【恒心】【好卷速递】四川省眉山市2012届高三4月第二次诊断性考试(数学文)word版

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眉山市高中2012届第二次诊断性考试

数学试题卷 （文科） 2012．04

数学试题卷（文科）共4页，满分150分，考试时间120分钟． 注意事项：

1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．

2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．

3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 5．考试结束后，将答题卡交回． 参考公式：

如果事件A、B互斥，那么P(A B) P(A) P(B) 如果事件A、B相互独立，那么P(A B) P(A) P(B)

如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率为Pn(k) Cnp(1 p)

k

k

n k

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合M=｛0,1,2｝,N=｛x︱x=2a,a∈M｝则集合M∩N等于( )

A．｛0｝ B．｛0,1｝ C．｛1,2｝ D．｛0,2｝ 2．下列四个条件中,使a>b成立的充分不必要条件是

A． a>b+1 B． a>b-1 C． a2>b2 D．a3>b3 3．计算(log318 log

2) (

8125

1

3

)3 （ ）

A． 4 B．

45

C．5 D．

频率

54

4．某市高三调研考试中，对数学在90分以上(含90分) 的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示， 若130～140分数段的人数为90，那么90～100 分数段的人数为（ ）

A．630 B．720 C．810 D．900

5．如图，e1,e2为互相垂直的单位向量，则向量a b可表示为（ ） A．3e2 e1 B．-2e1 4e2

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C．e1 3e2 D．3e1 e2

6．已知圆C:(x-a)2+(y-2)2=4(a>0),及直线l:x-y+3=0. 当直线l被C截得的弦长为23时,则a=( ) A．2 B．2 7．若把函数y 2cos(x

3

2 C．2 1 D．2 1

)的图象向右平移m(m>0)个单位长度，使点(

3

,0)为其对称中

心，则m的最小值是（ ）

A． B． C． D．

2

6

3

8．已知直线l，m，平面 , ，则下列命题中假命题是（ ） ．．．

A．若 ∥ ,l ,则l∥ B．若 ∥ ,l ,则l

C．若l ∥ ,m ,则l∥m D.若 , l,m ,m l,则m 9．某运输公司有7辆载重6t的A型卡车，4辆载重10t的B型卡车，有9名驾驶员。在建造某段高速公路中，公司承包了每天至少运输沥青360t的任务。已知每辆卡车每天往返的次数为A型8次，B型6次，每辆卡车每天往返的运输成本为A型160元，B型252元。每天合理安排派出的A型、B型车的车辆数，使公司成本最低，最低成本为（ ）元 A．1372 B．1220.8 C．1464 D．1304

11

10．等比数列{an}的公比q＞1，第17项的平方等于第24项，则使a1＋a2＋…＋an＞a1a2

1

＋n的最小值为（ ） an

A．18 B. 19 C. 20 D.21

11．一条长椅上有9个座位，3个人坐，若相邻2人之间至少有2个空座位，共有（ ）种

不同的坐法

A．60 B．24 C．120 D．36 12． 设f(x)是定义在R上的函数，对x∈R都有f(-x)=f(x)，f(x) f(x 2) 10，且当x ∈[－

2,0] 时，f(x) () 1，若在区间(－2,6]内关于x的方程f(x) loga(x 2) 0

21

x

（a>1）恰有3个不同的实数根，则a的取值范围是( )

33

A．(1,2) B．(2，＋∞) C．(1，4) D．(4，2)

二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．

13．(1 2x)(2 x)的展开式中x的项的系数是14．过抛物线x

14

y的焦点且倾斜角为45°的直线方程为2

53

15．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为3，顶点都在一个球面上，则该球的表面

积为 .

