2013考研数学复习高等数学第三章一元函数积分学

第三章 一元函数积分学

2013考试内容

原函数和不定积分的概念 不定积分的基本性质 基本积分公式 定积分的概念和基本性质 定积分中值定理 积分上限的函数及其导数 牛顿－莱布尼茨（Newton –Leibniz）公式 不定

积分和定积分的换元积分法与分部积分法 有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分 反常（广义）积分 定积分的应用

2013考试要求

1. 理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念。 2. 掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分与分部积分

法。

3. 会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。

4. 理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿－莱布尼茨公式。 5. 了解反常积分的概念，会计算反常积分。

掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等）及函数的平均值。

第一节 一元函数积分学之一（原函数）

一、 原函数的概念及其等价描述

1．概念：设有函数f?x?和可导函数F?x?，如果对区间?a, b?上的任何一点x，都有

F??x??f?x?，则称F?x?为f?x?在区间?a, b?上的一个原函数。F?x??c构成f?x?的全体原函数，叫做f?x?的不定积分，记为：?f?x?dx?F?x??c。 2．原函数的性质：

● F??x??f?x??limF?x??x??F?x?，且原函数F?x?一定是连续函数；

?x?0?x● 验证F?x?是否为f?x?的原函数，分两步 第一步：F?x?在区间上是否连续； 第二步：验证F??x??f?x?是否成立。

x?● 当f?x?连续时，则f?x?一定有原函数，且?f??0???tt??d???f?x因为，

103

xF?x??x??f?X?1?x??x?lim??f?t?dt??f?t?dt??0?0?x?0?x?0?x???x。

1?x??x1积分中值定理?lim??f?t?dt???????=lim?f????x?f?x??x??x?0?x??x?0?x?F??x??lim?x● 当f?x?存在第一类间断点时，则f?x?一定没有原函数，??f?t?dt??f?x?；当f?x??0???存在第二类间断点时，则f?x?可能有也可能没有原函数。

● 当f?x?连续时，则f?x?一定有原函数，且可以写成F?x???f?t?dt；当f?x?不连续

ax时，F?x???f?t?dt却不一定是f?x?的原函数，但F?x???f?t?dt在区间内必连续。

aaxx● 连续奇函数的原函数为偶函数；连续偶函数的原函数为奇函数与常数之和。

二、 与原函数有关的题型

e2lnx【例 1】设为f?x?的原函数，求I??xf??x?dx。

ex 解：

?lnx??1f?x?????2?1?lnx??x?x1f?e??0, f?e2???2eI??e2e

e2xf??x?dx?xf?x?|??f?x?dx??1?ee2elnxe211|e??2?1xee【例 2】下列命题不正确的是

?A?若f?x?在区间?a, b?的某个原函数是常数，则f?x?在区间?a, b?恒为零 则f?x?所有原函数是常数 ?B? 若f?x?在区间?a, b?的某个原函数为零，

?C?若f?x?在区间?a, b?不是连续函数，则f?x?在区间?a, b?必无原函数 ?D? 若F?x?是f?x?的任意一个原函数，则F?x?必定为连续函数 解：根据原函数的定义有：F??x??f?x?，显然?D?正确。但读者要快速判断清楚其余三个错在哪里。

【例 3】设F?x?是f?x?在区间I上的原函数，则

B ?F?必为初等函数但未必有界 x?A? F?x?必为初等函数且有界 ? ?

I ? ? D ?F?在 x上必连续但未必有界I?C? F?x?在上必连续且有界

104

解：由于F??x??f?x?，故F?x?在I上必连续，但未必有界，例如：是lnx，而lnx在?0, 1?上就无界。故选 ?D?

【例 4】设a?0, f?x?在区间??a, a?连续，则在??a, a?上

1在?0, 1?上的原函数xB?A? f?cosx?的全体原函数为奇函数? ? ?f??x??f??x??x?的全体原函数为偶函数?C? f?2x?有唯一原函数为奇函数 ? D ?f??x??f??x???x?的任意原函数既不是奇函数也不是偶函数

解：只有奇函数的原函数才一定是偶函数，偶函数的原函数可能是奇函数，也可能不是，显然

f?cosx?和x??f?x??f??x???都是偶函数，故?A?, ?B?, ?D?不正确，而

f?x2?的一个原函数为 F?x?=?ft2dt，而F??x?=?0x???x0u??tf?t2?dt??????f?u2?du??F?x?

0x故F?x?为奇函数，所以?C?正确。

【例 5】设F?x?是f?x?在区间?a, b?的一个原函数，则F?x??f?x?在在?a, b?上

? B ? 连续?A? 可导

?C? 存在原函数 ?D? 是初等函数解：F??x??f?x?，故F?x?必连续，F?x?必存在原函数，故?C?正确。

?x?1, x?0?【例 6】f?x????x，则f?x?的原函数是： ???x??esin?2e?, x?0????12?12x?x, x?0x?x, x?0???2?2 ?B? F?x????A? F?x???2???x?????cos?e?x?, x?0?2cos??e?, x?0???2??2?????

11?12?12x?x?, x?0x?x?, x?0??222?2 D Fx??C? F?x?????????2???x?1???x?cos?e?, x?0??2cos??e??, x?0???2????2?2??解：?C?, ?D?中F?x?在x?0点不连续，故都不是f?x?的原函数，?A?不满足F??x??f?x?，

105

故也不是f?x?的原函数，因此?B?正确。

?x2?1, x?0x?【例 7】f?x???, F?x???f?t?dt，则： ??1?cosx?, x?0?4 +??上可微，但不是f?x?的原函数?A? F?x?为f?x?的一个原函数 ?B? F?x?在?-?，

+??上不连续 ?D? F?x?在?-?， +??上连续，但不是f?x?的原函数?C? F?x?在?-?，

解：

f?x??1? ?A?lim+x?0?4, limf?x??1, x?0为第一类间断点，故?A?不正确。 ?x?0 ?B? 不正确，理由在?C?的分析中。

?C?当f?x?有第一类间断点x0??a, b?， 但在?a, x0?和?x0, b?内必连续，可以证明：

F?x???f?t?dt, x??a, b?为?a, b?上的连续函数。对本题我们有：

ax134?x2x?1dx?x?x?, x?0?????133?F?x???

0x???4???x2?1?dx??cosx??dx?sinx?x?, x?0??0??4?43??1显然，F?x?是连续的。但是：

?4??134??sinx?x??x?x?????43??33??F??x??lim不存在，即不可导?F??x??f?x?

x?0?x故?B?不正确。 ?D?正确。

1211??2?2xcos2?sin2, x?0?xcos2, x?0【例 8】f?x???。则在???, ???, F?x???xxxx???0, x?0?0, x?0内下列正确的是：

F?x?可微，且为f?x?的原函数 ?A?f?x?不连续且不可微， 不存在原函数 ，因而F?x?不是f?x?的原函数?B? f?x?不连续，

?C?f?x?和 F?x?均为可微函数，且 F?x?为f?x?的一个原函数 ?D? f?x?连续，且F??x??f?x?

