上海市闵行区2013届高三数学一模试卷（文理卷 - 含答案）

闵行区2012学年第一学期高三年级质量调研考试

数 学 试 卷（文理科）

考生注意：

1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、姓名填写清楚，并填涂准考证号．选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分使用黑色字迹的钢笔、圆珠笔或签字笔书写． 2．本试卷共有23道题，共4页．满分150分，考试时间120分钟． 3．考试后只交答题纸，试卷由考生自己保留．

一. 填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格 内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

1．已知复数z满足(1?i)z?4i(i为虚数单位)，则z?_________________. 2．函数y?log2(1?x)的定义域为 .

3．已知集合A?{a,b,c,d,e},B?{c,d,e,f}，全集U?A?B，则集合eU(A?B)中元素的个数为__________________.

4．已知抛物线y?4x的焦点与圆x?y?mx?4?0的圆心重合，则m的值是 . 5．已知函数y?g(x)的图像与函数y?3?1的图像关于直线y?x对称，则g(10)的值

为 .

x2222?23?6．若二项式?x??展开式的各项系数的和为64，则其展开式的所有二项式系数中最大

x??的是 . (用数字作答)

2（文）若二项式x?1展开式的各项系数的和为64，则其展开式的

n开始 ??ni?1， S?0所有二项式系数中最大的是 . (用数字作答)

47．无穷等比数列{an}的各项和为3，第2项为?，则该数列的公

3比q? .

（文）已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn?(?3)?r(r是常数)，则数列{an}是等比数列的充要条件是 .

8．某算法的程序框图如右图，若输出的S的值为62，则正整数n的值为 .

ni?i?1S?S?2ii≤n 否 输出S 结束 是 9．从集合?1,2,3,4,5?中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为____________.

1 / 6

（文）某高校随机抽查720名的在校大学生，询问他们在网购商品时是否了解商品的最新信息，得到的结果如右表，已知这720名大学生中随机抽取一名，了解商品最新

男生 合计 了解 160 不了解 合计 p 80 720 11信息的概率是，则p? .

1810．已知定义在(0， )上的函数y?2(sinx?1)与y?女生 480?p 8 23的图像的交点为P，过P作PP1与y?tanx的图像交于点P1?x轴于P1，直线PP2，则线

段PP12的长为 .

11．已知不等式2x?a?x?1对任意x?[0,2]恒成立，则实数a的取值范围是 ． （文）已知不等式x?a?x?1对任意x?[0,2]恒成立，则实数a的取值范围是 ． 12．已知△ABC的面积为1，在△ABC所在的平面内有两点P、Q，满足

??????????????????????????PA?PC?0,QA?QB?QC?BC，则四边形BCPQ的面积为 ．

(文)已知△ABC的面积为1，在△ABC所在的平面内有两点P、Q，满足

?????????????????????????PA?PC?0,QA?QB?QC?BC，则△APQ的面积为 ．

13．如下图，对大于或等于2的正整数m的n次幂进行如下方式的“分裂”(其中m、 n?N)：

23例如7的“分裂”中最小的数是1，最大的数是13；若m的“分裂”中最小的数是211，则m? . 1

3 3715 222324235977

97251 234933327311 5291113

*??x,?1?x?1?cos2（文）已知函数f(x)??，则关于x的方程f(x)?3f(x)?2?0的2?x2?1,|x|?1?实根的个数是___ _． 14．已知函数

f(x)?|x?11?0|?|x?|，关于x的方程f2(x)?af(x)?bxx（a,b?R）恰有6个不同实数解，则a的取值范围是 .

n?N)：（文）如下图，对大于或等于2的正整数m的n次幂进行如下方式的“分裂”(其中m、例如7的“分裂”中最小的数是1，最大的数是13；若m的“分裂”中最小的数是211，则

m? .

2 / 6

23* 1

3371 5222324 235977 9725123 49333273115 291113

二. 选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸

的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．已知A,B,C,D是空间四点，命题甲：A,B,C,D四点不共面，命题乙：直线AC和BD不相交，则甲是乙成立的 [答]( ) （A）充分不必要条件

（C）充要条件 件

（B）必要不充分条件

（D）既不充分也不必要条

??????????????016．若向量m,n满足m?n?1，m与n的夹角为60，则m?m?n? [答]（ ）

??313 （B） （C）2 （D）1?

