相似三角形的性质和应用讲义

个性化辅导讲义

学生： 科目： 第 阶段第 次课 教师：

相似三角形的性质和应用 课 题 1、经历相似三角形性质“相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比”“相似三角形的周长之比等于相似比”和“相似三角形的面积之比等于相似比的平方”的探究过程. 2、掌握“相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比”“相似三角形的周长之比等于相似比”和“相似三角形的面积之比等于相似比的平方”的两个性质. 3、会运用上述两个性质解决简单的几何问题. 1、本节教学的重点是关于相似三角形的周长和面积的两个性质及对应线段的性质. 2、相似三角形的性质的证明，要用到相似三角形的判定及性质，过程比较复杂，是本节教学的难点. 1、相似三角形的对应角相等，对应边成比例. 2、相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 教学目标 重点、难点 考点及考试要求 教学内容 知识框架 1、相似三角形的对应角相等，对应边成比例. 2、相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比. 3、相似三角形的周长比等于相似比；相似三角形的面积比等于相似比的平方. 考点一：计算线段的长或线段之间的比 典型例题 1典型例题1、 已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AC=6，DB=5，求CAD的长． A分析：由已知AC=6，DB=5，选用AC?AD?AB来解决，考虑△ACD∽△ABC． 2DB解：在△ACD和△ABC中， ∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB=90°， ∴△ACD∽△ABC． ∴ACAD2?．∴AC?AD?AB． ABAC设AD=x，则AB=x+5，又AC=6， 1

杭州龙文教育科技有限公司

2个性化辅导讲义 ∴62?x(x?5)． x?5x?36?0 解得：x=4（舍去负值） ∴AD=4． 针对性练习 针对练习： 如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，底边上的高AD=10cm，腰AC上的高BE=12cm． AAB5?； （1）求证：BD3 B 2典型例题2 已知：如图，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D． 求证： BC2＝2CD〃AC． 思考：欲证 BC2＝2CD〃AC，只需证EDCBCAC?．但因为结论中有“2”，2CDBC无法直接找到它们所在的相似三角形，该怎么办？ 证法一（构造2CD）：如图，在AC截取DE＝DC， ∵BD⊥AC于D， ∴BD是线段CE的垂直平分线， ∴BC=BE，∴∠C=∠BEC， 又∵ AB＝AC， ∴∠C=∠ABC． ∴ △BCE∽△ACB． ∴AEDBCBCACBCAC??， ∴ CEBC2CDBC∴BC2＝2CD〃AC． 针对练习： 证法二（构造2AC）： 证法三（构造 AD1BC）： 2BC 知识概括、方法总结与易错点分析 1、 相似三角形对应边成比例； 2、从结论出发找到边所在的三角形，再利用已知条件证明三角形相似。 2

杭州龙文教育科技有限公司

个性化辅导讲义 考点二：证明线段平行 典型例题 典型例题．如图，AD为?ABC的角平分线，BE垂直于AD的延长线于E，CF?AD于F，BF，EC的延长线交于点P， 求证：CF//AP 证明 ?CF?AD，BE?AD， ??BEA??CFA?90?，CF//BE. CFCP? BEPE又??BAE??CAF， ??ABE∽?ACF BEAE?， ?CFAFCFAF?即. BEAECPAF? ?PEAE?CF//AP ? 针对练习：如图，梯形ABCD中，AB//CD，M为AB的中点，分别连结AC，BD，MD，MC，且AC与MD交于E，DB与MC交于F，求证：EF//CD 知识概括、方法总结与易错点分析 相似三角形的判断、性质和平行线的判定。 考点三：求相似三角形的周长 典型例题 例：两相似三角形的对应边的比为4：5，周长和为360cm，这两个三角形的周长分别是多少？ 解： 因为相似三角形的周长比等于对应比，所以相似三角形的对应边是4比5，则周长比也是4比5 设小三角形周长为A，大三角形周长为B A：B=4：5 A=360÷（4+5）×4=160 cm B=360÷（4+5）×5=200 cm 所以这两个三角形的周长分别是160 cm和200 cm 3

杭州龙文教育科技有限公司

针对练习： 个性化辅导讲义 AEFD如图，D、E分别是AC，AB上的点，∠ADE＝∠B，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F.若AD＝3，AB＝5，求： AG（1） ； AF（2）△ADE与△ABC的周长之比； 知识概括、方法总结与易错点分析 相似三角形的周长比等于相似比 考点四：计算多边形的面积 BGCCD交AB于E，典型例题1．如图，已知：在?ABC与?CAD中，DA//BC，且AE:EB?1:2，EF//BC交AC于F，S?ADE?1。求S?BCE和S?AEF 解答：?DA//BC，??ADE∽?BCE?S?ADE:S?BCE?AE2:BE2 又?AE:BE?1:2，?S?ADE:S?BCE?1:4 ?S?ADE?1，?S?BCE?4 ?EF//BC，??AEF∽?ABC ?EF:BC?AE:AB ?AE:EB?1:2，?EF:BC?AE:AB?1:3 又??ADE∽?BCE，?AD:BC?1:2，BC?2AD?EF:AD?2:3 ?AD//EF，??ADE与?AEF等高 2?S?AEF:S?ADE?EF:AD?2:3 ?S?AEF? 3针对练习．如图，已知，在梯形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若?COD的面积为a，2?AOB的面积为b2，其中a?0，b?0. 求：梯形ABCD的面积S 4