16．对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点，且有如下零点存在定

理：如果函数y=f(x)在区间 a,b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有

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f(a) f(b) 0,那么，函数y=f(X)在区间（a,b）内有零点。给出下列命题：

①若函数y=f(x)有反函数，则f(x)有且仅有一个零点； ②函数f(x) = 2x3 -3x +1有3个零点; ③函数y

x

2

6

和y log2x的图象的交点有且只有一个；

④设函数f(x)对x∈R都满足f(3+x)=f(3-x),且函数f(x)恰有6个不同的零点，则这6个零点的和为18；

其中所有正确命题的序号为 .（把所有正确命题的序号都填上）

三．解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明证明过程或推演

步骤．

17．（本小题满分12分）已知书架中甲层有英语书2本和数学书3本，乙层有英语书1本和

数学书4本.现从甲、乙两层中各取两本书. （1）求取出的4本书都是数学书的概率.

（2）求取出的4 本书中恰好有1本是英语书的概率. 18．（本小题满分12分）（1）已知 ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，

AB AC 3,a 25，b c 6，求cosA.

8

（2）设f(x) 2cos

2

x sin(

4

x

6

) 1，当x [

23

,0]时，求y f(x)的最大值.

19．（本小题满分12分）如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面

互相垂直，BE//CF， BCF CEF ，

2

AD

3,

EF 2。

D

C

B

3

（1）证明：AE//平面DCF；

（2）当AB的长为何值时，二面角A-EF-C为20．（本小题满分12分）

数列 an 的前n项和为Sn，且a1 1，an 1 2Sn n 1(n 1). （1）求数列 an 的通项公式；

（2）设等差数列 bn 各项均为正数，满足b1 b2 b3 18，且a1 b1 2，a2 b2，

a3 b3 3成等比数列，证明：

1a2b2

1a3b3

1anbn

16

；

E

F

.

21．（本小题满分12分）

已知平面上一定点C( 1,0)和一定直线l:x 4.Ｐ为该平面上一动点，作PQ l,垂足为Q，

(PQ 2PC) (PQ 2PC) 0. (1) 问点Ｐ在什么曲线上？并求出该曲线方程；

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（2）点Ｏ是坐标原点，A、B两点在点Ｐ的轨迹上，若OA OB (1 )OC，求 的取值

范围．

22．（本小题满分14分）

已知f(x) ax bx

3

2

cx d是定义在R上的函数，它在 1,0 和 4,5 上有相同

的单调性，在 0,2 和 4,5 上有相反的单调性. （Ⅰ）求c的值；

（Ⅱ）在函数f(x)的图象上是否存在点M(x0,y0)，使得f(x)在点M的切线斜率为

3b？若存在，求出M点的坐标，若不存在，则说明理由；

（Ⅲ）设f(x)的图象交x轴于A、B、C三点，且B的坐标为(2,0),求线段AC的长度

AC的取值范围.

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数学 参考答案（文科）

一．选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．D． 2．A． 3．B． 4．C． 5．C． 6．D． 7．B． 8．C． 9．D．参考教材第二册（上）复习参考题七16题。 10．C．由题意得：(a1q16)2＝a1q23，∴a1q9＝1.

111

由等比数列的性质知：数列{}是以以为公比的等比数列，要使不等式成立，

ana1q

11－()n]n

qa1(q－1)a112

则须＞，把a1＝q 18代入上式并整理，得q 18(qn－1)＞q(1－)，

1qq－1

1qqn＞q19，∵q＞1，∴n＞19，故所求正整数n的取值范围是n≥20. 11．A．A3 (C4 C4) 60

12 D．由f(-x)=f(x)，知f(x)为偶函数， 由f(x) f(x 2) 10得

10f(x)

10f(x 2)

3

2

1

f(x 2) , f(x 4) f(x)，知f(x)是周期为4的周期函数，

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于是可得f(x)在(－2,6]上的草图如图中实线所示，

而函数g(x)＝loga(x＋2)(a＞1)的图象如图中虚线所示， 结合图象可知，要使得方程f(x)－loga(x＋2)＝0(a＞1)在区间(－2,6]内恰有3个不同的实

g(2)<3， loga4<3， 数根，必需且只需所以 解得4＜a＜2，选D. g(6)>3. loga8>3.

