2019-2020年高中数学人教A版选修2-3教学案：1-3-1 二项式定理 Wo

2019-2020年高中数学人教A版选修2-3教学案：1-3-1 二项式定理 Word版含解析 预习课本P29～31，思考并完成以下问题 1．二项式定理是什么？

2．通项公式又是什么？

3．二项式定理有何结构特征，二项展开式中某项的二项式系数与某项的系数有区别吗？

[新知初探]

二项式定理

二项式定理 二项展开式 二项式系数 二项展开 式的通项 [点睛] 应用通项公式要注意四点

(1)Tk＋1是展开式中的第k＋1项，而不是第k项；

(2)公式中a，b的指数和为n，且a，b不能随便颠倒位置； (3)要将通项中的系数和字母分离开，以便于解决问题； (4)对二项式(a－b)n展开式的通项公式要特别注意符号问题．

[小试身手]

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)(a＋b)n展开式中共有n项．( )

(2)二项式(a＋b)n与(b＋a)n展开式中第r＋1项相同．( )

nkk

(3)Ckb是(a＋b)n展开式中的第k项．( ) na

－

n1n1nkknn(a＋b)n＝C0b＋…＋Ckb＋…＋Cnb na＋Cnana－－公式右边的式子 Ckn(k＝0,1,2，…，n) nkkTk＋1＝Ckb na－答案：(1)× (2)× (3)×

1

x－?5的展开式中含x3项的二项式系数为( ) 2．??x?A．－10 C．－5 答案：D

2

x2－3?5展开式中的常数项为( ) 3．?x??A．80 C．40 答案：C

4．(1＋2x)5的展开式的第3项的系数为________，第三项的二项式系数为________． 答案：40 10

二项式定理的应用

B．－80 D．－40 B．10 D．5

?[典例] (1)求3x＋

?

1?4

的展开式； x?

(2)化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)．

?[解] (1)法一：3x＋

?

1?4

x?

?1?3＋C4·?1?4 413122?1?2

＝C0＋C33x·4(3x)＋C4(3x)·＋C4(3x)·4·4

?x??x??x?x

121

＝81x2＋108x＋54＋＋2．

xx1?4?3x＋1??法二：3x＋＝

x2x??1

＝2(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1) x121

＝81x2＋108x＋54＋x＋2．

x

5142332450

(2)原式＝C05(x－1)＋C5(x－1)＋C5(x－1)＋C5(x－1)＋C5(x－1)＋C5(x－1)－1

4

＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1．

运用二项式定理的解题策略

(1)正用：求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂．形如(a－b)n的展开式中会出现正负间隔的情况．对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开．

(2)逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数．

[活学活用]

1．化简(x＋1)4－4(x＋1)3＋6(x＋1)2－4(x＋1)＋1的结果为( ) A．x4 C．(x＋1)4

B．(x－1)4 D．x4－1

4131

解析：选A (x＋1)4－4(x＋1)3＋6(x＋1)2－4(x＋1)＋1＝C04(x＋1)＋C4(x＋1)(－1)＋223340444

C24(x＋1)(－1)＋C4(x＋1)(－1)＋C4(x＋1)(－1)＝[(x＋1)－1]＝x，故选A．

2．设n为自然数，化简C02n－C12n1＋…＋(－1)k·Ck2nk＋…＋(－1)n·Cn n·n·n·n＝________．

－

－

0nn－1n－kn0

解：原式＝Cn·2·(－1)0＋C1·(－1)1＋…＋(－1)k·Ck＋…＋(－1)n·Cn·2＝(2－1)nn2n2

＝1．

答案：1

二项式系数与项的 系数问题 12x－x?6的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数； [典例] (1)求二项式???1

x－x?9的展开式中x3的系数． (2)求???[解] (1)由已知得二项展开式的通项为

3r6－r?1?r6－rrr

－Tr＋1＝Cr(2x)·＝2C·(－1)·x3－， 66?x?29

∴T6＝－12·x－．

2

5

∴第6项的二项式系数为C6＝6，

第6项的系数为C5(－1)5·2＝－12． 6·(2)设展开式中的第r＋1项为含x3的项，则

9－r?1?rr9－2r

－＝(－1)r·Tr＋1＝Cr·Cx， 9x9·?x?

