勾股定理习题（附答案）

勾股定理评估试卷（1）

一、选择题（每小题3分，共30分）

1. 直角三角形一直角边长为12，另两条边长均为自然数，则其周长为( ). （A）30 （B）28 （C）56 （D）不能确定 2. 直角三角形的斜边比一直角边长2 cm，另一直角边长为6 cm，则它的斜边长

（A）4 cm （B）8 cm

（C）10 cm

（D）12 cm

3. 已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ （A）25

（B）14

（C）7

4. 等腰三角形的腰长为10,底长为12,则其底边上的高为（A）13 （B）8 （C）25 5. 五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）

720252024252424252071571515(A)(B)(C)6. 将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是（A） 钝角三角形 （B） 锐角三角形 （C） 直角三角形三角形.

7. 如图小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD的面积是（A） 25 （B） 12.5 （C） 9 （D） D AC

B8. 三角形的三边长为(a?b)2?c2?2ab,则这个三角形是（A） 等边三角形 （B） 钝角三角形（C） 直角三角形 （D） 锐角三角形

） D）7或25

（D）64

24152025(D)

( ) （D） 等腰 ( ) 8.5 .

（( ) 7 ( )

9.△ABC是某市在拆除违章建筑后的一块三角形空地.已知∠C=90°，AC=30米，AB=50米，如果要在这块空地上种植草皮，按每平方米草皮a元计算，那么共需要资金（ ）.

（A）50a元 （B）600a元 （C）1200a元 （D）1500a元

10.如图，AB⊥CD于B，△ABD和△BCE都是等腰直角三角形，如果CD=17，BE=5，那么AC的长为（ ）.

（A）12 （B）7 13

A E D C

B （第10题） 二、填空题（每小题3分，24分）

11. 如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米长度至少需要____________米.

12. 在直角三角形ABC中，斜边AB=213. 直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为14. 如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=3个半圆的面积是____________.

（第15题） 17题）

（C）5 （D） 3米 5米

（第11题） （第14题）

高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的AB2?AC2?BC2=______.

. ，AC=4.以斜边AB为直径作半圆，则这 A D E B C

（第16题） （第

,，则 15. 如图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一

只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞___________米. 16. 如图，△ABC中，∠C=90°，AB垂直平分线交

BC于D若BC=8，AD=5，则AC等于______________.

17. 如图，四边形ABCD是正方形，AE垂直于BE，A 第B C D 且AE18. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形

都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为的面积之和为三、解答题（每小题19. 11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”的问题：“小溪边长着两棵棕榈树，的长度单位）树的树顶上都停着一只鸟它们立刻飞去抓鱼，并且同时到达目标树的树跟有多远？

20. 如图，已知一等腰三角形的周长是的长.

BE=4，阴影部分的面积是___________cm2.

8分，共40分）恰好隔岸相望20肘尺；两棵棕榈树的树干间的距离是.忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，

______.

.一棵树高是.问这条鱼出现的地方离开比较高的棕榈16，底边上的高是

187cm 题图 7cm,则正方形A，B，C，D

30肘尺（肘尺是古代50肘尺.每棵4.求这个三角形各边

=3，

，另外一棵高

21. 如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？

22. 如图所示的一块地，∠ADC=90块地的面积。

23. 如图，一架2.5米长的梯子底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑移多少米？

B

A C D L

第21题图

°，AD=12m，CD=9m，AB=39m，BC=36m，求这CDAB

，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙0.4米，那么梯足将向外AA1B1BC

AB四、综合探索（共26分）

24.（12分）如图，某沿海开放城市A接到台风警报，在该市正南方向100km的B处有一台风中心，沿BC方向以20km/h的速度向D移动，已知城市A到BC的距离AD=60km，那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？如果在距台风中心30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？

25.（14据勾股定理，请你类比勾股定理，试猜想

A

C

D B

第24题图

ABC中，BC?a，AC?b，AB?c，若∠C=90°，如图（1），根则a2?b2?c2，若△ABC不是直角三角形，如图（2）和图（3），

a2?b2与c2的关系，并证明你的结论.

