2013届高考数学一轮精品教学案：抛物线

8.7 抛物线

【考纲解读】

1．理解抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质． 2．理解数形结合的思想． 【考点预测】

高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为:

1.平面解析几何是历年来高考重点内容之一,经常与逻辑、不等式、三角函数等知识结合起来考查，在选择题、填空题与解答题中均有可能出现，在解答题中考查，一般难度较大，与其他知识结合起来考查，在考查平面解析几何基础知识的同时，又考查数形结合思想、转化思想和分类讨论等思想，以及分析问题、解决问题的能力.

2.2013年的高考将会继续保持稳定,坚持考查解析几何与其他知识的结合，在选择题、填空题中继续搞创新,命题形式会更加灵活. 【要点梳理】 1. 抛物线的概念

平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)。定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。 方程y2 2px

p 0 叫做抛物线的标准方程。

p2

注意：它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是F（

x

p2

,0），它的准线方程是

；

2．抛物线的性质

一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：y 2px，x 2py，x 2py.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表：

y 2px

2

222

y 2px(p 0)

2

x 2py(p 0)

2

x 2py(p 0)

2

标准方程

(p 0)

l图形

焦点坐标

(

p2

,

0)(

p2

,0)(0,

p2

)

(0,

p2

)

x

p2

p2

y

p2

y

准线方程

x

p2

x 0

范围 对称性 顶点 离心率

x 0

y 0 y轴

y 0 y轴

x轴

(0,0)

x轴

(0,0)

(0,0) (0,0)

e 1 e 1 e 1 e 1

说明：（1）通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；（2）抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；（3）注意强调p的几何意义：是焦点到准线的距离。 【例题精析】

考点一 抛物线的定义及标准方程

例1. (2012年高考四川卷文科9)已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O， 并且经过点M(2,y0)。若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM| （ ） A、 B、 C、4 D、【答案】B

1. （2012年高考安徽卷文科14）过抛物线y2 4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点，若|AF| 3，则|BF

|=______

考点二 抛物线的几何性质及综合应用

例2.（2010年高考四川卷文科3）抛物线y 8x的焦点到准线的距离是（ ）

(A) 1 (B)2 (C)4 (D)8 【答案】C

【解析】由y2＝2px＝8x知p＝4

又交点到准线的距离就是p。

2

【名师点睛】本小题主要考查抛物线的几何性质,考查了学生分析问题、解决问题的能力. 【变式训练】

2.（2011年高考陕西卷文科2)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x 2，则抛物线的方程是（ ）

（A）y2 8x （B） y2 4x (C) y2 8x (D) y2 4x 【答案】C

【解析】设抛物线方程为y2 ax，则准线方程为x 【易错专区】 问题：综合应用

例.(2012年高考福建卷理科8)双曲线

x

2

a4

于是

a4

2 a 8故选C。

4

yb

22

1的右焦点与抛物线y 12x的焦点重合，

2

则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（ ）

A．

5 B．42 C．3 D．

5

1.（2011年高考海南卷文科9)已知直线l过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|=12,P为C的准线上一点,则 ABP的面积为( ) A.18 B.24 C.36 D.48 【答案】C

【解析】因为AB过抛物线的焦点且与对称轴垂直,所以线段AB是抛物线的通径,长为

2p 12,所以p 6,又点P到AB的距离为焦参数p,所以 ABP的面积为

12

p 2p p 36,故选C.

2

(2011年高考广东卷文科8)设圆C与圆

2．

C的圆心轨迹为（ ）

外切，与直线y 0相切．则

A． 抛物线 B． 双曲线 C． 椭圆 D． 圆

3.(2012年高考安徽卷理科9)过抛物线y2 4x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点，点O是原点，若AF 3,则 AOB的面积为（ ）

(A)

(B

) (C

) (D)

4. （2011年高考山东卷文科9)设M(x0，y0)为抛物线C：x2 8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、FM为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是（ ） (A)(0，2) (B)[0，2] (C)(2，+∞) (D)[2，+∞) 【答案】C

【解析】设圆的半径为r,因为F(0,2)是圆心, 抛物线C的准线方程为y 2,由圆与准线

2

相切知4<r,因为点M(x0，y0)为抛物线C：x 8y上一点，所以有x0 8y0,又点M(x0，

2

y0)在圆x (y 2) r ,所以x0 (y0 2) r 16,所以8y0 (y0 2) 16,即

2

有y0 4y0 12 0,解得y0 2或y0 6, 又因为y0 0, 所以y0 2, 选C.

2222222

5. （2009年高考山东卷文科第10题）设斜率为2的直线l过抛物线y ax(a 0)的焦点

2

F，且和y轴交于点A.若VOAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( ) A.y2 4x B. y2 8x C. y2 4x D. y2

8x

6．（2009年高考湖南卷文科第2题）抛物线y2 8x的焦点坐标是( ) A．（2，0） B．（- 2，0） C．（4，0） D．（- 4，0） 【答案】B【解析】由y2 8x,易知焦点坐标是

(

p2

,0) ( 2,0)，故选B.

7.(2012年高考重庆卷理科14)过抛物线y2 2x的焦点F作直线交抛物线于A,B两点，若

AB

2512

,AF BF,则

1.(福建省福州市2012年3月高中毕业班质量检查理科)抛物线y 4x的准线方程为（ ）

A.x 1 B. x 1 C.y 1 D.y 1 【答案】A

【解析】p 2,x 1.

2．（2011年高考辽宁卷文科7)已知 F 是抛物线y x 的焦点，A．B是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB的中点到y轴的距离为（ ）

2

2

(A)

34

(B)1 (C)

54

(D)

74

3. (2011年高考全国卷理科10)已知抛物线C：y2 4x的焦点为F，直线y 2x 4与C交于A，B两点．则cos AFB=（ ） (A)

45

(B)

35

(C) (D)

5

345

4.（2012年高考辽宁卷文科12）已知P,Q为抛物线x2=2y上两点，点P,Q的横坐标分别为4，

2，过P,Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为（ ）

(A) 1 (B) 3 (C)

4 (D)

8

5．（2010年高考陕西卷文科9）已知抛物线y2＝2px（p>0）的准线与圆（x－3）2＋y2＝16相切，则p的值为（ ）

（A）

12

（D）4

（B）1 （C）2

【答案】C

【解析】由题设知，直线x 故选C.

p2

与圆 x 3 y2 16相切，从而3

2

p

4 p 2.2

6．（安徽省皖南八校2012届高三第二次联考理科）双曲线

x

2

m

y

2

n

1(m 0,n 0)的离心

率为2，有一个焦点与抛物线y2 4mx的焦点重合，则n的值为（ ） A、1 B、4 C、8 D、

12

7. (2012年高考陕西卷文科14)右图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米。

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