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解：可以验证x?0为f?x?的第二类间断点，因为：

21 limf?x??0?limsin2，故x?0为f?x?的第二类振荡间断点，可能存在原函数。

x?0x?0xx又：

1?02xF??0??lim?0, 故F?x?可微。 即：x?0x?0121??2xcos2?sin2, x?0x2cos F??x????xxx?0, 而F?x?连续，故?A?正确。

?f?x? x?0107

第二节 一元函数积分学之二（不定积分与变限积分的计算）

一、“三基”内容：

1．基本定义与概念

1）不定积分定义：对任一x?区间I，可导函数F?x?的导函数为f?x?，即F??x??fx??；

那么F?x?称为f?x?的原函数。全体原函数的集合F?x??c称为I上的不定积分，记为：

?f?x?dx?F?x??c。连续函数一定存在原函数和具有有限个第二类间断点的非连续函数可能

存在原函数，具有第一类间断点的非连续函数不可能存在原函数。

2）变限积分定义：在原函数存在的条件下，由不定积分定义衍生而来。

??x?x????F??x?F??x?c?f?dx?F?cx ?? ?f?x?d?????????? 由于F?x?是某一个具体函数，由莱布尼茨公式得：

fx?f?x?dx?F?x??F?a?ax?xx??F?x???f?x?dx?F?a????f?x?dx?c????f?x?dx?F?a?? ????a?a???xx?f?x????f?x?dx??f?x????f?t?dt??????a??a? 可见：变限积分可以视为不定积分的某一个原函数。 ● 变限积分的求导方法：

?g?x???a) ?f?t?dt?f?g?x??g??x?a??????g?x??g?x?g?x?????b) ?xf?t?dt?x?f?t?dt?xf?g?x??g?x???f?t?dta????a???a???g2?x?ag2?x?c) ??f?t?dt????f?t?dt??f?t?dt?a????g1?x????g1?x???g1?x?g2?x?????x??f?g1?x??g1??x? ???f?t?dt??f?t?dt?f?g2?x??g2aa?????xt?ub1?bx1???1bx??1??d) ?f?xt?dt???????f?u?du????f?u?du???bfbx?afax????????x2???a??axx??xax?xe)一般复杂情况下使用下列雅可比公式求变限积分的导数较为方便

?bxaxf?u?dud???x?????x??f?x,y?dy?f?x,?fx,ydy, ?x????? ?x??????x??f??x?????x? ?????x?????x?dx??x108

3）重要结论：

1??定义域●离散点不构成区间，但可以构成函数的定义域；如sinx?1????xk??2k???，它的

2??定义域就是离散点，没有定义区间，故没有原函数 （注意：对于一范围?a, b?，如果是区间，则a?b成立，a?b不成立；如果是定义域，则a?b 或 a?b都成立。一切初等函数在它的定义区间必连续，故必有原函数；但在其定义域内就不一定，因为定义域不一定包含区间）。

114113●x 是 x 的原函数；而 x3 不是 的原函数，因为 x?0?无定义, 属于

332243x3x反常积分范畴，一般不定积分或定积分的结论不适合反常积分，因为4个一维积分：不定积分、变限积分、定积分和反常积分是四种类型的积分，不可视为同一积分的不同特殊情形。 ●通常我们约定原函数的存在要认为是二者定义域的公共部分；如?为x?0，?dx1?x2dx?lnx?c，公共部分x ?arcsinx?c的公共部分为??1,1?;而不是??1,1????1,1?是arcsinx的定义域?；2sinx的原函数不是初等函数； x121sinxcosxdx?sinx+c=-cos2x?c2；●原函数不唯一，它们是只差一个常数的函数族，如： 1?24●初等函数的原函数不一定为初等函数，如初等函数e?x,sinx2,●f?x?为连续的奇函数?F?x???f?x?dx为偶函数；

ax f?x?为连续的偶函数?F?x???f?x?dx为基函数。

0x 但不能说f?x?为连续的偶函数，则?f?x?dx为奇函数，因为?f?x?dx?F?x??c，存在常数

c；

f?x?为连续的周期函数??f?x?dx为周期函数的充要条件是；?f?x?dx?0。

a0xT

2．必须记住的18个基本积分公式：

109

1k?11x?C (k?1) ?2? ?dx?ln|x|?Ck?1xaxx?3? ?adx??C(a?0,a?1) ?4? ?sinxdx??cosx?C lna?1? ?xkdx??5? ?tanxdx??lncosx?C; ?6? ?ctanxdx?lnsinx?C?7? ?sec2xdx?tanx?C; ?8? ?csc2xdx??ctanx?C?9? ?secxdx?ln|secx?tanx|?C ?10? ?cscxdx?ln|cscx?ctanx|?Cdx1xdxx?arctan?C; 12 ?arcsin?C??22?22x?aaaaa?xdx1a?xdx?C; ?14? ??lnx?x2?a2?C?13? ?22?lna?x2aa?xx2?a2?11? ?x2a22?15? ?x?adx?x?a?lnx?x2?a2?c ?x?x2?a2?0恒成立22x2a2222?16? ?x?adx?x?a?lnx?x2?a2?c ?x?x2?a2?0不恒成立22 x2a2x222?17? ?a?xdx?a?x?arcsin?c22adx1?x1x?18 ??arctan???222??c2?22a??x?a?2a?x?aa22??????

评注 带不定参数的积分要考虑各参数的取值情况，分别讨论，如：?是不全为零的非负数。

dx; a, b2222asinx?bcosx

陈氏积分公式：

证明如下：

?nx?dxa2?x2=1?x?22nlnx?a?x?arcsin??c 2?1?n?a??nx??dxa2?x2x?asin?1cos?d?1?n2?nsin??cos??d?nsin??cos???nsin??cos??d?? n?????nsin??cos?nsin??cos???1?x?22?nlnx?a?x?arcsin??c2?1?n?a?11?n2

110

二、积分技巧与方法

评 注 积分计算四大总纲领：

① 利用上述18个积分公式及其逆向思想，把被积函数整体或其部分凑全微分； ② 分部积分；

③ 换元（三角换元、倒换元、指数换元、根式换元和特殊换元见【例27】）。

④ 积分技巧的本质：积分困难主要是由于被积函数存在分母和根号，如何完全或部分去掉这两个东西就是我们开发求解积分技巧的源泉，详见【例9】分析，其余例题类推。 1、利用加减乘除函数及原函数凑微分 【例9】 设f?sin2x??xx，求I??f?x?dx。 sinx1?x解：令 u?sin2x，则x?arcsinu?f?x??I??arcsinx，于是 xarcsinxdx??2?arcsinxd?1x1?x1????2x?dx??? ??2?1?xarcsixn???x11?x?????????2x1dxaxr?csi?nx

??21?xarcsixn?x?2c评 注 此题解到I??arcsinx按照积分总纲领，去掉分母还可以写成： dx的后续计算是关键，

1?xI??arcsinxdx??2?arcsinx?2x?darcsinx往下计算十分困难，不可取。按照积分1?x??总纲领也可以去掉根号，即令1?x?t?x?1?t2?dx??2tdt，从而：

arcsinxarcsin1?t2I??dx?????2?tdt??2?arcsin1?t2dtt1?x?2t?? t???2??1?t21?t??2?tarcsin1?t2??dt???2?tarcsin1?t2??dt?221?t2???2?1?1?t?????? 111

??111????2?tarcsin1?t2??d?1?t2????2?tarcsin1?t2??21?t2??c

21?t22??????2tarcsin1?t2?2?11?t2d?1?t2???21?xarcsinx?2x?c

但计算过程繁琐得多。所以，快速寻找到最佳解法就需要读者多做练习多思考总结。

【例10】 I??lntanxsin2xdx 解：

I??lntaxnsinx2dx??lnxtandx??1xldnttaann 2sinxcosx?co22txanx sx ?12?lntanxd?lntanx??14?lntanx?2?c

【例11】 I??dxx?1?x7? 解一：I??1?x7?x7x?1?x7?dx????1?x?x6?1?x7??dx?lnx?17ln1?x7?c ?7解二：I??x?81d?1?x?171?x?7dx??7?1?x?7??ln1?x?7?c

读者可以验证，两种结果只差一个常数。

【例12】I??sinx1?sinxdx 解：

I??sinx(1?sinx)sinxdxsin2cos2xdx??xcos2x??cos2xdx ???d(cosx)1 cos2x??(1?cos2x)dx?secx?tanx?x?Cx【例13】 I??e?1ex?1dx 解：

I??ex?1e?1?ex?1ex1xdx?e2x?1dx??e2x?1dx??e2x?1dx

?dexe2x?1??de?x?1?e?2x?ln?ex?e2x?1??arcsine?x?c 112

【例14】 I??解：

x2dx 2x?4I??x2dxdx???2x?4?1?d??1?x?????2x?4x2x?4xt2?4, dx?tdt2dx?2x?4?232??x?2x?4?32tdt1?t?4??t??????????2??2dt322t?4tt?4t????2x?4?t?x?1?11?1?11t?112x?4?dt??+arctan=??arctan?c ?22????2?tt?4?2?t22?222x?442x?41x?2?arctan?c4x42?I?cos2x?sinx【例15】 I??dx sinxcosx(1?cosxe)?解：注意到：?cosxesinx??(cos2x?sinx)esinx

d(cosxesinx)dycosxesinxy?cosxesinxI??sinx???????ln?C sinxsinxecosx(1?cosxe)y(1?y)1?cosxe1?lnxdx21?lnx1x?x?lnx?xdx???d??C 【例16】 ???x?lnx?2??x?lnx?2??(x?lnx)2xx?lnx???????x??x?111??d(x?)x???2x2?11xxx??C dx???arctg?【例17】 ?4dx??21x?12?2?1??x2?2??x??2??x??x??1?

