直线与方程教案

第九章 解析几何初步

【课题】第一节 直线的倾斜角与斜率

【教学目标】

1．知识与技能:

（1）了解直线方程的概念，正确理解直线倾斜角和斜率概念， （2）理解公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式． 2．情感、态度、价值观：

（1）培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力。

（2）帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神 3．过程与方法:

通过启发引导、讨论等方法，理解直线的倾斜角与斜率的概念，掌握由直线上两点的坐标求直线的倾斜角和斜率的方法。掌握直线的点斜式方程，会实现直线方程的各种形式之间的互化。

【教学重点难点】

1．教学重点：直线的倾斜角和斜率的概念，过两点的直线的斜率公式 2．教学难点：斜率概念的学习，过两点的直线的斜率公式

【教法学法】启发式教学法、对话式教学法 【教学准备】多媒体、实物模型 【教学安排】2课时 【教学过程】 一、复习引入：

直线和圆都是最常见的简单几何图形，在生产实践和实际生活中有广泛的应用。初中几何对直线和圆的基本性质作了比较系统的研究，初中代数研究了一次函数图象及其性质，高一数学研究了三角函数、平面向量，直线和圆的方程的内容以上述知识为基础，直线和圆的方程是解析几何的基础知识，在解决实际问题中有广泛的应用。本节要研究的是直线的两个基本概念，即直线的倾斜角和斜率。 ⑴回顾一次函数的图象及性质

形如y=kx+b(k≠0)叫做一次函数；它的图象是一条直线；当k＞0时，在R

上是增函数，当k＜0时，在R上是减函数。 ⑵画出下列一次函数的图象 ①

y

=

2x

+

4

② y = －2x + 2

小结：作一次函数图象的方法－由于两点确定一条直线，故可在直线上任取两点，通常取点(0 , b)与(－b/k , 0)。

研究两点（－2,0）、（0,4）与函数式y = 2x + 4的关系是：这两点就是满足函数式的两对x、y的值。

由作图知满足函数式y = 2x + 4的每一对x、y的值都是函数y = 2x + 4上的点；这条直线上的点的坐标都满足函数式y = 2x + 4。

小结：一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线，它是以满足y=kx+b(k≠0)的每一对x、y的值为坐标的点构成的。

由于函数式y=kx+b(k≠0)也可以看成二元一次方程，所以我们说，这个方程的解和直线上的点存在这样的对应关系。 二、讲授新课： ⑴直线方程的概念

以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，这时，这个方程叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线。

在平面直角坐标系中研究直线时，就是利用直线和方程的这种关系，建立直线的方程，并通过方程来研究直线的有关问题，为此，我们先研究直线的倾斜角和斜率。正面请同学们阅读教材P34－35，理解直线的倾斜角和斜率的定义，并注意它们的变化范围。（5分钟）

⑵直线的倾斜角 ①定义:

在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。

当直线和x轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0o。 ②范围：0o≤α＜180o

y y l l α α o x o x

⑶直线的斜率

定义：倾斜角不是90o的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示，即

（4）过两点的直线的斜率公式、形式特点 方向向量：

y y P2 P2 P1 P1

α α α α o x o x 直线上的向量P直线P1P2的方1P2及与它平行的向量都称为直线的方向向量。向向量P，P2（x2,y2）；当直线P1P2

1P2的坐标是（x2－x1，y2－y1）,其中P1（x1,y1）

k = tanα（α≠90o） 与x轴不垂直时，x2≠x1，此时

1P1P2也是直线P1P2的方向向量，且它的坐x2?x1标是

1，其中k为直线P1P2的斜率。 (x2?x1,y2?y1)，即（1，k）

x2?x1注：方向向量与x轴所成的最小正角与直线l的倾斜角相等。 （5）斜率公式

经过两点P1（x1,y1），P2（x2,y2）的直线的斜率公式是： k?推导如下：

设直线P1P2的倾斜角为α，斜率为k，向量P1P2的方向是向上的（如下图），向量P1P2＝（x2－x1,y2－y1),过原点作向量OP　?P1P2,则点P（x2－x1 , y2－y1）,而且直线OP的倾斜角也是α，根据正切函数的定义有

y2?y1(x1?x2) x2?x1tan??y2?y1y?y1(x2?x1)，即k?2(x2?x1)。 x2?x1x2?x1 同样，当向量P1P2的方向是向下时，也有 同样的公式。小结：斜率公式的形式特点