222????????????????0(文)若向量m,n满足m?n?1，m与n的夹角为60，则m?m?m?n? [答]（ ）

（A）（A）

313 （B） （C）2 （D）1?

22217．已知函数f(x)?|arctan(x?1)|，若存在x1,x2?[a,b]，且x1?x2，使f(x1)?f(x2)成

立，则以下对实数a、b的描述正确的是 [答]（ ）

（A）a?1 （B）a?1 （C）b?1 （D）b?1

(文)已知函数f(x)?|arctanx|，若存在x1,x2?[a,b]，且x1?x2，使f(x1)?f(x2)成立，

则以下对实数a、b的描述正确的是 [答]（ ） （A）a?0 （B）a?0 （C）b?0 （D）b?0 18．数列?an?满足a1?a2?1，an?an?1?an?2?cos2n?若数列?an?的前n项(n?N?)，

3和为Sn，则S2012的值为 [答] ( )

（A）?672 （B）?671 （C）2012 （D）672 （文）数列?an?满足a1?a2?1，an?an?1?an?2?cos2n?若数列?an?的前n(n?N?)，

3671 2项和为Sn，则S2013的值为 [答] ( ) （A）2013 （B）671 （C）?671 （D）?

三. 解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

19. （本题满分12分）本题共有2个小题，.第(1)小题满分6分，第(2)小题满分6分．

3 / 6

已知函数f(x)?2sinxsinx?cosx3(sinx?cosx)；

cosx(1)求函数f(x)的最小正周期； (2)求函数y?f(x??)，x?[0， ]的值域. 22?解：

20.（本题满分14分）本题共有2个小题，.第(1)小题满分7分，第(2)小题满分7分．

科学研究表明：一般情况下，在一节40分钟的课中，学生的注意力随教师讲课的时间变化而变化。开始上课时，学生的注意力逐步增强，随后学生的注意力开始分散。经过实验分析，得出学生的注意力指数y随时间x（分钟）的变化规律为：

0?x?8?2x?68,?y?f(x)??12

?(x?32x?480),8?x?40??8（1）如果学生的注意力指数不低于80，称为“理想听课状态”，则在一节40分钟的课中学生处于“理想听课状态”所持续的时间有多长？（精确到1分钟）

（2）现有一道数学压轴题，教师必须持续讲解24分钟，为了使效果更好，要求学生的注意

力指数在这24分钟内的最低值达到最大，那么，教师上课后从第几分钟开始讲解这道题？（精确到1分钟） （文）（本题满分14分）本题共有2个小题，.第(1)小题满分7分，第(2)小题满分7分．

x2y2已知椭圆E的方程为??1，右焦点为

43y F，直线l的倾斜角为

?22，直线l与圆x?y?3相切4O F Q A l x B 于点Q，且Q在y轴的右侧，设直线l交椭圆E于两个不同点A,B.

（1）求直线l的方程； （2）求?ABF的面积. 解：

4 / 6

21.（本题满分14分）本题共有2个小题，.第(1)小题满

分7分，第(2)小题满分7分．．

x2y2已知椭圆E的方程为??1，右焦点为F，直

43线l与圆x?y?3相切于点Q，且Q在y轴的右侧，设直线l交椭圆E于不同两点A(x1,y1),B(x2,y2). （1）若直线l的倾斜角为

22y O F Q A l x B ?，求直线l的方程； 4

（2）求证：|AF|?|AQ|?|BF|?|BQ|.

（文）（本题满分14分）本题共有2个小题，.第(1)小题满分7分，第(2)小题满分7分．．

科学研究表明：一般情况下，在一节40分钟的课中，学生的注意力随教师讲课的时间变化而变化。开始上课时，学生的注意力逐步增强，随后学生的注意力开始分散。经过实验分析，得出学生的注意力指数y随时间x（分钟）的变化规律为：

0?x?8?2x?68,?y?f(x)??12

?(x?32x?480),8?x?40??8（1）如果学生的注意力指数不低于80，称为“理想听课状态”，则在一节40分钟的课中学生处于“理想听课状态”所持续的时间有多长？（精确到1分钟）

（2）现有一道数学压轴题，教师必须持续讲解24分钟，为了使效果更好，要求学生的注意

力指数在这24分钟内的最低值达到最大，那么，教师上课后从第几分钟开始讲解这道题？（精确到1分钟） 解：

22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)

小题满分6分．已知函数f(x)?loga1?x(0?a?1). 1?x（1）求函数f(x)的定义域D，并判断f(x)的奇偶性；

（2）如果当x?(t,a)时，f(x)的值域是???,1?，求a与t的值；

（3）对任意的x1,x2?D，是否存在x3?D，使得f(x1)?f(x2)?f(x3)，若存在，求出

x3；若不存在，请说明理由.

