（江苏）高考数学 高考必会题型 专题三 函数与导数 第8练 函数性

第8练 函数性质在运用中的巧思妙解

题型一 直接考查函数的性质

例1 “a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，＋∞)内单调递增”的________条件．

破题切入点 首先找出f(x)在(0，＋∞)递增的等价条件，然后从集合的观点来研究充要条件． 答案 充要

解析 当a＝0时，f(x)＝|(ax－1)x|＝|x|在区间(0，＋∞)上单调递增；

当a<0时，结合函数f(x)＝|(ax－1)x|＝|ax2－x|的图象知函数在(0，＋∞)上单调递增，如图(1)所示；

当a>0时，结合函数f(x)＝|(ax－1)x|＝|ax2－x|的图象知函数在(0，＋∞)上先增后减再增，不符合条件，如图(2)所示．

所以，要使函数f(x)＝|(ax－1)x|在(0，＋∞)上单调递增只需a≤0.

即“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，＋∞)内单调递增”的充要条件． 题型二 函数性质与其他知识结合考查

例2 函数y＝f(x)的图象如图所示，在区间[a，b]上可找到n(n≥2)个不同的数x1，x2，…，xn，f?x1?f?x2?f?xn?

使得x1＝x2＝…＝xn，则n的取值范围为________．

破题切入点 从已知的比值相等这一数量关系出发，找图象上的表示形式，再找与原函数图象的关系，进一步判断出结果． 答案 {2,3,4}

解析 过原点作直线与函数y＝f(x)的图象可以有两个、三个、四个不同的交点，因此n的取值范围是{2,3,4}．

题型三 对函数性质的综合考查 例3 已知函数f(x)＝x2＋aln x.

(1)当a＝－2时，求函数f(x)的单调递减区间；

2

(2)若函数g(x)＝f(x)＋x在[1，＋∞)上单调，求实数a的取值范围． 破题切入点 (1)直接根据f′(x)<0确定单调递减区间．

(2)g(x)在[1，＋∞)上单调，则g′(x)≥0或g′(x)≤0在[1，＋∞)上恒成立． 解 (1)由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，

- 1 -

22?x＋1??x－1?

当a＝－2时，f′(x)＝2x－x＝， x故f(x)的单调递减区间是(0,1)．

a2

(2)由题意得g′(x)＝2x＋x－x2，函数g(x)在[1，＋∞)上是单调函数． ①若g(x)为[1，＋∞)上的单调增函数，则g′(x)≥0在[1，＋∞)上恒成立， 2

即a≥x－2x2在[1，＋∞)上恒成立， 2

设φ(x)＝x－2x2，

∵φ(x)在[1，＋∞)上单调递减， ∴φ(x)max＝φ(1)＝0，∴a≥0.

②若g(x)为[1，＋∞)上的单调减函数， 则g′(x)≤0在[1，＋∞)上恒成立，不可能． ∴实数a的取值范围为[0，＋∞)．

总结提高 (1)函数单调性的等价结论：设x1、x2∈[a，b]则(x1－x2) [f(x1)－f(x2)]>0?f?x1?－f?x2?f?x1?－f?x2?

>0?f(x)在[a，b]上递增．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0?<0?f(x)在[a，b]上递

x1－x2x1－x2减．

(2)判断单调性时还可根据四则运算法则：若f(x)和g(x)都是增函数，则f(x)＋g(x)也是增函数，－f(x)是减函数，复合函数单调性根据内函数和外函数同增异减的法则． (3)求函数的单调性问题还可以求导．

(4)函数奇偶性的前提是定义域关于原点对称．

(5)任何一个函数都可以写成一个奇函数加上一个偶函数．

f?x?＋f?－x?f?x?－f?－x?f?x?＋f?－x?f?x?－f?－x?

如f(x)＝＋，为偶函数，而为奇函数． 2222(6)求函数的单调性要注意先研究定义域．

11

1．已知函数f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝－a，则f(log32)＝________.

3x＋2 0131

答案 2 015×2 014 解析 由题意，可知函数f(x)为奇函数， 1

所以f(0)＝－a＝0，

30＋2 0131

解得a＝2 014，所以当x≥0时， 11

f(x)＝－2 014. 3x＋2 013

11

所以f(log32)＝－2 014

3log32＋2 013

- 2 -

111

＝2 015－2 014＝－2 015×2 014. 1

从而f(log32)＝f(－log32) 1

＝－f(log32)＝2 015×2 014.