【例18】F?x?为f?x?的原函数，x?0时，有f?x?F?x??sin2x, 且 F?0??1, F?x??0,求f?x?。 解：由F??x??f?x?有：

113

??2sin2x2?f?x?F?x??sin2x?F??x?F?x??sin2x??Fx????1?F2?x?=?2sin2xdx?x?sin4x?C41F?0??1?C?1?F?x??x?sin4x?141?cos4xf?x??F??x??12x?sin4x?14

xarctanx ?x?0?，求f?x?。 【例19】设f?x?连续，且f?x???f?t?dt?1?????0?x?1?x? 解：令F?x???f?t?dt?1

0x?F?0??1,F??x??f?x??F??x?F?x??212??arctanx??Fx???2?x?1?x?arctanx ?F?x??2?dx?4?arctanxd?arctanx??2arctanx??x?1?x???2?c

F?0??1?c?1?F?x???1?2arctanx?f?x??F??x???2、回归法 【例20】求I????24arctanx21?2arctanx??2?1??2?1?x?xarctanxx?1?x?1?2arctanx??2cosx?xsinx?x?cosx?2dx

x?cosx???1?sinx?x?dx1??dx??xd 解：I???? 2??x?cosxx?cosx???x?cosx???dxxdxx?????c

x?cosxx?cosxx?cosxx?cosx2tx?x?【例21】设f?x?连续，且lim?1????f?x?t?costdt，求f?x?。

0t???t??x? 解：易知：lim?1???e2x

t???t?2t 114

e??f?x?t?costdtx?t?u?f?u?cos?x?u?du?cosx?f?u?cosudu?sinx?f?u?sinudu2x0000xxxx?2e??sinx?f?u?cosudu?cosx?f?u?sinudu?f?x?2x00xx ?4e2x?f??x??cosx?f?u?cosudu?sinx?f?u?sinudu?f?x?sinxcosx?f?x?sinxcosx

xx00?4e2x?f??x??e2x?f??x??5e2x?f?x??5e2x2?c

【例22】设f?x??x1?x2?1?x2?10f?x?dx，求I??10f?x?dx 解：设?1f?x?dx?A，x0f?x??1?x?1?x2?10f?x?dx两边同时取积分得

?1f?x?dx??1x11001?x2dx?????0f?x?dx???????01?x2dx??? ?A??1x01?x2dx?A?12121??x12?11?01?xdx?A?2ln?1?x?|0?A??1?x?arcsinx|???2??0? 02???A?1?12ln22ln2?A4??0f?x?dx?A?4??3、待定函数法

1?x?1【例23】求I????1?x??ex?x?dx

解：设I????1?x?1?x?1x?1?exdx?F?x?ex?x??c，两边求导得：

??1?x?1?ex?1x?ex?1x?F?x?Fx?1?1?? ?x??????????x2?????1?x?1?1?

x?F??x??F?x???1?x2??上式很容易看出，F?x??x是它的一个特解，根据定积分的定义，故 I?xex?1x? c4、相关积分法

【例24】求I1??e2xsin2xdx, I2??e2xcos2xdx

解：

115

1I1?I2??e2xdx?e2x?c21I1?I2??e2xcos2xdx?e2xcos2x??e2xsin2xdx21111 ?e2xcos2x?e2xsin2x??e2xcos2xdx?e2xcos2x?e2xsin2x??I1?I?

22221?I1?I?e2x?cos2x?sin2x?412x12x?I?e?e?cos2x?sin2x??c1??48???I?1e2x?1e2x?cos2x?sin2x??c2?48?5、换元法（注意：凑微分和换元法是计算积分的两大核心而普遍的技术） 5.1 三角换元

● 三角换元?一? ____ 去根式

sec2x?1?tg2xa2?x2?x?asint 或 acost

x2?a2?x?atant(dx?asec2tdt)x2?a2?x?asect(dx?asecttantdt)1?tan2x?sec2x 1?ctan2x?csc2x

●三角换元?二?____万能公式

x2dt?dx?21?t2

2t1?t22tsinx?; cosx?; tanx?221?t1?t1?t2t?tan

注意：三角万能代换只有在没有其他简单方法可用时才使用，实际上三角万能代换后计算

量很大。 如?sinxdx令u?cosx更方便???????，如用三角替换反而繁琐。 2cosx?sinx●三角换元?三?____和差化积或积化和差

116

1?sin(???)x?sin(???)x?21?cos(???)x?cos(???)x? sin?xsin?x??

21cos?xcos?x??cos(???)x?cos(???)x?2sin?xcos?x?●三角换元?四?____倍角公式

1sinxcosx?sin2x cos2x?1?2sin2x21122 sinx?(1?cos2x) cosx?(1?cos2x)

22xx1?cosx?2cos2 1?cosx?2sin222评 注：不管引用何种三角替换，其本质是去掉根号和化简，从这个意义上读者根据具体题型要广义使用。

x2【例25】 I??dx 22(1?x)解：三角换元法：

x2tan2tx?tantI??dx ??????sec2tdt??sin2t2222(1?x)(1?tant)

11111x ??(1?cos2t)dt?t?sin2t?C?arctanx??C224221?x2【例26】I??xxdx ?a?0? 2a?x解：三角换元法：令 x?2acos2t?dx??4asintcostdt

xcostdx ??2ac2ots?cos??a4tsint?dt2a?xsitn

1?? ??8a2?co4tdts??a2t?32st?in2t?icn4??s4??I??x115.2 倒换元 x? ?dx??2dt

tt【例27】?dxx2a?x22

117

?dx1?tdt1d?a2t2?1?x2a2?x2 x?1t ?t22??1a2??t2dt????????1???a2t2?1??a2?2a2t2?1

?t?? a2??t2?1a2?C??x2?a2a2x?C5.3 指数或根式换元，如： ax?t?dx?1lna?dtt, x?a?t?dx?2tdt 【例28】 求 I??2xdx1?2x?4x ?2xdx1?2x?4x 2x?t ?t1dt1?t?t2?ln2?t t?1?1dt1dt122ln2???1?23?ln2???arctan?C?1?2?2?t?2???4??t?2?3?ln233????2??2【例29】求 I??dxx?3x 解：令

6x?t?x?t6?dx?6t5dt，才可以同时去掉两个根式。

I=

?6t56t3t3?1?1t3?t2dt??t?1dt?6?t?1dt?6????t2?t?1?1?t?1??dt?2x?33x?66x?6ln?6x?1?

?c5.4 特殊换元 【例30】I???x?a??b?x?dx ?b?a?

解：特殊换元法：令 ???x?a??b?a?sin2t??b?a?cost ??b?x2?dx?2 ?b?a?sintcostdt , t?arcsinx-aa?b

-a, cos2t?1?sin2?2xbt?b?a??x-a?b?asint

??a???b-x???b?a?sintcost?b-x?b?acost?x- 118

I???x?a??b?x?dx ??b?a??sintcost?2 ?b?a?sintcostdt2 ?2?b?a?