分）△

参考答案

一、选择题（每小题3分，共30分） 1.（D）；2.（C）；3.（D）；4.（B）；5.（C）； 6.（C）；7.（B）；8.（C）；9.（B）；10.（D）； 二、填空题（每小题3分，24分） 11.7；12.8；13.24；14.16.4；17.19；18.49； 三、解答题 19.20；

20. 设BD=x，则AB=8-x

由勾股定理，可以得到AB2=BD2+AD2，也就是(8-x)2=x2+42. 所以x=3，所以AB=AC=5，BC=6

21.作A点关于CD的对称点A′，连结B A′，与CD交于点E，则E点即为所求.总费用150万元. 22.116m2； 23. 0.8米； 四、综合探索 24.4小时，2.5小时.

25. 解：若△ABC是锐角三角形，则有a2+b2>c2 若△ABC是钝角三角形，∠C为钝角，则有a2+b2

258?； 15. 13；

证明：过点A作AD⊥CB，垂足为D。设CD为x，则有DB=a－x 根据勾股定理得 b2－x2＝c2―(a―x) 2 即 b2－x2＝c2―a2＋2ax―x 2 ∴a2＋b2＝c2＋2ax ∵a>0，x>0 ∴2ax>0 ∴a2+b2>c2

当△ABC是钝角三角形时，

证明：过点B作BDAC，交AC的延长线于点D. 设CD为x，则有DB2=a2－x2 根据勾股定理得 (b＋x)2＋a2―x 2＝c2 即 b2＋2bx＋x2＋a2―x 2＝c2 ∴a2＋b2＋2bx＝c2 ∵b>0，x>0 ∴2bx>0 ∴a2+b2

勾股定理单元检测

1．选择题（每小题2分，共20分） （1）等腰直角三角形三边的平方比为（） A．1：4：1 B．1：2：1 C．1：8：1 D．1：3：1

（2）下列三角形中，是直角三角形的是（） A．三角形的三边满足a+b=2c

B．三角形三边的平方比为3：4：5 C．三角形的一边等于另一边的一半 D．三角形的三边为9，40，41

（3）小明家与学校的距离仅有500m，但需要拐一个直角弯才能到达，已知拐弯处到学校有400m，则家门口到拐弯处有（） A．300m B．350m C．400m D．450m

（4）有一个木工师傅测量了等腰三角形的腰、底边和高的长，但他把这三个数据与其他数据弄混了，请你帮他找出来（） A．13，12，12 B．12，12，8 C．13，10，12 D．5，8，4

（5）△ABC中，∠C=90°，a+c=32，a：c=3：5，则△ABC的周长为（） A．30 B．40 C．48 D．50

（6）将直角三角形的各边扩大相同的倍数，得到的三角形是（） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定

（7）正方形的对角线长是18，则这个正方形的面积是 （ ） A．9 B．18

C．162 D．81

（8）在△ABC中，AB=13，AC=15，高AD=12，则BC的长是 （ ） A．14 B．9

C．9或5 D．4或14

（9）若a、b、c为△ABC的三边长，且满足a2+ab－ac－bc=0，b2+bc－ba－ca=0，则△ABC的形状是 （ ） A．直角三角形 B．等腰三角形

C．等腰直角三角形 D．等边三角形

（10）设a、b都是正整数，且a－b，3b，a+b （a＞2b）构成一个直角三角形三边的长，则这个三角形的任一边的长不可能是 （ ） A．12 B．13 C．14 D．15

2．填空题（每小题2分，共20分）

（11）三角形中两边的平方差恰好等于第三边的平方，则这个三角形是 三角形．

（12）在Rt△ABC中，∠C=90°，c=20，b=12，则a= 。 （13）在△ABC中，a=3，b=7，c2=58，则S△ABC= 。 （14）在Rt△ABC中，∠C=90°，c=20，a：b=3：4，则a= ，b= 。

（15）在Rt△ABC中，直角边AC=5，BC=12，则斜边AB上的高等于 。

（16）已知Rt△ABC的三边长是三个连续整数，则这个三角形的斜边长为 。

（17）在长、宽、高分别为l dm、2dm、2dm的长方体箱子内能放入的最长物体的长度是 dm．

（18）某车间的人字形屋架呈等腰三角形，跨度AB=24 m，上弦AC=13 m，则中柱CD（D为AB的中点）的长为 m．

（19）要登上12m高的建筑物，为了安全起见，需使梯子底端离建筑物5m，则至少需要 m的梯子．

（20）Rt△ABC的三边长从大到小排列为m、n、13，且m、n都是正整数，则△ABC的周长为 。 3．解答题（每小题12分，共60分）

（21）在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB=25，AC=30，AD=24，试判断△ABC的形状．