2．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 013)＝________. 答案 337

解析 ∵f(x＋6)＝f(x)，∴T＝6.

∵当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2， 当－1≤x<3时，f(x)＝x，

∴f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1， f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1， f(6)＝f(0)＝0，

∴f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1，

∴f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝f(7)＋f(8)＋…＋f(12) ＝…＝f(2 005)＋f(2 006)＋…＋f(2 010)＝1， 2 010

∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 010)＝1×6＝335. 而f(2 011)＋f(2 012)＋f(2 013) ＝f(1)＋f(2)＋f(3)＝2，

∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 013)＝335＋2＝337.

3．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2，若对任意的x∈[－2－2，2＋2]，不等式f(x＋t)≤2f(x)恒成立，则实数t的取值范围是________． 答案 (－∞，－2] 解析 设x<0，则－x>0. f(－x)＝(－x)2， 又∵f(x)是奇函数， ∴f(x)＝－x2.

∴f(x)在R上为增函数，且2f(x)＝f(2x)．

∴f(x＋t)≤2f(x)＝f(2x)?x＋t≤2x在[－2－2，2＋2]上恒成立， ∵x＋t≤2x?(2－1)x≥t，

要使原不等式恒成立，只需(2－1)(－2－2)≥t ?t≤－2即可． 4．(2013·天津改编)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a满足f(log2a)＋f(loga)≤2f(1)，则a的取值范围是________．

?1?答案 2，2 ??

解析 由题意知a>0，又∵f(x)是R上的偶函数，

1log2a＝log2a－1＝－log2a.

1∴f(log2a)＝f(－log2a)＝f(log2a)，

- 3 -

1∵f(log2a)＋f(log2a)≤2f(1)，

∴2f(log2a)≤2f(1)，即f(log2a)≤f(1)． 又∵f(x)在[0，＋∞)上递增， ∴|log2a|≤1，－1≤log2a≤1，

?1?∴a∈2，2. ??

5．函数y＝f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，当x∈(－∞，0)时，f(x)＋xf′(x)<0成立，若a＝

120.2·f(20.2)，b＝ln 2·f(ln 2)，c＝(log2114)·f(log21

4

)，则a，b，c的大小关系是________．答案 b>a>c

解析 因为函数y＝f(x－1)的图象关于直线x＝1对称， 所以y＝f(x)关于y轴对称． 所以函数y＝xf(x)为奇函数． 因为[xf(x)]′＝f(x)＋xf′(x)，

所以当x∈(－∞，0)时，[xf(x)]′＝f(x)＋xf′(x)<0， 函数y＝xf(x)单调递减，

从而当x∈(0，＋∞)时，函数y＝xf(x)单调递减． 1因为1<20.2<2,0

4＝2， 1从而0

4，

所以b>a>c.

6．已知定义在R上的函数y＝f(x)满足以下三个条件： ①对于任意的x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)；

②对于任意的x1，x2∈R，且0≤x1＜x2≤2，都有f(x1)＜f(x2)； ③函数y＝f(x＋2)的图象关于y轴对称．

则f(4.5)，f(6.5)，f(7)的大小关系是______________． 答案 f(4.5)＜f(7)＜f(6.5)

解析 由已知得f(x)是以4为周期且关于直线x＝2对称的函数． 所以f(4.5)＝f(4＋11

2)＝f(2)， f(7)＝f(4＋3)＝f(3)，

f(6.5)＝f(4＋5f(5

2)＝2)． 又f(x)在[0,2]上为增函数． 所以作出其在[0,4]上的图象知

- 4 -

f(4.5)＜f(7)＜f(6.5)． 7．已知函数f(x)是R上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝－f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝log8(x＋1)，则f(－2 013)＋f(2 014)的值为________． 1答案 3 解析 当x≥0时，有f(x＋2)＝－f(x)， 故f(x＋4)＝f((x＋2)＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)． 由函数f(x)在R上为偶函数， 可得f(－2 013)＝f(2 013)，

故f(2 013)＝f(4×503＋1)＝f(1)， f(2 014)＝f(4×503＋2)＝f(2)． 1

而f(1)＝log8(1＋1)＝log82＝3， f(2)＝f(0＋2)＝－f(0)＝－log81＝0. 1

所以f(－2 013)＋f(2 014)＝3. ??a，a≤b，

8．对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝?设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函

?b，a>b.?