⑴斜率公式与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的前后次序可同时颠倒。

⑵斜率公式表明，直线对于x轴的倾斜程度，可以通过直线上任意两点坐标表示，而不需要求出直线的倾斜角。

⑶斜率公式中，当x1＝x2时不适用，此时直线和x轴垂直，直线的倾斜角α＝90°。 3、应用举例

Y 例1 如图，直线l1的倾斜角为α1＝30°，直线l2⊥l1，求直线l1、l2的斜率。 解：l1的斜率k1=tanα1=tan30°=3/3 l1 ∵l1⊥l2 l2 ∴l2的倾斜角α2＝90°＋30°＝120° ∴l2的斜率k2＝tan120°＝－3 α1 α2 o x 例2直线过点A（－2，0）, B（－5，3），求直线AB的斜率。 解：k＝(3－0)/[(－5)－(－2)]＝－1

又α∈［0°,180°） ∴α＝135° 因此，这条直线的斜率是－1，倾斜角是135° 巩固练习 P37 练习 4、5 4、归纳总结

数学思想：数形结合、分类讨论 数学方法：图象法、公式法 三、内容、方法小结：

本节介绍了直线的倾斜角和斜率的定义，以及斜率的两种求法，教学中运用图像法和公式法使得内容更易理解。 四、课后作业 P89 2 3 五、板书设计：

1.倾斜角和斜率

倾斜角定义： 例1 斜率定义：

两点式求斜率 例2

作业： 六、教学反思：

本小结介绍了两点式、截距式方程，通过学习学生应能根据条件适当选择合适的形式给出方程。

四、课后作业 P257 练习9.22-9.23 1,2 五、板书设计：

4 直线的两点式方程 两点式方程 例3 截距式方程 六、教学反思：

例4 【课题】第五节 直线的一般式方程

【教学目标】

1．知识与技能:

（1）掌握直线方程的一般式Ax?By?C?0（A,B不同时为0），理解直线方程的一般式包含的两方面的含义：①直线的方程是都是关于x,y的二元一次方程；②关于x,y的二元一次方程的图形是直线． （2）掌握直线方程的各种形式之间的互相转化． 2．情感、态度、价值观：

通过直线方程的几种形式培养学生的美学意识。 3.过程与方法:

训练学生由一般到特殊的处理问题方法；通过直线的方程特征观察直线的位置特征，培养学生的数形结合能力。

【教学重点难点】

1．教学重点：各种形式之间的互相转化 2．教学难点：理解直线方程的一般式的含义。

【教法学法】启发式教学法 【教学准备】多媒体 【教学安排】1课时 【教学过程】 一、复习引入：

1．求：过点（2，1），斜率为1的直线的方程，并观察方程属于哪一类？ 2．当直线的斜率不存在时，即直线的倾斜角α＝90时，直线的方程怎样表示？

二、讲授新课： 1．一般式

（1）直线的方程是都是关于x,y的二元一次方程：

在平面直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角，在??90?和??90?两种情况下，直线方程可分别写成y?kx?b及x?x1这两种形式，它们又都可变形为

Ax?By?C?0的形式，且A,B不同时为0，即直线的方程都是关于x,y的二元一

次方程．

（2）关于x,y的二元一次方程的图形是直线：

因为关于x,y的二元一次方程的一般形式为Ax?By?C?0，其中A,B不同时为0．在B?0和B?0两种情况下，一次方程可分别化成y??x??ACx?和BBC，它们分别是直线的斜截式方程和与y轴平行或重合的直线方程，即每一A个二元一次方程的图形都是直线．

这样我们就建立了直线与关于x,y二元一次方程之间的对应关系．我们把

Ax?By?C?0（其中A,B不同时为0）叫做直线方程的一般式．

一般地，需将所求的直线方程化为一般式． 例1．已知直线过点A(6,?4)，斜率为?截距式方程．

44的直线方程的点斜式y?4??(x?6)，化成33xy一般式，得：4x?3y?12?0，化成截距式，得：??1．

344，求该直线的点斜式和一般式方程及3解：经过点A(6,?4)且斜率?例2．求直线l:3x?5y?15?0的斜率及x轴， y轴上的截距，并作图．

3解：直线l:3x?5y?15?0的方程可写成y??x?3，

53∴直线l的斜率k??；y轴上的截距为3；

535当y?0时，x?5，∴ x轴上的截距为5． 练习：P110页练习题2 例3．求斜率为

3，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线方程． 434解：设直线方程为y?x?b，令y?0，得x??b，