5 / 6

（文）（本题满分16分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第

(3)小题满分6分．

已知函数f(x)?loga

1?x(0?a?1). 1?x（1）求函数f(x)的定义域D，并判断f(x)的奇偶性； （2）用定义证明函数f(x)在D上是增函数；

（3）如果当x?(t,a)时，函数f(x)的值域是???,1?，求a与t的值. 解：

23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小

题满分8分． 设数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，已知4Sn?an?2an?1(n?N)． (1)证明数列{an}是等差数列，并求其通项公式；

2* k p?N， m?p?2k，都有(2)证明：对任意m、、*112??； SmSpSk(3)对于(2)中的命题，对一般的各项均为正数的等差数列还成立吗？如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． （文）（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3

小题满分8分．

设数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，已知4Sn?an?2an?1(n?N) (1)证明数列{an}是等差数列，并求其通项公式；

*(2)是否存在k?N，使得Sk2?ak?2048，若存在，求出k的值；若不存在请说明理由；

22* k p?N， m?p?2k，都有(3)证明：对任意m、、解：

*112??． SmSpSk6 / 6

闵行区2012学年第一学期高三年级质量调研考试数学试卷

参考答案与评分标准

说明：

1．本解答仅列出试题的一种或两种解法，如果考生的解法与所列解答不同，可参考解答中的评分标准进行评分．

2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分． 一、（第1题至第14题） 1． 2． 3． 4． (?1,1)；2?2i；3；?2；2； 5．

212，文r??1； 8．5； 9．理，文200； 10．；

5432111．理a?2或a?5，文a?1或a?3； 12．理，文； 13．理15，文5； 14．理

33(?4,?2)，文15．

6．20； 7．理?二、（第15题至第18题） 15．A； 16．B； 17．A； 18．D． 三、（第19题至第23题） 19. [解]

2sinx3(sinx?cosx)?sin2x?3cos2x?2sin(2x??) ?3分 sinx?cosxcosx3所以函数f(x)的最小正周期为? ???????3分

???2?(2)y?f(x?)?2sin[2(x?)?]?2sin(2x?) ?????????2分

2233(1)f(x)?[来源:Zxxk.Com]∵x?[0， ]，∴??22?32?2?? ?????2分 ?2x??，?1?sin(2x?)?32333 3]. ???????2分 ∴y?[?2，另解：y?f(x??)?2sin[2(x?)?]?2sin(2x???)??2sin(2x?) ?2分

22333????∵x?[0， ]，∴

??32?2x??3?3?4??sin(2x?)?1 ????????2分 ，?233∴?2??2sin(2x??3 3]. ??????????2分 )?3，即y?[?2，20. [解]（理）（1）由于学生的注意力指数不低于80，即y?80

当0?x?8时，由2x?68?80得6?x?8； ????2分

2当8?x?40时，由?(x?32x?480)?80得8?x?16?46；????2分

18?所以x??6,16?46?，16?46?6?10?46?20

?故学生处于“理想听课状态”所持续的时间有20分钟. ?????3分

7 / 6

（2）设教师上课后从第t分钟开始讲解这道题，由于10?46?24

所以t??0,6? ??????????????????????2分 要学生的注意力指数最低值达到最大，只需f(t)?f(t?24)

即2t?68??[(t?24)2?32(t?24)?480] ???????????2分 解得t?86?16?4 ???????????????2分

所以，教师上课后从第4分钟开始讲解这道题，能使学生的注意力指数最低值达到最

18大. ???????????????????????????1分 （文）（1）设直线l的方程为y?x?m，

则有|m|?3，得m??6 ??????????????3分 2又切点Q在y轴的右侧，所以m??6，???????????2分 所以直线l的方程为y?x?6 ?????????????2分 （2）设A(x1,y1),B(x2,y2)

