中考必胜宝典

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中考必胜宝典

本册主编：陈宏林 钟城 编委：林子豪 程姝 曾嫣

童凌燕 张静

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考试内容：

集合、子集、补集、交集、并集．

逻辑联结词．四种命题．充分条件和必要条件． 考试要求： 榆林教学资源网 http://www.ylhxjx.com

（1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合．

（2）理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义理解四种命题及其相互关系；掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义．

§01. 集合与简易逻辑 知识要点

一、知识结构:

本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分：

Ⅰ数学榆林教学资源网 http://www.ylhxjx.com

二、知识回顾：

（一） 集合

1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用. 2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 集合的性质：

①任何一个集合是它本身的子集，记为②空集是任何集合的子集，记为?A?A；

?A；

③空集是任何非空集合的真子集； 如果A?B，同时B?A，那么A = B. 如果A?B，B?C，那么A?C.

[注]：①Z= {整数}（√） Z ={全体整数} （3）

②已知集合S 中A的补集是一个有限集，则集合A也是有限集.（3）（例：S=N； A=N，则CsA= {0}） ③ 空集的补集是全集.

④若集合A=集合B，则CBA = ?， CAB = ? CS（CAB）= D （ 注 ：CAB = ?）. 3. ①{（x，y）|xy =0，x?R，y?R}坐标轴上的点集. ②{（x，y）|xy＜0，x?R，y?R

??二、四象限的点集.

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③{（x，y）|xy＞0，x?R，y?R} 一、三象限的点集.

[注]：①对方程组解的集合应是点集. 例： ??x?y?3 解的集合{(2，1)}.

?2x?3y?1②点集与数集的交集是?. （例：A ={(x，y)| y =x+1} B={y|y =x2+1} 则A∩B =?）

4. ①n个元素的子集有2n个. ②n个元素的真子集有2n －1个. ③n个元素的非空真子集有2n－2个. 5. ?①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题?逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题?逆否命题. 例：①若a?b?5，则a?2或b?3应是真命题.

解：逆否：a = 2且 b = 3，则a+b = 5，成立，所以此命题为真. ②x x?y?3. ?1且y?2，x = 1或y = 2.

解：逆否：x + y =3

?x?1且y?2x?y?3,故x?y?3是x?1且y?2的既不是充分，又不是必要条件.

?小范围推出大范围；大范围推不出小范围.

3. 例：若x?5，?x?5或x?2. 4. 集合运算：交、并、补.

交：A?B?{x|x?A,且x?B}并：A?B?{x|x?A或x?B}补：CUA?{x?U,且x?A}5. 主要性质和运算律 （1） 包含关系：

A?A,??A,A?U,CUA?U,A?B,B?C?A?C;A?B?A,A?B?B;A?B?A,A?B?B.

（2） 等价关系：

A?B?A?B?A?A?B?B?CUA?B?U

（3） 集合的运算律：

交换律：

A?B?B?A;A?B?B?A.

结合律:(A?B)?C分配律:.

?A?(B?C);(A?B)?C?A?(B?C)

A?(B?C)?(A?B)?(A?C);A?(B?C)?(A?B)?(A?C)

A,U?A?A,U?A?U

0-1律：??A??,??A?等幂律：

A?A?A,A?A?A.

求补律：A∩CUA=φ A∪CUA=U ?CUU=φ ?CUφ=U

反演律：CU(A∩B)= (CUA)∪(CUB) CU(A∪B)= (CUA)∩(CUB)

6. 有限集的元素个数

定义：有限集A的元素的个数叫做集合A的基数，记为card( A)规定 card(φ) =0.

基本公式：

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(1)card(A?B)?card(A)?card(B)?card(A?B)(2)card(A?B?C)?card(A)?card(B)?card(C)

?card(A?B)?card(B?C)?card(C?A)?card(A?B?C)(3) card(?UA)= card(U)- card(A)

(二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸 1.整式不等式的解法

根轴法（零点分段法）

①将不等式化为a0(x-x1)(x-x2)?(x-xm)>0(<0)形式，并将各因式x的系数化“+”；(为了统一方便) ②求根，并在数轴上表示出来；

③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？）；

④若不等式（x的系数化“+”后）是“>0”,则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“<0”,则找“线”在x轴下方的区间.

x1x2x3xm-3-xm-2xm-1+-xm+x

（自右向左正负相间） 则不等式a0xn?a1xn?1?a2xn?2???an?0(?0)(a0?0)的解可以根据各区间的符号确定.

2

特例① 一元一次不等式ax>b解的讨论；

②一元二次不等式ax+box>0(a>0)解的讨论. ??0 ??0 ??0 二次函数 y?ax2?bx?c （a?0）的图象 有两相等实根 一元二次方程 有两相异实根 ax2?bx?c?0?a?0?的根ax2?bx?c?0(a?0)的解集x1,x2(x1?x2) bx1?x2?? 2a 无实根 ?xx?x或x?x? 12?b?xx???? 2a?? ? R ax2?bx?c?0(a?0)的解集

?xx1?x?x2? ? 2.分式不等式的解法 （1）标准化：移项通分化为

f(x)f(x)f(x)f(x)>0(或<0)； ≥0(或≤0)的形式， g(x)g(x)g(x)g(x) 第 5 页 共 219 页

（2）转化为整式不等式（组）

f(x)f(x)f(x)g(x)?0

?0?f(x)g(x)?0;?0???g(x)?0?g(x)g(x)3.含绝对值不等式的解法 （1）公式法：

ax?b?c,与ax?b?c(c?0)型的不等式的解法.

（2）定义法：用“零点分区间法”分类讨论.

（3）几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题. 4.一元二次方程根的分布 一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)

（1）根的“零分布”：根据判别式和韦达定理分析列式解之.

（2）根的“非零分布”：作二次函数图象，用数形结合思想分析列式解之. （三）简易逻辑

1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。 2、逻辑联结词、简单命题与复合命题：

“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。

构成复合命题的形式：p或q(记作“p∨q” )；p且q(记作“p∧q” )；非p(记作“┑q” ) 。 3、“或”、 “且”、 “非”的真值判断 （1）“非p”形式复合命题的真假与F的真假相反； （2）“p且q”形式复合命题当P与q同为真时为真，其（3）“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其

4、四种命题的形式：

原命题：若P则q； 逆命题：若q则p； 否命题：若┑P则┑q；逆否命题：若┑q则┑p。 (1)交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题； (2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；

(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题． 5、四种命题之间的相互关系：

一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：(原命题?逆否命题) ①、原命题为真，它的逆命题不一定为真。 ②、原命题为真，它的否命题不一定为真。 ③、原命题为真，它的逆否命题一定为真。

6、如果已知p?q那么我们说，p是q的充分条件，q是p的必要条件。 若p?q且q?p,则称p是q的充要条件，记为p?q.

7、反证法：从命题结论的反面出发（假设），引出(与已知、公理、定理?)矛盾，从而否定假设证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。

高中数学第二章-函数

考试内容：

映射、函数、函数的单调性、奇偶性． 反函数．互为反函数的函数图像间的关系．

指数概念的扩充．有理指数幂的运算性质．指数函数． 对数．对数的运算性质．对数函数．

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否命题若┐p则┐q原命题若p则q互否互逆互为为互否逆命题若q则p互否逆否命题若┐q则┐p2

逆他情况时为假； 他情况时为真．

逆否互逆

函数的应用． 考试要求：

（1）了解映射的概念，理解函数的概念．

（2）了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法． （3）了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数．

（4）理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像 和性质． （5）理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图像和性质． （6）能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题．

§02. 函数 知识要点

一、本章知识网络结构：

定义F:A?B反函数映射函数一般研究图像 性质 二次函数具体函数指数指数函数对数对数函数

二、知识回顾： （一） 映射与函数 1. 映射与一一映射 2.函数

函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决定作用的要素，因为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数. 3.反函数

反函数的定义

设函数

y?f(x)(x?A)的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y把x表示出，得到x=?(y). 若对于y在C中

的任何一个值，通过x=?(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x=?(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数x=?(y) (y?C)叫做函数（二）函数的性质 ⒈函数的单调性

定义：对于函数f(x)的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2, ?若当x1f(x2),则说f(x) 在这个区间上是减函数.

