2014.7概率题解(1) - 图文

2014.7暑假概率综合

第一章 随机事件和概率

重点题型归纳

题型1 事件的关系和运算

【例1】设X(i),i?1,2,3,4为4个随机变量，且满足P(X(1)?X(2)?X(3)?X(4))?1，

A表示至少两个随机变量不小于某固定常数a，则事件A可表示为（ ）

（A）{X(1)?a} （C）{X(3)?a}

（B）{X(2)?a} （D）{X(4)?a}

【例2】设A和B是任意两个概率不为0的事件，则(A?B)?(A?B)表示（ ）

（A）必然事件

（C）A，B不能同时发生

（B）不可能事件

（D）A，B恰有一个发生

注意：(A?B)?(A?B)?AB?AB，不要错选C，应选D

【练习1】A和B是两个概率不为0的互不相容事件，则下列肯定正确的是：

（A）A与B不相容 （C）P(AB)?P(A)P(B)

（B）A与B相容。 （D）P（A-B）=P（A） 注：

题型2 概率的性质

【例1】设随机事件A,B,C两两互不相容，且P(A)?0.2,P(B)?0.3,P(C)?0.4，求P?(AB)?C?.

分析：通过概率的性质和事件的关系来判断. 解

P?(AB)?C??P(ACBC)?P(AC)?P(BC)?P(ABC)?P(A?AC)?P(B?BC)?0?P(A)?P(AC)?P(B)?P(BC) ?0.51

2014.7暑假概率综合

11【例2】设事件A,B,C满足条件：P(AB)?P(AC)?P(BC)?，P(ABC)?，

816则A,B,C至多有一个发生的概率为（ ） 解 记D?｛A,B,C至多有一个发生｝，则

P(D)?1?P(D)?1?P(AB?AC?BC)?1?[P(AB)?P(AC)?P(BC)?2P(ABC)]?34【例3】（2014，1）设随机事件A、B相互独立，且P(B)?0.5,P(A?B)?0.3，则

P(B?A)?（ 0.2 ）

【练习1】已知随机事件A的概率P(A)?0.5,随机事件B的概率

P(B)?0.6及条件概率P(B|A)?0.8,则和事件AB的概率P(A?B)?

【练习2】甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为____________.

解 A?｛甲中｝，B?{乙中}，C?｛命中目标｝，则A,B独立，且C?A?B，所求概率为 P(A|C)?P(AC)P(A)P(A)???P(C)P(A?B)P(A)?P(B)?P(A)P(B)3? 4【练习3】设P(A)?0.3,P(B)?0.4,P(AB)?0.2，求下列概率：（1）P(AB)；（2）

P(AB)；（3）P(AB)。

分析：熟练掌握事件的性质是解决这类问题的关键. 解（1）P(A?B)?P(AB)?1?P(AB)?0.8

（2）P(AB)?P(B?A)?P(B)?P(AB)?0.2

（3）P(A?B)?P(A?AB)?P(A)?P(AB)?1?P(A)?P(AB)?0.9 【练习4】设随机事件A，B及其和事件A?B的概率分别是0.4, 0.3和0.6，若

B表示B的对立事件，那么积事件AB的概率P（AB）= 0.3 。

【练习5】设P(A)?P(B)?P(C)?1/4，P(AB)?0，P(AC)?P(BC)?1/16，求下列事件的概率：(1)A,B,C全不发生；(2)A,B,C至少有一个事件发生.

2

2014.7暑假概率综合

分析：利用推广的加法公式.并注意P(AB)?0?P(ACB)?0(由单调性). 解 P(ABC)?P(ABC)?1?P(ABC)

?1??P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(BC)?P(CA)?P(ABC)?

?11111?3?1????????

?4441616?8P(ABC)?1?P(ABC)?5 8【练习6】设事件A,B,C满足条件：

11P(A)?P(B)?P(C)?,P(AB)?0,P(AC)?P(BC)?

