人教版高中数学-例谈两大概型与其它知识的交汇.

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精校版 例谈两大概型与其它知识的交汇

概率已成为新高考的重点和热点内容,由于概率比较容易与其它知识相结合出一些综合性试题,而且创新型试题不断涌现.下面就一些常见的综合题略作介绍.

1.方程与几何概型

例1.在区间[-1,1]上任取两数a 、b ，求二次方程x 2+ax+b=0的两根．

(1)都是实数的概率；

(2)都是正数的概率．

分析：首先需要把方程解的问题转化为可以用随机数模拟试验的概率模型．

解：根据题意-l ≤a ≤l ，-l ≤b ≤l ，以a 为横坐标，b 为纵坐标，得到一个边长为2的正方形．

(1)若a 、b 都是实数，则Δ＝a 2-4b ≥0，即b ≤

41a 2，利用随机模拟求概率． ①利用计算机或计算器产生a=a i *2-1，b ＝b i *2-1；

③数出满足b ≤4

1a 2的数组数N 1. 则所求概率为N

N 1(N 为总数组)，参考答案为0.54. (2)若两根都是正数，则有?????>=>-=+≥-=?,0,0,042

1212b x x a x x b a 即b ≤41a 2且a ＜0，b ＞0. 在第(1)问求出的随机数中数出满足b ≤4

1a 2且a ＜0，b ＞0的数组数N 2，则所求概率为N

N 2， 答案为0. 02 1.

点评：仔细体会本题如何将解方程的问题转化到几何概型，并利用随机模拟法解答．

2.集合与几何概型

例2.已知集合A={(x,y)|x 2+y 2=1｝，集合B={(x,y)|x+y+a=0｝,若A ∩B ≠?的概率为1，则a 的取值范围是 .

分析：若A ∩B ≠?的概率为1，则集合A 与B 有公共元素，

∴???=++=+,

0,122a y x y x ∴2x 2+2ax+a 2-1=0有实数根，∴Δ=4a 2-8(a 2-1)≥0，

∴ -22≤

≤a . 答案: [- 2,2].

点评：由A ∩B ≠?是必然事件，说明直线和圆必相交，也可以利用圆心(0,0)到直线l ：

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精校版 x +y +a =0的距离小于等于圆的半径r=1来求解．

3.不等式与几何概型

例3.将甲、乙两颗骰子先后各抛一次，a,b 表示抛掷甲、乙两颗骰子所出的点数．

(1)若点P(a, b)落在不等式组??

???≤+>>4,0,0y x y x 表示的平面区域内的事件记为A ，求事件A 的概率；

(2)若点P(a, b)落在x+y=m(m 为常数)的直线上，且使此事件的概率最大，求m 的值．

分析：a ，6的取值为1,2…,6中的任何一个，是等可能的,且结果有限，所以是古典概型． 解：(1)不等式组??

???≤+>>4,0,0y x y x 表示的平面区域如图所示，落在区域内的点有（1，1），

（1，2），（1,3），（2,1），（2,2），（3,1）共6个．

∴P(A)= 6

1366=. (2)点P(a,b)落在x+y=m 的直线上，且使事件概率最大时，m=7，此时P(A)=

61366666==?. 点评：数形结合的思想方法是常用的数学思想方法．

4. 古典概型与直角坐标系相结合

例4.已知集合A ＝{-9,-7,-5,-3,-1,0,2,4,6,8},在平面直角坐标系中，点(x,y)的坐标x ∈A,y ∈A,且x ≠y,计算：

(1)点(x,y)不在x 轴上的概率；

(2)点(x,y)正好在第二象限的概率.

分析：x,y 的选取是随机的，在集合A 中任取两数，记为(x,y)是等可能的．

解：点(x,y)中, x ∈A,y ∈A,且x ≠y,故x 有10种可能,y 有9种可能，所以试验的所有结果有10×9=90(种)，且每一种结果出现的可能性相等．

(1)设事件B 为“点(x,y)不在x 轴上”,那么y 不为0有9种可能，x 有9种可能，事件B 包含的基本事件个数为9×9＝81，

因此,P(B)=10

991099=??. (2)设事件C 为“(x,y)正好在第二象限”，则x ＜0,y ＞0,x 有5种可能,y 有4种可能，事件C 包含的基本事件个数为5×4=20，因此，

P(C)＝9

29020=. 点评：本题是古典概型与直角坐标系相结合的综合题．关键是把试验中所有可能出现的

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精校版 基本事件的个数及所求事件的个数分析透，找不准、找不全基本事件是同学们常出现的错误．

5.跨学科综合题

例5.把x,y 两种遗传基因冷冻保存以供科研用，若x 基因有30个单位,y 基因有20个单位，且在保存过程中有2个单位的基因失效，求x,y 两种基因各失效一个单位的概率．

分析：哪一个单位的基因失效是等可能的，且基本事件的个数是有限的，所以属于古典概型．

解;2个单位的基因失效取自x,y 两种基因各一个，共有30×20 =600（种）可能，而整个事件共有24950?=1225（种）可能,故所求概率为49

241225600==P . 点评：本题考查了利用古典概型解决实际问题的能力．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ebl4.html