若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.

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y?f(x)(x?A)的反函数，记作x?f?1(y),习惯上改写成y?f?1(x)

2.函数的奇偶性

正确理解奇、偶函数的定义。必须把握好两个问题：（1）定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要不充分条件；（2）f(?x)?f(x)或f(?x)??f(x)是定义域上的恒等式。 2．奇函数的图象关于原点成中心对称图形，偶函数的图象关于y轴成轴对称图形。反之亦真，因此，也可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性。 3.奇函数在对称区间同增同减；偶函数在对称区间增减性相反. 4．如果f(x)是偶函数，则f(x)?f(|x|)，反之亦成立。若奇函数在x?0时有意义，则f(0)?0。

7. 奇函数，偶函数：

?偶函数：f(?x)?f(x)

设（a,b）为偶函数上一点，则（?a,b）也是图象上一点. 偶函数的判定：两个条件同时满足

①定义域一定要关于y轴对称，例如：y?x2?1在[1,?1)上不是偶函数. ②满足f(?x)?f(x)，或f(?x)?f(x)?0，若f(x)?0时，?奇函数：f(?x)??f(x)

设（a,b）为奇函数上一点，则（?a,?b）也是图象上一点. 奇函数的判定：两个条件同时满足

①定义域一定要关于原点对称，例如：y?x在[1,?1)上不是奇函数. ②满足f(?x)??f(x)，或f(?x)?f(x)?0，若f(x)?0时，

y轴对称3f(x)?1. f(?x)f(x)??1. f(?x)8. 对称变换：①y = f（x）??? ??y?f（?x）②y =f（x）??? ??y??f（x）③y =f（x）??? ??y??f（?x）9. 判断函数单调性（定义）作差法：对带根号的一定要分子有理化，例如： f(x)?f(x)?12222x21?b?x2?b?原点对称x轴对称（x1?x2）(x1?x2)22xx?b 2 ?b 28 页 共 219 页 x 1 ?第

在进行讨论.

10. 外层函数的定义域是内层函数的值域. 例如：已知函数f（x）= 1+

?Af(f(x))的定义域B，f(x)的值域?R，故B?R，而A??x|x?1?，故B?A. 解：f(x)B的值域是

11. 常用变换：

①f(x?y)?f(x)f(y)?f(x?y)?证：f(x?y)?x的定义域为A，函数f[f（x）]的定义域是B，则集合A与集合B之间的关系是 . 1?xf(x). f(y)f(y)?f(x)?f[(x?y)?y]?f(x?y)f(y) f(x)②f()?f(x)?f(y)?f(x?y)?f(x)?f(y) 证：f(x)?f(xyxx?y)?f()?f(y) yy12. ?熟悉常用函数图象：

?1?例：y?2→|x|关于y轴对称. y????2?|x|▲▲|x?2|?1??1?→y???→y????2??2?▲|x||x?2|

yyy(0,1)x(-2,1)xx

▲

yy?|2x?2x?1|→|y|关于x轴对称.

?熟悉分式图象：

2x2x?17?定义域{x|x?3,x?R}， ?2?x?3x?3值域{y|y?2,y?R}→值域?x前的系数之比.

例：y?（三）指数函数与对数函数

指数函数 ▲y2x3y?ax(a?0且a?1)的图象和性质

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4.54.5图 象 443.53.5332.52.5221.51.51y=110.5y=10.5-4-3-2-11234-4-3-2-11234-0.5-0.5-1-1 性 质 (1)定义域：R （2）值域：（0，+∞） （3）过定点（0，1），即x=0时，y=1 (4)x>0时，y>1;x<0时，00时，01. （5）在R上是减函数

对数函数y=logax的图象和性质: 对数运算：

loga(M?N)?logaM?logaN(1)logaM?logaM?logaNNnNlogaMn?nloga??M?12)logaaloga1M?logaMn?N

logbN换底公式：logaN?logba推论：logab?logbc?logca?1?loga1a2?loga2a3?...?logan?1an?loga1an（以上M?

0,N?0,a?0,a?1,b?0,b?1,c?0,c?1,a1,a2...an?0且?1）

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y a>1 01 图 象 Ox注?：x=1a<1时，

（1）定义域：（0，+∞） （2）值域：R （3）过点（1，0），即当x=1时，y=0 性 质 （4）x?(0,1)时 y?0 x?(0,1)时 y?0 x?(1,??)时 y>0 x?(1,??)时y?0 （5）在（0，+∞）上是增函数 在（0，+∞）上是减函数 loa?gb)?(lo?ag)?(lo?bg). (?：当M?0时，取“+”，当n是偶数时且M?0时，Mn?0，而M?0，故取“—”.

例如：log2ax?2logax?(2logax中x＞0而logax2中x?R）.

?y?ax（a?0,a?1）与y?logax互为反函数.

当a?1时，y?logax的a值越大，越靠近x轴；当0?a?1时，则相反.

（四）方法总结

?.相同函数的判定方法：定义域相同且对应法则相同. ?对数运算：

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当

a,b?0

loga(M?N)?logaM?logaN(1)logaM?logaM?logaNN1logaMn

logaMn?nloga??M?12)loganM?alogaN?NlogbNlogba换底公式：logaN?推论：logab?logbc?logca?1?loga1a2?loga2a3?...?logan?1an?loga1an（以上M?0,N?0,a

a?b)?log(?a)?log(?b). 注?：当a,b?0时，log(?：当M?0时，取“+”，当n是偶数时且M?0时，Mn?0，而M例如：logax2?2logax?(2logax中x＞0而logax中x?R）.

x?y?a（a?0,a?1）与y?logax互为反函数.

2?0,a?1,b?0,b?1,c?0,c?1,a1,a2...an?0且?1）

?0，故取“—”.

当a?1时，y?logax的a值越大，越靠近x轴；当0?a?1时，则相反.

?.函数表达式的求法：①定义法；②换元法；③待定系数法.

?.反函数的求法：先解x,互换x、y，注明反函数的定义域(即原函数的值域).

?.函数的定义域的求法：布列使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数的定义域.常涉及到的依据为①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；④零指数幂的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际意义等.

?.函数值域的求法：①配方法(二次或四次)；②“判别式法”；③反函数法；④换元法；⑤不等式法；⑥函数的单调性法. ?.单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较.

?.奇偶性的判定法：首先考察定义域是否关于原点对称，再计算f(-x)与f(x)之间的关系：①f(-x)=f(x)为偶函数；f(-x)=-f(x)为奇函数；②f(-x)-f(x)=0为偶；f(x)+f(-x)=0为奇；③f(-x)/f(x)=1是偶；f(x)÷f(-x)=-1为奇函数.

?.图象的作法与平移：①据函数表达式，列表、描点、连光滑曲线；②利用熟知函数的图象的平移、翻转、伸缩变换；③利用反函数的图象与对称性描绘函数图象.