??sintcost?2b?a??dt?22?b?a??2sin2tdt?42??1?cos4t?dt

?b?a? ?42?t?sintcostcos2t??c2?b?a? ?4?x-aa?b?2xarcsin??b-ab?a??x?a??b?x???c??6、多级分部积分法

?udv?uv??vdu

多项式u的各阶导数 u u? u?? ? 0

其他函数v的各级积分 ? ?vdx

??vdx ? ?..?.?d x

陈氏口诀 代换变形多项式；逐次微分直到零；其余积分零对齐；交叉相乘正负和。

【例31】 I???x4?2x3?1?e2xdx

x4?2x3?1表格：

4x3?6x2 12xe2e2xI?24x?1224012x2?1x2 12x 12x 12x 12x

eeee81632412x41111e(x?2x3?1)?e2x?4x3?6x2??e2x(12x2?12x)?e2x(24x?12)?e2x?24?0?C2481632

14 ?(x?2x3?3x2?3x?1)e2x?C2读者参照陈氏第4技同步练习： ?(x5?3x2?2x?5)cosxdx

【例32】

22x(arcsinx)dx arcsinx?u sinu?u?cosudu???12usin2udu 2?02u2u表格： 1 1 1

?cos2u?cos2u?sinu2sin2u82421?1211??ucos2u?usin2u?cos2u?C?2?224?? 111??(arcsinx)2(1?2x2)?x1?x2arcsinx?(1?2x2)?C428?

119

7、递推法与倒推法

【例33】 Idxn??(x2?a2)n 递推式一般首先采用分部积分法，?n?1? 解：

Ixx2?a2?a2n?(x2?a2)n?2n?(x2?a)2n?dx1 ?x22dx(x2?a2)n?2nIn?2naIn?2na?(x2?a2)n?1 ?x(x2?a2)n?2nIn?2na2In?2na2In?1

?I??xn?1?12na2?(x2?a2)n?(2n?1)I?n?? I?xn?12(n?1)a2??(x2?a2)n?1?(2n?3)I?n?1?? 可作为公式用。

【例34】 In??secnxdx??secn?2xdtgx

解：

I?2n?secnxtgx??(n?2)secn?3x(secxtgx)tgxdx

?secn?2xtgx?(n?2)?secn?2x(sec2x?1)dx

?secn?2xtgx?(n?2)?secndx?(n?2)?secn?2xdx?secn?2xtgx?(n?2)In?(n?2)In?2?In?1n?1secn?2xtgx?n?2n?1In?2

【例35】 In??tgnxdx??tgn?2x(sec2x?1)dx

解：

In??tgn?2xdtgx??tgn?2xdx ?1tgn?1n?1x?In?2

I1n?1n?n?1tgx?In?22同步练习：

?x2?a2dx?x2x2?a2?a2ln(x?x2?a2)?C

120

【例36】I2??解：

dx

(x2?1)2dxxx2dxx1?x2-1dxI1??2??2???2?22222x?11?x21?x1?x1?x?????x?2I1?2I21?x21x1x1I2??I??arctanx?c12221?x22?1?x?2

7、有理函数的积分可化为整式和如下四种类型积分 ①?②?1dx?lnx?a?C x?a111dx????C n?1 nn?1(x?a)n?1(x?a)2P4q?px??u, ?a2dxdxdu22? ???????③?2n?u2?a2n，再用【例33】方法 22?(x?px?q)n?????P?4q?px??????22??????④

x?a11p?dx?2 4q?p?0 dx???a????22n?1n?(x2?px?q)n2(n?1)(x?px?q)2?(x?px?q)?pppp?a?x?a?x?a22dx?22dx?dx??(x2?px?q)n?(x2?px?q)n?(x2?px?q)n?(x2?px?q)ndxx?1d(x2?px?q)?p?1??2?a?dx???2nn2(x?px?q)?2?(x?px?q)11p?1??a?dx???22n?1n2?1?n?(x?px?q)2?(x?px?q)?

?评 注：上述公式不必记忆，但方法的本质是想办法消除分母的x一次项，再用【例33】的结论。具体问题的求解是这一思想出发的。

8、抽象函数和分段函数的不定积分

?sinx?【例37】 已知f?x?的原函数为??；求I??xf??2x?dx

?x? 121

2xcos2x?sin2x?sinx??xcosx?sinx??f2x? 解：f?x??? ???22xx4x?? I?11xdf2x?????2?2x2f???x1?2?2f?11x?dxcos2-x4x4sin?2 xc

【例38】求 I??max?x3,x2,1?dx

解：此类题的定式做法是：关键是画图得出分段区间，化成分段函数后，再积分。

14?3x; x?1?I?x?c1?4?1?f?x??max?x3,x2,1???x2; x??1?I?x3?c2 ?画图得出分段分支函数?

3??1; x?1?I?x?c3?? 由于分段函数的连续性知：

1?c1?1?c34

1??c2??1?c3332?c; c2???c43?143?4x?4?c; x?1 ?12?I??max?x3,x2,1?dx??x3??c; x??13?3?x?c; x?1??令c?c3?c1? 评 注 对于含有绝对值的函数积分，一般见于定积分题型中，方法是：先令绝对值的项

等于零，画图再确定能去掉绝对值的区间，然后分区段积分，详见定积分部分例题。但也可作不定积分：

112?????x?1?dx???1?x?dx?c????x?1??c 如 I??x?1 dx????0122

x?1?0?x?11x【例39】设y?y?x?满足

1 解：?ydx??dx??1

y1ydx? ??ydx??1，且当x????y?0,y?0??1，求y的表达式。

122

??1ydx??1?ydx?1y???1??????y??ydx???2??ydx??

?y2??2

??ydx????ydx??y??y??y?y?ce?xy?0??0?c?0x????y?0?y?ex

【例40】设f?x?在?0, ???上可导，f?0??0，其反函数为g?x?，若?x?fx??xg?t?xd?t求f?x?。

解：令t?x?u, dt?du

?x?f?x?xxg?t?x?dt??f?x?0g?u?du?x2e?g?f?x??f??x??2xex?x2ex????g?f?x???x?xf??x??2xex?x2ex?f??x??2ex?xex ?x?0??f?x??2ex?ex?x?1??c

f?0??0?c??1f?x??2ex?ex?x?1??1 x?e2x，

123

第三节 一元函数积分学之三（定积分与反常积分）

一、定积分“三基”内容：

1． 定义：“脑中有模型，结构心理存，两个关键点，定义得分明。”

两个关键点：定积分是结构性的，它是积分和式的极限，而且该极限的结果与区间的分法与各子区间?xi?1, xi?中点?i的取法无关。 模型是： 积分图；

结构是： 极限形式；具体来说：

1）定对象：有限区间?a, b?的有界函数；

2）分区间：将?a, b?分为n个子区间?xi?1, xi??i?1,2,..n?，其中规定：x0?a; xn?b，子区间?xi?1, xi?与分法无关，?a, b?内共有n?1个点， 中间插入n?1个点，其中等分区间只是其中的一种分法；

3）作乘积：在?xi?1, xi?内任意取一点?i，作乘积f??i??xi，其中： ?i与取法无关，?xi?xi?xi?1； 对等分情况：xi?a?nb?a?i, x0?a, xn?b n 4）求和式：S??f??i??xi；

i?1 5）取极限：I?lim?f??i??xi; ??max??xi?; ??0?n??；

??0i?1nI才是f?x? 6）作结论：极限存在，且与区间分法和子区间?xi?1, xi?内点?i的取法无关时，

在闭区间?a, b?上的定积分。

定积分的定义的数学形式：（ 实际使用中?a, b???0, 1?比较常见 ）

?

bai(b?a)??b?a??f(x)dx?lim?f?a??? ?取右端点定义，x0?a??n???n??n??i?1f(x)dx?lim?n???i?0n-1n?

重点应用公式：

bai(b?a)??b?a??f?a??? ?取左端点定义, xn?b??nn????