令9－2r＝3，得r＝3，

3

即展开式中第四项含x3，其系数为(－1)3·C9＝－84．

[一题多变]

1．[变设问]本例问题(1)条件不变，问题改为“求第四项的二项式系数和第四项的系数”．

36－r解：由通项Tr＋1＝(－1)r·Cr·2·x3－r， 6

2知第四项的二项式系数为C36＝20， 第四项的系数为C3(－1)3·23＝－160． 6·

2．[变设问]本例问题(2)条件不变，问题改为“求展开式中x5的系数”，该如何求解． 解：设展开式中第r＋1项为含x5的项，则 Tr＋1＝(－1)r·Crx9－2r， 9·令9－2r＝5，得r＝2．

即展开式中的第3项含x5，且系数为C29＝36．

求某项的二项式系数或展开式中含xr的项的系数，主要是利用通项公式求出相应的项，特别要注意某项二项式系数与系数两者的区别．

与展开式中的特 题点一：求展开式中的特定项 1．(四川高考)设i为虚数单位，则(x＋i)6的展开式中含x4的项为( ) A．－15x4 C．－20ix4

B．15x4 D．20ix4

定项有关的问题 6－rr解析：选A 二项式的通项为Tr＋1＝Cri，由6－r＝4得r＝2． 6x424故T3＝C26xi＝－15x．故选A．

3

2．(1＋2x)3(1－x)5的展开式中x的系数是________． 解析：(1＋2x)(1－x)的展开式的通项为2

3

3

5r

ss

Cr3(－1)C5x

3r＋2s

(其中r＝0,1,2,3；s＝6

??3r＋2s?r＝0，?r＝2，

0,1,2,3,4,5)，令＝1，得3r＋2s＝6，所以?或?所以x的系数是－C35＋6

?s＝3?s＝0.??

4C23＝2．

答案：2

题点二：由二项展开式某项的系数求参数问题

?2

3．(山东高考)若ax＋

?

1?5

的展开式中x5的系数是－80，则实数a＝________． x?

55?1?r＝Cr·5－r

x10－r．令10－r＝5，解得r＝2．又展开式5a22?x?

解析：Tr＋1＝Cr(ax2)5－r5·

中x5的系数为－80，则有C2a3＝－80，解得a＝－2． 5·

答案：－2

求展开式中特定项的方法

求展开式特定项的关键是抓住其通项公式， 求解时先准确写出通项， 再把系数和字母分离， 根据题目中所指定的字母的指数所具有的特征， 列出方程或不等式即可求解．有理项问题的解法，要保证字母的指数一定为整数．

层级一 学业水平达标

1．(x＋2)n的展开式共有12项，则n等于( ) A．9 C．11

B．10 D．8

解析：选C ∵(a＋b)n的展开式共有n＋1项，而(x＋2)n的展开式共有12项，∴n＝11．故选C．

2．(1－i)10(i为虚数单位)的二项展开式中第七项为( ) A．－210 C．－120i

B．210 D．－210i

解析：选A 由通项公式得T7＝C6(－i)6＝－C610·10＝－210． 1

x－x?7的展开式的第4项等于5，则x等于( ) 3．已知???1

A． 7

1

B．－

7

C．7 D．－7

14?1?3

解析：选B T4＝C37x－x＝5，∴x＝－． ??7

2

x－?n的展开式中第5项是常数项，则自然数n的值可能为( ) 4．若二项式?x??A．6 C．12 解析：选C

∵T5＝C4n(

B．10 D．15

2

x)n－4·－x4＝24·C4nx

?

???n－12n－12

是常数项，∴＝0，∴n＝12． 22

1

x－2y?5的展开式中x2y3的系数是( ) 5．(湖南高考)??2?A．－20 C．5

B．－5 D．20

32323?1?2

解析：选A 由二项展开式的通项可得，第四项T4＝C35?2x?(－2y)＝－20xy，故xy

的系数为－20，选A．

6．(全国卷Ⅰ)(2x＋x)5的展开式中，x3的系数是______．(用数字填写答案) r5－r解析：(2x＋x)5展开式的通项为Tr＋1＝Cr(x)r＝25－r·Crx5－． 5(2x)5·2r

令5－＝3，得r＝4．

2

4

故x3的系数为25－4·C45＝2C5＝10．

答案：10

7．若(1＋2x)6的展开式中的第2项大于它的相邻两项，则x的取值范围是________．

1

???T2＞T1，?C62x＞1，11

解析：由?得?解得＜x＜．

125122

???T2＞T3，?C62x＞C6?2x?.

11?

答案：??12，5?

8．若(x＋a)10的展开式中，x7的系数为15，则a＝______．(用数字填写答案)

10－rr37解析：二项展开式的通项公式为Tr＋1＝Cra，当10－r＝7时，r＝3，T4＝C310x10ax，

13

则C3a＝15，故a＝． 10

2

1

答案：

2

?9．若二项式x－

?

a?6

(a＞0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B，且B＝4A，求ax?

的值．

6－r?－解：∵Tr＋1＝Cr6x

?

a?r3r

＝(－a)rCr6x6－， 2x?

