大学物理课后习题详解（第四章）中国石油大学

习 题 四

4-1 一飞轮的半径为2m，用一条一端系有重物的绳子绕在飞轮上，飞轮可绕水平轴转动，飞轮与绳子无相对滑动．当重物下落时可使飞轮旋转起来．若重物下落的距离由方程

22x?at给出，其中a?2.0ms．试求飞轮在t时刻的角速度和角加速度．

[解] 设重物的加速度为at，t时刻飞轮的角速度和角加速度分别为?和?，则

2at?dxdt2?2a

因为飞轮与绳子之间无相对滑动，所以 at?R? 则 ??atR?2aR?2?2.02?2.0rad/s

2由题意知 t?0时刻飞轮的角速度?0?0

所以 ???0??t??t?2.0trads

4-2 一飞轮从静止开始加速，在6s内其角速度均匀地增加到200radmin，然后以这个速度匀速旋转一段时间，再予以制动，其角速度均匀减小．又过了5s后，飞轮停止转动．若该飞轮总共转了100转，求共运转了多少时间?

[解] 分三个阶段进行分析

10 加速阶段．由题意知 ?1??1t1 和 ?12?2?1?1 得

?12?1?2?1??1t12

20 匀速旋转阶段． ?2??1t2

?123制动阶段．?1??3t3 ?0

21?2?3?3 ?3?2?3??1t32

由题意知 ?1??2??3?100?2? 联立得到

?1t12??1t2??1t32?100?2?

4-1

2??100?200所以 t2?2?6020060?6?2002?60?5?183s

因此转动的总时间 t?t1?t2?t3?6?5?183?194s

4-3 历史上用旋转齿轮法测量光速的原理如下：用一束光通过匀速旋转的齿轮边缘的齿孔A，到达远处的镜面反射后又回到齿轮上．设齿轮的半径为5cm，边缘上的齿孔数为500个，齿轮的转速使反射光恰好通过与A相邻的齿孔B．（1）若测得这时齿轮的角速度为600rs，齿轮到反射镜的距离为500 m，那么测得的光速是多大?（2）齿轮边缘上一点的线速度和加速度是多大?

[解] （1） 齿轮由A转到B孔所需要的时间t? 所以光速 c?2LT2?50013?105??8?2?500600?2??13?105

??3?10ms

（2） 齿轮边缘上一点的线速度 v??R?600?2??5?10?2?1.88?102ms 齿轮边缘上一点的加速度 a??2R??600?2???5?10?2?7.10?105ms2

2

4-4 刚体上一点随刚体绕定轴转动．已知该点转过的距离s与时间t的关系为

s?a06?t?3a02t．求证它的切向加速度每经过时间?均匀增加a0．

2[证明] 该点的切向加速度 at?dvdt?dsdt22?a0?t?a0

所以 at?τ?at??0?t????a0???0t?a0??a0

??????因此，切向加速度每经过时间?均匀增加a0

4-5 如图所示的一块均匀的长方形薄板，边长分别为a、b．中心O取为原点，坐标系

如图所示．设薄板的质量为M，求证薄板对Ox轴、Oy轴和Oz轴的转动惯量分别为

JOx?112Mb JOy?2?a??a?112Ma2 JOz?112Ma?2?b2?

4-2

[解] 根据转动惯量的定义 J??r2dm 对Jox 取图示微元，有

Jox?y?m121dmb2?112mb

2同理可得 Joy?112ma2

对于 Joz??r2dm??(x2?y2)dm??x2dm??Joy?Jox?112ma2?

2ydm

?112mb2

4-6 一个半圆形薄板的质量为m、半径为R，当它绕着它的直径边转动时，其转动惯量是多大?

[解] 建立坐标系，取图示面积元 ds?rdrd?，根据转动惯量的定义有

Jox?R y dr dm r ?d?O x ?y2m2dm??R?0?03?Rrsin?222m?R142rdrd?

??R2??00rsin?drd??2mR

2

4-7 一半圆形细棒，半径为R，质量为m，如图所示．求细棒对轴AA?的转动惯量．

[解] 建立图示的坐标系，取图示dl线元，dm??dl??Rd?， 根据转动惯量的定义式有

JAA???x22dm??2??0Rsin??Rd?

12mR222?x d?dl ?

mR??0sin?d??

4-8 试求质量为m、半径为R的空心球壳对直径轴的转动惯量．

[解] 建立如图所示的坐标系，取一????d?的球带，ds?2?rRd?它对y轴的转动惯量

dI?rdm?r22y r y ?yx m4?R22?rRd?

4-3

m1又 r?Rcos? 所以 dI??mR2223cos?d?

I??dI???2mR2?2cos?d??323mR2

此即空心球壳对直径轴的转动惯量．

4-9 图示为一阿特伍德机，一细而轻的绳索跨过一定滑轮，绳的两端分别系有质量为

m1和m2的物体，且m1>m2．设定滑轮是质量为M，半径为r的圆盘，绳的质量及轴处摩擦

不计，绳子与轮之间无相对滑动．试求物体的加速度和绳的张力．

[解] 物体m1,m2及滑轮M受力如图所示

m1T1m2NT2Mm1gm2gT2MgT1对m1取向下为正方向： m1g?T1?m1a （1） 对m2取向上为正方向： T2?m2g?m2a （2） 对M取顺时针方向为正方向： T1r?T2r?J? （3） 又 J?Mr2/2 （4）

a?r? （5）

?T1?T1 （6） ?? T2?T2 （7）

联立（1）-（7）式，解得

(m1?m2)gm1?m2?M/22m2?M/2m1?m2?M/2?a?

T1?m1g

4-4

T2?2m1?M/2m1?m2?M/2m2g

4-l0 绞车上装有两个连在一起的大小不同的鼓轮（如图），其质量和半径分别为m?2kg、r?0.05m，M?8kg、R?0.10m．两鼓轮可看成是质量均匀分布的圆盘，绳索质量及轴承摩擦不计．当绳端各受拉力

T1?1kg，T2?2kg时，求鼓轮的角加速度．

[解] 根据转动定律，取顺时针方向为正

?T1r?T2R?J?

（1）

J?mr2/2?MR2/2

（2）

联立（1），（2）式可得

???2T1r?2T2Rmr2

?MR2?34.6rad/s2

4-11 质量为M、半径为R的转盘，可绕铅直轴无摩擦地转动．转盘的初角速度为零．一个质量为m的人，在转盘上从静止开始沿半径为r的圆周相对圆盘匀角速走动，如果人在圆盘上走了一周回到了原位置，那么转盘相对地面转了多少角度?

[解] 取m和M组成的系统为研究对象，系统对固定的转轴角动量守恒．设人相对圆盘的速度为v，圆盘的角速度为?，设人转动方向为正方向，则 mr?v??r??J??0 而 J?MR/2 联立（1）、（2）式可得

???mvrMR2 （1）

（2）

2/2?mr2

人在转盘上走一周所用的时间t?2?r/v 转盘转过的角度为

???t??mrMR222/2?mr2? 负号表示方向与正方向相反．

4-12 如图所示，一质量为m的圆盘形工件套装在一根可转动的轴上，它们的中心线相互重合．圆盘形工件的内、外直径分别为D1和D2．该工件在外力矩作用下获得

4-5

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ec9t.html