1 a?0, b?1?lim?n???i?1n

nn?111?i?n?xf???????f(x)dx 或 lim?0n????n?i?0ni?i?1f????f(x)dx ?n?0124

下列重要结论成立：

n?1n?11?i?1?j?i?11?j?1?i?? lim?f??????limf?lim????n????f??n???n????n??n??n?i?1nj?2ni?2nn ?limn1?i?1?1?1?n?1?11?1?1?n?1?f?f?f?f(x)dx?f???f?????????0?n???n?n?n?n??n?n?n?n?n?i?1n

nn?1n?11?i?1?j?i?11?j?1?i?1? lim?f???lim?f???lim?f????f(x)dx????n???n???nn???n?n???i?0n?n?0i?1j?0n1nini?1n? ?f(x)dx?lim0n?????i?1f?x?dx?lim1?i?f???n????n?i?1nn1如： lim?n???i?1nn1155?lim???dx 2220n???ni?0??x?i??i??????????n??n?nb5n?1 2) a?b?limn????0?f?a??0??f(x)dx

i?1a1?b?a?ba?b?limfa?i??????af(x)dx 3) n???n??i?1n nab1?a?b?lim?f?b?i??f(x)d?x?f(x)d??x?????b?an???n??i?1nn1?b?a?1?a?b??lim?f?a?i??limfb?i?????n???n?n???i?1n?n??i?1nnn

??f(x)d??x???f(x)dx??f(x)dx???f(x)dxababbaba

2．重要结论：

① 积分7个常用比较定理：

在[a, b] ?a?f(x)上连续，恒正或恒负或f?x??0；且?f(x)dx?0?f(x)?0

ab在[a, b][?,?]?[a, b]有?f(x)dx?0?f(x)?0 ?b?f(x)上连续，任意子区间

?? ?c?f(x)在[a, b]上连续，f?x??0，且f?x?不恒为零，??f(x)dx?0

ab在[a, b]) ?d?f(x)上连续，f?x??g?x?或f?x??g?x?；且?f(x)dx??g(x)dx?f(x)?g(xaabb 125

?e? 积分保序定理：f(x)在[a, b]上连续，f?x??g?x?或f?x??g?x?，则 ??f?x?dx??g?x?dx 或 ?f?x?dx??g?x?dx

aaaaxxxx ?f?

?baf(x)dx??f(x)dx

ab ?g? 柯西不等式： ② 积分估值定理：

??baf?x?g?x????2?baf2?x????bag2?x?

? m(b?a)??

baf(x)d?xM(?b ) af(x)?[m, M ]③ 积分中值定理（平均值公式）：

?baf(x)dx?f(?)(b?a) ??[a,b ]1b2f?t?dt ?ab?a 函数f?x?在[a, b]上的均方根公式：I?④ 函数在对称区间的积分特点：

?

l?l??0 f(x)为奇函数 ??lf(x)dx??2?f(x)dx f(x)为偶函数 ；

0??1l?f(x)?f(?x)?dx= l?f(x)?f(?x)?dx f(x)非奇非偶?0??2??l1 评 注 ?a?

?1?xdx1?x2?0，因为该积分为广义积分，与定积分定义不符。

?b? F?x??f??x?x ? G?f?? 为常用偶函数；?x???f?x? f为常用奇函数 x??⑤ 周期函数f(x?T)?f(x)的积分特性： ?a?

?a?Taf(x)dx??f(x)dx 0T??a?Tf(x)dx?0f(x)dx?Tf(x)dx?a?Tf(x)dx??a?0?T??a?

TaT?0????f(x)dx??f(x)dx??f(t?T)dt??f(x)dx?000?a? ?b? ?

126

a?TTf(x)dx??f(x)dx 0a

例如?a?的应用：

F?x???x?2?xesintsintdt??esintsintdt??esintsintdt0??2?? ??esintsintdt??esintsintdt??000? ??e?sinu??sinu???du???esintsintdt?0?

???esint?e?sint?sintdt?00?⑥ 积分高级技巧：

?a? ?02af?x?dx???f?x??f?2a?x??? 0?a如求

??0?xsinx?2dx?dx?及??01?acosx1?a2 0?a?1等题型。 1?cos2x4?b? ?0a1af(x)dx???f(x)?f(a?x)?dx。

20?c? 用面积法解释?0a1a2?x2dx??a2的积分方法。

41?d?常用奇函数 ??x???t?xdt; ??x??ln?1x?a, ??x??f?x??f??x?， x?a 常用偶函数 ??x??f?x??f??x?

如果f?x?关于x?a轴对称，那么：f?a?x??f?a?x?为偶函数?f?x??f?2a?x?

bb?e? ?af?x?dx??af?a?b?x?dx；

y?f?ba?b?f?x?dx?2?2f?x?dx, 对多元函数积分有类似结论。x?关于轴对称 x??aa2a?b⑦华里士公式：

?(n?1)(n?3)???1????n(n?2)???2?2 n?1为偶数? ?2sinnxdx??2cosnxdx??00?(n?1)(n?3)???2?1 n?1为奇数 ??n(n?2)???3 形象记忆掌握法：奇奇1；偶偶半?。

意思是：当n为奇数时，分母每项也为奇数，分子相应递减，且结论最后一项为1； 当n

127

I?1??2?dxdx?1??21?tgx?ctgx ??201?tg?x?1?????2?01?tg?xdx?4?4sin2【例44】 I??x??1?e?xdx

4 解: 利用：

?l?lf?x?dx?12?l?l?f(x)?f(?x)?dx= ?l0?f(x)?f(?x)?dx I??1????4sin2x??2???dx?41?e?x?4sin2x?1?4?11??exdx???2????1?e?x?1?x?241?4?e?sinxdx?1?2?41??(1?cos2x)dx

42?1?2?40(1?cos2x)dx??18?4【例45】 设f?x??limx??1??t??t2sint??g??2x?t???g?2x???，g?x?的一个原函数为ln?x?1?，I??10f?x?dx。

解：

sinx?f?x??limt?g??2x?1??t??g?2x??t??x?x?????1???xg??2x?t??t??I??112x?2t10f?x?dx??0xg??2x?dx???t??02g??t?2dt ?12121???4??tg?t???|0?4?0g?t?dt?4??t?ln?t?1????|20?14??ln?t?1???|20?1?24??3?ln3???

【例46】f?x?连续，（1）求证：?????20xf?sinx?dx?2?0f?sinx?dx???0f?sinx?dx

（2）求I???xsin20xcos2xdx

解：（1）令x???t sinx?dx?0?f??dt?

??0xf?????t?sin???t????dx????f?sint???00tf?sint?dt???xf?sin??

0x?dx?2?0f?sinx?dx又因为：

求

133

???f?sinx?dx2?0??0f?sinx?dx???f?sinx?dx2?????x???t??20f?sinx?dx??0?f?sin???t????dt??2?2f?sinx?dx

20??22???0f?sinx?dx???0f?sinx?dx

（2）

I????xsin2xcos2xdx?? 0?20sin2x?1?sinx2?dx????华里氏公式?

=???1?312?2?2????4?2?2???1647】 I??1ln(1?x)dx01?x2

解：令 x?tantd?xs2ect dtI??1ln(1?tant)?2?cost?sin01?tan2tsectdt??4t?0ln??cost??dt?????2sin?t??4?4??0lncostdt

??????40ln2dt??40lnsin(4?t)dt??40lncostdt??ln2??0???8??lnsin(?u)du?42?40lncosdt?8ln2?48】 I??2sinxdx01?sixn?cxo s

解：令 t?tanx2x?2arctt an2tI??11?t20?2dt?1?2t?11?t10(1?t2?1?t)1?t2?1?t21?t2dt1?t2 ???11?t2??1?arctant?2ln(1?t)2????ln2042?x2x49】求f?x???, x?0?x?????costdt, ???x?0的极值。

2 解：先分段求极值， 再讨论分段点处的连续性。

【例【例 【例

134

?x2x, x ? ?2xlnx?2x?l?n?210?x0 f?x???? ?0f??x?e??e

?x?????costdt,? ? ?x??0f??x??xc?os?x00???22 又当0?x?1e?f??x??0;x?1e?f??x??0?极小值f??1??2?e???ee

f??????????sin?????1?0极小值f????2??2???????2??? 1 在x?0处

lim2xx?0?f?x??xlim?0?x?1 limx?0?f?x??limxx?0????costdt??0?costdt?1 2?2f?0???0??costdt?12 ?f?x?在x?0处连续；但

ff?x??f?0?x2x?1e2xlnx?12xlnx???0??xlim?0?x?xlim?0?x?xlim?0?x?xlim?0?x???导数不存在， 但当x很小时，x?0?f??x??0; x?0?f??x??0，故f?x?在x?0处取得极大值1。

【例50】设f?x?在?0, 1?上可导，f??x??0，求??x???10f?x??f?t?dt的极值点。

解：f??x??0?f?x???f?x??f?t?????f?x??f?t?, 0?t?x??f?t??f?x?, x?t?1

??x???x10??f?x??f?t???dt??x??f?t??f?x???dt?xf?x???1?x?f?x???xf?t?dt??1f?t?dt??2x?1?f?x???xf?t?dt??10x0xf?t?dt ???x???2f?x???2x?1?f??x??2f?x???2x?1?f??x?

