导学案选修2-1第三单元3.1.1--1.2

阿克苏市高级中学 高中数学 ◆选修2-1 ◆ 导学案 编写：小组名单

§3.1.1 空间向量及其加减运算

◆优效预习 （一）学习目标

1. 理解空间向量的概念，掌握其表示方法；

2. 会用图形说明空间向量加法、减法及它们的运算律； 3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．

（二）重点难点：

重点：空间向量的加减运算及运算律． 难点：应用向量解决立体几何问题

（三）自主预习：（主要给出学生要掌握的概念与知识点）

1.在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？

2.画出平面向量的加法和减法（三角形法则和平行四边行法则）

3.什么叫相等向量

4.什么叫空间向量

5.向量的大小叫做____________________

6.长度为零的向量叫做________________

7.模为1的向量叫____________________

8.与向量a长度相等而方向相反的向量称为_______ 记作_________

9.空间向量是否满足交换律和结合律？如果满足请 表示出来。

10.空间向量的加法、减法的定义与平面向量的运算 一样吗？如果一样，请画图并表示出来？

图3.1-1

◆高效课堂 ◎典例精析

例1已知平行六面体ABCD?A'B'C'D'（如图），化简

下列向量表达式，并标出化简结果的向量： ⑴AB?BC； ⑵AB?AD?AA'；

图3.1-2

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★变式1：在上图中，用AB,AD,AA表示AC,BD和DB. ''''

※ 小结：

化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则，

遇到减法既可转化成加法，也可按减法法则进行运算，加法

例2.化简下列各式：

（1）AB?MB?BO?OM; （2）AB?MB?BO?OM; （3）AB?AC?BD?CD; （4）OA?OD?DC

★变式2 化简下列各式 （1）OA?OC?BO?CO （2）AB?AD?DC （3）NQ?QP?MN?MP

和减法可以转化.

◎随堂练习

1.举出一些实例，表示三个不同在一个平面内的向量。

2.下列说法中正确的是（ ）

A. 若∣a∣=∣b∣，则a，b的长度相同，方向相反或相同;

B. 若a与b是相反向量，则∣a∣=∣b∣; C. 空间向量的减法满足结合律;

D. 在四边形ABCD中，一定有AB?AD?AC. 3.

长

方

体

AB?C'D'A'中B，C化D简

AA'?A'B'?A'D'=

4.已知向量a，b是两个非零向量，a0,b0是与a，b同方向的单位向量，那么下列各式正确的是（ ） A. a0?b0 B. a0?b0或a0??b0 C. a0?1 D. ∣a0∣=∣b0∣

5.在四边形ABCD中，若AC?AB?AD,则四边形是

（ ）

A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 平行四边形

6.下列说法正确的是（ ） A. 零向量没有方向

B. 空间向量不可以平行移动

C. 如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等 D. 同向且等长的有向线段表示同一向量

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§3.1.1 空间向量及其加减运算 —增效作业

则它们的终点构成一个圆；

②若空间向量a、b满足|a|＝|b|，则a＝b；

③若空间向量m、n、p满足m＝n，n＝p，则m ＝p； ④空间中任意两个单位向量必相等； ⑤零向量没有方向．

◆基础巩固 一、选择题

1.两个非零向量的模相等是这两个向量相等的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

2.设A,B,C,是空间任意三点，下列结论错误的是（ ） A.→AB＋→BC＝→AC B.→AB＋→BC＋→

CA＝0 C.→AB－→AC＝→CB D.→AB＝－→BA

3.已知空间向量→AB，→BC，→CD，→

AD，则下列结论正确的是( )

A.→AB＝→BC＋→CD B.→AB－→DC＋→BC＝→AD C.→AD＝→AB＋→BC＋→DC D.→BC＝→BD－→DC

4.在平行六面体ABCD—A′B′C′D′中，与向量AA→

′相等的 向量(不含AA→

′)的个数是( )

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式中 (1)(→AB＋→BC)＋CC→

1 (2)(AA→→→

1＋A1D1)＋D1C1 (3)(→AB＋BB→→

1)＋B1C1 (4)(AA→A→→

1＋1B1)＋B1C1.

运算的结果为向量AC→

1的共有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

6．给出下列命题：

①将空间中所有的单位向量移到同一个点为起 点，

其中假命题的个数是( )

A．1 B．2 C．3

D．4

7．(2010·上海高二检测)已知平行四边形ABCD的对角线交于 点O，且OA→＝a，OB→＝b，则BC→

＝( )

A．－a－b

B．a＋b

C.1

2

a－b D．2(a－b)

二、填空题 [来源:学#科#网]

8.在直三棱柱ABC—A→＝a，CB→＝b，CC→

1B1C1中，若CA1＝c， 则A→

1B＝________.

