二次函数平行四边形存在性问题例题

二次函数平行四边形存在性问题例题

一．解答题（共9小题）

1．如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标； （3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．

）三点．

2．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣3x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=x2+bx+c经过A，C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）．

（1）求抛物线的解析式及点B坐标；

（2）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交x轴于点F，交抛物线于点E．求ME长的最大值；

（3）试探究当ME取最大值时，在x轴下方抛物线上是否存在点P，使以M，F，B，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．

第1页（共29页）

3．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴的交点

分别为A、B两点，将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C．

（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；

（2）若（1）中抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；

（3）若把（1）中的抛物线向左平移3.5个单位，则图象与x轴交于F、N（点F在点N的左侧）两点，交y轴于E点，则在此抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使点Q到E、N两点的距离之差最大？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

4．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴的交点

分别为A、B，将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C．

（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；

（2）若抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；

（3）设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T，Q为线段BT上一点，直接写出|QA﹣QO|的取值范围．

第2页（共29页）

5．如图，Rt△OAB如图所示放置在平面直角坐标系中，直角边OA与x轴重合，∠OAB=90°，OA=4，AB=2，把Rt△OAB绕点O逆时针旋转90°，点B旋转到点C的位置，一条抛物线正好经过点O，C，A三点． （1）求该抛物线的解析式；

（2）在x轴上方的抛物线上有一动点P，过点P作x轴的平行线交抛物线于点M，分别过点P，点M作x轴的垂线，交x轴于E，F两点，问：四边形PEFM的周长是否有最大值？如果有，请求出最值，并写出解答过程；如果没有，请说明理由．

（3）如果x轴上有一动点H，在抛物线上是否存在点N，使O（原点）、C、H、N四点构成以OC为一边的平行四边形？若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．

6．如图，直线y=﹣x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y=ax2+x+c经过B、C两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求

第3页（共29页）

出点E的坐标和△BEC面积的最大值？

（3）在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

7．如图，抛物线y=ax2+bx+2与坐标轴交于A、B、C三点，其中B（4，0）、C（﹣2，0），连接AB、AC，在第一象限内的抛物线上有一动点D，过D作DE⊥x轴，垂足为E，交AB于点F． （1）求此抛物线的解析式；

（2）在DE上作点G，使G点与D点关于F点对称，以G为圆心，GD为半径作圆，当⊙G与其中一条坐标轴相切时，求G点的横坐标；

（3）过D点作直线DH∥AC交AB于H，当△DHF的面积最大时，在抛物线和直线AB上分别取M、N两点，并使D、H、M、N四点组成平行四边形，请你直接写出符合要求的M、N两点的横坐标．

8．已知直线y=kx+b（k≠0）过点F（0，1），与抛物线y=x2相交于B、C两

第4页（共29页）

点．

（1）如图1，当点C的横坐标为1时，求直线BC的解析式；

（2）在（1）的条件下，点M是直线BC上一动点，过点M作y轴的平行线，与抛物线交于点D，是否存在这样的点M，使得以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，设B（m．n）（m＜0），过点E（0．﹣1）的直线l∥x轴，BR⊥l于R，CS⊥l于S，连接FR、FS．试判断△RFS的形状，并说明理由．

9．抛物线y=x2+bx+c经过A（0，2），B（3，2）两点，若两动点D、E同时从原点O分别沿着x轴、y轴正方向运动，点E的速度是每秒1个单位长度，点D的速度是每秒2个单位长度． （1）求抛物线与x轴的交点坐标；

（2）若点C为抛物线与x轴的交点，是否存在点D，使A、B、C、D四点围成的四边形是平行四边形？若存在，求点D的坐标；若不存在，说明理由； （3）问几秒钟时，B、D、E在同一条直线上？

第5页（共29页）

2017年05月03日1587830199的初中数学组卷

参考答案与试题解析

一．解答题（共9小题）

1．（2016?安顺）如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标； （3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．

）三点．

【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0）， ∵A（﹣1，0），B（5，0），C（0，

）三点在抛物线上，

∴，

解得．

∴抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣；

第6页（共29页）

（2）∵抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣， ∴其对称轴为直线x=﹣

=﹣

=2，

连接BC，如图1所示， ∵B（5，0），C（0，﹣），

∴设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0）， ∴

，

解得，

∴直线BC的解析式为y=x﹣， 当x=2时，y=1﹣=﹣， ∴P（2，﹣）；

（3）存在． 如图2所示，

①当点N在x轴下方时，

∵抛物线的对称轴为直线x=2，C（0，﹣）， ∴N1（4，﹣）； ②当点N在x轴上方时，

第7页（共29页）

如图，过点N2作N2D⊥x轴于点D， 在△AN2D与△M2CO中，

∴△AN2D≌△M2CO（ASA），

∴N2D=OC=，即N2点的纵坐标为． ∴x2﹣2x﹣=， 解得x=2+∴N2（2+

或x=2﹣

，

，）．

，）或（2﹣

，）．

，），N3（2﹣

综上所述，符合条件的点N的坐标为（4，﹣），（2+

2．（2016?十堰一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣3x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=x2+bx+c经过A，C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）．