高中数学 第三章 数列 考试内容： 数列．

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等差数列及其通项公式．等差数列前n项和公式． 等比数列及其通项公式．等比数列前n项和公式． 考试要求：

（1）理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项． （2）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题． （3）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，井能解决简单的实际问题． §03. 数 列 知识要点 等差数列

数列的定义 数列的有关概念 数列的通项 数列与函数的关系 项 项数 通项 数列 等差数列的定义 等差数列的通项 等差数列的性质 等差数列的前n项和 等比数列 等比数列的定义 等比数列的通项 等比数列的性质 等比数列的前n项和 定义 等差数列 等比数列 an?1?an?d an?an?1?d；an?am?n?md an?1?q(q?0) anan?an?1q；an?amqn?m 递推公式 通项公式 an?a1?(n?1)d an?a1qn?1（a1,q?0） 中项 A?an?k?an?k2G??an?kan?k(an?kan?k?0)*（n,k?N,n?k?0） *（n,k?N,n?k?0） 前n项和 Sn?n(a1?an) 2n(n?1)d 2Sn?na1?重要性质 ?na1(q?1)?Sn??a11?qn a1?anq?(q?2)?1?q?1?q?? am?an?ap?aq(m,n,p,q?N*,m?n?p?q)am?an?ap?aq(m,n,p,q?N*,m?n?p?q) 第 13 页 共 219 页

定义 等差数列 {an}为A?P?an?1?an?d(常数）等比数列 1. ?等差、等比数列：

{an}为G?P?an?1an ?q(常数）通项公式 an=a1+（n-1）d=ak+（n-k）d=dn+a1-d an?a1qn?1?akqn?k 求和公式 n(a1?an)n(n?1)?na1?d22 d2d?n?(a1?)n22sn? (q?1)?na1?sn??a1(1?qn)a1?anq ?(q?1)?1?q1?q?G2?ab。推广：an?an?m?an?m 若m+n=p+q，则aman2中项公式 A=a?b 推广：2an=an?m?an?m 2性质 1 2 若m+n=p+q则 am?an?ap?aq ?N）则{akn}也?apaq。 ?N），则若{kn}成A.P（其中kn为A.P。 若{kn}成等比数列 （其中kn{akn}成等比数列。 ?sn,s3n?s2n 成等差数列。 sn,s2n?sn,s3n?s2n成等比数列。 qn?1? 3 4 ．sn,s2na?a1am?and?n?(m?n) n?1m?n ana1 ， qn?m?an (m?n) am5

?看数列是不是等差数列有以下三种方法： ①an?an?1?d(n?2,d为常数)

②2an?an?1?an?1(n?2) ③an?kn?b(n,k为常数).

?看数列是不是等比数列有以下四种方法： ①an?an?1q(n?2,q为常数,且?0)

①2②an?an?1?an?1(n?2，anan?1an?1?0)

注①：i. b?ii. b?ac，是a、b、c成等比的双非条件，即b?aca、b、c等比数列.

ac（ac＞0）→为a、b、c等比数列的充分不必要.

iii. b??ac→为a、b、c等比数列的必要不充分. iv. b??ac且ac?0→为a、b、c等比数列的充要.

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注意：任意两数a、c不一定有等比中项，除非有ac＞0，则等比中项一定有两个. ③an?cqn(c,q为非零常数).

④正数列{an}成等比的充要条件是数列{logxan}（x?1）成等比数列.

?s1?a1(n?1)a???数列{an}的前n项和Sn与通项an的关系：n

s?s(n?2)n?1?n[注]： ①an?a1??n?1?d?nd??a1?d?（d可为零也可不为零→为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）→若d不为0，则是等差数列充分条件）.

2②等差{an}前n项和Sn?An?Bn??d?d?d?2??n??a1??n →可以为零也可不为零→为等差的充要条件→若d为零，则是等差数

2?2?2??列的充分条件；若d不为零，则是等差数列的充分条件.

③非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列） ．．

2. ①等差数列依次每k项的和仍成等差数列，其公差为原公差的k2倍Sk,S2k?Sk,S3k?S2k...； ②若等差数列的项数为2nn?N?，则

??S偶?S奇?nd，S奇S偶an?an?1；

③若等差数列的项数为2n?1n?N?，则S2n?1??2n?1?an，且S奇?S偶?an，S奇?n

S偶n?1?? ?代入n到2n?1得到所求项数. 3. 常用公式：①1+2+3 ?+n =②12?22?32??n2?n?n?1? 2n?n?1??2n?1?

62?n?n?1??③13?23?33?n3???

?2?[注]：熟悉常用通项：9，99，999，…?an?10n?1； 5，55，555，…?an?4. 等比数列的前n项和公式的常见应用题：

?生产部门中有增长率的总产量问题. 例如，第一年产量为a，年增长率为r，则每年的产量成等比数列，公比为1?r. 其中第n年产量为a(1?r)n?1，且过n年后总产量为：

5n10?1. 9??a?a(1?r)?a(1?r)?...?a(1?r)2n?1a[a?(1?r)n]?.

1?(1?r)?银行部门中按复利计算问题. 例如：一年中每月初到银行存a元，利息为r，每月利息按复利计算，则每月的a元过n个月后便成为

a(1?r)n元. 因此，第二年年初可存款：

a(1?r)[1?(1?r)12]. ?...?a(1?r)=

1?(1?r)a(1?r)12?a(1?r)?a(1?r)1110?分期付款应用题：a为分期付款方式贷款为a元；m为m个月将款全部付清；r为年利率.

a?1?r??x?1?r?mm?1?x?1?r?m?2?......x?1?r??x?a?1?r?mx?1?r?m?1ar?1?r?m??x?

mr?1?r??1 第 15 页 共 219 页

5. 数列常见的几种形式：

?an?2?pan?1?qan（p、q为二阶常数）?用特证根方法求解.

具体步骤：①写出特征方程x2?Px?q（x对应an?2，x对应an?1），并设二根x1,x2②若x1?x2可设an.?c1xn1?c2x2n2，若x1?x2可设an?(c1?c2n)xn1；③由初始值a1,a2确定c1,c2.

?an?Pan?1?r（P、r为常数）?用①转化等差，等比数列；②逐项选代；③消去常数n转化为an?2?Pan?1?qan的形式，再用特征根方法求an；④an?c1?c2Pn?1（公式法），c1,c2由a1,a2确定. ①转化等差，等比：an?1?x?P(an?x)?an?1?Pan?Px?x?x?②选代法：an?Pan?1?r?P(Pan?2?r)?r???an?(a1?r. P?1rr)Pn?1??(a1?x)Pn?1?x P?1P?1?Pn?1a1?Pn?2?r???Pr?r.

an?1?Pan?r?（P?1）an?Pan?1. ?an?1?an?Pan?Pan?1?an?1??相减，an?Pan?1?r?③用特征方程求解：

④由选代法推导结果：c1?rrrr. ，c2?a1?，an?c2Pn?1?c1?（a1?）Pn?1?1?PP?1P?11?P6. 几种常见的数列的思想方法：

?等差数列的前n项和为Sn，在d?0时，有最大值. 如何确定使Sn取最大值时的n值，有两种方法： 一是求使an?0,an?1?0，成立的n值；二是由Sn?d2dn?(a1?)n利用二次函数的性质求n的值. 22?如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前n项和可依照等比数列前n项和的推倒导方法：错位相减求和. 例如：1?111,3,...(2n?1)n,... 242?两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，公差是两个数列公差d1，d2的最小公倍数.

2. 判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法:对于n≥2的任意自然数,验证an?an?1(an)为同一常数。(2)通an?1项公式法。(3)中项公式法:验证2an?12?an?an?2(an?1?anan?2)n?N都成立。

?am?0a3. 在等差数列｛an｝中,有关Sn 的最值问题：(1)当1>0,d<0时，满足?的项数m使得sm取最大值. (2)当a1<0,d>0时，

?am?1?0满足??am?0的项数m使得sm取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。

?am?1?01. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。

（三）、数列求和的常用方法

第 16 页 共 219 页

2.裂项相消法:适用于??c??其中{ an}是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。

?anan?1? 3.错位相减法:适用于

?anbn?其中{ an}是等差数列，?bn?是各项不为0的等比数列。

4.倒序相加法: 类似于等差数列前n项和公式的推导方法.