???x???0?x?12x?12???x???0;x?12???x???0 故：x?12是??x?的极小值点。 【例51】计算积分 I???0xsin10xdx 解：

135

华里氏公式0?????=?? I??xsinxdx???2sin1xdx1000??97531?63?????=? 。 1086422512评 注 定积分的计算主要方法还是换元、凑微分和分步积分，目的也是“两去”，即去根号

和去分母；基础手段是对称区间公式、周期函数积分公式和代数面积几何法。

2、几何法

【例52】 利用几何法计算下列积分： ?1?I1???1?x?d x ?2? I2??01104?xd x ?3? I3??21021?4xd x解：

111 ?1?I1等于边长长1 的三角形面积。I1???1?x?dx??1?1?

022 ?2?I2等于边长为1?1?3的三角形和就、张角等于的弧形面积之和。

62 I2??1011?3?4?x2dx??1?3???22??

226231?3?I3等于4椭圆2?1的面积。

I3??10121?4xd?x?4211?a?b????1 4282 评 注 读者可以利用公式?x2a2x2a?xdx?a?x?arcsin?c验证上述结论；这类题型

22a只有在积分区域为圆或圆上的一部分或椭圆上规范区域（一般由上下限决定）才能够使用几何法。

【例53】设f?x?在?0, 1?上连续且递减，0???1，证明：?f?x?dx???f?x?dx

00?1??f?证明：使用区间变换。?a, b???0, 1? 使用变换 ?f?x?dx????x?t???x??t?dt a0bt?x?ab?a1??0?f?x?dx?????f??t??dt???f??t?dt00t?x11??f?x?dx???f?x?dx???f??t?dt???f?x?dx????f??t??f?x???dt00000? 又 ，0???1, f?x?递减??t?t?f??t??f?t??1111

????f??t??f?x???dt?00???f?x?dx???f?x?dx001?1 136

【例54】求xlim1x???x?0sintdt

解：???k?1???k?sintdt??0sintdt?2

设x以这种方式趋于正无穷大：n??x??n?1????

??n?x?n?1??0sintdt??0sintdt??0sintdt?n?0sintdt可从几何意义上计算，因为三角正弦或余弦每一个拱形面积等于2被积函数加上绝对值后的定积分几何意义为几何面积（没有绝对值则为代数面积）??n?0sintdt?n?2?2n; 同理 ??n+1??0sintdt??n+1??2?2?n+1?

2n?n?1???1x?x0sintdt?2?n?1?1x2n??xlim???x?0sintdt??

【例55】 I??2dx1x3x2?2x?1 解：

??I??2dxlimdxd1?1x3x?1?21??x3x2?2x?1?lim?2(1?x)??0??????1?1??22?(1?2?

???x?1????0??x)??

1?1 ??limx2?lim??arcsin2???arcsin3???0?arcsin21????0??2(1??)4????2?arcsin34【例56】 I????dx??x2?4x?9??0dx??dx??x2?4x?9?0?2x?4x? 9 解：

I?0dx?lim????limbdxa(x?2)2?5?b????0(x?)2?5 ?1x?20alim???lim1x?2b5arctan5a?b???5arctan50

???121?5arctan5?5???????1?12????2???????5?2?5arctan5???5【例57】求I????dx1xx?1

解： 混合反常积分问题的题型

137

2??dxdxdxI?????? ?也可以选用其他有效常数分界点?112xx?1xx?1xx?121dx2tdt?x?1?t1???????2arctant|?0?1xx?1?0t?t2?1?2

?????2??dx2tdt?????x?1?t??????????2arctant|?21????21t?t?1?xx?1?24?2I??【例58】 讨论积分的值：I??解：首先需要判敛。由于 limx?13212dxx?x2

x?x?x?1为基准收敛反常积分1?lim?1??????????原反常积分收敛。 x?1xx?123212dxx?x2?0?得分界点 x?0, 1，但在积分区间只有x?1是被积函数的瑕点。故

I??11dxx?x221??321dxx2?x2321 ??1dx1?1???x??4?2?12??dx1?1?x????2?4?2

31??2x????2???1?22 ?arcsin??ln??x???x?x???ln2?31?2??????12???2?1??211【例59】试证明：???x2lnxdx?0。

2e0x2lnx1幂函数比对数函数阶次高???0。根据证明：先判敛：选基准“大收小收” ?lim1?limx2lnx???????x?0x?0xx2 的原则，原反常积分收敛。

要证明原不等式，右边很简单，因为在区间?0， 1?内x2lnx?0，由积分保序性知

3?x012lnxdx?0。左边只要在区间?0， 1?内求出f?x??x2lnx的最小值即可。

138

f??x??x?2lnx?1??0?x?e??0, 1?11??????又, x??0, e2??y??0, x??e2, 1??y??0?????12??1?1 ?f?x? 的极小值为 f?e2??? 2e??而： limx2lnx?0, limx2lnx?0?f?x? 的最小值为???x?0x?111? ???x2lnxdx?02e0

1 2e【例60】设f?x??积存在，并求之。 解：依题意是求?e?x??e?xe?1e?xdxe2x?12x，证明：曲线y?f?x?在区间?ln2, ???上与x轴围成的区域右面

ln2，由于是无穷区间的反常积分，选基准收敛函数

1 x2?x2x??edxx2e?xx2e?x2e?1?lim?lim?0，根据“大收小收”的原则，故? lim收

2x?2xx??x??x??2xln21e?11?ee?12x敛，面积存在。则

???e?xdxe2x?1ln2???????????????5?x?ln?ste?c令 ex=set?c?xedx?setcttdta?ndx??dttan?23?cost?tatn2dt?sint?|??1tant32

3【例61】求I??x2?2x?3dx

?2解：令x2?2x?3?0?x1??1, x2?3，利用画数轴的方法容易得出各积分子区间。

I???1?2?x2?2x?3?dx??103?1?x2?2x?3?dx???x2?2x?3?dx?3571 3【例62】求I??tt?xdt

解：令t?x?0?t?x，故x??0, 1?而不能取其他区间的值。

11xx?0?I??t?t?x?dt??032 0?x?1?I??11311 tt?xdt?tt?xdt?x?x??????0?x3231x1x?1?I???t?t?x?dt??023x 评 注 对于含参积分问题，必须优先明确参数的取值范围，写出分段函数形式。

139

第四节 定积分的应用

元素法总则：在微分元范围内，任何曲线和直线等价，任何物理变量可以用常量代换。 一、5

大几何应用

陈氏第5技 上下原函横面积，左右反函横周长；两轴轮换形除外，平移双函识减符。

1.1 平面图形的面积应用

???几何面积：S???baf(x)dx ?如图阴影部分，恒大于零???代数面积：S??baf(x)dx ?有正负值?

称为左右曲不相交图形

?S??dc??(y)??(y)?dy，

称为上下曲相交图形

?S??ba?f(x)?g(x)?dx

??x?x(t)2?y?y(t)?S??tty(t)x'(t)dt

1 140

?S?1?2?(?)d???2

?S?1?22??(?)??(?)?d?21????2

评 注 既然是定积分应用，当然积分方向以常数区间为准。对上下曲不相交图形，被积函数为上原函数减去下原函数（远减近），对左右曲不相交图形，被积函数为右反函数减去下反函数（远减近），对于相交图形则为远减近的绝对值，画图以面积所在的位置定正负。 1.2 平面曲线的弧长 ds?(dx)2?(dy)2 y?f(x)?l?? ?ba21?y?xdxt2?x?x(t)?l??t1?y?y(t)?x?(t)???y?(t)?dt

?2(?)???2(?)d?22???(?)?l??1.3 旋转体积

?2?1Vx???y2?x?dxab ?

