2019-2020学年山东省日照市高二下学期期末校际联合考试数学试题 解析版

2 2019-2020学年山东省日照市高二下学期期末校际联合考试

数学试题 解析版

一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合M ＝{x |﹣1＜x ＜2}，N ＝{x |x （x +3）≤0}，则M ∩N ＝（ ）

A. [﹣3，2）

B. （﹣3，2）

C. （﹣1，0]

D. （﹣1，0）

【答案】C

【解析】

【分析】

先化简N ＝{x |x （x +3）≤0}={x |-3≤x ≤0}，再根据M ＝{x |﹣1＜x ＜2}，求两集合的交集.

【详解】因为N ＝{x |x （x +3）≤0}={x |-3≤x ≤0}，

又因为M ＝{x |﹣1＜x ＜2}，

所以M ∩N ＝{x |﹣1＜x ≤0}.

故选：C

【点睛】本题主要考查集合的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 2. 已知()310P AB =

，()35P A =，则()|P B A 等于（ ） A. 950 B. 12 C. 910 D. 14

【答案】B

【解析】

【分析】

利用条件概率公式计算可得结果.

【详解】由条件概率公式得()()()3110|32

5

P A P AB P B A ===. 故选：B.

点睛】本题考查利用条件概率公式计算概率值，考查计算能力，属于基础题.

2 3. 6

1x x ??+ ??

?的展开式的常数项为（ ） A. 20

B. 120

C. 5

D. 8 【答案】A

【解析】

【分析】

先写出二项展开式通项公式，再根据x 次数为零解得对应常数项. 【详解】61x x ??+ ???的展开式的通项公式为：6621661r

r r r r r T C x C x x --+??== ???

. 令620r -=，解得3r =，所以61x x ??+ ??

?的展开式的常数项为3620C =， 故选：A

【点睛】本题考查二项展开式，考查基本求解能力，属基础题.

4. 设1323a ??= ???，2313b ??= ???，1313c ??= ???

，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A. a c b >> B. a b c >> C. c a b >> D. b c a >>

【答案】A

【解析】

【分析】 分别考查指数函数1()3

x y =及幂函数1

3y x =在实数集R 上单调性，即可得出答案． 【详解】∵2133＞，由幂函数13y x =在实数集R 上单调递增的性质得113321()()33＞，∴a ＞c ． 又由指数函数1()3x y =在实数集R 上单调递减的性质得21

3311()()33

＜，∴c ＞b ． ∴a ＞c ＞b ．

故选：A ．

【点睛】掌握指数函数和幂函数的单调性是解题的关键．

2 5. 甲、乙、丙三人参加一次考试，他们合格的概率分别为

23，34，25，那么三人中恰有两人合格的概率是（ ） A. 25 B. 715 C. 1130 D. 16

【答案】B

【解析】

分析：本题是一个相互独立事件同时发生的概率，三个人中恰有2个合格，包括三种情况，这三种情况是互斥的，写出三个人各有一次合格的概率的积，再求和．

详解：由题意知本题是一个相互独立事件同时发生的概率，

三个人中恰有2个合格，包括三种情况，这三种情况是互斥的 ∴三人中恰有两人合格的概率132212233734534534515?

?+??+??= 故选B.

点睛：本题考查相互独立事件同时发生的概率，本题解题的关键是看出事件发生包括的所有的情况，这里的数字比较多，容易出错．

6. 已知变量x ，y 之间具有良好的线性相关关系，若通过10组数据(,)(1,2,...,10)i i x y i =得到的回归方程为5y bx =+，且

10120i i x ==∑，1018i i y ==∑，则b =（ ） A. 2.1

B. 2

C. -2.1

D. -2

【答案】C

【解析】

【分析】

根据回归直线过样本点的中心，可以选求出样本点的中心，最后代入回归直线方程，求出b . 【详解】因为1010

1112,2010i i i i x x x ===?=?=∑∑10

101118100.8i i i i y y y ===?=?=∑∑，所以根本点的中心为(2,0.8)，把样本点的中心代入回归直线方程，得0.825 2.1b b =+?=-，故本题选C.

【点睛】本题考查了利用样本点的中心在回归直线方程上这个性质求参数问题，考查了数学运算能力.