?y?x?6?2由?x2y2得7x?86x?12?0 ??????????2分

?1??43?x1?x2?8612,x1x2? 7746 ?????2分 7|AB|?1?1|x1?x2|?2(x1?x2)2?4x1x2?又F(1,0)，所以F到直线l的距离d?所以?ABF的面积为

|1?6|1?(23?2) ??2分 2212|AB|d?(32?23) ?????1分 2721. [解]（理）（1）设直线l的方程为y?x?m，

则有|m|?3，得m??6 ??????????????3分 28 / 6

又切点Q在y轴的右侧，所以m??6，???????????2分 所以直线l的方程为y?x?6 ?????????????2分 （2）因为?AOQ为直角三角形，所以|AQ|?OA2?OQ2?x12?y12?3[来源:学&科&网Z&X&X&K]

x12y121又??1得|AQ|?x1 ?????????????????2分

432x12y121|AF|?(x1?1)?y 又??1得|AF|?2?x1 ?????2分

432221所以|AF|?|AQ|?2，同理可得|BF|?|BQ|?2 ?????2分 所以|AF|?|AQ|?|BF|?|BQ| ?????????????????1分 （文）（答案与评分标准同理科第20题） 22. [解]（理）（1）令

1?x?0，解得?1?x?1,D???1,1??????2分 1?x?11?x?1?x??1?x??loga???log对任意x?D,f(?x)?logaa?????f(x) 1?x1?x1?x????所以函数f(x)是奇函数. ?????????????????????2分

另证：对任意x?D,f(?x)?f(x)?loga1?x?1?x??loga???loga1?0 1?x1?x??所以函数f(x)是奇函数. ?????????????2分 （2）由

1?x21?x知，函数g(x)?在??1,1?上单调递减， ??1?1?xx?11?x因为0?a?1，所以f(x)在??1,1?上是增函数 ?????????2分 又因为x?(t,a)时，f(x)的值域是???,1?，所以(t,a)?(?1,1) 且g(x)?1?x在(t,a)的值域是(a,??)， 1?x1?a故g(a)??a且t??1（结合g(x)图像易得t??1）?????2分

1?aa2?a?1?a解得a?2?1（?2?1舍去）．

所以a?2?1，t??1 ?????????????2分

9 / 6

（3）假设存在x3?(?1,1)使得f(x1)?f(x2)?f(x3) 即loga1?x31?x11?x2 ?loga?loga1?x11?x21?x31?x31?x11?x21?x11?x21?x3， loga(?)?loga???1?x11?x21?x31?x11?x21?x3解得x3?x1?x2， ?????????????3分

1?x1x22?x1?x2?x?x2?(?1,1),即证：下证：x3?1???1．

1?x1x21?xx?12?222?x1?x2?(x1?x2)2?(1?x1x2)2x12?x2?1?x12x2(1?x12)(1?x2)?1????证明：? ?2221?xx(1?xx)(1?xx)(1?xx)?12?1212122 1?x22?0，(1?x1x2)2?0 ?x1，x2?(?1， 1)，∴1?x12?0，?x1?x2??x1?x2?(1?x12)(1?x22)?1?0?0∴，即，∴?????1

1?xx1?xx(1?x1x2)2?12??12?所以存在x3?22x1?x2?(?1,1)，使得f(x1)?f(x2)?f(x3) ?????3分

1?x1x22?x?x2?2222另证：要证明?1??1，即证(x1?x2)?(1?x1x2)，也即(1?x1)(1?x2)?0．

?1?x1x2??x1,x2?(?1,1)，∴1?x12?0,1?x22?0,∴(1?x12)(1?x22)?0， ?x?x2?∴?1??1． ?1?x1x2?2x1?x2?(?1,1)，使得f(x1)?f(x2)?f(x3) ?????3分

1?x1x21?x（文）（1）令?0，解得?1?x?1,D???1,1? ?????2分

1?x所以存在x3?[来源学科网ZXXK]1?x?1?x??1?x??loga???log对任意x?D,f(?x)?logaa?????f(x) 1?x?1?x??1?x?所以函数f(x)是奇函数. ?????2分

