数值计算方法第一次上机实习报告

数值计算方法第一次实习报告

一、 实习题目。

1. 分别用高斯-赛德尔迭代法、雅克比迭代法、列主元消去法解下列方程组。

1?0.1254x2?0.1397x3?0.1490x4?1.5471?1.1161x?0.1582x1?1.1675x2?0.1768x3?0.1871x4?1.6471?? 1?0.2071x2?1.2168x3?0.2271x4?1.7471?0.1968x?1?0.2471x2?0.2568x3?1.2671x4?1.8471?0.2368x2. 用迭代法求x5-x-0.2=0的正根，要求精确到小数点后第五位。 二、算法原理。

1、雅可比迭代法基本原理 将矩阵分解为，其中

?a11?D??????0??a??21?, L???a21??????ann???a210a21???0a21?a21??0a12??0???,U????????0???a13?a1n?a23?a2n??0?????an-1,n?0??a22

则式Ax=b可记为?D?L?U?x=b，变形可得

Dx=?L?U?x+b，D可逆

?a11a22?ann?0?时，有x=D?1?L?U?x+D?1b

B?D于是得到迭代的过程为x=Bx+f式中，

?1?L?U?,f=D?1b，即

??n1?xi=bi+?aijxj??i=1,2,?,n??aii?j=1??j?i??

2、高斯-赛德尔迭代法基本原理

赛德尔迭代法是对雅可比迭代法的一种改进，雅可比迭代法是

?k+1??k?在每一步计算x的各个分量时均只用到x中的分量。实际上，在计算

xi?k+1?时，分量

xi?xi?k+1?,?,xi?-1k+1?k+1?都已经计算出来而没有被直接利用，

x1??,?,xi?-1?kk因此可以考虑以

k+1?,?,xi?-1来代替计算。即

xi?k+1?n?i-1??k+1??k?=?-?aijxj-?aijxj+bi?/aii,i=1,2,?,nj=i+1?j=1?

矩阵形式为Dx?k+1?=b+Lx?k+1?+Ux，可得

?k?x?k+1?=?D?L?Ux????D?L?b?1k?1，

?k+1??k?x=Gx?f 于是赛德尔迭代法的矩阵形式为

式中，

G??D?L?U,f??D?L?b?1?1。

三、过程及结果。

（PS：部分公式无法显示请下载后用最新版Word查看）

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