467则事件A,B,C都不发生的概率为（ ）答案：

12题型3 古典概型与几何概型

【例1】从5双不同的鞋中任取4只，求4只鞋子中至少两只能配成一双的概率。

【例2】甲乙两船驶向一个不能同时停靠两只船的码头，它们在一昼夜到达的时间是等可能的，如果甲船停泊的时间是1小时，乙船停靠时间是2小时，求任意一只船都不需要等待的概率。

解 设甲乙两船到达时刻分别为x,y，则样本空间G?{(x,y)|0?x,y?24}，从而 甲先到，乙船不需等待的充要条件是：0?x?x?1?y?24； 乙先到，甲船不需等待的充要条件是：0?y?y?2?x?24；

1(232?222)1013于是两船都不需要等待的概率为p?2 ?2241152

【练习1】将一枚骰子重复掷n次，试求掷出的最大点数为5的概率。

【练习2】在顶点为（0,0），（0,1），（1,0），（1,1）的正方形中任意投入一点记为M(?,?),求方程x2??x???0有实根的概率。 分析：考察几何概型问题的计算。

3

2014.7暑假概率综合

解：样本空间为??{(?,?)|0??,??1}，A?{(?,?)|(?,?)??,?2?4??0}，从而

P(A)?SA3? S?4评注：（1）应熟悉几何概型的一般计算步骤； （2）几何概型的问题通常都可以转化为随机变量的方法来解决，请试用随机变量的方法来解决此题。

【练习3】随机地向半圆0?y?2ax?x2(a为正常数)内掷点，落在半圆内任何 区域的概率与区域的面积成正比,求原点和该点的连线与x轴的夹角小于?的概

4率。答案（

2??） 2?

题型4 四大重要公式

四大重要公式是指条件概率公式、乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式 【例1】已知P(A)?0.5,P(B)?0.6,P(AB)?0.4，求下列概率：（1）P(AB)；（2）（3）P(AB)。 P(AB)；

分析：根据条件概率的公式和概率的性质. 解（1）P(A|B)?P(AB)0.42?? P(B)0.631 3（2）P(A|B)?1?P(A|B)?（3）P(A|B)?P(AB)1?P(A)?P(B)?P(AB)3?? P(B)1?P(B)411,P(C)?,23【例2】（2012，1）设A,B,C是随机事件，A,C互不相容，P(AB)?则P(ABC)?________。

?PABC?解 由条件概率的定义，P?ABC??P?AB??P?ABC????P?ABC?P?C?12，其中P?C??1?P?C??1??，

33BCAC?又AP?AC??0，

1?P?ABC?，由于A,C互不相容，即AC??，213PABC?PABC?，得PA，代入得，故 BC?0????24??4

2014.7暑假概率综合

【例3】设随机变量X解

P(?)，随机变量Y在0X间取值，求P(Y?2)。

P(Y?2)??P(X?i)P(Y?2|X?i)i?0???[i?2??ii!e???1]i?1???1e????k?3??kk!???1e???(e??1????2

2)

【练习1】设P(A)?0.10,P(BA)?0.90,P(BA)?0.20，求P(AB)。 分析：根据条件分布的定义，关键求P(B)和P(AB). 解

P(B)?P(ABA)?B?0.10?0.9?0?(1(PA)B(P)A(P?B)A(P)A(PB)A

0?.10)?0.200.27(PA?)BP(AB)?P(AB)P(A)P(BA)0.10?0.9010.10?0.901????? P(B)P(B)0.2730.273【练习2】（06，4分）设A,B为随机事件，且P(B)?0,P(A|B)?1，则必有

（A）P(A?B)?P(A). （C）P(A?B)?P(A).

（B）P(A?B)?P(B). （D）P(A?B)?P(B).

【练习3】三人同时向一架飞机射击。设三人都射不中的概率为0.09，三个中只

有一个射中的概率为0.36，三个中恰有两个射中的概率为0.41，三人同时射中的概率为0.14。又设无人射中，飞机不会坠毁；只有一个击中飞机坠毁的概率为0.2；两人击中飞机坠毁的概率为0.6；三人射中飞机一定坠毁。求三人同时向飞机射击一次飞机坠毁的概率。

分析：若事件的产生是由多个原因之一造成的，且无法确定是哪个原因造成的，则求该事件的概率一般利用全概率公式求解.

解 令B?{飞机坠毁}，A0?{三人都射不中}，A1?{只有一人射中}，A2?{恰有两人射中}，A3?{三人同时射中}。显然有

?A??ii?03，且

AiAj??(i?ji;j,?。0,1,

由题设可知P(BA0)?0，P(BA1)?0.2，P(BA2)?0.6，P(BA3)?1.且

P(A0)?0.09, P(A1)?0.36,P(A2)?0.41, P(A3)?0.14.