2 7. 万历十二年，中国明代音乐理论家和数学家朱载堉在其著作《律学新说》中，首次用珠算开方的办法计算出了十二个半音音阶的半音比例，这十二个半音音阶称为十二平均律十二平均律包括六个阳律（黄钟、太簇、姑洗、蕤宾、夷则、无射）和六个阴律（大吕、夹钟、中吕、林钟、南吕、应钟）.现从这十二平均律中取出2个阳律和2个阴律，排成一个序列，组成一种旋律，要求序列中的两个阳律相邻，两个阴律不相邻，则可组成不同的旋律（ ）

A. 450种

B. 900种

C. 1350种

D. 1800种

【答案】B

【解析】

【分析】

分为两步，第一步，取出2个阳律和2个阴律，第二步，两个阳律相邻，两个阴律不相邻，利用分步计数原理可得.

【详解】第一步，取出2个阳律和2个阴律，有2266225C C =种， 第二步，两个阳律相邻，两个阴律不相邻，有22224A A =种，

根据分步计数原理可得，共有2254900?=种.

故选：B.

【点睛】本题考查排列组合与计数原理的问题，属于基础题.

8. 函数()1ln 1

f x x x =--的图象大致是（ ） A. B.

C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】

求得函数()f x 的定义域为(0,1)(1,)?+∞，排除A 项；设()ln 1g x x x =--，令导数求得

2 函数()f x 的单调性，结合选项，即可求解.

【详解】由题意，函数()1ln 1

f x x x =

--的定义域为(0,1)(1,)?+∞，可排除A 项； 设()ln 1g x x x =--，则()()110,1g g x x '==-， 当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，函数()g x 单调递增；

当(0,1)x ∈时，()0g x '<，函数()g x 单调递减，

可得()()10g x g ≥=，

所以函数()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞单调递减，且()0f x >.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数图象与性质，其中解答中根据函数的解析式求得函数的定义域，以及利用导数求得函数的单调性是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 9. 已知函数2()ln 1f x x a x =-+在()1,3内不是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ）

A. ()2,18

B. (]2,18

C. []2,18

D. [)2,18 【答案】A

【解析】

【分析】

对函数求导()'2a f x x x

=-，讨论0a ≤和0a >，根据题意()2ln 1f x x a x =-+在()1,3

内不是单调函数，可得13<

<，进而可得结果. 【详解】因为()'2a f x x x

=-，0x >， 当0a ≤时，()'0f x >恒成立，故函数

()1,3内单调递增，不符合题意； 当0a >时，()'0f x >

可得，2x >

，()'0f x <

可得02x <<， 因为()2ln 1f x x a x =-+在()1,3内不是单调函数，

所以132

<<，解可得，218a <<.

2 故选：A.

【点睛】本题考查了导数的应用，考查了计算能力和逻辑推理能力，属于一般题目.

10. 若函数122log (3),1,()6,1

m x x f x x x m x ?-

A. (0，8]

B. (0，9]2

C. 9[2，8]

D. (-∞，1](0-?，9

]2

【答案】B

【解析】

【分析】

讨论0m >和0m 时函数的单调区间，得到0m 时不成立，0m >时需满足f （3）12

9(31)m mlog m =--=-，解出即可. 【详解】①若0m >时，则当1x <时，12

()(3)m f x log x =-单调递增，

当1x 时，22()6(3)9f x x x m x m =-+=-+-在(3,)+∞上单调递增，

在[1，3)上单调递减，

若函数值域为R 则需12(31)(3)9mlo f m g m --==-，解得902m <； ②若0m 时，

则当1x <时，12()(3)m

f x lo

g x =-单调递减，

当1x 时，22()6(3)9f x x x m x m =-+=-+-在(3,)+∞上单调递增，在[1，3)上单调递减，不满足函数值域为R ，不符合题意，舍去，

综上：m 的取值范围为(0，9]2

，

故选：B

【点睛】本题主要考查分段函数的值域，考查分类讨论思想、函数思想，属于中档题. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

2 11. 若0a b >>，则（ ） A. 11a b > B. ln ln a b > C. ln ln a a b b < D. a b a b e e -<-

【答案】BD

【解析】

【分析】 利用函数1y x

=在区间()0,∞+上的单调性可判断A 选项；利用对数函数ln y x =在区间()0,∞+上的单调性可判断B 选项；利用特殊值法可判断C 选项；利用函数x y e x =-在区间()0,∞+上的单调性可判断D 选项.