5.常用结论 1）: 1+2+3+...+n =

n(n?1) 222） 1+3+5+...+(2n-1) =n

?1?333 3）1?2???n?n(n?1)?2??? 4）

2

12?22?32???n2?1n(n?1)(2n?1) 65）

1111111???(?)

n(n?1)nn?1n(n?2)2nn?21111?(?)(p?q) pqq?ppq高中数学第四章-三角函数

6）

考试内容：

角的概念的推广．弧度制．

任意角的三角函数．单位圆中的三角函数线．同角三角函数的基本关系式.正弦、余弦的诱导公式． 两角和与差的正弦、余弦、正切．二倍角的正弦、余弦、正切．

正弦函数、余弦函数的图像和性质．周期函数．函数y=Asin(ωx+φ)的图像．正切函数的图像和性质．已知三角函数值求角． 正弦定理．余弦定理．斜三角形解法． 考试要求：

（1）理解任意角的概念、弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换算．

（2）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解余切、正割、余割的定义；掌握同角三角函数的基本关系式；掌握正弦、余弦的诱导公式；了解周期函数与最小正周期的意义．

（3）掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式． （4）能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明．

（5）理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图，理解A.ω、φ的物理意义．

（6）会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx\\arc-cosx\\arctanx表示． （7）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形．

（8）“同角三角函数基本关系式：sin2α+cos2α=1，sinα/cosα=tanα,tanα?cosα=1”．

§04. 三角函数 知识要点

1. ①与?（0°≤?＜360°）终边相同的角的集合（角?与角?的终边重合）：?|??k?360??,k?Z

▲???ysinx1cosx 第 17 页 共 219 页 3 2 sinx4cosxx

②终边在x轴上的角的集合： ?|??k?180,k?Z ③终边在y轴上的角的集合：?|??k?180?90,k?Z ④终边在坐标轴上的角的集合：?|??k?90,k?Z ⑤终边在y=x轴上的角的集合：?|??k?180?45,k?Z ⑥终边在y??x轴上的角的集合：?|??k?180?45,k?Z

⑦若角?与角?的终边关于x轴对称，则角?与角?的关系：??360k?? ⑧若角?与角?的终边关于y轴对称，则角?与角?的关系：??360k?180?? ⑨若角?与角?的终边在一条直线上，则角?与角?的关系：??180k?? ⑩角?与角?的终边互相垂直，则角?与角?的关系：??360k???90 2. 角度与弧度的互换关系：360°=2? 180°=? 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.

、弧度与角度互换公式： 1rad＝180°≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝?≈0.01745（rad）

?1803、弧长公式：l2?|?|?r. 扇形面积公式：s扇形?lr?|?|?r

????????????????????????12124、三角函数：设?是一个任意角，在?的终边上任取（异于原点的）为r，则 sin??y； cos??x； tan??y； cot??x； xrry5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）

y一点P（x,y）P与原点的距离

a的终边sec??P（x,y)rrr；.

csc??. xy++ox--正弦、余割y-+o-+x余弦、正割y-+ox+-正切、余切OyyoPTxMAx

6、三角函数线

16. 几个重要结论: 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT.

(1)y(2)y|sinx|>|cosx|sinx>cosx7. 三角函数的定义域：

Ox|cosx|>|sinx|O|cosx|>|sinx|xcosx>sinx|sinx|>|cosx|?(3) 若 o

f(x)?cosx f(x)?tanx f(x)?cotx f(x)?secx f(x)?cscx ?8、同角三角函数的基本关系式：sin??tan? cos?cot?

cos?sin??x|x?R? 1???x|x?R且x?k???,k?Z? 2???x|x?R且x?k?,k?Z? 1???x|x?R且x?k???,k?Z? 2???x|x?R且x?k?,k?Z? tan??cot??1 csc??sin??1 sec??cos??1

sin2??cos2??1 sec2??tan2??1 csc2??cot2??1

9、诱导公式：

把k? ??的三角函数化为?的三角函数，概括为：2“奇变偶不变，符号看象限” 三角函数的公式：（一）基本关系

公式组一公式组二 公式组三 sinx2cscx=1tanx=sinxcosxsinxsin2x+cos2x=1sin(2k??x)?sinxcos(2k??x)?cosxcot(2k??x)?cotxsin?(?x)?sinx

sin?(x)??sinxcos?(x)?cosx cos x 2 2

x=cosx2secx=11+tanx=secxtan(2k??x)?tanxtan?(x)??tanxtanx2cotx=1 1+cot2x=csc2xcot?(x)??cotx公式组四 公式组五 公式组六 sin(??x)??sinxcos(??x)??cosxtan(??x)?tanxcot(??x)?cotx

sin2?(?x)??sinxcos2?(?x)?cosxtan2?(?x)??tanxcot2?(?x)??cotxcos?(?x)??cosxtan?(?x)??tanxcot?(?x)??coxt

（二）角与角之间的互换 公式组一 公式组二

?cos? cos(???)?cos?cos??sin?sin? sin2??2sin222??co2s??sin??2co2s??1?1?2sin? cos(???)?cos?cos??sin?sin? cossin(???)?sin?cos??cos?sin? tan2??sin(???)?sin?cos??cos?sin? sin??22tan?21?tan?

?1?co?s 2tan(???)?tan??tan??1?cos? cos??

1?tan?tan?22tan??tan??1?cos?sin?1?cos? tan????1?tan?tan?21?cos?1?cos?sin?sin?cos??1?sin??????sin??????21 第 19 页 共 219 页

cos?sin???sin??????sin??????21cos?cos???cos??????cos??????2tan(???)?公式组三 公式组四 公式组五

2tansin??1?tan?22?2

1cos(???)?sin?21sin(???)?cos?21tan(???)?cot?21cos(???)??sin?21tan(???)??cot?21sin(???)?cos?21?tan2cos??1?tan2??2 222??????sin??sin??2cossin?222tan2 cos??cos??2cos???cos???tan??22?1?tan2??????cos??cos???2sinsin222sin15??cos75??6?2,sin75??cos15??4sin??sin??2sin???cos???6?2,tan15??cot75??2?3,tan75??cot15??2?3. 4

10. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质： 定义域 值域 y?sinxR y?cosxR y?tanx1??x|x?R且x?k???,k?Z?? 2?? y?cotx ?x|x?R且x?k?,k?Z?R y?Asin??x???（A、?＞0） R [?1,?1] 2? [?1,?1] R ??A,A? 2?周期性 2? 偶函数 ? 奇函数 ? 奇函数 ?奇偶性 奇函数 当??0,非奇非偶 当??0,奇函数 单调性 [??2?2k?,[?2k?1??,；2k?]上为增函数???????k?,?k??2?2?上为增函数（k?Z） ?k?,?k?1???上为减函数（k?Z） ?2?2k?][2k?,上为增函数；?2k?1??] [?23??2k?]2?2k?,上为减函数 （k?Z） ??2k?????2k?????2(A),????1?????2(?A)???????上为增函数； 上为减函数（k?Z） ??2k?????2k?????2(A),????3?????2(?A)???????上为减函数（k?Z） 注意：①y??sinx与y?sinx的单调性正好相反；y??cosx与y?cosx的单调性也同样相反.一般地，若y?f(x)在[a,b]上递增（减），则y??f(x)在[a,b]上递减（增）.