Vy?2??x?y?x?dxab 141

22Vx????y(x)?y(x)?22?dxa?b 设?y2为远曲线，y1为近曲线 Vy?2??x?y2(x)?y1(x)?dxab Vx?2??y??x2?y??x1?y???dyc评 注 对左右曲图形?2Vy????x2y??x12?y?????dycdd 。如果旋转轴为平行于x或y的直线，

比如上下曲绕x?t，如t在两曲线的上方，则旋转的体积，则计算如下（其余类推）： 设y1?f1?x?为离旋转轴的近曲线，y2?f2?x?为离旋转轴的远曲线，则体积元及体积为：

dv????t?f2?x???dx????t?f1?x???dx

22??dx???t?f2?x????t?f1?x???????t?f2?x????t?f1?x??????dx??2t?f1?x??f2?x?????f1?x??f2?x????Vx?t????2t?f1?x??f2?x?????f1?x??f2?x???dxa?b

形象记忆法：上述公式靠死记是不行的，时间长了必会混淆，但你仔细观察一下有规律： 上下曲绕x及其平行轴和上下曲绕y及其平行轴利用圆面积，其余情形用圆的周长。而且上下曲，定积分方向为x，左右曲为y，这是定积分要求的；Vx和Vy在形式上满足“导数”关系；还有个特征就是x，y是交替出现的，如Vy?2??x?f2(x)?f1(x)?dx中Vy?x，而

abVx?2??y????y????y???dy中Vx?y。 c1.4 旋转体的侧面积（对于上下曲图形）

dSx?2??y1??y??dx Sy?2??x1??y??dx aab2b2 形象记忆法：x，y交替出现。 1.5 形心（重点）

质心是针对实物体而言的，而形心是针对抽象几何体而言的，对于密度均匀的实物体，质心和形心是重合的。

142

● 曲线形心（在多元函数积分应用时，还有平面和图形和空间图形的形心问题，请对照。）

x 方向的静力矩 Mx????x?f?x?1???f??x???dxab2 静力矩定义： y 方向的静力矩 My????x?x1???f??x???dxa物体的质量 M????x?1???f??x???dxab2b2 X?MyM???abx1???f??x???dx1???f??x???dx22b??bax1???f??x???dxl2a 形心坐标 Y?Mx?M ?baf?x?1???f??x???dx2?ba1???f??x???dx2??baf?x?1???f??x???dxl2 评 注 对质心只要在每项积分中加入线密度为??x?即可，当??x??常数，即几何体均匀时， 质心与形心完全重合，上述公式通用，下同。 上述形心公式与旋转体的侧面积联系起来，便得到：

古尔金第一定理： Sx?2?Yl S y ? ?Xl 2● 面密度为?的均匀平面薄板的形心（上下曲型）

X???xdxdyS??dxdyS??ba1b2f?x?dxxf?x?dx?a Y?S?2 SS??dxdy??ydxdyS评 注 对质心只要在每项积分中加入密度函数即可。 上述形心公式与旋转体的体积积联系起来，便得到：

古尔金第二定理： Vx?2?YS Sy?2?XS 二、4大物理应用（物理应用?几何应用+物理定理）

2.1 压力或浮力问题（以球形物体受到的水压为例）

143

dp?xdS?2?xR2?x2dx?压力 p=?2?xR2?x2dx0R浮力 F? ????液体或气体dV?

2.2 引力（万有引力或电场力）问题

例如在x轴上有一根长为l，均匀质量密度为?的木棒，中心放在原点，在y轴上?0, a?处有一个单位质点，则万有引力计算如下：

Fx?0 F?2Gy?l?2l?dx?a2?x322

? 又如在x轴上有一根长为l，均匀电荷密度为?的木棒，中心放在原点，在y轴上?0, a?处有一个单位电荷，则电场力计算如下：

Fx?0 F?2y?l?l14??0??dx2?a2?x322

?2.3 做功问题

W??2.4 质心问题

x?MyM??f??x???dx?a??x?x1???f??x???dx?a??x?1??bb2b2ba???F.d l??f??x???dx?a??x?x1??Mb2 y?Mx?M?f??x???dx?a??x?f?x?1???f??x???dx?a??x?1??b22??f??x???dx?a??x?f?x?1??Mb2

【例63】 y?x?x?1??x?2?与x轴所围部分的面积为

?A? ?0f?x?

22d x ? f? x? d ?? B ? ??x0112?2fxdx

?C? ??0f?x?

d x ? ? D ? d ? ? f? x ??x011??fxdx144

解：本题为求几何面积，y与x轴的交点为x1?0, x2?1, x3?2，

而x??0, 1??f?x??0; x??1, 2??f?x??0; 故?B?正确。 【例64】求曲线y?12x与x2?y2?8所围图形的较小部分的面积S。 2解：两曲线的交点为??2, 2?, ?2, 2?，为上下曲，则

2?2?1?1?S???8?x2?x2?dx?2??8?x2?x2?dx?202?2????22 ?2??2??? ?2?????x11arcsin?x8?x2?x3?6?222??04?4?2???2??3?3?22

【例65】设平面曲线C1:y?11?ex?，过点?0, 1?的平面曲线C3是单调增加函数，，C2:y?ex，?2过C2上任一点M?x, y?分别作垂直于x和y轴的直线lx和ly，记C1，C2与lx所围成的面积为

S1?x?，记C1，C2与ly所围成的面积为S2?x?，S1?x??S2?x?，求C3的方程x???y?。 解：先画出草图。显然三曲线交点为?0, 1?，C3在最上面，C1在最下面。

S1?x?为上下曲，S1?x???x01xx?x1x?e??1?e??dx???e?1?dx ?220??ylny???y??S2?x?为左右曲，S2?x?????dy 0?y1xx1xxe?1dx?lny??ydy????????e?1?dx????lny???y????y??0?2?02?0111xx??ex???ex??x?x?lne??e ??ex?1??? ????22e211y?ex??????y??lny??2y2?【例66】求y?e?xsinx的x?0的部分与x轴所围平面图形的面积。 解：设所求面积为S

145

S??e?xsinxdx??e?xsinx?dx?e?xsinxdx????0?2?3?1?n????2?n?e?xsinxdx??

???n?0??n?1??n??x?esinx?cosx????xesinxdx?????2n?0??n???n?1??e??n?1???e?n???2n?0?e???1??n?e???11e??1?e??????2n?021?e2?e??1?【例67】求半径为a圆的渐伸线?0, ??内的弧长。 解：圆的渐伸线方程为：

??x?a?cost?tsint????y?a?sint?tcost? ?s?? ???0?0?a?cost?tsint?????a?sint?tcost???dt

?????????122?atcost???atsint?dt?a?0tdt?a?2222【例68】 求曲线y?4?x2及y?0所围成的图形绕直线x?3旋转一周的体积。 解： 0?y?4

22??????dV???3??4?y??3?4?y??dy?12?4?ydy??????V?12??404?ydy??12??(4?y)d(4?y)??12??0412111?2(4?y)3240?64?

【例69】 由x2?y2?x与y?x确定的区域记为A，求A绕直线x?2旋转一周所生成的旋转体的体积。 解：

Vy??2?xf?x?dx?Vx?2??2??2?x?f?x?dxaabb

?Vx?2??2??2?x?120120?x?x2?xdx??????相当于把圆心移到原点??11?x??cos?令?221?y?sin??2

2??1?2??1???2??2?x??????x???x?dx??2???2???

?11113?22????1?????2??2??cos???sin???cos??sin?d???222283???2?2 146

【例70】过原点作平面曲线y?x?1的切线，求该曲线和切线与x轴围成的图形绕y?1旋转一周的旋转体的表面积。

解：设切点为?x0, y0?，y??x0??111，则切线方程为： |x0??2y2x?12x0?101??y?1?02y??x0??x0?2 y?y0? ??0?x?x0?， 又 ?0, 0?在切线上，则?y?12y0?0?y?x?10?0得切线方程为：y?1x。 2由曲线y?x?1 ?1?x?2?绕y?1旋转一周的旋转体的表面积S1应等于绕y?0即x轴旋转一周的旋转体的表面积：

S1?2??y1?y?dx???122214x?3dx??6?55?1

?1x ?0?x?2?绕y?1旋转一周的旋转体的表面积S2应等于绕y?0即x轴旋2转一周的旋转体的表面积：

由直线线y? S2?2??202152?y1?ydx???2??x?dx?5?