二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）

13.-120 ； 14.x y-1 0 ；15. 21 .

16. 易知①错，②对，对于④，由对称性知也对，对于③，在同一坐标系中，分别作出两函数的图象，在直线x=1左侧的那个交点十分容易发现，在其右侧有无交点呢？ 通过图象很难断定，下面我们利用存在零点的条件f(a) f(b)<0

x

2

来解决这个问题，两函数图象的交点的横坐标就是函数f(x)

16

13

23

6

log2x的零点，

其中f(1) 0，f(2) 0，f(4) 0，所以在直线x=1右侧，函数有两个零

点．一个在（1，2）内，一个在（2，4）内，故函数f(x)

x

2

6

log2x共有3个零点，即

函数y

x

2

6

和y log2x的图象有3个交点.

三．解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明证明过程或推演步骤．）

17.解（1）设“从甲层取出的2本书均为数学书”的事件为A，“从乙层取出的2本书均为数学书” 的事件为B，由于A、B相互独立，记“取出的4本书都是数学书的概率”P1 P1 = P(AB) = P(A)P(B)

C3C5

22

C4C5

22

950

6分

(2)设“从甲层取出的2本书均为数学书，从乙层取出的2本书中，1本是英语，1本是数学” 的事件为C, “从甲层取出的2本书中，1本是英语，1本是数学，从乙层取出的2本书中均为数学” 的事件为D, 由于C, D互斥，记“取出的4本书中恰好有1本是英语书的概率”为P2

P2 = P(C+D) = P(C)+P(D) =

C3C5

22

C4C5

12

C2C3C5

2

11

C4C5

22

1225

12分

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18解（1） AB AC 3, bccosA 3 1分

又a2 b2 c2 2bccosA (b c)2 2bc 2bccosA 即(25) 6 2bc 2 3, cosA

35

2

2

bc 5， 5分

6分

2

（2）f(x) 2cos

4

8

x sin(

4

x

6

) 1

sinxcos

6

cos32cos

4

xsinx

6

cos

4

x

23

32

sin

4

x

4

3sin(

4

x

3

8分

)

x 0,

2

4

x 32

3

3

10分

y f(x)的最大值是 12分

D

C

F

H

E

19.解法一：（1）证明过点E作EG CF交CF于G， 连结DG， 四边形BCGE是矩形， 又四边形ABCD是矩形，

AD//EG,

AD EG

四边形AEGD是平行四边形， AE//DG，又AE 平面DCF，

AE//平面DCF。 5分

证法2： AB//DC,BE//CF,

平面ABE//平面DCF, AE//平面DCF。 5分

（2） 平面ABCD 平面BEFC，AB BC， AB 平面BEFC

过点B作BH FE交FE的延长线于H，连结AH，AH FE。

故 AHB是二面角A-EF-C的平面角。 7分

在Rt EGF中，EG AD 3,EF 2, CFE ,GF 1

3

又 CEF

2

, CF 4,故BE GC 3， 9分

332

92

BH BEsin BEH

332

,AB BHtan AHB 3

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当AB的长为

9时，二面角A-EF-C为

。 12分

2

3

解法二：如图建立空间坐标系C-xyz， 设AB a,BE b,CF c.

C(0,0,0),A(3,0,a),B(3,0,0) E(3,b,0),F(0,c,0) 2分

（1）AE (0,b, a),CB (3,0,0)， BE (0,b,0) CB AE 0,

CB BE 0.

