概率论与数理统计习题及答案----第6章习题详解

习题六

1.设总体X~N（60，152），从总体X中抽取一个容量为100的样本，求样本均值与总体均值

之差的绝对值大于3的概率. 【解】μ=60,σ2=152,n

=100

Z

~N(0,1)

X 60

~N(0,1)

15/10

即 Z

P(|X 60| 3) P(|Z| 30/15) 1 P(|Z| 2)

2[1 (2)] 2(1 0.9772) 0.0456.

2.从正态总体N（4.2，52）中抽取容量为n的样本，若要求其样本均值位于区间（2.2,6.2）内的概率不小于0.95，则样本容量n至少取多大？ 【解】

Z

~N(0,1) Z

P(2.2 X 6.2) P

2 1 0.95,

则

，故

即n>24.01，所以n至少应取25

3.设某厂生产的灯泡的使用寿命X~N（1000，σ2）（单位：小时），随机抽取一容量为9的样

本，并测得样本均值及样本方差.但是由于工作上的失误，事后失去了此试验的结果，

只记得样本方差为S2=1002，试求P（X＞1062）. 【解】μ=1000,n=9，S2=1002

t

X 1000

~t(8)

100/3P(X 1062) P(t

1062 1000

P(t 1.86) 0.05

100/3

4.从一正态总体中抽取容量为10的样本，假定有2%的样本均值与总体均值之差的绝对值在4以上，求总体的标准差.

Bocker

- 1 -

【解】Z

~N(0,1)，由P(|X-μ|>4)=0.02得

P|Z|>4(σ/n)=0.02,

故2 1 0.99. 0.02,

即

查表得

2.33,

所以

5.43. 5.设总体X~N（μ，16），X1，X2，…，X10是来自总体X的一个容量为10的简单随机样本，

S2为其样本方差，且P（S2＞a）=0.1，求a之值.

9S29a

【解】 ~ 2(9),P(S2 a) P 2 0.1.

1616

2

9a

14.684, 16

14.684 16

26.105. 所以 a

9

查表得

6.设总体X服从标准正态分布，X1，X2，…，Xn是来自总体X的一个简单随机样本，试问统计量

5

n2( 1) Xi5i 1

Y=

X

i 6

n

，n＞5

2i

服从何种分布？ 【解】 i

22

X

i 1

5

2

i

~ (5), 2 Xi2~X2(n 5)

2

2

i 1

n

且 1与 2相互独立. 所以

2

X12/5Y 2~F(5,n 5)

X2/n 5

7.求总体X~N（20，3）的容量分别为10，15的两个独立随机样本平均值差的绝对值大于

0.3的概率. 【解】令X的容量为10的样本均值，Y为容量为15的样本均值,则X~N(20,310),

Bocker

- 2 -

Y~N(20,

3

)，且X与Y相互独立. 15

则X Y~N 0,

33

N(0,0.5),

1015

那么Z 所以

~N(0,1),

P(|X Y| 0.3) P |Z| 2[1 (0.424)]

2(1 0.6628) 0.6744.

X1 X2 X10

8.设总体X~N（0，σ2）,X1,…,X10,…,X15为总体的一个样本.则Y= 2X11 X12 X15

222

服从 分布,参数为 . 【解】

Xi

~N(0,1),i=1,2,…,15.

10

2

2

15

Xi Xi 2222

那么 1 ~ (10), 2 ~ (5)

i 1 i 11

且 1与 2相互独立, 所以

2

X12 X10X12/10Y 2~F(10,5) 22

2(X11 X15)X2/5

22

所以Y~F分布，参数为（10,5）.

9.设总体X~N（μ1,σ2）,总体Y~N(μ2,σ2),X1,X2,…,Xn1和Y1，Y2，…，Xn2分别来自总体X和

Y的简单随机样本，则

n2

n1

22 (X X) (Y Y) j i

i 1j 1 E n1 n2 2

1n11n222

【解】令 S (Yi Y), (Xi X),S2 n 1 n1 1i 1j 12

2

1

则

(X

i 1

n1

22

X) (n 1)S,(y y) (n 1)S i1j22,

2

2

1

j 1

n2

Bocker

- 3 -

又 那么

21

(n1 1)S12

2

~ (n1 1),

2

22

2

(n2 1)S2

2

~ 2(n2 1),

n2

n1

22 (X X) (Y Y) j i

1j 12 E i 1E( 2 12 2 2)

n1 n2 2n1 n2 2

2

n1 n2 2

2

[E( 12) E( 2)]

2

2

n1 n2 2

[(n1 1) (n2 1)] 2

12n

10.设总体X~N（μ,σ），X1，X2，…，X2n（n≥2）是总体X的一个样本，X Xi，令 2ni 1

Y=

(X

i 1

n

i

Xn i 2)2，求EY.

【解】令Zi=Xi+Xn+i, i=1,2,…,n.则

Zi~N(2μ,2σ2)(1≤i≤n),且Z1,Z2,…,Zn相互独立.

n

Zi22

令 Z , S (Zi Z)/n 1,

i 1ni 1

n

Xi1n1

则 X Z Z, i

2n2n2i 1i 1

故 Z 2X 那么

2n

Y (Xi Xn i 2X) (Zi Z)2 (n 1)S2,

2

i 1

i 1

nn

所以

E(Y) (n 1)ES2 2(n 1) 2.

11. 设总体X的概率密度为f(x)=e本，其样本方差为S2，求E(S2).

解： 由题意，得

12

x

(-∞<x<+∞),X1，X2，…，Xn为总体X的简单随机样

Bocker

- 4 -

1x

e, x 0, 2

f(x)

1e x,x 0, 2

E(S2) D(X) E(X2) E2(X) 1 x

于是 E(X) xf(x)dx xedx 0

所以

2 E(X2) x2f(x)dx 12

x2e x

dx 0x2e x dx 2,

E(S2) 2.

Bocker

- 5 -

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