9.已知空间四边形ABCD，连结AC、BD，设M、N分别是BC、CD的中点，则MN→用AB→、AC→、AD→

表示的结果为______________________．

10．已知平行六面体ABCD—A′B′C′D′，则下列四式中：

①AB→－CB→＝AC→；②AC→′＝AB→＋B′→C′＋CC→

′； ③AA→′＝CC→′；④AB→＋BB→′＋BC→＋C→′C＝AC→′. 正确的是________． ◆能力提升

11.如图所示的是平行六面体ABCD—A1B1C1D1，化简下列各式．

(1)→AB＋→AD＋AA→

1； (2)DD→→AB＋→1－BC.

[来源:Z。xx。k.Com]

§3.1.2 空间向量及数乘运算

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◆优效预习

（一）学习目标：

1. 掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简； 2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论； 3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． （二）重点难点：

重点：共线向量定理和共面向量定理及它们的推论 难点：应用空间向量的数乘运算判定共线或共面向量，以及 OP?xOA?yOB，且x+y＝1，试判断A,B,P三点是否共线？

变式1：已知A,B,P三点共线，点O是直线AB外一

1点，若OP?OA?tOB，那么t＝ 运用运算律来解决简单的立体几何问题 （三）自主预习

（预习教材P86~ P87，找出疑惑之处）

复习：在平面上，什么叫做两个向量平行？ 在平面上有两个向量a,b， 若b是非零向量，则a与b平行的充要条件是 预习1：空间向量的数乘运算满足什么律？并用字母表示出。

预习2：对空间任意两个向量a,b（b?0）， a//b的

充要条件是存在唯一实数?，使得

预习3：

对空间两个不共线向量a,b，向量p与向量a,b共面

的充要条件是存在 ， 使得 .

推论1：如图，l为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，对空间的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是

推论2：空间一点P与不在同一直线上的三点A,B,C

共面的充要条件是：

⑴ 存在 ，使 __________________ ⑵ 对空间任意一点O，有

◎典例精析

例1 已知直线AB，点O是直线AB外一点，若

2例2 如图，已知平行四边形ABCD,过平面AC外一点O作射线OA,OB,OC,OD,在四条射线上分别取点E,,F,G,H,并且使

OEOA?OFOB?OGOC?OHOD?k, 求证：E,F,G,H四点共面.

变式2：已知空间四边形ABCD的四个顶点A,B,C,D不共面，E,F,G,H分别是AB,BC,CD,AD的中点，求证：E,F,G,H四点共面.

※ 小结

1. 空间向量的数乘运算法则及它们的运算律； 2. 空间两个向量共线的充要条件及推论.

◎随堂练习

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????????1.已知向量a,b且AB?a?2b，BC??5a?6b， a//b，求实数x.

D??7a?2b? C?，则一定共线的三点为（ ）

A.

A,B,D B.A,B,C

C.B,C,D D.

A,C,D

2.下列说法中正确的是（ ） A.平面内的任意两个向量都共线 B.空间的任意三个向量都不共面 C.空间的任意两个向量都共面 D.空间的任意三个向量都共面

3.下列等式中，使M,A,B,C四点共面的个数是（ ） ①OM?OA?OB?OC;

②OM?15OA?13OB?12OC; ③MA?MB?MC?0;

④OM?OA?OB?OC?0.

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

4. 在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量D1A、D1C、

AC11是（ ）

A. 有相同起点的向量 B．等长向量 C．共面向量 D．不共面向量.

5.若点P是线段AB的中点，点O在直线AB外，则 OP? OA + OB.

6.在下列命题中：

①若a、b共线，则a、b所在的直线平行；

②若a、b所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面； ③若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一 定也共面；

④已知三向量a、b、c，则空间任意一 个向量p 总可以唯一表示为p＝xa＋yb＋zc．其中正确命题 的个数为 （ ）.