▲②y?sinx与y?cosx的周期是?.

y?x??)或y?cos(?x??)（??0）的周期T?③y?sin(2??.

Ox 第 20 页 共 219 页

y?tanx的周期为2?（?T??T?2?，如图，翻折无效）.

2??x??)的对称轴方程是x?k??④y?sin(对称中心（k??1?,0）；

2?2（k?Z），对称中心（k?,0）；y?cos(?x??)的对称轴方程是x?k?（k?Z），

y?tan(?x??)的对称中心（

k?,0）. 2?2(k?Z).

y?cos2x?原点对称????y??cos(?2x)??cos2x

tan??1,????k??⑤当tan?·

⑥y?cosx与y?sin??x??2tan???1,????k??(k?Z)；tan?·

????2k??是同一函数,而y?(?x??)是偶函数，则 2?1y?(?x??)?sin(?x?k???)??cos(?x).

2⑦函数

y?tanx在R上为增函数.（×） [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，y?tanx为增函数，同样也是错误的].

f(x)具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满

⑧定义域关于原点对称是

足奇偶性条件，偶函数：f(?x)?f(x)，奇函数：f(?x)??f(x)） 奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如：奇函数特有性质：若0?y?tanx是奇函数，y?tan(x?1?)是非奇非偶.（定义域不关于原点对称）

3x的定义域，则f(x)一定有f(0)?0.（0?x的定义域，则无此性质）

▲⑨y?sinx不是周期函数；y?sinx为周期函数（T??）；

y▲yx1/2xy?cosx是周期函数（如图）；y?cosx为周期函数（T??）； y=cos|x|图象1y?cos2x?的周期为?（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如：

2y=|cos2x+1/2|图象y?f(x)?5?f(x?k),k?R.

⑩y?acos??bsin??a2?b2sin(???)?cos??11、三角函数图象的作法： １）、几何法：

２）、描点法及其特例——五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切曲线）. ３）、利用图象变换作三角函数图象．

三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等．

函数y＝Asin（ωx＋φ）的振幅|A|，周期T?2?，频率f?1?|?|，相位?x??;初相?（即当x＝0时的相位）．（当A＞0，

T2?|?|ω＞0 时以上公式可去绝对值符号），

由y＝sinx的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|＞1）或缩短（当0＜|A|＜1）到原来的|A|倍，得到y＝Asinx的图象，叫做振幅变换或叫沿y轴的伸缩变换．（用y/A替换y）

由y＝sinx的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0＜|ω|＜1）或缩短（|ω|＞1）到原来的|1|倍，得到y＝sinω x的图

?象，叫做周期变换或叫做沿x轴的伸缩变换．(用ωx替换x)

第 21 页 共 219 页

b 有a2?b2?y. a

由y＝sinx的图象上所有的点向左（当φ＞0）或向右（当φ＜0）平行移动｜φ｜个单位，得到y＝sin（x＋φ）的图象，叫做相位变换或叫做沿x轴方向的平移．(用x＋φ替换x)

由y＝sinx的图象上所有的点向上（当b＞0）或向下（当b＜0）平行移动｜b｜个单位，得到y＝sinx＋b的图象叫做沿y轴方向的平移．（用y+(-b)替换y）

由y＝sinx的图象利用图象变换作函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）（x?R）的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延x轴量伸缩量的区别。 4、反三角函数： 函数y＝sinx，??????的反函数叫做反正弦函数，记作y＝arcsinx，它的定义域是［－1，1］，值域是????． －，???x???2，??2??22??????函数y＝cosx，（x?［0，π］）的反应函数叫做反余弦函数，记作y＝arccosx，它的定义域是［－1，1］，值域是［0，π］． 函数y＝tanx，??????的反函数叫做反正切函数，记作y＝arctanx，它的定义域是（－∞，＋∞），值域是????． ???，????x???2，2???22????函数y＝ctgx，［x?（0，π）］的反函数叫做反余切函数，记作y＝arcctgx，它的定义域是（－∞，＋∞），值域是（0，π）．

II. 竞赛知识要点

一、反三角函数.

1. 反三角函数：?反正弦函数没有x与

（一定要注明定义域，若x????,???，y?arcsinx是奇函数，故arcsin(?x)??arcsinx，x???1,1?y一一对应，故y?sinx无反函数）

注：sin(arcsinx)?x，x??1,1，arcsinx????,??.

?????22??反余弦函数

y?arccosx非奇非偶，但有arccos(?x)?arccos(x)???2k?，x???1,1?.

y?arcsinx为奇函数.

），y?arctanx是奇函数，

注：①cos(arccosx)?x，x???1,1?，arccosx??0,??. ②y?cosx是偶函数，y?arccosx非奇非偶，而y?sinx和?反正切函数：y?arctanx，定义域(??,??)，值域（???,22arctan(?x)??arctanx，x?(??,??).

注：tan(arctanx)?x，x?(??,??).

?反余切函数：y?arccotx，定义域(??,??)，值域（???,22），

y?arccotx是非奇非偶.

arccot(?x)?arccot(x)???2k?，x?(??,??). 注：①cot(arccotx)?x，x?(??,??).

1?x)互为奇函数，y?arctanx同理为奇而y?arccosx与y?arccotx非奇非偶但满足②y?arcsinx与y?arcsin(arccos(?x)?arccosx???2k?,x?[?1,1]arccotx?arccot(?x)???2k?,x?[?1,1].

? 正弦、余弦、正切、余切函数的解集：

a的取值范围 解集 a的取值范围 解集

①sinx?a的解集 ②cosx?a的解集

a＞1 ? a＞1 ? =1 ?x|x?2k??arcsina,k?Z?

aaa=1 ?x|x?2k??arccosa,k?Z? ＜1

＜1 x|x?k????1?arcsina,k?Z

k??a?x|x?k??arccosa,k?Z?

第 22 页 共 219 页

③tanx?a的解集：③cotx?a的解集：

二、三角恒等式.

?x|x?k??arctana,k?Z?

?x|x?k??arccota,k?Z?

sin2?组一cos ?cos2?cos4?...cos2n??n?12sin?

组二

nn?1sin3??3sin??4sin3?cos3??4cos3??3cos?sin2??sin2??sin?????sin??????cos2??cos2??k?1cos?2k?cos?2cos?4cos?8?cos?2n?sin?2sinn?2n

?k?0nncos(x?kd)?cosx?cos(x?d)???cos(x?nd)?sin((n?1)d)cos(x?nd)

sind?sin(x?kd)?sinx?sin(x?d)???sin(x?nd)?k?0sin((n?1)d)sin(x?nd)

sindtan(?????)?tan??tan??tan??tan?tan?tan?

1?tan?tan??tan?tan??tan?tan?组三 三角函数不等式

?sinx在(0,?)上是减函数 sinx＜x＜tanx,x?(0,) f(x)?2x若A?B?C??，则x2?y2?z2?2yzcosA?2xzcosB?2xycosC

高中数学第五章-平面向量

考试内容：

向量．向量的加法与减法．实数与向量的积．平面向量的坐标表示．线段的定比分点．平面向量的数量积．平面两点间的距离、平移． 考试要求：

（1）理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念． （2）掌握向量的加法和减法．

（3）掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件．

（4）了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算．

（5）掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件． （6）掌握平面两点间的距离公式，以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用掌握平移公式．

§05. 平面向量 知识要点

1.本章知识网络结构

2.向量的概念

第 23 页 共 219 页

(1)向量的基本要素：大小和方向.(2)向量的表示：几何表示法

坐标表示法 a＝ｘｉ＋ｙj＝（ｘ，ｙ）. (3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a｜. (4)特殊的向量：零向量a＝O?｜a｜＝O.

单位向量aO为单位向量?｜aO｜＝1.

