圆的短半轴b2=62?42?∴所求的椭圆方程为

x220，

3620（2）由已知A(?6,0),F(4,0)，设点P的坐标为(x,y)，则

?y2?1

AP?(x?6,y),FP?(x?4,y),由已知得

22?xy??1? 3620??(x?6)(x?4)?y2?0?3则2x2?9x?18?0，解之得x?或x??6，

2由于y>0，所以只能取x?（3）直线AP:x?于是

m?6232，于是y?52?353，所以点P的坐标为?,?22?3?9分 ?m?623y?6?0，设点M是(m,0)，则点M到直线AP的距离是，

?m?6，

又∵点M在椭圆的长轴上，即 ?6?m?6?m?2 ∴当m?2时，椭圆上的点到M(2,0)的距离 d?(x?2)?y?x?4x?4?20?22225x92?49(x?92)?15

2又?6?x?6 ∴当x?92时，d取最小值15

20. (1) 由（x－12）2+y2=144－a(a<144),可知圆心M的坐标为(12，0)， 依题意，∠ABM=∠BAM=π1

，kAB= , 设MA、MB的斜率k. 43

????????????1????2则AB?(1,),MA?(1,k)且cosAB,MA?,

321

解得kAC=2，kBD=－ ．

2

∴所求BD方程为x+2y－12=0，AC方程为2x－y－24=0．

1

(2) 设MB、MA的倾斜角分别为θ1，θ2，则tanθ1＝2，tanθ2＝－ ，

2设圆半径为r，则A（12＋55r,255r），B（12－255r，55r），

再设抛物线方程为y2＝2px (p＞0)，由于A，B两点在抛物线上，

?（http://www.7caiedu.cn/）=2p(12－http://www.7caiedu.cn/)∴? ∴ r=45 ，p=2． 2

?（http://www.7caiedu.cn/）=2p（12＋http://www.7caiedu.cn/）

2

得抛物线方程为y＝4x 。

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