CB AE，CB BE，所以CB 平面ABE，CB 平面DCF 所以，平面ABE//平面DCF，故AE//平面DCF。 （2） EF ( 3,c b,0),CE (3,b,0)， 又EF CE 0,|EF| 2

3 b(c b) 0

，解得b=3，c=4，E(3,3,0),F(0,4,0) 3 (c b)2

4

设平面AEF的法向量是n=(1, y, z)，由n AE 0, n EF 0

解得n (1,3,33)a

因为BA 平面BEFC，BA (0,0,a)

|cos

| 3

339 4a2

1 27

2

,a

2

20解（1） 由

a

n 1 2Sn n 1,

an 2Sn 1 n(n 2),

得a1

n 1 3an 1(n 2)， an 2 3

a1 1

n 2 ， 又a11

2

2

4

2 3

a1

1 2 也满足上式， 4分

5分 7分 9分

12分

3分

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1

数列 an

2

是首项为

3

n

32

，公比为3的等比数列.

an

12

32

3

n 1

2

， an

12

(3 1)(n N)

n

. 6分

（2）证明 由b1 b2 b3 18，可得b2 6， 设 bn 的公差为d且d 0，

依题意可得9 d，10，16 d成等比数例，

（9 d)(16 d) 100

，解得d 4或d 11（舍去），

8分

1

(2n 1)(3 1)

n

bn 4n 2(n N). 当n 2时，

1anbn

1

(2n 1)(2n 1)

1 11

2 2n 12n 1 1a2b2

1a3b3

.

1

1 111111

2 35572n 12n 1

anbn

1 11 111

2 32n 1 236

.

原不等式成立. 12分

2

2

21.解:(1)由(PQ 2PC) (PQ 2PC) 0 得: PQ 4PC

2

2

2

0 1分

设P(x,y),则(x 4) 4 1, 3分 (x 1) y 0,化简得: 43

x

2

y

2

点P在椭圆上,其方程为

x

2

4

y

2

3

1 5分

(2)设A(x1,y1)、B(x2,y2)，由OA OB (1 )OC得：CA CB 0，所以，

A

、B 、C三点共线.且 0,得:(x1 1,y1) (x2 1,y2) 0,即:

x1

2

x1 1 x2

y1 y2

因为

4

y13

2

1,所以

( 1 x2)

4

( y2)

3

2

1 ① 8分

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又因为

x24

2

y23

2

1,所以

( x2)4

2

( y2)3

2

2

②

3 5 2

由①-②得:

2 ( 1)x2 ( 1)

4

2

1

2

,化简得: x2

, 10分

因为 2 x2 2,所以 2 解得:

13

3所以

3 5 2

2. 1

的取值范围为 ,3 . 12分

3

22. 解：（Ⅰ）由题意可知f(x)在[-1，0]和[0，2]上有相反的单调性，所以x 0是

f(x)

的一个极值点.

故f'(0) 0，即x 0是3ax2 2bx c 0的一个解，所以c 0. 3分 （Ⅱ）因为f(x)在 0,2 和 4,5 上有相反的单调性，所以f'(x) 0在 2,4 上必有一根.又a 0，易知方程f'(x) 3ax2 2bx 0一根为x 0，另一根为

x

2b3a

，所以

2

2b3a

4

，∴

6

ba

3

6分

假设存在点M(x0,y0)，使得f(x)在点M的切线斜率为3b，则f'(x0) 3b，即

3ax0 2bx 3b 0

2

2

有解.而 4b2 36ab=4ab( 9)，因为 6

a

bba

3，所以

与3ax0 2bx 3b 0有解矛盾。故不存在点M(x0,y0)，使得f(x)在点M 0，

的切线斜率为3b. 9分 （Ⅲ）依题意有f(2) 0，又c 0，所以d 8a 4b， 所以f(x) ax3 bx2 8a 4b=a(x3 8) b(x2 4)

=a(x 2)(x2 2x 4) b(x 2)(x 2)=(x 2)[ax2 (2a b)x 4a 2b] 0，

A、C两点的横坐标xA,xC就是方程ax

2a ba

2

2

(2a b)x 4a 2b 0的两根，所以

b

b

b

AC xA xC=(

) 4(

4a 2b

a

)

=()2 4() 12=( 2)2 16，

a

a

a

因为 6

ba

3，所以当

ba

3时，AC

min

3；当

ba

6时，AC

max

=43.

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所以AC的取值范围是[3,43]. 14分

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