（1）求抛物线的解析式及点B坐标；

（2）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交x轴于点F，交抛物线于点E．求ME长的最大值；

（3）试探究当ME取最大值时，在x轴下方抛物线上是否存在点P，使以M，F，B，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．

第8页（共29页）

【解答】解：（1）当y=0时，﹣3x﹣3=0，x=﹣1 ∴A（﹣1，0） 当x=0时，y=﹣3， ∴C（0，﹣3）， ∴∴

，

抛物线的解析式是：y=x2﹣2x﹣3． 当y=0时，x2﹣2x﹣3=0， 解得：x1=﹣1，x2=3 ∴B（3，0）．

（2）由（1）知B（3，0），C（0，﹣3）直线BC的解析式是：y=x﹣3， 设M（x，x﹣3）（0≤x≤3），则E（x，x2﹣2x﹣3）

∴ME=（x﹣3）﹣（x2﹣2x﹣3）=﹣x2+3x=﹣（x﹣）2+； ∴当x=时，ME的最大值为．

（3）答：不存在．

由（2）知ME取最大值时ME=，E（，﹣∴MF=，BF=OB﹣OF=．

设在抛物线x轴下方存在点P，使以P、M、F、B为顶点的四边形是平行四边形， 则BP∥MF，BF∥PM．

∴P1（0，﹣）或P2（3，﹣）

），M（，﹣）

第9页（共29页）

当P1（0，﹣）时，由（1）知y=x2﹣2x﹣3=﹣3≠﹣ ∴P1不在抛物线上．

当P2（3，﹣）时，由（1）知y=x2﹣2x﹣3=0≠﹣ ∴P2不在抛物线上．

综上所述：在x轴下方抛物线上不存在点P，使以P、M、F、B为顶点的四边形是平行四边形．

3．（2016?义乌市模拟）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线

与x轴、y轴的交点分别为A、B两点，将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C．

（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；

（2）若（1）中抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；

（3）若把（1）中的抛物线向左平移3.5个单位，则图象与x轴交于F、N（点F在点N的左侧）两点，交y轴于E点，则在此抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使点Q到E、N两点的距离之差最大？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）连接CH

由轴对称得CH⊥AB，BH=BO，CH=CO ∴在△CHA中由勾股定理，得 AC2=CH2+AH2 ∵直线

与x轴、y轴的交点分别为A、B两点

∴当x=0时，y=6，当y=0时，x=8

第10页（共29页）

∴B（0，6），A（8，0） ∴OB=6，OA=8，

在Rt△AOB中，由勾股定理，得 AB=10

设C（a，0），∴OC=a

∴CH=a，AH=4，AC=8﹣a，在Rt△AHC中，由勾股定理，得 （8﹣a）2=a2+42解得 a=3 C（3，0）

设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c，由题意，得

解得：

∴抛物线的解析式为：∴

（2）由（1）的结论，得 D（∴DF=

）

设BC的解析式为：y=kx+b，则有

解得

直线BC的解析式为：y=﹣2x+6

设存在点P使四边形ODAP是平行四边形，P（m，n） 作PE⊥OA于E，HD交OA于F．

第11页（共29页）

∴∠PEO=∠AFD=90°，PO=DA，PO∥DA ∴∠POE=∠DAF ∴△OPE≌△ADF ∴PE=DF=n=∴×=P（

）

当x=时， y=﹣2×+6=1≠

∴点P不再直线BC上，即直线BC上不存在满足条件的点P．

（3）由题意得，平移后的解析式为：

∴对称轴为：x=2， 当x=0时，y=﹣当y=0时，0=解得：

∵F在N的左边 F（

，0），E（0，﹣

），N（，0）

连接EF交x=2于Q，设EF的解析式为：y=kx+b，则有

解得：

第12页（共29页）

∴EF的解析式为：y=﹣x﹣∴

解得：∴Q（2，

）．

4．（2016?深圳模拟）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线

与

x轴、y轴的交点分别为A、B，将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C．

第13页（共29页）

（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；

（2）若抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；

（3）设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T，Q为线段BT上一点，直接写出|QA﹣QO|的取值范围．

【解答】解：（1）点C的坐标为（3，0）．（1分） ∵点A、B的坐标分别为A（8，0），B（0，6），

∴可设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=a（x﹣3）（x﹣8）． 将x=0，y=6代入抛物线的解析式， 得