3r

令6－＝3，则r＝2，得A＝C2a2＝15a2； 6·23r

令6－＝0，则r＝4，得B＝C4a4＝15a4． 6·2由B＝4A可得a2＝4，又a＞0， 所以a＝2．

10．已知m，n∈N*，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n展开式中x的系数为19，求x2的系数的最小值及此时展开式中x7的系数．

解：由题设m＋n＝19，∵m，n∈N*．

??m＝1 ，∴???n＝18，

???m＝2，?m＝18，

?…，? ???n＝17，?n＝1.

19?2323121222?m－x2的系数C2＋C＝(m－m)＋(n－n)＝m－19m＋171＝mn2?＋4． ?22∴当m＝9或10时，x2的系数取最小值81，

7

此时x7的系数为C79＋C10＝156．

层级二 应试能力达标

1．在(1－x3)(1＋x)10的展开式中x5的系数是( ) A．－297 C．297

B．－252 D．207

解析：选D x5应是(1＋x)10中含x5项与含x2项．

2∴其系数为C510＋C10(－1)＝207．

1?n?3x＋2．使(n∈N*)的展开式中含有常数项的最小的n为( )

xx??A．4 C．6 解析：选B

B．5 D．7

n－r由二项式定理得，Tr＋1＝Crn(3x)

?1?r＝Cr3n－rxn－5r，令n－5r＝0，

n

22?xx?

当r＝2时，n＝5，此时n最小．

3．(1＋3x)n(其中n∈N且n≥6)的展开式中，若x5与x6的系数相等，则n＝( )

A．6 C．8

B．7 D．9

解析：选B 二项式(1＋3x)n的展开式的通项是

n－r

Tr＋1＝Cr·(3x)r＝Cr3r·xr．依题意得 n1n·

C535＝C636，即n·n·

n?n－1??n－2??n－3??n－4?

5！

n?n－1??n－2??n－3??n－4??n－5?＝3×(n≥6)，得n＝7．

6！

1

x2－x?n的展开式中，常数项为15，则n的一个值可以是( ) 4．在???A．3 C．5

B．4 D．6

2n－r?1?r2n－3r

解析：选D 通项Tr＋1＝Cr(x)?－x?＝(－1)rCr，常数项是15，则2n＝3r，nnx

且Crn＝15，验证n＝6时，r＝4合题意，故选D．

2

x－?7的展开式中，x4的系数是________．(用数字作答) 5．x??x?2

x－?7展开式中x3的系数， 解析：x4的系数，即??x?

7－r?2?rr7－2r

－x＝(－2)r·Tr＋1＝Cr·x·Cx， 77·??

令7－2r＝3得，r＝2，∴所求系数为(－2)2C27＝84． 答案：84

?31?

6．在?2x－?20的展开式中，系数是有理数的项数为________．

?2?

3解析：Tr＋1＝Cr20(

2x)

20－r

3?－1?r＝?－2?r·

(2)20－rCrx20－r．∵系数为有理数，∴(2)r20·?2??2?

20－r

与2均为有理数，

3

∴r能被2整除，且20－k能被3整除． 故r为偶数，20－r是3的倍数，0≤r≤20, ∴r＝2,8,14,20． 答案：4

1

2x＋?n的展开式中第m项的系数为bm． 7．记?x??(1)求bm的表达式；

(2)若n＝6，求展开式中的常数项； (3)若b3＝2b4，求n．

1

2x＋?n的展开式中第m项为 解：(1)?x??

m－1n＋2－2mn＋1－mm－1?1?m－1＝2n＋1－m·－1·Cm(2x)n－m＋1·C·x，所以b＝2·C． nnmn

?x?1

2x＋x?n的展开式的通项为 (2)当n＝6时，????1?r＝26－r·Tr＋1＝Cr(2x)6－r·Crx6－2r． 6·6·?x?依题意，6－2r＝0，得r＝3，

故展开式中的常数项为T4＝23·C36＝160． (3)由(1)及已知b3＝2b4，得2n－2·C22n－3·C3n＝2·n，

3

从而C2n＝Cn，即n＝5．

8．求证：1＋2＋22＋…＋25n1(n∈N*)能被31整除．

－

证明：∵1＋2＋2＋…＋2

2

5n－1

25n－1

＝ 2－1

＝25n－1＝32n－1＝(31＋1)n－1

n－1·＝C031n＋C131n－1＋…＋Cn31＋Cn－1 n·n·n

－1)，－1为整数，＝31(C031n－1＋C131n－2＋…＋Cn显然C031n－1＋C131n－2＋…＋Cn∴n·n·nn·n·n

原式能被31整除．

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