【详解】对于A 选项，函数1y x =

在区间()0,∞+上单调递减，由于0a b >>，则11a b

<，A 选项错误；

对于B 选项，函数ln y x =在区间()0,∞+上单调递增，由于0a b >>，则ln ln a b >，B 选项正确；

对于C 选项，取2a e =，b e =，则0a b >>，则222ln 2e e e =，ln e e e =，

即ln ln a a b b <不成立，故C 选项错误；

对于D 选项，取函数x y e x =-，当0x >时，10x y e '=->，

所以，函数x y e x =-在区间()0,+∞上单调递增， 由于0a b >>可得a b e a e b ->-，即a b a b e e -<-，D 选项正确.

故选：BD.

【点睛】本题考查利用函数的单调性判断不等式的正误，考查了导数的应用，属于中等题.

12. 2019年10月31日，工信部宣布全国5G 商用正式启动，三大运营商公布5G 套餐方案，中国正式跨入5G 时代.某通信行业咨询机构对我国三大5G 设备商进行了全面评估和比较，其结果如雷达图所示(每项指标值满分为5分，分值高者为优)，则（ ）

2

A. P 设备商的研发投入超过Q 设备商与R 设备商

B. 三家设备商的产品组合指标得分相同

C. 在参与评估的各项指标中，Q 设备商均优于R 设备商

D. 除产品组合外，P 设备商其他4项指标均超过Q 设备商与R 设备商

【答案】ABD

【解析】

【分析】

根据雷达图中是越外面其指标值越优，由图可知ABD 均正确.

【详解】雷达图中是越外面其指标值越优，

P 设备商的研发投入在最外边，即P 设备商的研发投入超过Q 设备商与R 设备商，故A 正确；

三家设备商产品组合指标在同一个位置，即三家设备商的产品组合指标得分相同，故B 正确；

R 设备商的研发投入优于Q 设备商，故C 错误；

除产品组合外，P 设备商其他4项指标均在最外边，故D 正确；

故选：ABD.

【点睛】本题主要考查对数表的综合观察能力，属于基础题.

13. 已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，

()1f x +是偶函数，且当(]0,1x ∈时，()()2f x x x =--，则（ ）

A. ()f x 是周期为2的函数

2 B. ()()201920201f f +=-

C. ()f x 的值域为[-1，1]

D. ()f x 的图象与曲线cos y x =在()0,2π上有4个交点

【答案】BCD

【解析】

【分析】

对于A ，由()f x 为R 上的奇函数，

()1f x +为偶函数，得()()4f x f x =-，则()f x 是周期为4的周期函数，可判断A ；

对于B ，由()f x 是周期为4的周期函数，则()()202000f f ==， ()()()2019111f f f =-=-=-，可判断B ．

对于C ，当(]01

x ∈，时，()()2f x x x =--，有()01f x ≤＜，又由()f x 为R 上的奇函数，则[)10

x ∈-，时，()10f x -≤＜，可判断C ． 对于D ，构造函数()()cos g x f x x =-，利用导数法求出单调区间，结合零点存在性定理，即可判断D ．

【详解】根据题意，

对于A ，()f x 为R 上的奇函数，()1f x +为偶函数，

所以()f x 图象关于1x =对称，(2)()()f x f x f x +=-=-

即(4)(2)()f x f x f x +=-+=

则()f x 是周期为4的周期函数，A 错误；

对于B ，()f x 定义域为R 的奇函数，则()00f =，

()f x 是周期为4的周期函数，则()()202000f f ==；

当(]0,1x ∈时，()()2f x x x =--，则()()11121f =-?-=，

则()()()()201912020111f f f f =-+=-=-=-，

则()()201920201f f +=-；故B 正确．

2 对于C ，当(]01x ∈，时，()()2f x x x =--，此时有()01f x ≤＜， 又由()f x 为R 上的奇函数，则[)10x ∈-，时，()10f x -≤＜， (0)0f =，函数关于1x =对称，所以函数()f x 的值域[11]-，． 故C 正确．

