傅里叶变换的基本性质

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傅里叶变换的基本性质

傅里叶变换建立了时间函数和频谱函数之间转换关系。在实际信号分析中，经常需

要对信号的时域和频域之间的对应关系及转换规律有一个清楚而深入的理解。因此有必要讨论傅里叶变换的基本性质，并说明其应用。

一、 线性

傅里叶变换是一种线性运算。若

f1(t)?F1(j?) f2(t)?F2(j?)

则

af1(t)?bf2(t)?aF1(j?)?bF2(j?) (3-55) 其中a和b均为常数，它的证明只需根据傅里叶变换的定义即可得出。

例3-6 利用傅里叶变换的线性性质求单位阶跃信号的频谱函数F(j?)。 解 因

f(t)?U(t)?由式(3-55)得

11?sgn(t)22

111121F(j?)???U(t)?????1???sgn(t)???2??(?)?????(?)?2222j?j?

二、对称性

若

f(t)?F(j?)

F(jt)?2?f(??) (3-56)

证明 因为

1f(t)?2?有

????F(j?)ej?td?

2?f(t)??F(j?)ej?td?????

2?f(?t)??F(j?)e?j?td???

将上式中变量?换为x，积分结果不变，即

2?f(?t)??F(jx)e?jxtdx???

再将t用?代之，上述关系依然成立，即

2?f(??)??F(jx)e?j?xdx???

最后再将x用t代替，则得

2?f(??)??F(jt)e?j?tdt???F(jt)????

所以

F(jt)?2?f(??)

证毕

若f(t)是一个偶函数，即f(?t)?f(t)，相应有f(??)?f(?)，则式(3-56)成为

F(jt)?2?f(?) (3-57)

可见，傅里叶变换之间存在着对称关系，即信号波形与信号频谱函数的波形有着互相置换的关系，其幅度之比为常数2?。式中的??表示频谱函数坐标轴必须正负对调。例如

f(t)??(t)?F(j?)?1 F(jt)?1?2?f(?)?2??(?)

例3-7 若信号f(t)的傅里叶变换为

???/2?2?AF(j?)???0 ???/2

试求f(t)。

解 将F(j?)中的?换成t，并考虑F(j?)为?的实函数，有

t??/2?2?AF(jt)?F(t)???0 t??/2

该信号的傅里叶变换由式(3-54)可知为

??F(t)??2?A?Sa(根据对称性

??)2

F(t)?2?f(??)

故

f(??)?A?Sa(再将f(??)中的??换成t，则得

??2

)?tf(t)?A?Sa()2

f(t)为抽样函数，其波形和频谱如图3-20所示。

F(j?)A f(t)E?0??/20?/2? ?2?/?2?/? t

图 3 - 20三、折叠性

若

f(t)?F(j?)

则

???f(t)?为实函数 (3-58) ?F(j?) f(?t)?F(?j?)????f(t)?为虚函数???F(j?)

四、尺度变换性 观看动画

若

f(t)?F(j?)

则

f(at)?证明 因a＞0，由

1?F(j) (a为大于零的实常数) （3-59) aa

??f(at)???f(at)e?j?tdt???

令x?at，则dx?adt，代入前式，可得

??f(x)???f(x)e?j?x/a???dx1??F(j) 证毕 aaaF(j

?函数f(at)表示f(t)沿时间轴压缩(或时间尺度扩展) a倍，而

a则表示

)F(j?)沿频率轴扩展(或频率尺度压缩) a倍。

该性质反映了信号的持续时间与其占有频带成反比，信号持续时间压缩的倍数恰好等于占有频带的展宽倍数，反之亦然。

例3-8 已知

t??/4?Ef(t)???0 t??/4

,求频谱函数F(j?)。 解 前面已讨论了

t??/2?Ef0(t)???0 t??/2

的频谱函数，且

F0(j?)?E?Sa(??)2

根据尺度变换性，信号f(t)比f0(t)的时间尺度扩展一倍，即波形压缩了一半，因此其频谱函数

F(j?)?E1???F0(j)??Sa()2224

两种信号的波形及频谱函数如图3-21所示。

f0(t)Ef(t)E??/20?/2F0(j?)t??/40?/4t E?0F(j?)E?/2 ?2?/? 2?/? ?图 3 - 214?/?0?

五、时移性

若

f(t)?F(j?)

则

f(t?t0)?F(j?)e?j?t0 (3-60) 此性质可根据傅里叶变换定义不难得到证明。它表明若在时域f(t)平移时间t0，则

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