06-07高等代数(1)试卷A

暨 南 大 学 考 试 试 卷

2006- 2007 学年度 第___二______学期 课程类别 必修[ √ ] 选修[ ] 教 课程名称：_ 高等代数I________________ 考试方式 师 填 开卷[ ] 闭卷[ √ ] 授课教师姓名：__柏元淮、高凌云__________ 写 考试时间:___2007_年_7__月___11_____日 试卷类别(A、B) [ A] 共 6 页 考 生 填 写 学院(校) 专业 班(级) 姓名 学号 内招[ ] 外招[ ] 题 号 得 分 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总 分 得分 评阅人 一、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。共7小题，每小题3分，共21分）

1．在P[x]里能整除任意多项式的多项式是（ ）。

A．零多项式 B．零次多项式 C．本原多项式 D．不可约多项式

?x1????x2?2．设A是数域P上的s?n矩阵且秩(A)?r，X???. 若方程组AX?0有非零

???x???n?解，则它的基础解系所含解的个数为（ ）个.

A．n； B． r； C． n?r； D．0 .

4103．行列式3?2a中，元素a的代数余子式是（ ）

65?7A．

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40414041 B． C．? D．? 6?7656?765暨南大学《高等代数I》试卷 考生姓名： 学号：

4. 设g(x)?x?1是f(x)?x6?k2x4?4kx2?x?4的一个因式，则k=（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

5、 设A是数域P上的n级矩阵，|A|?1,0,A*是A的伴随矩阵，则A*A?AA*? （ ）.

A． 单位矩阵E ； B． |A|E ； C． |A?1|E ； D．

E. |A|2?0?En?1?6、设分块矩阵A???，n?2, 则|A|?（ ）

?10??A． 1 ； B．?1 ； C． (?1)n?1 ； D．(?1)n． 7、设实二次型f?x1,x2,x3,x4??2x1x2?2x3x4，则f?x1,x2,x3,x4?的秩r和负惯性指数q分别为（ ）

A．r?4,q?2； B．r?3,q?2； C．r?4,q?1；D．r?2,q?3．

得分 1．当k?（ ），??（ ）时，5阶行列式D的项a12a2ka31a4?a53取“负”号.

评阅人 二、填空题（将正确的内容填在各题干预备的横线上，

内容填错或未填者，该空无分。共6小题，每小题3分，共18分）

2、多项式f(x)?x4?x2?2在实数域R上的标准分解为 。 3、若一个非齐次线性方程组无解且它的系数矩阵的秩为3，那么该方程组的增

广矩阵的秩等于 。

4、含有n个未知量n个方程的齐次线性方程组AX?0有非零解的充分且必要条 件是 。

?100???5、若实对称矩阵A与矩阵B??002?合同，则二次型X?AX的规范形

?020???为 。

6、如果f(x),g(x)不全为零，且u(x)f(x)?v(x)g(x)?(f(x),g(x))，那么

(u(x),v(x))= 。

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得分 评阅人 三、计算题（共3小题，每小题10分，共30分）

34?3??1?5????1、 解矩阵方程??1?2?3?X???4?2?

?1?2?2???3?2?????

x1?mx2?xnxn?x1?x1x2?m??x22、计算行列式 Dn?

?xn?m

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3、 a,b取什么值时,线性方程组

?x1?x2?x3?x4?x5?1?3x?2x?x?x?3x?b 4 ?1235 ?x?2x?2x?6x?3345?2??5x1?4x2?3x3?3x4?x5?a

有解？在有解的情形，求全部解（用相应的齐次线性方程组的基础解系表示线性方程组的全部解）。

得分 评阅人 四、证明题（共4小题，共31分）

1、设?1,?2,?,?t，??Pn。若?1,?2,?,?t线性无关而?1,?2,?,?t，?线性相关，则?可由向量组?1,?2,?,?t线性表示，且表示法唯一。（8分）

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2、设f(x)?x4?4kx?1,k为整数，试用Eisenstein判别法证明f(x)在有理数域上不可约。（8分）

3、设A,B是n?n矩阵，证明：

（1）. 如果AB?0，那么秩(A)+秩(B)?n

（2）. 如果A?A，则秩(A)+秩(E–A)=n，其中E为n阶单位矩阵。（8分）

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4、证明正定矩阵的行列式大于零；举例说明反之不成立，即实对称矩阵A的行列式大于零，但A不是正定矩阵。（7分）

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