对于D ，(0)0f =，且(]0,1x ∈时，()()2f x x x =--， [0,1],()(2)x f x x x ∴∈=--，

[1,2],2[0,1],()(2)(2)x x f x f x x x ∴∈-∈=-=--，

[0,2],()(2)x f x x x ∴∈=--，

()f x 是奇函数，[2,0],()(2)x f x x x ∴∈-=+，

()f x 的周期为4，[2,4],()(2)(4)x f x x x ∴∈=--，

[4,6],()(4)(6)x f x x x ∴∈=---，

[6,2],()(6)(8)x f x x x π∴∈=--，

设()()cos g x f x x =-，

当2[0,2],()2cos x g x x x x ∈=-+-，

()22sin g x x x '=-++，

设()(),()2cos 0h x g x h x x =''=-+<在[0,2]恒成立，

()h x 在[0,2]单调递减，即()g x '在[0,2]单调递减，

且(1)sin10,(2)2sin20g g '=>'=-+<，

存在00(1,2),()0x g x ∈'=，

0(0,),()0,()x x g x g x ∈'>单调递增，

0(,2),()0,()x x g x g x ∈'<单调递减，

0(0)1,(1)1cos10,()(1)0,(2)cos20g g g x g g =-=->>>=->， 所以()g x 在0(0,)x 有唯一零点，在0(,2)x 没有零点，

2 即2(]0,x ∈，()f x 的图象与曲线cos y x =有1个交点，

当[]24x ∈，时，，()()2

cos 6+8cos x x g x f x x x =-=--， 则()26+sin g x x x '=-，()()26+sin x x h x g x ='=-，

则()2+cos >0h x x '=，所以()g x '在[]24，

上单调递增， 且()()3sin3>0,22+sin20g g '='=-<，

所以存在唯一的[][]12324x ∈?，

，，使得()0g x '=， 所以()12,x x ∈，()0g x '<，()g x 在()12,x 单调递减，

()14x x ∈，，()>0g x '，()g x 在()14x ，单调递增，

又()31cos30g =--<，所以()1(3)0g x g <<，

又()()2cos2>0,4cos4>0g g =-=-，

所以()g x 在()12,x 上有一个唯一的零点，在()14x ，

上有唯一的零点， 所以当[]24x ∈，时，()f x 的图象与曲线cos y x =有2个交点，，

当[]46x ∈，

时，同[0,2]x ∈，()f x 的图象与曲线cos y x =有1个交点， 当[6,2],()(6)(8)0,cos 0x f x x x y x π∈=--<=>，

()f x 的图象与曲线cos y x =没有交点，

所以()f x 的图象与曲线cos y x =在()0,2π上有4个交点，故D 正确；

故选：BCD ．

【点睛】本题考查抽象函数的奇偶性、周期性、两函数图像的交点，属于较难题. 14. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[]3.54-=，[]

2.12=.已知函数1()12

=-+x x e f x e ，则关于函数()()g x f x =????的叙述中正确的是（ ）

2 A. ()g x 是偶函数

B. ()f x 是奇函数

C. ()g x 的值域是{}1,0-

D. ()g x 在R 上是增函数

【答案】BC

【解析】

【分析】

利用()()11g g ≠-，()()11g g ≠--可判断A 错误，而()()f x f x -=-，故B 正确，求出()f x 的值域后利用高斯函数可求()g x ，从而可判断C 正确，D 错误. 【详解】根据题意知，e 111()1e 221e

x x x f x =-=-++. ∵e 1(1)[(1)]01e 2g f ??==-=??+??，11(1)[(1)]112g f e ??-=-=-=-??+??

， ∴()()11g g ≠-，()()11g g ≠--，∴函数()g x 既不是奇函数也不是偶函数，A 错误； ∵111()()1212

x x x e f x f x e e ---=-=-=-++，∴()f x 是奇函数，B 正确； ∵0x e >，∴11x e +>，∴()1122

f x -

<<，∴()()g x f x =????的值域{}1,0-，C 正确， 由复合函数的单调性知11()21x f x e =-+在R 上是增函数，则()()g x f x =????在R 上是增函数错误，D 错误.

故选：BC .