5

2014.7暑假概率综合

三、二维随机变量的函数生成

【例5】随机变量X与Y相互独立，且X服从标准正态分布N?0,1?，Y的概率

1分布为P?Y?0??P?Y?1??，求随机变量Z?XY的分布函数FZ?z?。

2分析：考察多维数随机变量函数的分布。 解

?z?R,FZ?z??P(XY?z)?P(Y?0)?P(XY?z|Y?0)?P(Y?1)?P(XY?z|Y?1)1?[P(0?z|Y?0)?P(X?z|Y?1)]2?1[0?P(X?z|Y?1)],z?0??2???1[1?P(X?z|Y?1)],z?0??2?1?1P(X?z）,z?0?(z),z?0立性???2?2????1?[1?P(X?z)],z?0?1[1??(z)],z?0 ???2?2

【例6】设随机变量X与Y相互独立，且X服从标准正态分布N?0,1?，Y的概

1率分布为P?Y?0??P?Y?1??，求随机变量Z?XY的分布函数FZ?z?。

2分析：考察多维数随机变量函数的分布。 解

?z?R,FZ?z??P(XY?z)?P(Y?0)?P(XY?z|Y?0)?P(Y?1)?P(XY?z|Y?1)1?[P(0?z|Y?0)?P(X?z|Y?1)]2?1[0?P(X?z|Y?1)],z?0??2???1[1?P(X?z|Y?1)],z?0??2?1?1P(X?z）,z?0?(z),z?0立性???2?2????1?[1?P(X?z)],z?0?1[1??(z)],z?0 ???2?2【练习1】设X~E(1),Y~N(0,1)且独立，对X进行n次独立重复观察，Z表示观察值大于2的次数，求Y?Z的分布函数。

36

2014.7暑假概率综合

kk答案：F(x)??Cnp(1?p)n?k?(x?k),?x?R

k?0n【练习2】设X服从几何分布，P(X?k)?pqk?1,k?1,2,独立，求U?X?Y,?k?1，Y~N(0,1)且相互

T?XY的分布函数。

?t答案：FU(u)??pq?(u?k),?u?R； FT(t)??pqk?1?(),?t?R

kk?1k?1【练习3】设随机变量X与Y相互独立，且X~N?0,1?，Y~B(n,p),0?p?1， 求随机变量Z?X?Y的分布函数FZ?z?

?z?R,FZ?z??P(X?Y?z)??P(Y?k)P(X?Y?z|Y?k)k?0kk??Cnp(1?p)n?kP(X?z?k|Y?k)k?0nnn

??Cp(1?p)knkk?0n?kkkP(X?z?k)??Cnp(1?p)n?k?(x?k)k?0n

四、伪“混合”，真“连续”的类型

【例7】（2014，1）设随机变量X的概率分布为P(X?1)?P(X?2)?1，在给定2X?i的条件下，随机变量YU(0,i)，i?1,2，求 （1）Y的分布函数FY(y)； （2）求EY 解 （1）

?y?R,FY(y)?P(Y?y)?P(X?1)P(Y?y|X?1)?P(X?2)P(Y?y|X?2) 1?[P(Y?y|X?1)?P(Y?y|X?2)]2由已知条件，在给定X?i的条件下，随机变量Y?0,?P(Y?y|X?1)??y,?1,?

U(0,i)，i?1,2，于是

y?00?y?1y?1?0,?y?P(Y?y|X?2)]??,?2??1,37

y?00?y?2 y?22014.7暑假概率综合

y?0y?0?0,?0,?1?3y?(y?),0?y?1?y,0?y?1??2所以?y?R,FY(y)??2 ??41y?1(1?y),1?y?2??),1?y?2?2?242?1,?1,y?2y?2??（2）随机变量Y的密度函数为

?3?4,??1?y?R,fY(y)?[FY(y)]???,?4?0,??0?y?11?y?2，于是 EY??others2133ydy??ydy?。 041441?1 2?【例8】设随机变量X与Y独立，其中X的概率分布为 X~??