(5)相等的向量：大小相等，方向相同(ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2）?(6) 相反向量：a=-b?b=-a?a+b=0

(7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a∥b.平行向量也称为共线向量. 3.向量的运算 运算类型 几何方法 坐标方法 运算性质 AB；字母表示：a；

?x1?x2 ??y1?y2????a?b?b?a 向量的 加法 1.平行四边形法则 2.三角形法则 ??a?b?(x1?x2,y1?y2) ??????(a?b)?c?a?(b?c) AB?BC?AC 向量的 减法 三角形法则 ??a?b?(x1?x2,y1?y2) ????a?b?a?(?b) ????????AB??BA,OB?OA?AB 1.??a是一个向量,满数 乘 向 量 足:|?a|?|?||a| ?????(?a)?(??)a ??a?(?x,?y) ???(???)a??a??a ?????(a?b)??a??b ????a//b?a??b ????a?b?b?a ??????(?a)?b?a?(?b)??(a?b) ??2.?>0时, ?a与a同向; ???<0时, ?a与a异向; ???=0时, ?a?0. ??a?b是一个数 向 量 的 数 量 积 ????1.a?0或b?0时， ??a?b?0. ????a?0且b?0时，2.?? ??a?b?|a||b|cos(a,b)??a?b?x1x2?y1y2 ???????(a?b)?c?a?c?b?c ?2?2??a?|a|即|a|=x2?y2 ????|a?b|?|a||b| 4.重要定理、公式 (1)平面向量基本定理

e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数λ1，

第 24 页 共 219 页

λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.

(2)两个向量平行的充要条件

a∥b?a＝λb(b≠0)?x1y2－x2y1＝O. (3)两个向量垂直的充要条件 a⊥b?a2b＝O?x1x2＋y1y2＝O. (4)线段的定比分点公式

设点P分有向线段P1P＝λ1P2所成的比为λ，即PPP2，则

OP＝

?x?????y???11＋OPOP2 (线段的定比分点的向量公式) 11??1??x1??x2,1?? (线段定比分点的坐标公式) y1??y2.1??当λ＝1时，得中点公式：

x1?x2?x?,?1?2 OP＝（OP1＋OP2）或?2?y?y1?y2.?2? (5)平移公式

设点P(x，y)按向量a＝（ｈ，ｋ）平移后得到点P′（x′，y′）， 则OP?＝OP+a或??x??x?h,

?y??y?k.曲线y＝f（x）按向量a＝（ｈ，ｋ）平移后所得的曲线的函数解析式为： y－ｋ＝f（x－ｈ) (6)正、余弦定理 正弦定理：

abc???2R.

sinAsinBsinC2

2

2

余弦定理：a＝b＋c－2bccosA， b＝c＋a－2cacosB， c＝a＋b－2abcosC.

（7）三角形面积计算公式：

设△ABC的三边为a，b，c，其高分别为ha，hb，hc，半周长为P，外接圆、内切圆的半径为R，r. ①S△=1/2aha=1/2bhb=1/2chc ②S△=Pr ③S△=abc/4R

④S△=1/2sinC2ab=1/2ac2sinB=1/2cb2sinA ⑤S△=P?P?a??P?b??P?c? [海伦公式] ⑥S△=1/2（b+c-a）ra[如下图]=1/2（b+a-c）rc=1/2（a+c-b）rb

[注]：到三角形三边的距离相等的点有4个，一个是内心，其余3个是旁心. 如图： A

BcDIaECraIA2

2

2

2

2

2

AAFbDBcaErarabcbCFEFOaBBNCC 第 25 页 共 219 页

1图 图2 图3 图4

图1中的I为S△ABC的内心， S△=Pr

图2中的I为S△ABC的一个旁心，S△=1/2（b+c-a）ra 附：三角形的五个“心”； 重心：三角形三条中线交点.

外心：三角形三边垂直平分线相交于一点. 内心：三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心：三角形三边上的高相交于一点.

旁心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点.

?已知⊙O是△ABC的内切圆，若BC=a，AC=b，AB=c [注：s为△ABC的半周长,即

a?b?c] 2则：①AE=s?a=1/2（b+c-a） ②BN=s?b=1/2（a+c-b） ③FC=s?c=1/2（a+b-c）

综合上述：由已知得，一个角的邻边的切线长，等于半周长减去对边（如图4）. 特例：已知在Rt△ABC，c为斜边，则内切圆半径r=

a?b?cab（如图3）. ?2a?b?ctanA?tanB??tanC，?结论！

1?tanAtanB?在△ABC中，有下列等式成立tanA?tanB?tanC?tanAtanBtanC. 证明：因为A?B???C,所以tan?A?B??tan???C?，所以

2AC2BD?AB2BC?BD?DC. ?在△ABC中，D是BC上任意一点，则AD?BC222证明：在△ABCD中，由余弦定理，有AD?AB?BD?2?AB?BDcosB?①

AB2?BC2?AC2?②，②代入①，化简 在△ABC中，由余弦定理有cosB?2AB?BCAC2BD?AB2BC?BD?DC（斯德瓦定理） 可得，AD?BC2A图5①若AD是BC上的中线，ma?②若AD是∠A的平分线，ta?③若AD是BC上的高，ha??△ABC的判定：

12b2?2c2?a2； 2DC2Bbc?p?p?a?，其中p为半周长； b?c2ap?p?a??p?b??p?c?，其中p为半周长.

c2?a2?b2?△ABC为直角△?∠A + ∠B =?c2＜a2?b2?△ABC为钝角△?∠A + ∠B＜c2＞a2?b2?△ABC为锐角△?∠A + ∠B＞

2

? 2? 2 第 26 页 共 219 页

附：证明：cosC?a2?b2?c2，得在钝角△ABC中，cosC?0?a2?b2?c2?0,?a2?b2?c2

2ab?平行四边形对角线定理：对角线的平方和等于四边的平方和.

a?b2?a?b2?2(a2?b2)

空间向量

1．空间向量的概念：

具有大小和方向的量叫做向量 注：?空间的一个平移就是一个向量 ?向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 ?空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示 2．空间向量的运算

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下

??OB?OA?AB?a?b ??BA?OA?OB?a?b

?OP??a(??R)

????运算律：?加法交换律：a?b?b?a

???????加法结合律：(a?b)?c?a?(b?c) ?????数乘分配律：?(a?b)??a??b

3 共线向量

????表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a平行于b记作a//b． ??????aaa当我们说向量、b共线（或//b）时，表示、b的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．

4．共线向量定理及其推论：

????????共线向量定理：空间任意两个向量a、b（b≠0），a//b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.

?推论：如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对于任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t

满足等式

OP?OA?ta．

其中向量a叫做直线l的方向向量. 5．向量与平面平行：

??????????已知平面?和向量a，作OA?a，如果直线OA平行于?或在?内，那么我们说向量a平行于平面?，记作：a//?．

通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量 说明：空间任意的两向量都是共面的 6．共面向量定理：

????????如果两个向量a,b不共线，p与向量a,b共面的充要条件是存在实数x,y使p?xa?yb ????????????推论：空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对x,y，使MP?xMA?yMB或对空间任一点O，

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?????????????????有OP?OM?xMA?yMB ①

①式叫做平面MAB的向量表达式

7 空间向量基本定理：

????????如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x,y,z，使p?xa?yb?zc推论：设O,A,B,C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个

????????????????有序实数x,y,z，使OP?xOA?yOB?zOC8 空间向量的夹角及其表示：

????????????????已知两非零向量a,b，在空间任取一点O，作OA?a,OB?b，则?AOB叫做向量a与b的夹角，记作?a,b?；且规??????????a,b??定0??a,b???，显然有?a,b???b,a?；若

29．向量的模：

????a，则称与b互相垂直，记作：a?b.