【点睛】本题考查函数的奇偶性、值域，前者注意利用定义来判断，后者可根据函数的形式决定合适的求值域的方法，本题属于中档题.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

15. 若随机变量()2~3,X N σ

，且(03)0.35P X <<=，则(6)P X >=_______．

【答案】0.15

【解析】

2 【分析】

由()2~3,X N σ，得(03)(36)0.35P X P X <<=<<=，两个式子相加，根据正态分布

的对称性和概率和为1即可得到答案． 【详解】由随机变量()2~3,X N σ，且(03)0.35P X <<=，根据正态分布的对称性得

(36)0.35P X <<=且正态分布的概率和为1，得10.352(6)0.152P X -?>=

=. 故答案为0.15

【点睛】本题考查了正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，属于基础题．

16. 若函数()f x 是定义在R 上的奇函数，114f ??=

???

，当0x <时，()()2log f x x m =-+，则实数m =_______.

【答案】1

【解析】

【分析】 由函数是奇函数，求得114f ??-=- ???

，代入0x <的解析式，即求得m . 【详解】()f x 是定义在R 上的奇函数，114f ??= ???，114f ??∴-=- ???

又0x <时，()()2log f x x m =-+，

211log 2144f m m ??∴-=+=-+=- ???

， 1m ∴=.

故答案为：1.

【点睛】本题注意考查函数的奇偶性，利用点对称求得m 的值.

17. 十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰·纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对

数，后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即log b a a N b N =?=．现已知

26,336a b

==，则49a

b =________，12a b +=________

2 【答案】 (1).

136

(2). 1 【解析】

【分析】 根据题意将a ，b 表示为对数式，根据对数运算性质及换底公式化简求值.

【详解】26,336a b ==，23log 6,log 36a b ∴==，

222233log 6log 6log 362log 364423619936363

a b ====∴；66231212log 2log 3=1log 6log 36a b +=+=+. 故答案为：136

；1 【点睛】本题考查指数式与对数式的互化、对数运算性质及换底公式，属于基础题. 18. 已知函数()(1)2x f x e a x =---（e 为自然对数的底数），若0(0,)x ?∈+∞，使得()()00lg f x f x >成立，则a 的取值范围为________.

【答案】()1,+∞

【解析】

【分析】

可知00lg x x <，从而根据条件可判断()f x 为减函数或存在极值点，求导数()1x f x e a '=-+，从而可判断()f x 不可能为减函数，只能存在极值点，从而方程

1x a e -=有解，这样由指数函数x y e =的单调性即可得出a 的取值范围. 【详解】00lg x x <，

∴要满足0(0,)x ?∈+∞，使得()()00lg f x f x >成立，

则函数()f x 为减函数或存在极值点，

()1x f x e a '=-+，

当()0,x ∈+∞时，()0f x '≤不恒成立，即函数()f x 不是减函数，

∴只能()f x 存在极值点，

()0f x '∴=有解，即方程1x a e -=有解，

2 即11x a e =+>，

()1,a ∴∈+∞，

故答案为：()1,+∞

【点睛】本题考查了导数研究不等式能成立问题，考查了导数在研究函数单调性、极值中的应用，考查了转化与化归的思想，解题的关键是求出导数，属于中档题.

四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

19. 已知函数f （x ）＝

3213x ax -﹣3x 在点（1，f （1））处的切线与直线4x +y ﹣5＝0平行． （1）求a 的值；

（2）求函数f （x ）在区间[﹣4，4]的最大值和最小值．

【答案】（1）1，（2）最大值为

53，最小值为763- 【解析】

【分析】

（1）求出函数的导数，结合题意利用导数的几何意义得到关于a 的方程，解出即可； （2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的最值即可

【详解】解：（1）由f （x ）＝

3213x ax -﹣3x ，得'2()23f x x ax =--， 则'(1)12322f a a =--=--，

因为函数f （x ）在点（1，f （1））处的切线与直线4x +y ﹣5＝0平行，

所以224a --=-，解得1a =，

（2）由（1）得321()33f x x x x =

--，则()()()22313f x x x x x =--=+-'， 令'()0f x >，得1x <-或3x >，令'()0f x <，得13x

，

所以()f x 在[4,1)--和(3,4]上递增，在(1,3)-上递减， 因为76520(4),(1),(3)9,(4)333

f f f f -=-

-==-=-， 所以()f x 的最大值为5(1)3f -=，最小值为76(4)3f -=- 【点睛】此题考查了导数的几何意义，考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用，属

2 于基础题

20. 2020年5月1日起，《北京市垃圾分类管理条例》正式实施，某社区随机对200种垃圾分类能否辨识进行了随机调查，经整理得到下表：

辨识率是指：一类垃圾中能辨识种类的数量与该类垃圾的种类总数的比值.

