第二讲 直线与圆的位置关系 知识归纳 课件(人教A选修4-1)

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近两年高考中，主要考查圆的切线定理，切割线定理，相 交弦定理，圆周角定理以及圆内接四边形的判定与性质等.题目

难度不大，以容易题为主.对于与圆有关的比例线段问题通常要考虑利用相交弦定理、割线定理、切割线定理、相似三角形的判 定和性质等；弦切角是沟通圆内已知和未知的桥梁，它在解决圆 内有关等角问题中可以大显身手；证明四点共圆也是常见的考查 题型，常见的证明方法有：①到某定点的距离都相等；②如果某

两点在一条线段的同侧时，可证明这两点对该线段的张角相等；③证明凸四边形的内对角互补(或外角等于它的内对角)等.

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1.(2012· 天津高考)如图，已知AB和AC 是圆的两条弦，过点B作圆的切线与 AC的延长线相交于点D.过点C作BD的 平行线与圆相交于点E,与AB相交于 3 点F,AF=3,FB=1,EF= , 2 则线段CD的长为________.

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3 解析：因为 AB 与 CE 相交于 F 点，且 AF=3,EF= ,FB 2 AF· FB 3×1 =1, 所以 CF= EF = =2, 因为 EC∥BD, 所以△ACF 3 2 AF CF AC AD-CD 3 ∽△ABD,所以 AB = BD = AD = AD = ,所以 BD= 4 CF· AB 2×4 8 AF = 3 =3,且 AD=4CD,又因为 BD 是圆的切线，所 4 2 2 以 BD =CD· AD=4CD ,所以 CD= . 34 答案： 3

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2.(2011· 北京高考)如图，AD,AE,BC分别与圆O切于 点D,E,F,延长AF与圆O交于另一点G.给出下列三 个结论： ①AD+AE=AB+BC+CA;

②AF· AG=AD· AE;③△AFB∽△ADG. 其中正确结论的序号是 A.①② C.①③ B.②③ D.①②③ ( )

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解析：逐个判断：由切线定理得CE=CF,BD=BF,所 以AD+AE=AB+BD+AC+CE=AB+AC+BC,即① 正确；由切割线定理得AF· AG=AD2=AD· AE,即②正确； 因为△ADF∽△AGD,所以③错误. 答案：A

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3.(2011· 新课标全国卷)如图，D,E分

别为△ABC的边AB,AC上的点，且不与△ABC的顶点重合.已知AE 的长为m,AC的长为n,AD,AB的 长是关于x的方程x2-14x+mn=0的两个根. (1)证明：C,B,D,E四点共圆； (2)若∠A=90°,且m=4,n=6, 求C,B,D,E所在圆的半径.

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解：(1)证明：连接DE, 则在△ADE和△ACB中， AD×AB=mn=AE×AC, AD AE 即AC =AB. 又∠DAE=∠CAB, 从而△ADE∽△ACB. 因此∠ADE=∠ACB, 所以C,B,D,E四点共圆.

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(2)m=4,n=6 时， 方程 x2-14x+mn=0 的两根为 x1=2,x2=12. 故 AD=2,AB=12. 取 CE 的中点 G,DB 的中点 F,分别过 G,F 作 AC,AB 的垂线，两垂线相交于 H 点，连接 DH. 因为 C,B,D,E 四点共圆， 所以 C,B,D,E 四点所在圆的圆心为 H,半径为 DH. 由于∠A=90° ,故 GH∥AB,HF∥AC. 1 从而 HF=AG=5,DF= ×(12-2)=5. 2 故 C,B,D,E 四点所在圆的半径为 5 2.

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圆内接四边形是中学教

学的主要研究问题之一， 近几年各地的高考选做题中常涉及圆内接四边形的判 定和性质. [例1] 已知四边形ABCD为平行四边形，过点A和

点B的圆与AD、BC分别交于E、F.求证：C、D、E、F四点共圆.

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[证明] 连接EF,因为四边形ABCD为平行四边形， 所以∠B+∠C=180°. 因为四边形ABFE内接于圆， 所以∠B+∠AEF=180°.

所以∠AEF=∠C.所以C、D、E、F四点共圆.

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[例2]

如图，ABCD是⊙O的内接四

边形，延长BC到E,已知∠BCD∶∠ECD =3∶2,那么∠BOD等于 A.120° C.144° ( )

B.136° D.150°

[解析] 由圆内接四边形性质知∠A=∠DCE,而∠BCD∶∠ECD=3∶2, 且∠BCD+∠ECD=180°,∠ECD=72°. 又由圆周角定理知∠BOD=2∠A=144°. [答案] C

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直线与圆有三种位置关系，即相交、相切、相离； 其中直线与圆相切的位置关系非常重要，结合此知识点

所设计的有关切线的判定与性质、弦切角的性质等问题是高考选做题热点之一，解题时要特别注意.

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[例3]

如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，

∠ABC=90° ,点P是圆外一点，PA切⊙O于点 A,且PA=PB. (1)求证：PB是⊙O的切线； (2)已知PA= 3,BC=1,求⊙O的半径.

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[解]

(1)证明：如图，连接OB.

∵OA=OB,∴∠OAB=∠OBA.∵PA=PB,∴∠PAB=∠PBA. ∴∠OAB+∠PAB= ∠OBA+∠PBA, 即∠PAO=∠PBO.

又∵PA是⊙O的切线，∴∠PAO=90°.∴∠PBO=90°.∴OB⊥PB. 又OB是⊙O半径，∴PB是⊙O的切线.

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(2)连接OP,交AB于点D.如图. ∵PA=PB,∴点P在线段AB的垂直平分线上. ∵OA=OB,∴点O在线段AB的垂直平分线上. ∴OP垂直平分线段AB. ∴∠PAO=∠PDA=90° . 又∵∠APO=∠OPA,∴△APO∽△DPA. AP PO ∴DP= PA .∴AP2=PO· DP. 1 1 又∵OD= BC= ,∴PO(PO-OD)=AP2. 2 2 1 2 即PO - PO=( 3)2,解得PO=2. 2 在Rt△APO中，OA= PO2-PA2=1, 即⊙O的半径为1.

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圆的切线、割线、相交弦可以构成许多相似三角形， 结合相似三角形的性质，又可以得到一些比例式、乘积 式，在解题中，多联系这些知识，能够计算或证明角、 线段的有关结论.

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[例 4]

(2010· 陕西高考)如图，已知 Rt△

ABC 的两条直角边 AC,BC 的长分别为 3 cm, BD 4 cm, AC 为直径的圆与 AB 交于点 D, DA 以 则 =________. [解析] 由题意得BC=4,AC=3,∴AB=5.由切割线定理得：BC2=BD· AB, 16 16 9 ∴BD= ,AD=5- = . 5 5 5 BD 16 ∴DA= . 9[答案] 16 9

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