A．0 B.1 C. 2 D. 3

7. 已知a?3m?2n,b?(x?1)m?8，

na?0，若

§3.1.2空间向量及数乘运算

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—增效作业

◆基础巩固

一、选择题

1.下列说法正确的是（ ）

A. 向量a与非零向量b共线，b与c共线，则a与c 共线；

B. 任意两个共线向量不一定是共线向量； C. 任意两个共线向量相等；

D. 若向量a与b共线，则a??b.

2. 已知平行六面体ABCD?A'B'C'D'，M是AC与BD

交点，若AB?a,AD?b,AA'?c，则与B'M相等的向量是（ ）

A. ?12a?12b?c； B. 112a?2b?c； C. 12a?12b?c； D. ?12a?12b?c.

3.O为空间任意一点，使A,B,C三个点共线的一个条件是

（ ）

?A.OC?1OA??1OB?? B.OC?1O?2?OC?233A?3OB

?1?1??1?13OA?4OB?C. D.OC?2OA?4OB

4.设空间任意一点O和不共线三点A、B、C,

uOP??mOA??nOB??lOC?(un,l?R且u?0),若 P、A、B、C四点共面，则（ ） A.m?n?l?1 B.m?n?l?0

C.m?n?l?u D.m?n?l?u?1 5.已知A、B、M、三点不共线，对于平面ABM外一点

O，若OB??OM??3OP??OA?,则点P与A、B、M、 ( )

A.共面 B.共线 C.不共面 D不确定 6.四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AC与BD的交点为点

???M，设A?a?1B1，A1D1?b，AAc??1?，则下列与B1M相等的向量是（ ）

12a??12b?A.??c? B.12a??12b??c?

1?2?12b?C.a?c? D.?12a??12b??c? 二、填空题

7. 正方体ABCD?'A'B'C中'D，点E是上底面

A'B'C'D的中心，

'若BB'?xAD?yAB?zAA', 则x＝ ，y＝ ，z＝ .

8. 平行六面体ABCD?A'B'C'D', O为A1C与B1D的交点,则

13(AB?AD?AA')? AO. 9.已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O, OM??xOA?

?1?1?3OB?3OC,则x的值为___________

◆能力提升

10.已知两个非零向量e1,e2不共线,AB?e1?e2,

AC?2e1?8e2,AD?3e1?3e2. 求证：A,B,C,D共面．

◆拓展创新

11.设ABCD为空间四边形，E、F、G、H、分别是边AB、BC、CD、DA、上的点，并且

DHCF?CFFB??，

DGGC?AEEB??，求证：E、F、G、H四点共面。

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—增效作业

◆基础巩固

一、选择题

1.下列说法正确的是（ ）

A. 向量a与非零向量b共线，b与c共线，则a与c 共线；

B. 任意两个共线向量不一定是共线向量； C. 任意两个共线向量相等；

D. 若向量a与b共线，则a??b.

2. 已知平行六面体ABCD?A'B'C'D'，M是AC与BD

交点，若AB?a,AD?b,AA'?c，则与B'M相等的向量是（ ）

A. ?12a?12b?c； B. 112a?2b?c； C. 12a?12b?c； D. ?12a?12b?c.

3.O为空间任意一点，使A,B,C三个点共线的一个条件是

（ ）

?A.OC?1OA??1OB?? B.OC?1O?2?OC?233A?3OB

?1?1??1?13OA?4OB?C. D.OC?2OA?4OB

4.设空间任意一点O和不共线三点A、B、C,

uOP??mOA??nOB??lOC?(un,l?R且u?0),若 P、A、B、C四点共面，则（ ） A.m?n?l?1 B.m?n?l?0

C.m?n?l?u D.m?n?l?u?1 5.已知A、B、M、三点不共线，对于平面ABM外一点

O，若OB??OM??3OP??OA?,则点P与A、B、M、 ( )

A.共面 B.共线 C.不共面 D不确定 6.四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AC与BD的交点为点

???M，设A?a?1B1，A1D1?b，AAc??1?，则下列与B1M相等的向量是（ ）

12a??12b?A.??c? B.12a??12b??c?

1?2?12b?C.a?c? D.?12a??12b??c? 二、填空题

7. 正方体ABCD?'A'B'C中'D，点E是上底面

A'B'C'D的中心，

'若BB'?xAD?yAB?zAA', 则x＝ ，y＝ ，z＝ .

8. 平行六面体ABCD?A'B'C'D', O为A1C与B1D的交点,则

13(AB?AD?AA')? AO. 9.已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O, OM??xOA?

?1?1?3OB?3OC,则x的值为___________

◆能力提升

10.已知两个非零向量e1,e2不共线,AB?e1?e2,

AC?2e1?8e2,AD?3e1?3e2. 求证：A,B,C,D共面．

◆拓展创新

11.设ABCD为空间四边形，E、F、G、H、分别是边AB、BC、CD、DA、上的点，并且

DHCF?CFFB??，

DGGC?AEEB??，求证：E、F、G、H四点共面。

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