圆锥曲线的定比分点

一、圆锥曲线的中点弦问题：

遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆中，以

为中点的弦所在直线的斜率k=－；在双曲线中，以为

中点的弦所在直线的斜率k=；在抛物线中，以为中点的

弦所在直线的斜率k=

。比如：

①如果椭圆是 （答：

弦被点A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程

）；

②已知直线y=－x+1与椭圆相交于A、B两点，且线段AB的中

点在直线L：x－2y=0上，则此椭圆的离心率为_______（答：

）；

③试确定m的取值范围，使得椭圆上有不同的两点关于直线对

称（答：

）；

特别提醒：因为是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、

！

对称问题时，务必别忘了检验

二 圆锥曲线的几何性质：你了解下列结论吗？

（1）双曲线

的渐近线方程为

；

（2）以为渐近线（即与双曲线共渐近线）的双曲线方程为

为参数，≠0）。

如与双曲线有共同的渐近线，且过点的双曲线方程为_______（答：

）

（3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为

；

（4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为，焦准距（焦点到相

应准线的距离）为，抛物线的通径为，焦准距为；

（5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦； （6）若抛物线

的焦点弦为AB，

，则

①；②

（7）若OA、OB是过抛物线

顶点O的两条互相垂直的弦，则直线AB

恒经过定点

三．动点轨迹方程：

（1）求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围； （2）求轨迹方程的常用方法： ①直接法：直接利用条件建立

之间的关系

；

如已知动点P到定点F(1,0)和直线

或

的距离之和等于4，求P的轨迹方程．（答：

）；

②待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。

如线段AB过x轴正半轴上一点M（m，0），端点A、B到x轴距离之积为2m，

以x轴为对称轴，过A、O、B三点作抛物线，则此抛物线方程为 （答：

）；

③定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；

如(1)由动点P向圆

作两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=60，则

）；（2）点M与点F(4,0)

）；

0

动点P的轨迹方程为 （答：的距离比它到直线(3) 一动圆与两圆⊙M：

的距离小于1，则点M的轨迹方程是_______ （答：

和⊙N：

都外切，则动圆圆心的

轨迹为 （答：双曲线的一支）；

④代入转移法：动点又在某已知曲线上，则可先用轨迹方程；

如动点P是抛物线

上任一点，定点为

,点M分

所成的比为2，

依赖于另一动点的代数式表示

的变化而变化，并且，再将

代入已知曲线得要求的

则M的轨迹方程为__________（答：

⑤参数法：当动点考虑将

）；

坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可

均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）。

如（1）AB是圆O的直径，且|AB|=2a，M为圆上一动点，作MN⊥AB，垂足为N，在OM上取点在圆

，使

，求点

上运动，则点

的轨迹。（答：

）；（2）若点

的轨迹方程是____（答：

）；（3）过抛物线

则弦AB的中点M的轨迹方程是________（答：

的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，

）；

注意：①如果问题中涉及到平面向量知识，那么应从已知向量的特点出发，考虑选择向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化，还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化。

如已知椭圆是椭圆外的动点，满足

的左、右焦点分别是F1（－c，0）、F2（c，0），Q点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并

且满足（1）设为点P的横坐标，证明；（2）求

点T的轨迹C的方程；（3）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，使△F1MF2的面积S=若存在，求∠F1MF2的正切值；若不存在，请说明理由. （答：（1）略；（2）

；

（3）当时不存在；当时存在，此时∠F1MF2＝2）

②曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响.

③在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线的双重身份――对称性、利用到角公式)、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等.

④如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”，那么可选择应用“斜率或向量”为桥梁转化.

四、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：

（1） 给出直线的方向向量

或

；

（2）给出与相交,等于已知过的中点;

（3）给出,等于已知是的中点;

（4）给出,等于已知与的中点三点共线;

（5） 给出以下情形之一：①；②存在实数,等于已知

；③若存在实数

三点共线.

（6） 给出，等于已知是的定比分点，为定比，即

（7） 给出等于已知

,等于已知

是钝角, 给出

,即是直角,给出

是锐角。

,

,等于已知

（8）给出,等于已知是的平分线/

（9）在平行四边形形;

中，给出，等于已知是菱

（10） 在平行四边形中，给出，等于已知是矩形;

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