．（2分）

．（3分）

∴过A、B、C三点的抛物线的解析式为

（2）可得抛物线的对称轴为直线，顶点D的坐标为，

设抛物线的对称轴与x轴的交点为G． 直线BC的解析式为y=﹣2x+6.4分） 设点P的坐标为（x，﹣2x+6）．

解法一：如图，作OP∥AD交直线BC于点P， 连接AP，作PM⊥x轴于点M． ∵OP∥AD，

∴∠POM=∠GAD，tan∠POM=tan∠GAD． ∴

，

第14页（共29页）

即．

解得经检验

．

是原方程的解．

．（5分）

，OM＜GA．

，

此时点P的坐标为但此时∵

∴OP＜AD，即四边形的对边OP与AD平行但不相等， ∴直线BC上不存在符合条件的点P（6分）

解法二：如图，取OA的中点E，

作点D关于点E的对称点P，作PN⊥x轴于 点N．则∠PEO=∠DEA，PE=DE． 可得△PEN≌△DEG． 由

，可得E点的坐标为（4，0）．

．

NE=EG=，ON=OE﹣NE=，NP=DG=∴点P的坐标为∵x=时，

∴点P不在直线BC上．

．（5分）

，

∴直线BC上不存在符合条件的点P．（6分）

第15页（共29页）

（3）|QA﹣QO|的取值范围是．（8分）

当Q在OA的垂直平分线上与直线BC的交点时，（如点K处），此时OK=AK，则|QA﹣QO|=0，

当Q在AH的延长线与直线BC交点时，此时|QA﹣QO|最大， 直线AH的解析式为：y=﹣x+6，直线BC的解析式为：y=﹣2x+6， 联立可得：交点为（0，6）， ∴OQ=6，AQ=10， ∴|QA﹣QO|=4，

∴|QA﹣QO|的取值范围是：0≤|QA﹣QO|≤4．

5．（2016?山西模拟）如图，Rt△OAB如图所示放置在平面直角坐标系中，直角边OA与x轴重合，∠OAB=90°，OA=4，AB=2，把Rt△OAB绕点O逆时针旋转90°，点B旋转到点C的位置，一条抛物线正好经过点O，C，A三点． （1）求该抛物线的解析式；

（2）在x轴上方的抛物线上有一动点P，过点P作x轴的平行线交抛物线于点M，分别过点P，点M作x轴的垂线，交x轴于E，F两点，问：四边形PEFM的

第16页（共29页）

周长是否有最大值？如果有，请求出最值，并写出解答过程；如果没有，请说明理由．

（3）如果x轴上有一动点H，在抛物线上是否存在点N，使O（原点）、C、H、N四点构成以OC为一边的平行四边形？若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）因为OA=4，AB=2，把△AOB绕点O逆时针旋转90°， 可以确定点C的坐标为（2，4）；由图可知点A的坐标为（4，0）， 又因为抛物线经过原点，故设y=ax2+bx把（2，4），（4，0）代入， 得解得

，

所以抛物线的解析式为y=﹣x2+4x；

（2）四边形PEFM的周长有最大值，理由如下：

由题意，如图所示，设点P的坐标为P（a，﹣a2+4a）则由抛物线的对称性知OE=AF， ∴EF=PM=4﹣2a，PE=MF=﹣a2+4a，

则矩形PEFM的周长L=2[4﹣2a+（﹣a2+4a）]=﹣2（a﹣1）2+10， ∴当a=1时，矩形PEFM的周长有最大值，Lmax=10；

（3）在抛物线上存在点N，使O（原点）、C、H、N四点构成以OC为一边的平行四边形，理由如下：

∵y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4可知顶点坐标（2，4），

第17页（共29页）

∴知道C点正好是顶点坐标，知道C点到x轴的距离为4个单位长度， 过点C作x轴的平行线，与x轴没有其它交点，过y=﹣4作x轴的平行线，与抛物线有两个交点，

这两个交点为所求的N点坐标所以有﹣x2+4x=﹣4 解得x1=2+∴N点坐标为N1（2+

，﹣4），N2（2﹣

，﹣4）．

，x2=2﹣

6．（2015?葫芦岛）如图，直线y=﹣x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y=ax2+x+c经过B、C两点． （1）求抛物线的解析式；

（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E的坐标和△BEC面积的最大值？

（3）在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

第18页（共29页）

【解答】解：（1）∵直线y=﹣x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B， ∴点B的坐标是（0，3），点C的坐标是（4，0）， ∵抛物线y=ax2+x+c经过B、C两点， ∴