???????????设OA?a，则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模，记作：|a|.

??????10．向量的数量积： a?b?|a|?|b|?cos?a,b?．

???????????已知向量AB?a和轴l，e是l上与l同方向的单位向量，作点A在l上的射影A?，作点B在l上的射影B?，则A?B?叫做

?????向量AB在轴l上或在e上的正射影.

??????????????????可以证明A?B?的长度|A?B?|?|AB|cos?a,e??|a?e|．

11．空间向量数量积的性质：

??????????2??（1）a?e?|a|cos?a,e?．（2）a?b?a?b?0．（3）|a|?a?a．

12．空间向量数量积运算律：

?????????????????（1）(?a)?b??(a?b)?a?(?b)．（2）a?b?b?a（交换律）（3）a?(b?c)?a?b?a?c（分配律）．

空间向量的坐标运算

一．知识回顾：

（1）空间向量的坐标：空间直角坐标系的x轴是横轴（对应为横坐标），y轴是纵轴（对应为纵轴），z轴是竖轴（对应为竖坐标）. ①令a=(a1,a2,a3),b?(b1,b2,b3)，则

a?b?(a1?b1,a2?b2,a3?b3)?a?(?a1,?a2,?a3)(??R)a?b?a1b1?a2b2?a3b3

a∥b?a1??b1,a2??b2,a3??b3(??R)?a1a2a3?? a?b?a1b1?a2b2?a3b3?0 b1b2b32a?a?a?a12?a22?a32(用到常用的向量模与向量之间的转化：a?a?a?a?a?a)

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???a1b1?a2b2?a3b3?a?b cos?a,b?????222222|a|?|b|a1?a2?a3?b1?b2?b3②空间两点的距离公式：d?(x2?x1)2?(y2?y1)2?(z2?z1)2.

（2）法向量：若向量a所在直线垂直于平面?，则称这个向量垂直于平面?，记作a??，如果a??那么向量a叫做平面?的法向量.

（3）用向量的常用方法：

①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n是平面?的法向量，AB是平面?的一条射线，其中A??，则点B到平面?的距离为|AB?n||n|. ②利用法向量求二面角的平面角定理：设n1,n2分别是二面角??l??中平面?,?的法向量，则n1,n2所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（n1,n2方向相同，则为补角，n1,n2反方，则为其夹角）.

③证直线和平面平行定理：已知直线a??平面?，A?B?a,C?D??，且CDE三点不共线，则a∥?的充要条件是存在有序实数对???使AB??CD??CE.（常设AB??CD??CE求解?,?若?,?存在即证毕，若?,?不存在，则直线AB与平面相交）.

An▲BB?CA▲n1CDE?n2??

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高中数学第六章-不等式

考试内容：

不等式．不等式的基本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式． 考试要求：

（1）理解不等式的性质及其证明．

（2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用． （3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式． （4）掌握简单不等式的解法．

（5）理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│

§06. 不 等 式 知识要点

1. 不等式的基本概念

（1） 不等（等）号的定义：a?b?0?a?b;a?b?0?a?b;a?b?0?a?b. （2） 不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式. （3） 同向不等式与异向不等式. （4） 同解不等式与不等式的同解变形. 2.不等式的基本性质

（1）a?b?b?a（对称性） （2）a?b,b?c?a?c（传递性） （3）a?b?a?c?b?c（加法单调性）

（4）a?b,c?d?a?c?b?d（同向不等式相加） （5）a?b,c?d?a?c?b?d（异向不等式相减） （6）a.?b,c?0?ac?bc

（7）a?b,c?0?ac?bc（乘法单调性）

（8）a?b?0,c?d?0?ac?bd（同向不等式相乘） (9)a?b?0,0?c?d?ab（异向不等式相除） ?cd(10)a?b,ab?0?11（倒数关系） ?ab（11）a?b?0?an?bn(n?Z,且n?1)（平方法则） （12）a?b?0?na?nb(n?Z,且n?1)（开方法则） 3.几个重要不等式

（1）若a?R,则|a|?0,a2?0

（2）若a、b?R?,则a2?b2?2ab(或a2?b2?2|ab|?2ab)（当仅当a=b时取等号） （3）如果a,b都是正数，那么

ab?a?b（当仅当a=b时取等号）

.2极值定理：若x,y?R?,x?y?S,xy?P,则： 1如果P是定值, 那么当x=y时，S的值最小； ○

2如果S是定值, 那么当x=y时，P的值最大. ○

利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等. (4)若a、b、c?R?,则a?b?c3?abc（当仅当a=b=c时取等号） 3ba(5)若ab?0,则??2（当仅当a=b时取等号）

ab 第 30 页 共 219 页

22??x?y?D1x?E1y?F1?0附：若两圆相切，则??相减为公切线方程.

22??x?y?D2x?E2y?F2?0②d?r时，l与C相交；

22附：公共弦方程：设 C1:x?y?D1x?E1y?F1?0C2:x2?y2?D2x?E2y?F2?0

有两个交点，则其公共弦方程为(D1?D2)x?(E1?E2)y?(F1?F2)?0.

③d?r时，l与C相离.

22??x?y?D1x?E1y?F1?0附：若两圆相离，则??相减为圆心O1O2的连线的中与线方程.

22??x?y?D2x?E2y?F2?0??(x?a)2?(y?b)2?r2 由代数特征判断：方程组?用代入法，得关于x（或y）的一元二次方程，其判别式为?，则：

?Ax?Bx?C?0???0?l与C相切； ??0?l与C相交； ??0?l与C相离.

注：若两圆为同心圆则x2?y2?D1x?E1y?F1?0，x2?y2?D2x?E2y?F2?0相减，不表示直线. 6. 圆的切线方程：圆x2?y2?r2的斜率为k的切线方程是y?kx?1?k2r过圆x2?y2?Dx?Ey?F?0 上一点P(x0,y0)的切线方程为：x0x?y0y?Dx?x0y?y0?E?F?0. 22①一般方程若点(x0 ,y0)在圆上，则(x – a)(x0 – a)+(y – b)(y0 – b)=R2. 特别地，过圆x2?y2?r2上一点P(x0,y0)的切线方程为

Ax0x?y0y?r2.

?y1?y0?k(x1?x0)?b?y1?k(a?x1)，联立求出k?切线方程. ②若点(x0 ,y0)不在圆上，圆心为(a,b)则?R??R2?1?BCD(a,b)7. 求切点弦方程：方法是构造图，则切点弦方程即转化为公共弦方程. 如图：ABCD四类共圆. 已知?O的方程

x2?y2?Dx?Ey?F?0…① 又以ABCD为圆为方程为(x?xA)(x?a)?(y?yA)(x?b)?k2…②

(xA?a)2?(yA?b)2…③，所以BC的方程即③代②，①②相切即为所求. R?42

三、曲线和方程

1.曲线与方程：在直角坐标系中，如果曲线C和方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系： 1） 曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解（纯粹性）；

2） 方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上（完备性）。则称方程f(x,y)=0为曲线C的方程，曲线C叫做方程f(x,y)=0的曲线。 2.求曲线方程的方法：.

1）直接法：建系设点，列式表标,简化检验; 2）参数法; 3）定义法， 4）待定系数法.

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高中数学第八章-圆锥曲线方程

考试内容：

椭圆及其标准方程．椭圆的简单几何性质．椭圆的参数方程． 双曲线及其标准方程．双曲线的简单几何性质． 抛物线及其标准方程．抛物线的简单几何性质． 考试要求：

（1）掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程． （2）掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质． （3）掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质． （4）了解圆锥曲线的初步应用．

§08. 圆锥曲线方程 知识要点 一、椭圆方程.