4314b∴|b?(?)|?6，∴b??3， 23所以，所求直线方程为3x?4y?12?0或3x?4y?12?0．

例4．直线l过点P(?6,3)，且它在x轴上的截距是它在y轴上的截距相等，求直线l的方程．

分析：由题意可知，本题宜用截距式来解，但当截距等于零时，也符合题意，此时不能用截距式，应用点斜式来解．

xy解：（1）当截距不为零时，由题意，设直线l的方程为??1，

bb?63??1，∴b??3， ∵直线l过点P(?6,3)，∴

bb∴直线l的方程为x?y?3?0．

（2）当截距为零时，则直线l过原点，设其方程为y?kx，

1将x??6,y?3代入上式，得3??6k，所以k??，

21∴直线l的方程为y??x，即x?2y?0，

2综合（1）（2）得，所求直线l的方程为x?y?3?0或x?2y?0

三、内容、方法小结：

本小节介绍了直线的一般式方程，通过本节课的学习，学生应掌握一般式方程的形式以及意义；会熟练几种直线方程形式的互化。 四、课后作业 P259 练习9.31-9.32 1,2 五、板书设计：

5 直线的一般式方程

直线的一般式方程： 例2

Ax?By?C?0，其中A,B不同时为0 例3

例1 例4

六、教学反思：

【课题】第六节 两条直线的交点坐标

【教学目标】

1．知识与技能: 直线和直线的交点；二元一次方程组的解。 2．情感、态度、价值观：

1)学习两直线交点坐标的求法，以及判断两直线位置的方法； 2)掌握数形结合的学习法。

3)组成学习小组，分别对直线和直线的位置进行判断，归纳过定点的直线系方程。 3．过程与方法:

1)通过两直线交点和二元一次方程组的联系，从而认识事物之间的内的联系。 2)能够用辩证的观点看问题。

【教学重点难点】

1．教学重点: 判断两直线是否相交，求交点坐标。 2．教学难点：两直线相交与二元一次方程的关系。

【教法学法】启发引导式教学 【教学准备】多媒体 【教学安排】1课时 【教学过程】 一、复习引入：

几何元素 点P 直线l 点P(x0,y0)在直线l上 代数表示 坐标P(x,y) 方程Ax?By?C?0 坐标(x0,y0)满足方程Ax0?By0?C?0 ?Ax?B1y0?C1?0点P(x0,y0)是l1、l2的交点 坐标(x0,y0)满足方程组?10 ?A2x0?B2y0?C2?0上述情况表明：两直线的交点（即公共点）坐标满足由两条直线方程所组成的方程组。那么，如果两条直线相交，怎样求交点坐标？ 二、讲授新课：

【课题】第九节 两条平行直线之间的距离

【教学目标】

1．知识与技能: 使学生理解什么是两条平行直线间的距离，会将直线间的距离转化为点到直线的距离来求解。

2．情感、态度、价值观：培养学生团队合作精神，培养学生个性品质及勇于探究的科学精神。

3．过程与方法: 通过两条平行直线的距离公式的过程，认识和体会事物（知识）之间相互联系、互相转化的辩证法思想。

【教学重点难点】

1．教学重点：将直线间的距离转化为点到直线的距离来求解两条平行直线间的距离 2．教学难点：两平行直线间的距离的求法。

【教法学法】启发式教学 【教学准备】多媒体 【教学安排】1课时 【教学过程】: 一、复习引入：

1、点到直线的距离公式是什么？默写一遍。 2、两平行线间的距离有什么性质？

3、已知点A（－3，－4），B（6,3）到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，求a的值。

二、讲授新课：

1、两条平行直线间的距离的定义

两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间公垂线段的长。 两条平行直线间的距离处处相等。 2、探究两条平行直线间的距离的求法 设直线l1∥l2，如何l1与l2之间的距离？

（1）能否将平行直线间的距离转化为点到直线的距离？ （2）如何取点，使计算简单？

例7、已知直线,l1：2x－7y－8＝0，l2：6x－21y－l＝0，ll与l2是否平行？若平行

求ll与l2间的距离。

解：将两条直线化为斜截式可求得两直线的斜率：

l1的斜率k1＝，l2的斜率k2＝， 因为 k1＝k2，所以 l1∥l2

先求l1与轴的交点A的坐标，容易知道点A的坐标为（4,0） 点A到直线l2的距离为： d＝

27276?4?21?0?162?212＝

23353?2353 159所以，ll与l2间的距离为

2353。 159由上面的例题可知，两条平行直线间的距离可以转化为点到直线的距离，取点时可考虑取x轴上的点或y轴上的点，运算可以简便点。 练习：

求两条平行线间的距离： 1）2x+3y-8=0 2x+3y+18=0 (2)3x+4y=10, 3x+4y=0 三、内容、方法小结：

本小结介绍了两条平行直线之间距离的求法，学生需掌握把平行线之间的距离转化为点到直线之间的距离。 四、课后作业 P110 9、10 五、板书设计：

9 两条平行直线间的距离 例7

练习： 作业： 六、教学反思：

【课题】第九节 椭圆及其标准方程

【教学目标】

1．从具体情境中抽象出椭圆的模型； 2．掌握椭圆的定义； 【教学重点难点】 3．掌握椭圆的标准方程 【教法学法】启发式教学 【教学准备】多媒体 【教学安排】1课时 【教学过程】: 一、复习引入：