解得

∴y=﹣x2+x+3．

（2）如图1，过点E作y轴的平行线EF交直线BC于点M，EF交x轴于点F，

，

∵点E是直线BC上方抛物线上的一动点， ∴设点E的坐标是（x，﹣x2+x+3）， 则点M的坐标是（x，﹣x+3），

第19页（共29页）

∴EM=﹣x2+x+3﹣（﹣x+3）=﹣x2+x， ∴S△BEC=S△BEM+S△MEC =

=×（﹣x2+x）×4 =﹣x2+3x

=﹣（x﹣2）2+3，

∴当x=2时，即点E的坐标是（2，3）时，△BEC的面积最大，最大面积是3．

（3）在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形．

①如图2，，

由（2），可得点M的横坐标是2， ∵点M在直线y=﹣x+3上， ∴点M的坐标是（2，）， 又∵点A的坐标是（﹣2，0）， ∴AM=

=

，

∴AM所在的直线的斜率是：∵y=﹣x2+x+3的对称轴是x=1，

；

∴设点Q的坐标是（1，m），点P的坐标是（x，﹣x2+x+3），

第20页（共29页）

则

解得或，

∵x＜0，

∴点P的坐标是（﹣3，﹣

）．

②如图3，，

由（2），可得点M的横坐标是2， ∵点M在直线y=﹣x+3上， ∴点M的坐标是（2，）， 又∵点A的坐标是（﹣2，0）， ∴AM=

=

，

∴AM所在的直线的斜率是：；

∵y=﹣x2+x+3的对称轴是x=1，

∴设点Q的坐标是（1，m），点P的坐标是（x，﹣第21页（共29页）

x2+x+3），

则

解得或，

∵x＞0，

∴点P的坐标是（5，﹣

）．

③如图4，，

由（2），可得点M的横坐标是2， ∵点M在直线y=﹣x+3上， ∴点M的坐标是（2，）， 又∵点A的坐标是（﹣2，0）， ∴AM=

=

，

∵y=﹣x2+x+3的对称轴是x=1，

∴设点Q的坐标是（1，m），点P的坐标是（x，﹣则

第22页（共29页）

x2+x+3），

解得，

）．

∴点P的坐标是（﹣1，综上，可得

在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形， 点P的坐标是（﹣3，﹣

7．（2015?梧州）如图，抛物线y=ax2+bx+2与坐标轴交于A、B、C三点，其中B（4，0）、C（﹣2，0），连接AB、AC，在第一象限内的抛物线上有一动点D，过D作DE⊥x轴，垂足为E，交AB于点F． （1）求此抛物线的解析式；

（2）在DE上作点G，使G点与D点关于F点对称，以G为圆心，GD为半径作圆，当⊙G与其中一条坐标轴相切时，求G点的横坐标；

（3）过D点作直线DH∥AC交AB于H，当△DHF的面积最大时，在抛物线和直线AB上分别取M、N两点，并使D、H、M、N四点组成平行四边形，请你直接写出符合要求的M、N两点的横坐标．

）、（5，﹣

）、（﹣1，

）．

【解答】解：（1）∵B，C两点在抛物线y=ax2+bx+2上， ∴

，

解得：．

∴所求的抛物线为：y=

．

第23页（共29页）

（2）抛物线y=，则点A的坐标为（0，2），

设直线AB的解析式为y=kx+b， ∴解得：

， ．

∴直线AB的解析式为y=﹣x+2， 设F点的坐标为（x，

x+2），则D点的坐标为（x，

），

∵G点与D点关于F点对称， ∴G点的坐标为（x，

），

若以G为圆心，GD为半径作圆，使得⊙G与其中一条坐标轴相切， ①若⊙G与x轴相切则必须由DG=GE， 即﹣x2+x+2﹣（解得：x=，x=4（舍去）；

②若⊙G与y轴相切则必须由DG=OE， 即

解得：x=2，x=0（舍去）．

综上，以G为圆心，GD为半径作圆，当⊙G与其中一条坐标轴相切时，G点的横坐标为2或．

（3）M点的横坐标为2±2

，N点的横坐标为±2

．

）=，

第24页（共29页）

8．（2015?资阳）已知直线y=kx+b（k≠0）过点F（0，1），与抛物线y=x2相交

于B、C两点．

（1）如图1，当点C的横坐标为1时，求直线BC的解析式；

（2）在（1）的条件下，点M是直线BC上一动点，过点M作y轴的平行线，与抛物线交于点D，是否存在这样的点M，使得以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，设B（m．n）（m＜0），过点E（0．﹣1）的直线l∥x轴，BR⊥l于R，CS⊥l于S，连接FR、FS．试判断△RFS的形状，并说明理由． 【解答】解：（1）因为点C在抛物线上，所以C（1，）， 又∵直线BC过C、F两点， 故得方程组：

解之，得，

所以直线BC的解析式为：y=﹣x+1；

（2）要使以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形，则MD=OF，如图1所示，

设M（x，﹣x+1），则D（x，x2）， ∵MD∥y轴，

∴MD=﹣x+1﹣x2，

由MD=OF，可得|﹣x+1﹣x2|=1，

第25页（共29页）

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ec47.html