1. 椭圆方程的第一定义：

PF1?PF2?2a?F1F2方程为椭圆,PF1?PF2?2a?F1F2无轨迹,PF1?PF2?2a?F1F2以F1,F2为端点的线段

?①椭圆的标准方程：

2222i. 中心在原点，焦点在x轴上：x?y?1(a?b?0). ii. 中心在原点，焦点在y轴上：y?x?1(a?b?0).

2222abab②一般方程：Ax?By?1(A?0,B?0).③椭圆的标准参数方程：

22x2a2?y2b2?x?acos??1的参数方程为?（一象限?应是属于

y?bsin??0????2）.

?①顶点：(?a,0)(0,?b)或(0,?a)(?b,0).②轴：对称轴：x轴，y轴；长轴长2a，短轴长2b.③焦点：(?c,0)(c,0)或(0,?c)(0,c).④焦距：F1F2ca2a2或y??.⑥离心率：e?(0?e?1).⑦焦点半径： ?2c,c?a?b.⑤准线：x??acc22i. 设P(x0,y0)为椭圆

x2a2?y2b2?1(a?b?0)上的一点，F1,F2为左、右焦点，则PF 1?a?ex0,PF2?a?ex0?由椭圆方程的第二定义可以推出. ii.设P(x0,y0)为椭圆

x2b2?y2a2?1(a?b?0)上的一点，F1,F2为上、下焦点，则 PF1?a?ey0,PF2?a?ey0?由椭圆方程的第二定义可以推出.

由椭圆第二定义可知：pF1?e(x0?a)?a?ex0(x0?0),pF2?e(a?x0)?ex0?a(x0?0)归结起来为―左加右减‖.

cc注意：椭圆参数方程的推导：得N(acos?,bsin?)?方程的轨迹为椭圆. ⑧通径：垂直于x轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：d??共离心率的椭圆系的方程：椭圆

222b2a2b2b2(?c,)和(c,)

aax2a2?y2b2x2y2c22?1(a?b?0)的离心率是e?(c?a?b)，方程2?2?t(t是大于0的参数，

aaba?b?0)的离心率也是e??若P是椭圆：

c 我们称此方程为共离心率的椭圆系方程. a?1上的点.F1,F2为焦点，若?F1PF2??，则?PF1F2的面积为b2tan（用余弦定理与

2x2a2?y2b2?PF1?PF2?2a可得）. 若是双曲线，则面积为b2?cot?2.

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二、双曲线方程. 1. 双曲线的第一定义：

PF1?PF2?2a?F1F2方程为双曲线PF1?PF2?2a?F1F2无轨迹▲y(bcos?,bsin?)(acos?,asin?)Nx

N的轨迹是椭圆PF1?PF2?2a?F1F2以F1,F2的一个端点的一条射线?①双曲线标准方程：

x2a2?y2b2?1(a,b?0),y2a2?x2b2?1(a,b?0). 一般方程：Ax2?Cy2?1(AC?0).

?①i. 焦点在x轴上：

x2y2xya2顶点：(a,0),(?a,0) 焦点：(c,0),(?c,0) 准线方程x?? 渐近线方程：??0或2?2?0

abcaby2x2yxa2ii. 焦点在y轴上：顶点：(0,?a),(0,a). 焦点：(0,c),(0,?c). 准线方程：y??. 渐近线方程：??0或2?2?0，

abcab?x?asec??x?btan?参数方程：?或? .

y?btan?y?asec???c2a22b2②轴x,y为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c. ③离心率e?. ④准线距（两准线的距离）；通径. ⑤参数

acax2y2c关系c?a?b,e?. ⑥焦点半径公式：对于双曲线方程2?2?1（F1,F2分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上

aab222下焦点）

“长加短减”原则：

MF1?ex0?aMF2?ex0?a号）

构成满足MF1?MF2?2a

M?F1??ex0?aM?F2??ex0?a▲（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符

y▲yF1MMF1?ey0?aMF2?ey0?aM?F1??ey0?a?M?F2??ey0?a?

F1M'MxF2M'F2x?等轴双曲线：双曲线x2?y2??a2称为等轴双曲线，其渐近线方程为y??x，离心率e?2.

x2y2x2y2?共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.2?2??与2?2???互

abab为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：?共渐近线的双曲线系方程：程可设为

x2a2?y2b2?0.

x2a2?y2b2?0如果双曲线的渐近线为

▲x2a2?y2b2??(??0)的渐近线方程为

xy??0时，它的双曲线方abxa22?yb22y??(??0).

4321F2x例如：若双曲线一条渐近线为y?211x且过p(3,?)，求双曲线的方程？ 2222F1533解：令双曲线的方程为：

yx1x??1. ?y2??(??0)，代入(3,?)得8224?直线与双曲线的位置关系：

区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条；

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区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条； 区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；

区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条； 区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.

小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.

（2）若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号. “?”?若P在双曲线

x2a2?y2b2?1，则常用结论1：P到焦点的距离为m = n，则P到两准线的距离比为m︰n.

PF1简证：

d1m?e = . d2PF2ne常用结论2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.

三、抛物线方程.

3. 设p?0，抛物线的标准方程、类型及其几何性质： 图形 y2?2px ▲y2??2px ▲x2?2py y▲x2??2py ▲yyyxOxOxOxO 焦点 F(p,0) 2F(?x?p,0) 2F(0,p) 2F(0,?y?p) 2准线 x??范围 对称轴 顶点 离心率 焦点 p 2x?0,y?R p 2x?0,y?R p 2x?R,y?0 y??p 2x?R,y?0 x轴 （0，0） y轴 e?1 PF?2p?x1 2PF?p?x1 2PF?p?y1 2PF?p?y1 24ac?b2b?). 注：①ay?by?c?x顶点(4a2a22②y?2px(p?0)则焦点半径PF?x?P;x?2py(p?0)则焦点半径为PF?y?P.

22③通径为2p，这是过焦点的所有弦中最短的.

?x?2pt2?x?2pt④y?2px（或x?2py）的参数方程为?（或?）（t为参数）. 2y?2pty?2pt??22 第 39 页 共 219 页

四、圆锥曲线的统一定义..

4. 圆锥曲线的统一定义：平面内到定点F和定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹. 当0?e?1时，轨迹为椭圆； 当e?1时，轨迹为抛物线； 当e?1时，轨迹为双曲线； 当e?0时，轨迹为圆（e?c，当c?0,a?b时）. a5. 圆锥曲线方程具有对称性. 例如：椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关于原点对称的. 因为具有对称性，所以欲证AB=CD, 即证AD与BC的中点重合即可.

注：椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质 定义 椭圆 1．到两定点F1,F2的距离之和为定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹 2．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（01） y2=2px 与定点和直线的距离相等的点的轨迹. 抛物线 x2y2??1(a?b>0) a2b2x2y2??1(a>0,b>0) a2b2?x?acos??y?bsin? ?(参数?为离心角）─a?x?a，─b?y?b 原点O（0，0） (a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b) x轴，y轴； 长轴长2a,短轴长2b ?x?asec??y?btan? ?(参数?为离心角）|x| ? a，y?R 原点O（0，0） (a,0), (─a,0) x轴，y轴; 实轴长2a, 虚轴长2b. F1(c,0), F2(─c,0) ?x?2pt2?y?2pt(t为参数) ?x?0 (0,0) x轴 范围 中心 顶点 对称轴 焦点 F1(c,0), F2(─c,0) pF(,0) 2） e=1 焦距 2c （c=a2?b2） 2c （c=a2?b2c(e?1) a 离心率 e?c(0?e?1) a e?准线 a2x=?c a2x=?cy=±x??p2 渐近线 bax 第 40 页 共 219 页

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