新课导学 问题1：取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个 ．

问题2：如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？

P F1F2

问题3：移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？

经过观察后思考：在移动笔尖的过程中，细绳的 ________保持不变，即笔尖_______________ 等于常数． 二、讲授新课：

新知１： 我们把平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 ．

反思：若将常数记为2a，为什么2a?F1F2？

当2a?F1F2时，其轨迹为 ；

当2a?F1F2时，其轨迹为 ．

试试：

)F2(4,0)，到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹已知F1(?4,0，

是 ．

小结：应用椭圆的定义注意两点：

①分清动点和定点；

②看是否满足常数2a?F1F2． 新知２：焦点在x轴上的椭圆的标准方程

x2y2?2?1?a?b?0? 其中b2?a2?c2 2ab若焦点在y轴上，两个焦点坐标 ，则椭圆的标准方程

是 ． 三、内容、方法小结：

例1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程： ⑴a?4,b?1，焦点在x轴上； ⑵a?4,c?15，焦点在y轴上； ⑶a?b?10,c?25．

x2y变式：方程??1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的范

4m围 ．

小结：椭圆标准方程中：a2?b2?c2 ；a?b ．

?53?例2 已知椭圆两个焦点的坐标分别是??2,0?，(2,0)，并且经过点?,??，求它的标准方

?22?程 ．

变式：椭圆过点 ??2,0?，(2,0)，(0,3)，求它的标准方程．

小结：由椭圆的定义出发得椭圆标准方程 ． 四、课后作业

F2距离之和为常数2a，1．平面内一动点M到两定点F1、则点M的轨迹为（ ）．

A．椭圆 B．圆

C．无轨迹 D．椭圆或线段或无轨迹 2．如果方程x2?ky2?2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（ ）． A．(0,??) B．(0,2) C．(1,??) D．(0,1)

x2y23．如果椭圆??1上一点P到焦点F1的距离等于6，那么点P到另一个焦点

10036F2的距离是（ ）．

A．4 B．14 C．12 D．8

4．椭圆两焦点间的距离为16，且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于9和15，则椭圆的标准方程是 ． 【学习小结】 1. 椭圆的定义： 2. 椭圆的标准方程： 五、板书设计：

六、教学反思：

1、探究如何判断两直线l1、l2的位置关系，通过解方程组确定交点坐标 已知l1：A1x?B1y?C1?0，l2：A2x?B2y?C2?0，

?A1x?B1y?C1?0将方程联立，得?，对于这个方程组解的情况分三种讨论：

Ax?By?C?022?2?x?x0若方程组有唯一解?，则l1、l2有唯一的公共点，此解就是交点坐标

?y?y0P(x0,y0)，即相交

若方程组无解，则l1、l2没有公共点，即平行；

若方程组有无数多个解，则l1、l2有无数多个公共点，即重合。

上述情况表明：通过解方程组可以确定交点坐标；通过求交点可以确定两直线位置关系，即观察方程组解的不同情况得到l1、l2相交、平行、重合三种关系。

2、例题讲解，规范表示，解决问题

例1：求下列两直线交点坐标l1：3x?4y?2?0，l2：2x?4y?2?0 解：见课本113页

同类练习：课本第114页，练习1

例2：判断下列各对直线的位置关系。如果相交，求出交点坐标。 （1）l1：x?y?0，l2：3x?3y?10?0 （2）l1：3x?y?0，l2：6x?2y?0 （3）l1：3x?4y?5?0，l2：6x?8y?10?0 解：见课本第114页

总结提高：通过解方程组求交点坐标，可以确定两直线位置关系，事实上，进一步探究的结论是：

A1B?1 A2B2A1B1C1?? A2B2C2A1B1C1?? A2B2C2有唯一解 相交 无解 平行 有无数个解 重合 同类练习：课本第114页，练习2 三、探究过定点的直线系方程

问题：当?变化时，方程3x?4y?2??(2x?y?2)?0表示什么图形？图形有何特点？

探究：取??0,1……，得直线3x?4y?2?0，5x?5y?0，……作出图形可知，所有直线都过一个定点，该点为M(?2,2)