?0.3 0.7?而Y的概率密度为f(y)，求随机变量U?X?Y的概率密度g(u)。 解 设F(y)是Y的分布函数，则由全概率公式，知U?X?Y的分布函数为

G(u)?P?X?Y?u??0.3P?X?Y?uX?1??0.7P?X?Y?uX?2??0.3P?Y?u?1X?1??0.7P?Y?u?2X?2??0.3P?Y?u?1??0.7P?Y?u?2??0.3F(u?1)?0.7F(u?2)

故U的概率密度g(u)?0.3F?(u?1)?0.7F?(u?2) ?0.3f(u?1)?0.7f(u?2)

1【练习1】设随机变量X与Y相互独立，X概率分布为P(X?i)?,i??1,0,1，

3?10?y?1概率密度为fY?y???，记Z?X?Y

?0其它（1）求P(Z?1X?0)；（2）求Z的概率密度。 21P(X?0,Y?)111112?P(Y?)??21dy? 解 (I) P(Z?X?0)?P(X?Y?X?0)?022P(X?0)22(II) FZ(z)?P{Z?z}?P{X?Y?z}

38

2014.7暑假概率综合

?P{X?Y?z,X??1}?P{X?Y?z,X?0}?P{X?Y?z,X?1} ?P{Y?z?1,X??1}?P{Y?z,X?0}?P{Y?z?1,X?1}

?P{Y?z?1}P{X??1}?P{Y?z}P{X?0}?P{Y?z?1}P{X?1} 1??P{Y?z?1}?P{Y?z}?P{Y?z?1}? 31??FY(z?1)?FY(z)?FY(z?1)? 3?11?,?1?z?2所以 fZ(z)??fY(z?1)?fY(z)?fY(z?1)???3

3??0,其它第四章 随机变量的数字特征

重点题型归纳

题型一 随机变量的期望和方差的求解

x?1cos, 0?x???【例1】随机变量X的概率密度为f(x)??2 2??0, 其他.对X独立重复观察4次，用Y表示观察值大于

?的次数，求Y2的数学期望. 3???1x1??1?解 由 P?X?????cosdx?. 故Y~b?4,?.

3?3222?2??11?1?因此，EY?4??2, DY?4???1???1.，EY2?DY?(EY)2?1?22?5.

22?2?【例2】（2014，1）设连续型随机变量X1,X2相互独立且方差都存在，概率密度

1分别为f1(x),f2(x)，随机变量Y1的密度函数为fY1(y)?[f1(y)?f2(y)]，随机变

21量Y2?(X1?X2)，则比较Y1和Y2的期望与方差的大小关系。

2

39

2014.7暑假概率综合

?x?1?【例3】随机变量X的分布函数为F?x??0.3??x??0.7???，其中??x?为

?2?标准正态分布函数，则EX? DX? 分析：结合正态分布的分布函数求解随机变量的期望。 解：随机变量X的分布函数f(x)?F??x??0.3?(x)?0.35?(EX??x[0.3?(x)?0.35?(??????x?1)，所以 2??x?1x?1)]dx?0.3?x?(x)dx?0.35?x?()dx????22

?0?0.35?2?(2t?1)?(t)dt?0.7??x?1x?12E(X)??x[0.3?(x)?0.35?()]dx?0.3?x?(x)dx?0.35?x2?()dx??????222?2?0.3?0.35?2?(2t?1)?(t)dt?0.3?0.7E(2Y?1)?0.3?0.7?5?3.8???

22DX?E(X2)?(EX)2?3.8?0.72?3.31

请计算：将0.3，0.7改为一般的a，b时的结果，当然要求（a+b=1）。

?0,x??2?0.2,?2?x?1?【例4】设X的分布函数为F(x)??，Y?X2?1,求E(XY)?

?0.8,1?x?2??1,x?2解 先写出X的分布列，再求解即可。

1【例5】设两个随机变量X,Y相互独立，且都服从均值为0，方差为的正态分

2布，求随机变量X?Y的方差.

??1?2???1?2?解 令Z?X?Y.由于X~N?0,?，且X和Y相互独立， ?,Y~N?0,?????2?????????2??故Z~N(0,1).因此 D(X?Y)?D(Z)?E(Z)?[E(Z)]2?E(Z2)?[(E(Z))]2, 而

E(Z2)?D(Z)??E(Z)??1,1?z22E(X?Y)?E(Z)??zedz???2?2?2所以 D(X?Y)?1?.

???222???0ze?z22dz??2 ,【例6】随机变量X与Y相互独立同分布，X~N(?,?2)，Z?max{X,Y}

40

2014.7暑假概率综合

W?min{X,Y}求EZ,EW

分析：注意到Z?max{X,Y}?X?Y?|X?Y|X?Y?|X?Y|，W?min{X,Y}?