（1）从社区调查的200种垃圾中随机选取一种，求这种垃圾能辨识的概率；

（2）从可回收物中有放回的抽取三种垃圾，记X 为其中能辨识的垃圾种数，求X 的分布列和数学期望.

【答案】（1）0.78；（2）分布列见解析，1.8.

【解析】

【分析】

（1）先计算出200种垃圾中能辨识的垃圾种数，即可求出概率；

（2）由题可知X 的可能取值为0，1，2，3，且X 服从二项分布，计算出概率，即可列出分布列，求出数学期望.

【详解】（1）由题意可知，样本中垃圾种类一共200种，

能辨识的垃圾种数是：700.9600.6300.9400.6150?+?+?+?=.

所求概率为1500.75200

=. （2）X 的可能取值为0，1，2，3，

依题意可知，()~3,0.6X B ,

033(0)(10.6)0.064P X C ==-=，

123(1)0.6(10.6)0.288P X C ==-=，

223(2)0.6(10.6)0.432P X C ==-=，

333(3)0.60.216P X C ===，

2 所以X 的分布列为

()30.6 1.8E X =?=.

【点睛】本题考查二项分布的分布列即数学期望的求法，属于基础题.

21. 设函数()2

22f x x tx =-+，且函数()f x 的图象关于直线1x =对称． (1)求函数()f x 在区间[]0,4上的最小值；

(2)设()()f x h x x

=，不等式()220x x h k -?≥在[]1,1x ∈-上恒成立，求实数k 的取值范围． 【答案】（1）1；（2）1,2

?

?-∞ ???． 【解析】

【分析】

（1）求二次函数在区间[]

0,4上的最小值；（2）利用变量分离的手段，不等式()220x x h k -?≥在[]1,1x ∈-上恒成立等价于2

1112222x x k ??+-?≥ ???在[]1,1x ∈-上恒成立，转求新函数的最小值即可．

【详解】(1)∵()f x 关于直线1x =对称，∴1t =，故()222f x x x =-+= ()2

11x -+， ∴，函数()f x 在[]0,1上单调递减，在[]

1,4上单调递增，∴当1x =时，()f x 的最小值为1 ． (2) ()220x

x h k -?≥可化为22222x x x k +-≥?，化为21112222x x k ??+-?≥ ???，令12x t =，则2221k t t ≤-+，因[]1,1x ∈-故1,22t ??∈????，记()2221G t t t =-+，∵1,22t ??∈????

，故()min 12

G t =，

2 ∴k 的取值范围是1,2??-∞ ???

． 【点睛】不等式恒成立的常用处理手段有：①变量分离转化为新函数的最值问题；（2）含参讨论分析函数的单调性明确函数的最值；③数形结合，利用图像的直观性简化问题． 22. 某种疾病可分为Ⅰ、Ⅱ两种类型，为了解该疾病类型与性别的关系，在某地区随机抽取了患该疾病的病人进行调查，其中男性人数为z ，女性人数为2z ，男性患Ⅰ型病的人数占男性病人的56，女性患Ⅰ型病的人数占女性病人的13

. （1）完成22?联表若在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“所患疾病类型”与“性别”有关，求男性患者至少有多少人？

（2）某药品研发公司欲安排甲乙两个研发团队来研发此疾病的治疗药物，两个团队各至多安排2个接种周期进行试验.每人每次接种花费()0m m >元.甲团队研发的药物每次接种后产生抗体的概率为p ，根据以往试验统计，甲团队平均花费为226mp m -+；乙团队研发的药物每次接种后产生抗体的概率为q ，每个周期必须完成3次接种，若一个周期内至少出现2次抗体，则该周期结束后终止试验，否则进入第二个接种周期.假设两个研发团队每次接种后产生抗体与否均相互独立

.若2p q =，从两个团队试验的平均花费考虑，该公司应选择哪个团队进行药品研发？

附：()()()()()

22n ad bc k a b c d a c b d -=++++.

2

【答案】（1）列联表见解析，12人；（2）答案见解析.

