矢量代数

矢量代数

一、矢量及其运算

? 同时给出大小和注明方向才能完全确定的的，在相加时服从平行四边形法则的物理量称

为矢量或向量。

? 矢量的几何表示方法：画一条带有箭头的直线段，以一定的比例令其长度代表矢量的大

小，并令直线段的方位及箭头的指向代表矢量的方向。矢量的大小（即直线段的长度）是正的标量（绝对值）。

? 若一矢量v的大小为0，则称该矢量为零矢量。

? 两个矢量相等，表示它们的大小相等，共线或相互平行，指向相同。 ? F1=-F2表示F1和F2大小相等，共线或相互平行，指向相反。

二、矢量相加（或称矢量的合成）和相减

? 以两个矢量为边作一个平行四边形，则从两矢量始端的交点O引出的该平行四边形的

对角线OQ就代表矢量和C

? C的大小√A^2+B^2+2ABcosφ tanγ=Bsinφ/A+Bcosφ ? 多边形法则：求多个矢量的和时，可以从第一个矢量出发，首尾相接地写出以后的矢量，

最后从第一个矢量的始端到最后一个矢量的终端画出一个矢量，即为矢量和。 ? 矢量也可以相减，所得差称为矢量差，可以看做是一个矢量与另一个矢量的负矢量的和。 即：任选一点，将两个矢量平移到同一点，从减矢量末端到被减矢量末端画一个矢量，即为矢量差。

? 矢量加法的性质：交换律（矢量和与矢量相加次序无关）、结合律。

三、矢量在给定轴上的分矢量和分量（投影）

? 一矢量在任一上的投影，等于该矢量的大小乘以该矢量与轴正方向之间夹角的余弦。 矢量在任一轴上的投影，叫做矢量在该轴上的分量。

四、矢量与标量的乘积 单位矢量

? F=qE

若标量q>0，则矢量F与E共线或相互平行，两者的方向相同，其大小等于矢量E大小的q倍；若q<0，则矢量F与E共线或相互平行，两者的方向相反，其大小等于矢量E大小的q的绝对值倍。

? 两个矢量共线（或相互平行）的充要条件是：其中任一矢量可表示为另一矢量与某一标

量的乘积。 ? 与某个矢量同方向，并且大小为1的矢量，叫做该矢量的单位矢量。er=r/r.

五、矢量的正交分解

? 把一个矢量分解为几个矢量，分解出来的矢量称为原来矢量的分矢量。 ? 将矢量沿平面或三维空间的正交轴分解，即为正交分解法。

六、矢量的分量表示式——正交分解式

?

v=vxi+vyj

?

vx=vcosα

vy=vcosβvz=vcosγ

? ? ? ?

v=vxi+vyj+vzk

v=vcosαi+vcosβj+vcosγk v的大小√vx^2+vy^2+vz^2

v的方向：cosα=vx/v cosβ=vy/v cosγ=vz/v

七、矢量合成的解析法 八、矢量的标积和矢积

? 矢量与矢量的标积是一个标量，其数值等于两矢量的大小与两者之间夹角的余弦之积。 ? 标积的性质和运算规律：

两矢量平行，标积为正负二者大小之积；两矢量垂直，标积为0；一个矢量与本身的标积为其大小的平方；交换律；分配率。 ? 矢量与矢量的矢积是矢量，其大小为两矢量的大小乘积与二者夹角的正弦；其方向垂直

于二者组成的平面，指向用右手螺旋法则确定。 ? 矢量的性质和运算规则：

两矢量平行或其中有一个为0，其矢积为零矢量；两矢量垂直，其矢积的大小为二者大小的积；同一矢量与本身的矢积为0矢量；不适合交换律；分配率。

九、矢量微积分

矢量函数

? 恒矢量：大小和方向都不改变。

? 变矢量：大小和方向至少有一个改变。

? 变矢量往往是某个标量的函数，我们成为矢量函数。

矢量的增量

? 增量=末状态量-始状态量 矢量函数的微分

? 矢量导数：求一个矢量对自己变量的导数，就可以求其三个分量对自变量的标量导数，

再乘对应的单位矢量。

矢量函数的积分

? 求矢量的定积分就可以求其分量的定积分，再乘对应的单位矢量。

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