22X?Y~N(0,2?2)?E|X?Y|将会大大简化计算。

【练习1】对目标进行射击，命中率为p(0?p?1)，射击直到命中为止，求射击次数X的数学期望与方差。

答案：

11EX?pf(q)?p?2?pp2?p2?pE(X2)?pg(q)?p?3?2pp2?p?1?1?pDX?E(X2)?(EX)22????2pp?p?2

【练习2】 长途汽车起点站于每时的10分、30分、55分发车，设乘客不知发

车时间，于每小时的任意时刻随机地到达车站，求乘客的平均候车时间。

解 设乘客于某时X分到达车站,候车时间为Y,则

?10?X0?X?10 ?30?X10?X?30? Y?g(X)?? ?55?X30?X?55? ?70?X55?X?60

X~U(0,60) 1?E(Y)?g(x)dx60?060＝10分25秒

【练习3】设随机变量X和Y的联合分布在以点（0，1），（1，0），（1，1）为

顶点的三角形区域上，且服从均匀分布，试求随机变量U?X?Y的方差.

1111?x?dx?4. 2udu解 EU?E(X?Y)???(x?y)2dydx?????1?01?x0??31111?x11EU?E(X?Y)2???(x?y)2dydx????2u2du?dx?.

?01?x0??1?611?4?1故D(U)?????.

6?3?18【练习4】设EX??,DX??2，则证明?x?R，E(X?x)2?E(X??)2。

41

22014.7暑假概率综合

证明 令f(x)?E(X?x)2?x2?2?x??2，则??

【练习5】设X的密度函数为f(x)?1?e?x2?2x?1,?x?R，则EX? DX?

解 f(x)?1?e?x2?2x?1?12??12?e(x?1)2122?()21?X~N(1,)

2

?12cos【练习6】设随机变量X的概率密度为f(x)??0??重复观察４次，用Ｙ表示观察值大于

3x20?x??，对X独立地

其他的次数，求Y2的数学期望．答案：5

【练习7】设总体X在(0,?)(??0)上服从均匀分布，X1,X2,1?k?n1?k?n,Xn为其子样，

(n)X1(n)?minXk,Xn(n)?maxXk，求极差R?Xn?X1(n)的数学期望。

分析：掌握求minXk及maxXk的概率密度的方法.

1?k?n1?k?n解 由题设条件知，X的密度函数及分布函数为

?x, 0?x?????1??, 0?x??fX(x)??? FX(x)??0, x?0

??1, x???0, 其它??X1(n)的分布函数为F1(y)?P?X1(1)?y??1??1?FX(y)?

nyn?11?n(1?), 0?y???1n?1(n) X1密度为f1(y)?F1(y)?n(1?FX(y))fX(y)?????? 0, 其它E(X1(n))??????yf1(y)dy??yn(1?)0?yn?11??dyy1??t?n?1?(1?t)ntdt??(1??01n? )?n?1n?1(n)(n)又Xn的分布函数为Fn(y)?P?Xn?y??PminXk?y??FX(y)?

n?1?k?n??yn?11, 0?y???n()其概率密度为fn(y)?n(FX(y))n?1fX(y)??? ??? 0, 其它42

2014.7暑假概率综合

故E(Xy1n?)??yn()n?1dy?，于是

0??n?1n1n?1(n)????? E(R)?E(Xn)?E(X1(n))?n?1n?1n?1(n)n?【练习8】随机变量Xij(i,j?1,2,,;nn?2)独立同分布，EXij?2,则行列式

X11X21Y??Xn1X12X22?Xn2??X1nX2n的数学期望EY?