?110 / 6

另证：对任意x?D,f(?x)?f(x)?loga1?x?1?x??loga???loga1?0 1?x?1?x?所以函数f(x)是奇函数. ??????????2分 （2）设x1,x2?(?1,1),且x1?x2，

f(x1)?f(x2)?loga1?x11?x21?x11?x21?x1x2?(x2?x1)?loga?loga(?)?loga1?x11?x21?x11?x21?x1x2?(x2?x1)

????2分 ∴1?x1x2?(x2?x1)?[1?x1x2?(x2?x1)]?2(x2?x1)?0 ∴1?x1x2?(x2?x1)?[1?x1x2?(x2?x1)]?0 ∴

1?x1x2?(x2?x1)1?x1x2?(x2?x1)?0???2分 ?1 ∵0?a?1 ∴loga1?x1x2?(x2?x1)1?x1x2?(x2?x1)∴f(x1)?f(x2)?0，∴f(x1)?f(x2)

所以函数f(x)在D上是增函数. ??????????????????2分 （3）由（2）知，函数f(x)在??1,1?上是增函数， 又因为x?(t,a)时，f(x)的值域是???,1?， 所以(t,a)?(?1,1)且g(x)?故g(a)?1?x在(t,a)的值域是(a,??)， ?????2分 1?x1?a?a且t??1（结合g(x)图像易得t??1） ???????2分 1?aa2?a?1?a解得a?2?1（?2?1舍去）

所以a?2?1，t??1 ???????????????2分

2223. [解]（理） (1)∵4Sn?an?2an?1，∴当n?2时，4Sn?1?an?1?2an?1?1． 两式相减得4an?an?an?1?2an?2an?1，

∴(an?an?1)(an?an?1?2)?0 ??????????2分 ∵an?0，∴an?an?1?2， 又4S1?a1?2a1?1，∴a1?1

∴{an}是以a1?1为首项，d?2为公差的等差数列． ?????????1分 ∴an?2n?1 ???????????????1分 (2)由(1)知Sn?222(1?2n?1)n?n2，

211 / 6

Sk?k， Sp?p ??????????2分 ∴Sm?m，112112k2(p2?m2)?2m2p2??????于是 SmSpSkm2p2k2m2p2k2222m?p22)(p?m2)?2m2p22， ??????????2分 ?222mpkmp?2pm?2m2p2??0 222mpk112??∴ ??????????2分 SmSpSk( (3)结论成立，证明如下： ??????????1分设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则Sn?na1?于是Sm?Sp?2Sk?ma1?[来源学科网ZXXK]

n(a1?an)n(n?1) d?22m(m?1)p(p?1)d?pa1?d?[2ka1?k(k?1)d] 22m2?p2?m?p?(m?p)a1?d?(2ka1?k2d?kd) ?????????2分

2(m?p)2d?0， 将m?p?2k代入得，Sm?Sp?2Sk?4∴Sm?Sp?2Sk ??????????2分

又SmSp?mp(a1?am)(a1?ap)4?mp[a12?(am?ap)a1?amap]4

a?ap2m?p22)[a1?2a1ak?(m)]22 ?42k2(a12?2a1ak?ak)k2(a1?ak)2???Sk2 ??????????2分

4411Sm?Sp2Sk2???2?． ??????????1分 ∴

SmSpSmSpSkSk(（文）(1)∵4Sn?an?2an?1，∴当n?2时，4Sn?1?an?1?2an?1?1． 两式相减得4an?an?an?1?2an?2an?1，

∴(an?an?1)(an?an?1?2)?0 ??????????2分 ∵an?0，∴an?an?1?2，又4S1?a1?2a1?1，∴a1?1

∴{an}是以a1?1为首项，d?2为公差的等差数列．????????2分 ∴an?2n?1 ??????????1分

2222212 / 6

(2) 由(1)知Sn?22(1?2n?1)n?n2， ??????????2分

22假设正整数k满足条件，

则(k)?[2(k?2048)?1] ∴k?2(k?2048)?1，

解得k?65； ??????????3分

2 Sk?k， Sp?p ??????????2分 (3)Sm?m，112112k2(p2?m2)?2m2p2222于是S????p2?k2?mSpSkm2(m?p)2(p2?m2?2)?2m2p2m2p2k2 mp?2pm?2m2?p2m2p2k2?0 ∴1S?1S?2 mpSk

m2p2k2 ??????????2分 ??????????3分 ??????????1分 13 / 6

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