数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________．

答案 1

??log2x，0

解析 依题意，h(x)＝?

?－x＋3，x>2.?

当0

当x>2时，h(x)＝3－x是减函数， ∴h(x)在x＝2时，取得最大值h(2)＝1. 9．(2013·江苏)已知f(x)是定义在R上的奇函数．当x>0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)>x的解集用区间表示为________________． 答案 (－5,0)∪(5，＋∞)

?x2－4x，x≥0?

解析 由已知得f(0)＝0，当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－x2－4x，因此f(x)＝?

??－x2－4x，x<0???x≥0?x<0

不等式f(x)>x等价于?或?，

?x2－4x>x，???－x2－4x>x

解得：x>5或－5

10．已知函数y＝f(x)，x∈R，有下列4个命题：

①若f(1＋2x)＝f(1－2x)，则f(x)的图象关于直线x＝1对称； ②y＝f(x－2)与y＝f(2－x)的图象关于直线x＝2对称；

③若f(x)为偶函数，且f(2＋x)＝－f(x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称； ④若f(x)为奇函数，且f(x)＝f(－x－2)，则f(x)的图象关于直线x＝1对称． 其中正确命题的序号为________． 答案 ①②④

- 5 -

解析

1＋2x＋1－2x

＝1，故函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，故①正确；对于②，令t2

＝x－2，则问题等价于y＝f(t)与y＝f(－t)图象的对称问题，显然这两个函数的图象关于直线t

＝0对称，即函数y＝f(x－2)与y＝f(2－x)的图象关于直线x－2＝0即x＝2对称，故②正确；由f(x＋2)＝－f(x)，可得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，我们只能得到函数的周期为4，即只能推得函数y＝f(x)的图象关于直线x＝4k(k∈Z)对称，不能推得函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，－x＋x＋2故③错误；由于函数f(x)为奇函数，由f(x)＝f(－x－2)，可得f(－x)＝f(x＋2)，由于21，可得函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，故④正确．

11．设函数f(x)对任意的a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，且当x>0时，f(x)>1. (1)求证：f(x)是R上的增函数；

(2)若f(4)＝5，解不等式f(3m2－m－2)<3. (1)证明 方法一 设x10，∴f(Δx)>1，

∴f(x2)＝f(x1＋Δx)＝f(x1)＋f(Δx)－1>f(x1)， ∴f(x)是R上的增函数．

方法二 ∵f(0＋0)＝f(0)＋f(0)－1，∴f(0)＝1， ∴f(0)＝f(x－x)＝f(x)＋f(－x)－1＝1，

∴f(－x)＝2－f(x)．设x10， ∴f(x2－x1)＝f(x2)＋f(－x1)－1

＝f(x2)＋2－f(x1)－1＝f(x2)－f(x1)＋1>1， ∴f(x2)－f(x1)>0，∴f(x2)>f(x1)， ∴f(x)是R上的增函数．

(2)解 f(4)＝f(2)＋f(2)－1＝5，∴f(2)＝3， ∴f(3m2－m－2)<3＝f(2)．

又由(1)的结论知f(x)是R上的增函数， ∴3m2－m－2<2，∴－1

3.

12．已知函数f(x)＝a·2x＋b·3x，其中常数a，b满足ab≠0. (1)若ab>0，判断函数f(x)的单调性；

(2)若ab<0，求f(x＋1)>f(x)时x的取值范围．

解 (1)当a>0，b>0时，任意x1，x2∈R，x1

x2)．

∵2x1<2x2，a>0?a(2x1－2

x2)<0，

3x1<3

x2，b>0?b(3x1－3

x2)<0，

∴f(x1)－f(x2)<0，函数f(x)在R上是增函数．

当a<0，b<0时，同理，函数f(x)在R上是减函数． (2)f(x＋1)－f(x)＝a·2x＋2b·3x>0， 当a<0，b>0时，?3?2?a?

x>－2b，

＝- 6 -

?a?则x>log1.5－2b； ??

a?3??a?当a>0，b<0时，2x<－2b，则x

????a

故a<0，b>0时，x∈(log1.5(－2b)，＋∞)； a

a>0，b<0时，x∈(－∞，log1.5(－2b))．

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