结论：表示过l1：3x?4y?2?0与l2：2x?4y?2?0交点即定点M(?2,2)的直线系。

总结提高：若l1:A1x?B1y?C1?0、l2:A2x?B2y?C2?0相交于M(x0,y0)，则方程(A1x?B1y?C1)??(A2x?B2y?C2)?0表示过l1与l2交点的直线系。 三、内容、方法小结：

直线与直线的位置关系，求两直线的交点坐标，能将几何问题转化为代数问题来解决，并能进行应用。

四、课后作业 P26 练习9.41 1,2 五、板书设计：

6两条直线的交点坐标

?A1x?B1y?C1?0 例1 ?Ax?By?C?022?2?x?x0若唯一解?，交点坐标P(x0,y0)

?y?y0若无解，则l1、l2没有公共点； 例2

若无数多个解，则l1、l2有无数多个公共点。 六、教学反思：

【课题】第七节 两点间的距离

【教学目标】

1．知识与技能:

（1）让学生理解平面内两点间的距离公式的推导过程 ，掌握两点间距离公式及其简单应用，会用坐标法证明一些简单的几何问题；

（2）通过由特殊到一般的归纳，培养学生探索问题的能力。 2．情感、态度、价值观：

培养学生思维的严密性和条理性，同时感受数学的形式美与简洁美，从而激发学生学习兴趣。

3．过程与方法:

（1）利用勾股定理推导出两点间的距离公式，并由此用坐标法推证其它问题。通过推导公式方法的发现，培养学生观察发现、分析归纳、抽象概括、数学表达等基本数学思维能力；

（2）在推导过程中，渗透数形结合的数学思想。

【教学重点难点】

1．教学重点：两点间的距离公式和它的简单应用 2．教学难点：用坐标法解决平面几何问题

【教法学法】启发式教学法 【教学准备】多媒体、实物模型 【教学安排】1课时 【教学过程】:学导式

一、复习引入：

在平面直角坐标系中，根据直线的方程可以确定两直线平行、垂直等位置关系，以及求两相交直线的交点坐标，我们同样可以根据点的坐标确定点与点之间的相对位置关系。平面上点与点之间的相对位置关系一般通过什么数量关系映？ 二、讲授新课： 两点间的距离公式

问题1：如图1，P(3，4)到原点的距离是多少?根据是什么?

问题2：如图2平面上两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，如何求P1 ，P2的距离| P1 P2|？

问题3：特别的原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离是多少？

在直角坐标系中，已知两点P1(x1，y2)、P2(x2，y2)如图：从P1、P2分别向x轴和y轴作垂线P1M1、P1N1和P2M2、P2N2，垂足分别为M1(x1，0)、N2(0，y1)、M2(x2，0)、N2(0，y2)，其中直线P1N1和P2M2相交于点Q． 在Rt△P1QP2中，|P1P2|2=|P1Q|2+|QP2|2。

因为 |P1Q|=|M1M2|=|x2-x1|，|QP2|=|N1N2|=|y2-y1|，所以|P1P2|2=|x2-x1|2+|y2-y1|2．由此得到两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的距离公式：

应用举例

例1 已知点A(?1,2),B(2,7),在x轴上求一点P，使|PA|=|PB|，并求|PA|的值。 例2 △ABC中，AD是BC边上的中线，求证：|AB|2+|AC|2=2(|AD|2+|DC|2)。

证明：取线段所在的直线为x轴，点D为原点(O)，建立直角坐标系，设点A的坐标为(b，c)，点C的坐标为(a，0)，则点 B的坐标为(-a， 0)，可得：|AB|2=(a+b)2+c2，|AC|2=(a-b)2+c2，|AD|2=b2+c2，|OC|2=a2．

所以|AB|2+|AC|2=2(a2+b2+c2)， |AO|2+|OC|2=a2+b2+c2．

所以 |AB|+|AC|=2(|AD|+|DC|) 三、内容、方法小结：

1．学习了两点间的距离公式．2．解析法证明几何问题，建立坐标系的原则又是什么呢？在不失一般性的前提下：(1)设点尽可能出现对称点．(2)尽可能的把点放在坐标轴上，这样，点的坐标会出现有的坐标为零，优化计算．3．学习中运用特殊到一般，再由一般到特殊的思想．还有“数”“形”结合的数学思想． 四、课后作业 P109 3、 4 五、板书设计：

7 两点间的距离

例2

2

2

2

2

例1 作业：

六、教学反思：

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