。

??j1j2Xnn解 由行列式的定义，Y??(?1)?(j1j2jn)jnX1j1X2j2Xnjn，又由于随机变量

Xij(i,j?1,2,,;nn?2)独立同分布，EXij?2,，所以根据数学期望的性质得

EY???j1j2?(?1)?(j1j2jnjn)E(X1j1X2j2Xnjn)E(Xnjn)

j1j2??(?1)?(j1j2jnjn)E(X1j1)E(X2j2)2n?0(?1)?(j1j2jnjn)j1j2【练习9】设随机变量X与Y相互独立，且EX与EY存在，记

U=max{X,Y},V=min{ X,Y }，则E(UV)= E（U+V）= 答案：E(UV)?E(XY)?EXEY；E(U?V)?E(X?Y)?E(X)?E(?Y) 注：此题在2011和2012连续考过。 【练习10】设X的密度函数为f(x)?解

12?1EY?E(min{|X|,1})??min{|x|,1}dx?min{x,1}dx???(1?x2)??01?x2

1?211ln21?[?x?dx?dx???11?x2?01?x2?2?1,?x?R，令Y?min{|X|,1求EY }，

?(1?x2)题型二 复杂随机变量分解为简单随机变量和的情形

【例1】台仪器有三个元件，各元件发生故障的概率分别为0.2，0.3，0.4 ，且

43

2014.7暑假概率综合

相互独立，试用两种方法求发生故障的元件数X的数学期望。（写出X的分布律及不写出X的分布律的两种情况下。） 解：1) P(X?0)?0.8?0.7?0.6?0.336

P(X?1)?0.2?0.7?0.6?0.8?0.3?0.6?0.8?0.7?0.4?0.452 P(X?2)?0.2?0.3?0.6?0.2?0.7?0.4?0.8?0.3?0.4?0.188 P(X?3)?0.2?0.3?0.4?0.024

E(X)?0?0.336?1?0.452?2?0.188?3?0.024?0.9

?1,2) 设Ai－第i个元件发生故障，令Xi???0,则X?X1?X2?X3，显然E(Xi)＝P(Ai)

Ai出现Ai不出现

?E(X)?E(X1)?E(X2)?E(X3)?0.2?0.3?0.4?0.9 注 利用这种方法可以简单地求出二项分布的期望和方差！

【例2】掷骰子100次，求点数之和的数学期望与方差。

解 用Xi表示第i次掷骰子出现的点数，i?1,P?Xi?k??1 (k?1,6,6)

,100,则

且X1,X2,100,X100相互独立，以X表示掷骰子100次出现的点数之和，于是

61735，从而 X??Xi，又因 EXi??k??, DXi?6212k?1i?17?100?100EX?E??Xi???EXi?100??3502?i?1?i?1

10010035875??DX?D??Xi???DXi?100??123?i?1?i?1【例3】将n只球（1～n号）随机地放进n只盒子（1～n号）中去，一只盒子装一只球，若一只球装入与球同号的盒子中，称为一个配对. 记X为总的配对数，求E(X),D(X) 解 设Xi为第i球(i?1,,n)放入盒内得到的配对数，则它的概率分布为

Xi 0 1 44

2014.7暑假概率综合

Pr 1则EXi?，而总配对数X?X1?nn?1 n1 nn1?Xn，所以，EX?E(?Xi)?n??1。

ni?1又DXi?111， (1?)，P(Xj?1|Xi?1)?nnn?111?nn?1E(XiXj)?P(Xi?1,Xj?1)?P(Xi?1)?P(Xj?1|Xi?1)?cov(Xi,Xj)?E(XiXj)?E(Xi)E(Xj)?E(XiXj)?所以

11111????； 222nnn?1nn(n?1)DX??D(Xi)?2i?1n111cov(X,X)?[(1?)]?2???2ijn1?i?j?ni?1n1?i?j?nn(n?1)?1

n11n2?n1?n?(1?)?2?2nn2n(n?1)【练习1】设随机变量X服从超几何分布，

in?iCMCN?MP(X?i)?,i?0,1,nCN,min{M,n}，

求随机变量X的期望和方差。

n?1,第i次取得次品解 令Xi??，则X??Xi，其中

i?1?0，第i次取得正品P(Xi?1)?MM,P(Xi?0)?1?； NNnn于是，EX??E(Xi)??i?1i?1MnM； ?NNMM(1?)，以及 NNM2]N注意到，DX??D(Xi)??cov(Xi,Xj)，D(Xi)?i?1i?jncov(Xi,Xj)?E(XiXj)?E(Xi)E(Xj)?P(XiXj?1)?[?P(Xi?1)P(Xj?1|Xi?1)?[nM2MM?1M2]???[]NNN?1N，代入整理后得

DX??D(Xi)??cov(Xi,Xj)?ni?1i?jMMMM?1M2(1?)?n(n?1){??[]}NNNN?1N?nMMN?n(1?)NNN?145

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ecqt.html