勾股定理单元检测

1．选择题（每小题2分，共20分） （1）等腰直角三角形三边的平方比为（）

A．1：4：1 B．1：2：1 C．1：8：1 D．1：3：1

（2）下列三角形中，是直角三角形的是（） A．三角形的三边满足a+b=2c

B．三角形三边的平方比为3：4：5 C．三角形的一边等于另一边的一半 D．三角形的三边为9，40，41

（3）小明家与学校的距离仅有500m，但需要拐一个直角弯才能到达，已知拐弯处到学校有400m，则家门口到拐弯处有（） A．300m B．350m C．400m D．450m

（4）有一个木工师傅测量了等腰三角形的腰、底边和高的长，但他把这三个数据与其他数据弄混了，请你帮他找出来（） A．13，12，12 B．12，12，8 C．13，10，12 D．5，8，4

（5）△ABC中，∠C=90°，a+c=32，a：c=3：5，则△ABC的周长为（） A．30 B．40 C．48 D．50

（6）将直角三角形的各边扩大相同的倍数，得到的三角形是（） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定

（7）正方形的对角线长是18，则这个正方形的面积是 （ ） A．9 B．18 C．162 D．81

（8）在△ABC中，AB=13，AC=15，高AD=12，则BC的长是 （ ） A．14 B．9

C．9或5 D．4或14

（9）若a、b、c为△ABC的三边长，且满足a2+ab－ac－bc=0，b2+bc－ba－ca=0，则△ABC的形状是 （ ） A．直角三角形

B．等腰三角形

C．等腰直角三角形 D．等边三角形

（10）设a、b都是正整数，且a－b，3b，a+b （a＞2b）构成一个直角三角形三边的长，则这个三角形的任一边的长不可能是 （ ） A．12 B．13 C．14 D．15

2．填空题（每小题2分，共20分）

（11）三角形中两边的平方差恰好等于第三边的平方，则这个三角形是 三角形．

（12）在Rt△ABC中，∠C=90°，c=20，b=12，则a= 。 （13）在△ABC中，a=3，b=7，c2=58，则S△ABC= 。 （14）在Rt△ABC中，∠C=90°，c=20，a：b=3：4，则a= ，b= 。

（15）在Rt△ABC中，直角边AC=5，BC=12，则斜边AB上的高等于 。

（16）已知Rt△ABC的三边长是三个连续整数，则这个三角形的斜边长为 。

（17）在长、宽、高分别为l dm、2dm、2dm的长方体箱子内能放入的最长物体的长度是 dm．

（18）某车间的人字形屋架呈等腰三角形，跨度AB=24 m，上弦AC=13 m，则中柱CD（D为AB的中点）的长为 m．

（19）要登上12m高的建筑物，为了安全起见，需使梯子底端离建筑物5m，则至少需要 m的梯子．

（20）Rt△ABC的三边长从大到小排列为m、n、13，且m、n都是正整数，则△ABC的周长为 。 3．解答题（共60分）

（21）在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB=25，AC=30，AD=24，试判断△ABC的形状．

已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2－b2c2=a4－b4，试判断△ABC的形状．

解：因为a2c2－b2c2=a4－b4，

所以c2（a2－b2）=（a2－b2）（a2+b2）． 所以c2=a2+b2．

所以△ABC是直角三角形． 回答下列问题： （ⅰ）上述解题过程，从哪一步开始出现错误?请写出该步代码为 ； （ⅱ）错误的原因为 ； （ⅲ）请你将正确的解答过程写下来． 答案

1．（1）B

（2）D （3）A （4）C （5）C （6）B （7）C （8）D （9）D （10）C

2．（11）直角 （12）16 （13）10．5 （14）12 16 （15） （16）5 （17）3 （18）5 （19）13 （20）182

3．（21）在Rt△ABD中，BD2=252－242=49， 所以BD=7，同理CD=18．

所以BC=25．所以△ABC是等腰三角形．

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