022由直线y?0 ?0?x?1?绕y?1旋转一周的旋转体的表面积S3应等于绕y?0即x轴旋转一周的旋转体的表面积：

S3??

因此：旋转体的表面积 S??6?55?1?5?????5?6?5?1。

?【例71】设f?x?在?0, a?上连续非负，f?0??0，在?0, a?内，f???x??0，设?X, Y?为区域

D???x, y??R2| 0?x?a, 0?y?f?x??的形心，求证：X?2a。 3证明：

xf?x?dx2?X?，要证X?a，等价于要证明：?3?f?x?dx0a0a2??x?a?f?x?dx?0 0?3??ax?x2?2x 构造辅助函数：F?x????t?x?f?t?dt??tf?t?dt?x?f?t?dt ?0?x?a?

0030?3? 147

显然F?0??0, 只须证明F?a??0.12x?F?x??xf?x???f?t?dt?F??0??0330111111??F???x??xf??x??f?x??xf??x??xf?????x?fx?f????????3xf??????x???33333?f?0??0 说明： f?x??f?0??f????x????f?x??f????x, 0???x??

????????F???x??0f??x?0, ??x?????F??x??????F??x??0?F?x??????F?x??0?F?a??0?X?F?0?0F0?02a3 同步练习 设f?x?在?0, 1?上连续非负，f?0??f???0??f????0??0，f????x??0，设?X, Y?为区域D???x, y??R2| y?f?x?, x?0, y?1?的形心，求证：X?a13。 4xf?x?dx33???证明：X?，要证X?，等价于要证明：??x??f?x?dx?0, x??0, 1?

44???f?x?dx0a00x3x?3? 构造辅助函数：F?x????t?x?f?t?dt??tf?t?dt?x?f?t?dt

0040?4?x显然F?0??0, 只须证明F?1??0.13xxf?x???f?t?dt?F??0??044011F???x??xf??x??f?x??F???0??042111111????F????x??xf???x??xf??x??xf???x??f??????x?fx?f??xf???????x??????????444444f??0???0?? 说明： f??x??f??0??f?????x?????f??x??f?????x, 0???x????? F??x??????????F????x??0f???x?0, ??x???????F???x??????F???x??0?F??x??????F??x??0?F??x??????F?x??0?X?F??0?0F?0?0F0?034【例72】假设区域D由曲线y?px3 ?y?0, p?0?及其过点?1, p?的切线与x轴围成，其形心为?X, Y?。 （1） 求X的值；

（2） 求p的值，使D绕y轴一周而生成的旋转体体积为Vy?

6?. 135148

解：（1）

切线方程y?|x?1?3px2|x?1 ?3p?????y?p?3p?x?1??2? 与 x 轴的交点为?, 0?, 与 y 轴的交点为?0, ?2p?

?3?111面 积 S??px3dx?p?p0612静力矩 My??x?pxdx??2x???p?3p?x?1???dx30311 ?11184?7?p??2?3px2?2px?dx?p??1??1??p?p 559?135?2737My135p28 X???1Sp4512（2）

?py1?2?2?Vy???1?3p????2p????2dy03??3????p31?8p?3?14 ???3p???p??p3?9?51351463 ?p??p?p?1351357或直接由古尔金第二定理：2811463 Vy?2?XS?Vy?2???p??p??p?p?45121351357 可见灵活运用古尔金定理，可以大大简化计算，顺便说一句，读者放心使用古尔金定理，不要担心国家阅卷组的认可。

223 149

第三章 一元函数积分学模拟题

一、填空题

1、已知f??lnx??1?x，则f?x?? 2、已知?xf?x?dx?arcsinx?C，则

?1f?x?dx? 3、已知f?x?的一个原函数为ln2x，则?xf??x?dx? 4、已知f??ex??xe?x，且f?1??0，则f?x?= 5、

?lnx?1x2dx?

6、

?arcsinxxdx?

7、设f?x?=

11?x2?x3?10f?x?dx，则?10f?x?dx= 8、设f?x?有一个原函数sinxx，则???xf??x?dx? 29、

?102x?x2dx=

10、

?1?x?x?e?x?1dx?

?xex2,?1?x?1,11、设f?x?=???22则?21f?x?1?dx? ????1,x?1 22,12、设f?x?连续且?x3?10f?t?dt?x，则f?7??

13、

d0dx?x2xcost2dt? 14、dxdx?0sin?x?t?2dt? ?1?xax15、设lim?ax????x??????tetdt，则常数a?

16、

???dx1ex?e2?x? 17、???dxexln2x? 18、由曲线y?lnx与两直线y??e?1??x及y?0所围成的平面图形的面积是

150

19、曲线y?x2与直线y?x?2所围成的平面图形的面积是 二、选择题

1、若f?x?的导函数是sinx，则f?x?有一个原函数为

（A）1+sinx （B）1-sinx （C）1+cosx （D）1-cosx [ ] 2、在下列等式中，正确的结果是 （A）?f??x?dx?f?x? （B）?d?f?x???f?x?

（C）

ddx?f?x?dx?f?x? （D） d?f?x?dx?f?x? [ ] 3、设函数f?x?与g?x?在[0，1]上连续，且f?x??g?x?，且对任何c??0,1?， （A）

?cc1f?t?dt?B）2?1g?t?dt （?cc1f?t?dt??1g?t?dt

222（C）

?11cf?t?dt??g?t?dt （D）?1f?t?dt??1cccg?t?dt [ ]

?1?x2?1?,0?x4、设g?x?=

?x0f?u?du，其中f?x?=???2?1,则g?x?在区间?0,2?内

?1??3?x?1?,1?x?2,（A）无界 （B）递减 （C）不连续 （D）连续 [ ]

5、设F?x??x2xx?a?af?t?dt，其中f?x?为连续函数。则limx?aF?x?等于 （A）a2 （B）a2f?a? （C）0 （D）不存在 [ ]

6、设f?x?是连续函数，且F?x???lnx1f?t?dt，则F??x?等于

x（A）

1xf?lnx??1?1?1?1?x2f??x?? （B）xf?lnx??f??x?? （C）

1xf?lnx??1?1??1?x2f??x?? （D）f?lnx??f??x?? [ ] 7、设函数f?x?在区间?a,b?上连续，且f?x??0，则方程?xaf?t?dt??x1bf?t?dt?0在开区间?a,b?内的根有

（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个 [ ]

151

?1,x?0,8、设f?x?=??0,x?0, F?x???xf?t?dt，则

???1,x?0,0（A）F?x?在x?0点连续 （B）F?x?在???,??? 内连续，但在x?0点不可导 （C）F?x?在???,??? 内可导，且满足F??x??f?x?

（D）F?x?在???,??? 内可导，但不一定满足F??x??f?x? [ ] 9、下列广义积分中收敛的是 （A）

???lnxxdx （B）???1eexlnxdx

（C）

???dxx(lnx)2 （D）???dxeexlnx [ ]

10、下列广义积分中发散的是

（A）?11?1sinxdx （B）?11?11?x2dx （C）

???x20e?dx （D）???dx2xln2x [ ] 11、下列结论中正确的是 （A））

???dxx?x?1? 与?1dx0x?x?1?都收敛 （B）???dx1x?x?1? 与?1dx10x?x?1?都发散 （C）???dx1dx??1x?x?1?发散

?0x?x?1?收敛 （D）?dx1x?x?1?收敛?1dx0x?x?1?发散

[ ]

12、双纽线?x2?y2?2?x2?y2所围成的区域面积可用定积分表示为

??（A）2?40cos2?d? （B）4?40cos2?d?

??（C）2?40cos2?d? （D）12?40(cos2?)2d? [ ]

三、解答题 1、求?e2x?1dx 2、求?x1?ln?1?x4?2x2?5dx 3、求不定积分?x?x2dx xcos4x4、求不定积分

22?sin2xdx 5、求不定积分I=?x1?x2arctanxdx

6、计算I= ?arctanexexdx 7、已知sinx3x是函数f?x?的一个原函数，求?xf??x?dx

152

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