杭州龙文教育科技有限公司

个性化辅导讲义 2典型例题2．已知等腰直角三角形的面积为36cm，它的内接矩形的一边在斜边上，且矩形的两边之比为5：2，求矩形的面积 解：如图，?ABC中，?A?90?，AB?AC，内接矩形DEFG 由等腰直角三角形和矩形的性质，得BE?DE?GF?FC ?EF:DE?5:2， ?BE:EF:FC?2:5:2 12设AB为x，则S?ABC?x?36 2由勾股定理得BC?2x 22?BC2?144 ?BC?12 228?DE?BC??12? 9935520EF?BC??12? 9938207?矩形DEFG面积???17(cm2) 339漏解：如图所示的情况时，DE:EF?5:2，同理可得S矩形DEFG?10cm2 针对练习1：如图所示直角?ABC中，两直角边长分别为3和4，它的内接正方形有两种情况：①一边在斜边上；②一边在直角边上。试比较这两种情况中正方形的大小。 针对练习2：AD是?ABC的高，E是BC的中点，EF?BC交AC于F，若BD?15，DC?27，AC?45，求AF 知识概括、方法总结与易错点分析 ⑴在相似形中，面积比等于相似比的平方； ⑵同底（或等底）三角形面积之比等于对应高的比； ⑶同高（或等高）三角形面积之比等于对应底的比。 5

杭州龙文教育科技有限公司

考点五：相似三角形的实际应用 个性化辅导讲义 例1：某市经济开发区建有B，C，D三个食品加工厂，这三个工厂和开发区A处的自来水厂正好在一个矩形的四个顶点上，它们之间有公路相通，且AB?CD?900米，AD?BC?1700米，AE?1500米．自来水公司已经修好一条自来水主管道AN，BC两厂之间的公路与自来水管道交于E处，EC?500米．若修建自来水主管道到各工厂的自来水管道的费用由各厂负担，每米造价800元． （1）要使修建自来水管道的造价最低，这三个工厂的自来水管道路线应怎样设计？并在图形中画出； （2）求出各厂所修建自来水管道的最低造价各是多少元？ 分析：要使修建自来水管道的造价最低，则每个厂铺设的管道应最短，根据垂线段最短，可知三个厂家应分别沿垂直于AN的方向铺设．要计算各厂所修建自来水管道的最低造价，可以分别求出铺设管道的长度． 解：（1）如图1，过B，C，D分别作AN的垂线段 BH，CF，DG，交AN于H，F，G，BH，CF，DG 即为所求的造价最低的管道路线． （2）由△ABE∽△CFE，得CFCE?，所以 ABAECE?AB500?900??300（米）． AE1500CFCEBE?CF1200?300???720（米） 由△BHE∽△CFE，得，所以BH?， BHBECE500ABAE900?1700??1020（米） 由△ABE∽△DGA，得，所以DG?． DGAD1500 所以B，C，D三厂所建自来水管道的最低造价分别是720?800?576000（元），300?800?240000（元），1020?800?816000（元）． CF? 例2：如图2，在水平的桌面上两个“E”，当点P，P2，O在一直线上时，在点O处用①号“E”测1得的视力与用②号“E”测得的视力相同． （1）图中b1，b2，l1，l2满足怎样的关系式？ （2）若b1?3.2cm，b2?2cm，①号“E”的测试距离l1?8m，要使测得的视力相同，则②号“E”的测试距离l2应为多少？ 6

杭州龙文教育科技有限公司

个性化辅导讲义 分析：本题是一道以生活实际为素材的探索型试题，解决问题的关键是从实际问题中构建数学模型．从已知图形可得PD11∽△P2D2O，借助相似三角形的特征列出比例11∥P2D2，由此可得△PDO式可解决问题． 解：（1）因为PD11∽△P2D2O，所以11∥P2D2，所以△PDOPDDObl11?1，即1?1． P2D2D2Ob2l2 （2）因为b1l1?，且b1?3.2cm，b2?2cm，l1?8m， b2l2 所以3.28，l2?5m． ?（注：可不进行单位换算）2l2 即②号“E”的测试距离是l2?5m． 巩固作业 1.若△ABC∽△DEF,△ABC的面积为81cm2,△DEF的面积为36cm2,且AB=12cm,则 DE= cm 2.等腰三角形ABC和DEF相似，其相似比为3：4，则它们底边上对应高线的比为（ ）A、3：4 B、4：3 C、1：2 D、2：1 3.如图，这是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射到桌面后在地面上形成（圆形）的示意图. 已知桌面直径为1.2米，桌面离地面1米. 若灯泡离地面3米，则地面上阴影部分的面积为 （ -） A.、0.36?米2 B、0.81?米2 C、2?米2 D、3.24?米2 4.如图，分别取等边三角形ABC各边的中点D、E、F，得△DEF.若△ABC的边长为a. （1）△DEF与△ABC相似吗？如果相似，相似比是多少？ （2）分别求出这两个三角形的面积. （3）这两个三角形的面积比与边长之比有什么关系吗？ 5.如图，在ΔABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，设运动时间为x.（1）当x为何值时，PQ∥BC？（2）当[来源:Z。xx。k.Com][来源:学#科#网][来源:学科网] S?BCQS?ABCS?BPQ1的值； ?，求S?ABC37 杭州龙文教育科技有限公司

个性化辅导讲义 6.在△ABC中，AE∶EB=1 ∶2，EF∥BC，AD∥BC交CE的延长线于D，求S△AEF∶S△BCE的值. 7.如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm， 高AD=80mm， 要把它加工成矩形零件，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上， （1）若这个矩形是正方形，那么边长是多少？ P （2）若这个矩形的长是宽的2倍，则边长是多少？ 答案：1、8cm 2、A 3、B 4、（1）相似.B Q D M C A E N 132 32 （2）aa (3)面积之比的平方等于2416相似比 5、（1）x= 30s (2)721240480 6 、 7、（1）48 mm （2）宽是mm，长mm. 9677西湖城北三墩校区：唐永海老师

8

杭州龙文教育科技有限公司

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ec43.html