【解析】

【分析】

（1）根据题中数据即可补全22?列联表，计算出卡方值，令2

7.879k ，即可求出z 的取

值范围，结合条件可得结果；

（2）设甲研发团队试验总花费为X ，()226E X mp m -+=,设乙研发团队试验总花费为Y 元，则Y 的可能取值为3m ，6m ，分别计算出3,6Y m Y m 的概率，然后计算出均值进行比较即可判断. 【详解】（1）22?列联表如下：

要使在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“所患疾病类型”与“性别”有关，

则，225423263637.879333222

z z z z z z k z z z z ???-? ???==>???， 解得11.8185z >，

因为6z ∈Z ，3

z ∈Z ，所以z 的最小整数值为12， 所以男性患者至少有12人；

2 （2）设甲研发团队试验总花费为X ，()2

26E X mp m -+=, 设乙研发团队试验总花费为Y 元，则Y 的可能取值为3m ，6m ，

所以223323(3)(1)23P Y m C q q q q q ==-+=-+，

32(6)123P Y m q q ==+-，

所以()()3232()3236123E Y m q q m q

q =?-++?+-32696mq mq m =-+， 因为2p q =，所以322()()69626E Y E X mq mq m mp m -=-++-

322692mq mq mp =-+326mq mq =-2(61)mq q =-， ①当106

q <<时，610q -<，因为0m >，所以()2610mq q -<，所以()()E X E Y >， 乙团队试验的平均花费较少，所以选择乙团队进行研发； ②当116

q <<时，610q ->，因为0m >，所以()2610mq q ->，所以()()E X E Y <， 甲团队试验的平均花费较少，所以选择甲团队进行研发； ③当16

q =时，()2610mq q -=，所以()()E X E Y =，甲团队试验的平均花费和乙团队试验的平均花费相同，从两个团队试验的平均花费考虑，该公司应选择甲团队或乙团队进行研发均可.

【点睛】本题考查独立性检验，考查了卡方值的计算，考查离散型随机变量的概率分布即均值的求法，考查利用均值进行决策的问题.

23. 已知()x f x xe =，()(ln )()g x a x x a R =+∈.

（1）求()f x 的单调区间；

（2）记()()()F x f x g x =-，若函数()F x 存在两个零点，求实数a 的取值范围.

【答案】（1）()f x 单调递增区间为()1,-+∞，单调递减区间为(),1-∞-；（2）(),e +∞.

【解析】

【分析】

（1）求导，()()'1x f x x e =+，分析导函数取得正负的区间，得原函数的单调性.

（2）设函数()()()()ln x F x f x g x xe a x x =-=-+，0x >，求导

2 ()

'(1)()x x xe a F x x +-=，分0a ≤和0a >两种情况得函数()F x 的单调性，得出满足题

意需()min

0F x <，得出11x a x e e =>，再证明：当a e >时，函数()()()F x f x g x =-在()0,∞+上零点个数为2，可得答案.

【详解】（1）()()'1x x x f x e xe x e =+=+，

在()1,-+∞上，()'0f x >，()f x 单调递增，

在(),1-∞-上，()'0f x <，()f x 单调递减，

综上函数()f x 单调递增区间为()1,-+∞，单调递减区间为(),1-∞-. （2）设函数()()()()ln x F x f x g x xe a x x =-=-+，0x >， 则()

'(1)1()x x x x xe a F x e xe a x x x +-??=+-+= ???，

令()'0F x =得，0x xe a -=，即x xe a =，

当0a ≤时，()'0F x >在()0,∞+上恒成立，

所以()F x 在()0,∞+上单调递增，至多一个零点，与题意不符，故舍去. 当0a >时，由上题知：()x f x xe =在()1,-+∞上单调递增， 故方程x xe a =在()0,∞+上有唯一解，记为1x ，即()'

0F x =的根为1x ，

且当()10,x x ∈时，()'

0F x <，当()1,x x ∈+∞时，()'

0F x >，

所以()F x 在区间()10,x 上单调递减，在区间()1,x +∞单调递增， 因为函数()()()F x f x g x =-的零点个数为2，

所以()min 0F x <，即()1111ln 0x

x e a x x -+<，

又因为11x x e a =，

所以()11ln 0a a x x -+<，又0a >，

所以11ln 10x x +->，

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ease.html